导数微分不定积分公式

一、导数的概念及其计算
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x
y
∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即
x
y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，
x
y
∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0
lim
→∆x x y
∆∆=0
lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x
y
∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；
（2）求平均变化率
x
y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)
()(00；
（3）取极限，得导数f’(x 0)=x
y
x ∆∆→∆0lim 。

2．导数的几何意义
函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /
（x 0）（x －x 0）。

3．常见函数的导出公式．
（１）0)(='C （C 为常数） （２）1
)(-⋅='n n
x
n x
（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -='
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'
'
'
v u v u ±=±
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：.)('
'
'
uv v u uv +=
若C 为常数,则'
'
'
'
'
0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
.)(''Cu Cu =
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
⎪⎭
⎫
⎝⎛v u ‘=2
''v uv v u -（v ≠0）。

二、定积分的概念及其计算（牛顿—莱布尼茨公式）
1．定积分
（1）概念
设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝
∑n
i f
1
＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞
即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：
⎰
b
a
dx x f )(，即⎰b
a
dx x f )(＝
∑=∞
→n
i n f 1
lim (ξi )△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分
变量，f (x )dx 叫做被积式
定理 若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，则)(x f 在],[b a 上可积，且
⎰
-=b
a
a F
b F dx x f )()()(
这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为⎰-==b
a
b
a a F
b F x F dx x f )()()()(。

基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰
dx x m
＝
11
1++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x
＝x e ＋
C ；⎰dx a x
＝a
a x
ln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）
（2）定积分的性质 ①⎰
⎰=b
a b
a
dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；
②
⎰
⎰⎰±=±b
a
b a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；
③
⎰
⎰⎰+=b
a
c a
b
c
dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

（3）定积分求曲边梯形面积
由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的
面积⎰
=
b
a
dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b
（a<b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形
DMNC
＝
⎰
⎰-b
a
b
a
dx x f dx x f )()(21。

一、基本导数公式：
()()()()()()()()()()()()(
)(
)()'
'1
'
'
'
'
'
'
'2
'
2
'
'
''
'
2
1.2.3.ln 4.1
5.log ln 1
6.ln
7.sin cos
8.cos sin
9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 1
13.arcsin 114.arccos 115.arctan 11n n x x
x x
a kx k
x
nx a a a e e
x x a x x
x x x x x x
x
x x x x x x x x x x -=====
=
==-==-==-=
=-
=
+()'
2
16.a cot 1rc x =-
+
二、基本微分公式：
()()()()()()()()()()()()(
)()1221.2.3.ln 4.1
5.ln 1
6.log ln
7.sin cos
8.cos sin
9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 1
13.arcsin 14.arccos n n x
x
x
x
a d kx k
d x
nx dx d a a adx d e e dx
d x dx
x d x dx
x a
d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dx
d x -========-==-==-=
()()2
2
1
1
15.arctan 11
16.cot 1dx
d x dx x
d arc x dx x
=-=+=-+
三、不定积分基本公式：
11.2.1
3.1
4.ln 1
5.ln ||
6.sin cos
7.cos sin
8.tan ln |cos |
9.cot ln |sin |10.csc ln |csc cot |11.sec ln |sec tan |n n
x x
x
x
kdx kx c
x x dx c
n e dx e c a dx a c
a
dx x c x
xdx x c
xdx x c xdx x c xdx x c xdx x x c xdx x x c
+=+=++=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
2
2
32121311xdx x c
x dx x c
dx c
x x =+=+=-+⎰⎰⎰
222
22
22
22
1
12.c cot sin 1
13.sec tan cos
114.arctan 115.
arcsin 16.sec tan
sec 17.csc cot csc 118.arctan 119.ln ||220.dx cs xdx x c
x dx xdx x c x
dx x c x dx x c
x xdx x c x xdx x c
dx x c x a a a dx x a c x a a x a
dx ==-+==+=++=+=+=-+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin 21.ln ||22.ln ||x
c a dx x c dx
x c
=+=++=++⎰⎰⎰
(
)2
21ln 112x dx x c x =+++⎰ 21
arctan 1dx x c x =++⎰。