江元生《结构化学》课后习题答案

第一章 量子理论

1. 说明⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=) (2cos ),(0t x a t x a νλπ及⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=) (2sin ),(0t x a t x a νλπ都是波动方程

2

2222)

,(1),(t t x a c x t x a ∂∂=∂∂的解。 提示：将),(t x a 代入方程式两端，经过运算后，视其是否相同。 解：利用三角函数的微分公式

)cos()sin(ax a ax x

=∂∂和)sin()cos(ax a ax x -=∂∂

，将

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=) (2c o s ),(0t x a t x a νλπ代入方程：

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∂∂=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=) (2cos 2 ) (2sin 2 ) (2cos ) (2cos 2

00

0022t x a t x x a t x x x a t x a x νλπλπνλπλπνλπνλπ左边 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=

⎭⎬

⎫

⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=) (2cos 2 ) (2sin 2 ) (2cos ) (2cos 122020200222t x c a t x x c a t x t t c a t x a t c νλππννλππννλπνλπ右边 对于电磁波νλ=c ，所以⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=) (2cos ),(0t x a t x a νλπ是波动方程的一个解。

对于⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=) (2sin ),(0t x a t x a νλπ，可以通过类似的计算而加以证明：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=) (2sin 2) (2sin 2

0022t x a t x a x νλπλπνλπ左边

()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=) (2sin 2) (2sin 12200222t x c a t x a t c νλππννλπ右边

2. 试根据Planck 黑体辐射公式，推证Stefan 定律：4 T I σ=，给出σ的表示式，并计算它的数值。

提示：⎰∞

=0)(ννd E E , I =cE /4 解：将ννπνννd e c h d E kT h ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-=

118)(3

3

代入上式，⎰∞⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-=033

118ννπνd e c h E kT h 作变量代换kT h x /ν=后，上式变为，

3344544

30

3

4

3158158118h c T k h kT c h dx e x h kT c h E x ππππ=⎪⎭⎫

⎝⎛=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎰

∞

4283

24

45334451067.515215844---⋅⋅⨯====K m W h

c T k h c T k c E c I ππ

3. 说明在长波(低频)区域(ν=0)，Planck 公式还原为Rayleigh-Jeans 公式。 提示：应用Taylor 级数展开h e ν。

解：在长波(低频)区域(ν=0)，可将kT h e ν用Taylor 级数展开至一阶，

kT h e kT h νν+≈1

并代入Planck 公式即可得Rayleigh-Jeans 公式， ννπνννπννπνννd c kT d h kT c h d e c h d E kT h 3

2

333388118)(==

⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=

4. 试通过对能量密度函数求极值，推导出Wien 位移定律b T =max λ,

K m k hc b ⋅⨯==-3109.25/。

解：本题正确求解的关键是必须明确以波长为变量求得的最大能量密度及波长λmax 和以频率为变量求得的最大能量密度及频率νmax 无对应关系: c= λmax νmax . 现对这两个物理量分别计算如下: (1)求νmax 根据能量密度函数的表示式 ννπνννd e c h d E kT h ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-=

118)(3

3

得到, ()()()()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧---=---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=h kT

h kT h kT h kT

h kT

h kT h kT h e kT h e e c h e e kT h e

c h

e d d c h e c h d d d dE ννννννννννπννπν

νπνπννν1318131818118)(2

232

3

233

333 当上述微分为零时能量密度函数取极值(可以证明, 取极大值.), 即:

()()01318223=⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-

--kT h kT

h kT h e

kT h e e c h νννννπ

ν = 0为平庸根, 另一个根由下述方程得到:

()013=-

-h kT h e kT

h e ννν. 令kT

h x ν

=

, 上述方程变换为: 3(e x -1)-xe x =0 通过迭代求解, 可得两个根 x = 0, x = 2.82. 从而得到关系式

k h

T 82.2max =

ν. (2) 求λmax

先将能量密度的表示式变换为波长的函数: