运筹学chap.8网络优化模型

第二节 树

定义1（树的定义）

连通且不含环的无向图称为树。
某工厂的组织机构如下所示

例1
工厂组织机构图
树的性质： 任意两顶点之间必有一条且仅有一条链。 去掉任一条边，则树成为不连通图。 不相邻的两个顶点间添上一条边，恰好得到一个环。
部分图、生成子图、部分树
部分图 生成子图 部分树
2
一个输油管道网。节点1表示管 道的起点，节点6表示管道的终点， 节点2到5表示中转站，旁边的数字 表示该段管道能通过的最大输送量。 应怎样安排输油线路，使从节点1 到节点6的总输送量最大？
一张城市分布图。现在要在各城 市之间架设电话线，应如何架设， 使各城市之间既能通话，又使总的 架设路线最短？
铁路交通示意图
图是由点和边构成，可以反映一 些对象之间的关系。
图8-2

例2 有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，它们之间比赛的情 况用图表示出来。 已知甲队和其他各队都比赛过一次，乙队和甲、丙队比 赛过，丙队和甲、乙、丁队比赛过，丁队和甲、丙、戊 队比赛过，戊队和甲、丁队比赛过。为了反映这个情况， 可以用点分别代表这五个队，某两个队之间比赛过，就 在这两个队所相应的点之间联一条线，这条线不过其他 的点，如图8-3所示。
21
P(6)=8
P(5)=6
P(3)=3
P(1)=0
算法（Dijkstra(迪杰斯特拉) 1959年提出的）
P(2)=4 T(2)=4 T(2)=+∞
2
P(1)=0
3
P(4)=7 T(4)=7 T(4)=+∞
4
2
T(6)=8 P(6)=8 T(6)=+∞
4 2 3 2
1
6
P(3)=3 T(3)=3 T(3)=+∞
一个图会有许多外形不同的图解, 下面两个 图表示同一个图G = (V, E )的图解.其中 V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}.
今后将不计较这种外形上的差别,而用一个容 易理解的、确定的图解去表示一个图.
3
3
P(5)=6 T(5)=6 T(5)=+∞
5
• 第1步：P(1)=0,T(i)=+∞； • 第2步：与1相连的标号为2,3，均是T标号，修改2,3的标号，T(2)=min{T(2),P(1)+w12} •=min{+∞,P(1)+w12}=4,T(3)=3；在所有的T标号中，3的标号最小，改3的标号为P(3)=3； • 第3步：修改与3相连的T标号；在所有剩下的T标号中，2的标号最小，改为P(2)=4； • 第4步：修改与2相连的T标号；在所有剩下的T标号中，5的标号最小，改为P(5)=6； • 第5步：修改与5相连的T标号；在所有剩下的T标号中，4的标号最小，改为P(4)=7； • 第6步：修改与4相连的T标号；只剩下节点6是T标号，修改6的标号，P(6)=8。 • 从节点6开始回退，得到最短路。
44
车龄
每年的维护费用
售出价格 7000 6000 2000 1000 0
1 2 3 4 5 6
2000 4000 5000 9000 12000
C12=2+12-7=7
12
31 21 12 7 31 21
1
7
2
3
7 12
4
7
5
12
7
6
C13+c35+c56是1到6的最小费用，第3年 年初与第五年初交易，今后5年的净费用最小。
二、网络
点或边带有某种数量指标的图叫网络 图，简称网络。 与点或边有关的某些数量指标，我们 经常称之为权，权可以代表如距离、费 用、容量等。
2 4 1 3 3 3 5 2 2 6 3 4
左图可以看作：
从发电厂（节点1）向某城市
（节点6）输送电力，必须通过中 转站（节点2，3，4，5）转送，边 上数字代表两节点间的距离。电力 公司希望选择合适的中转站，使从 电厂到城市的传输路线最短。

一、 图的基本概念

人们为反映一些对象之间关系时， 常会用示意图。 例1 右图是我国北京、上海 等十个城市间的铁路交通图， 反映了这十个城市间的铁路分 布情况。这里用点代表城市， 用点和点之间的连线代表这两 个城市之间的铁路线。 其他示意图的例子 电话线分布图、煤气管道 图、航空线图等。
第八章 图与网络优化模型
本章主要讨论图论基本概念、理论和方法以及最短路问题、最
大流问题和最小费用流问题等网络优化模型及其基本算法。
第一节 图与网络

运筹学的重要分支 主要应用领域：物理学、化学、控制论、信息论、 科学管理、电子计算机等 图论理论和方法应用实例： 在组织生产中，为完成某项生产任务，各工序之 间怎样衔接，才能使生产任务完成得既快又好。 一个邮递员送信，要走完他负责投递的全部街道， 完成任务后回到邮局，应该按照怎样的路线走， 所走的路程最短。 各种通信网络的合理架设，交通网络的合理分布 等问题，应用图论的方法求解都很简便。

Dijkstra方法的基本思想：

从vs出发，逐步向外探寻最短路。执行过程中， 与每个点对应，记录下一个数(称为这个点的标 号)，它或者表示从vs到该点的最短路的权(称为P 标号)，或者是从vs到该点的最短路的权的上界 (称为T标号)，方法的每一步是去修改T标号，并 且把某一个具T标号的点改变为具P标号的点， 从而使D中具P标号的顶点数多一个，这样，至 多经过p−1步，就可以求出从vs到各点的最短路。
第1年 11 第2年 11 第3年 12 第4年 12 第5年 13

还已知使用不同时间(年)的设备所需要的维修费用为：
使用年数 维修费用 0～1 5 1～2 2～3 6 8 3～4 11 4～5 18

可供选择的设备更新方案显然是很多的。
例如，每年都购置一台新设备，则其购置费用 为11+11+12+12+13=59，而每年支付的维修费用 为5，五年合计为25。于是五年总的支付费用为 59+25=84。
称点vi , vj为边vivj的端点. 在有向图中, 称点vi , vj分 别为边vivj的始点和终点.
对于一个图G = (V, E ), 人们常用图形来表示 它, 称其为图解. 凡是有向边, 在图解上都用箭头 标明其方向. 例如, 设V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}, 则G = (V, E ) 是一个有4个顶 点和6条边的图, G的图解如下图所示.
例：房屋开发商正规划设计某居住新区的下水管道， 图中各数字表示各栋楼房之间铺设管道的工程费用。 房屋开发商应怎样设计最佳的管道铺设方案，使总 工程费用最少。
V1 7 9 6 5 V3 6 5 2 V2 V6 6 3 V5 7
V4
8
单位：十万元
第三节 最短路问题
从一特殊的节点出发，找出从该节点到网络中任何其它节点的最短路径问题

例：用Dijkstra方法求图8-4所示的赋权图中，从v1 到所有点的最短路。
图8-4

解： 计算的最后结果为

P(v1)=0，P(v4)=1，P(v3)=3，P(v2)=5，P(v5)=6，P(v9)=8， P(v7)=9，P(v6)=10，P(v8)=11。 这样从v1到v8的最短链为(v1，v3，v2，v5，v9，v8)，总 权为11。
设G=(V，E)和G1=(V1，E1)
如果G=(V，E)的部分图G1=(V，E1)是树， 如果G1=(V1，E1)，G=(V，E)，并且V1 如果V1 {( u , v ) E1 V 1 , v V 11为G的部分图； E V ， 1 V， E | u E则称G } ,则称G1为G的生成子图； 则称G1为G的一个部分树。
又如决定在第一、三、五年各购进一台，这个 方案的设备购置费为11+12+13=36，维修费为 5+6+5+6+5=27。五年总的支付费用为63。


解：如何制定使得总的支付费用最少的设备更新计划 呢?可以把这个问题化为最短路问题，见图8-5。
最小生成树： 设有一连通图G=(V,L),对于每一边e=(vi,vj)，有一个权wij≥0。 一棵生成树所有树枝上权的总和，称为这个生成树的权。具
有最小权的生成树称为最小生成树（最小树）。
2
4 1 3 3 3 5 2 2 6 3
4
2
最小生成树不一定唯一
例如右图,其 最小生成树如下：
类似地,可定义连通 图G 的最大生成树.
比赛情况图
图8-3

关系的对称性和非对称性：

几个例子中涉及到的对象之间的“关系”具有“对称性”，就是说，如 果甲与乙有这种关系，那么同时乙与甲也有这种关系。 实际生活中，有许多关系不具有这种对称性。


如例2，如果人们关心的是五个球队比赛的胜负情况，那么从图5-3中 就看不出来了。为了反映这一类关系，可以用一条带箭头的连线表示。 例如，如果球队v1胜了球队v2，可以从v1引一条带箭头的连线到v2 类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中是常见的，如交通运 输中的“单行线”，部门之间的领导与被领导的关系，一项工程中各 工序之间的先后关系等。

图论的起源自文库与发展

七桥问题：哥尼斯堡城中有一条河叫普雷格尔河，该河中有两个岛， 河上有七座桥。当时那里的居民热衷于这样的问题：一个散步者能否 走过七座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点。图8-1(a)
图8-1

欧拉在1736年发表了图论方面的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯 堡七桥问题。 欧拉将此问题归结为如图8-1(b)所示图形的一笔画问题。即能否从 某一点开始，不重复地一笔画出这个图形，最后回到出发点。欧拉证 明了这是不可能的，因为图8-1(b)中的每个点都只与奇数条线相关 联，不可能将这个图不重复地一笔画成。

比赛胜负图
一、基本概念：
顶点、弧、边、有向图、无向图、链、道路、环、连通图、连通子图、次
3 1 4 1 环 道路 无向图 顶点 弧链 连通子图 有向图 连通图 次 2 3 4
2
3
连通图 如果链中 弧是由一对有序 道路 一个图 任何一个不连通图 链有一序列弧，如 由顶点集和弧 次: 以a点为 点的一条链，如 由顶点集和 的顶点组成，表 中任意两点间至 都可以分为若干个 每一个弧的终点 果每一个弧与前一 顶点的边的条 果a与b是同一个 连通子图，每一个 示了两个顶点之 少有一个链相连， 是下面一个弧的 个弧恰有一个公共 组成的图称为 边组成的图 子图称为原图的一 点时，称此链为 顶点，则称这一序 间可能运动的方 则称此图为连通 数称为顶点的 起点，则这个链 有向图 称为无向图 个分图。 列弧为一个链。 环。 向 图。 称为一个道路。 次
环 连接a点与b
1
4 5
2
3 2 1
如果E的每一条边都是无向边, 则称G为无向 图(如图1); 如果E的每一条边都是有向边, 则称 G为有向图(如图2); 否则, 称G为混合图.
图1 图2
并且常记 V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m.


练习： 设备更新问题。某企业使用一台设备，在每年年初， 企业领导部门就要决定是购置新的，还是继续使用旧的。若 购置新设备，就要支付一定的购置费用；若继续使用旧设备， 则需支付一定的维修费用。现在的问题是如何制定一个几年 之内的设备更新计划，使得总的支付费用最少。我们用一个 五年之内要更新某种设备的计划为例，若已知该种设备在各 年年初的价格为：
某人买了一辆价值12000美元的新车，一辆车每年 节点i表示第i年年初，当i<j时，弧（i,j）表示第i年 的维护费用依赖于年初时的车龄，具体费用见下表。 年初买一辆新车并一直用到第j年年初。弧（i,j）的 为了避免旧车的高维护费用，他决定卖掉旧车买新 长度为cij，cij表示如果第i年年初买车并在第j年年初 车。旧车的价格依赖于交易时的车龄，见右表。为 卖掉更换新车，从第i年年初到第j年年初期间总费 计算简单起见，假设任何时间新车的价格不变均为 用。Cij=(i,i+1,· · · · ,j-1年的维护费)+第i年年初买新车 12000美元。他希望在今后5年内的净费用最小 的费用-第j年年初该车的售出价格 - 售 出 价 ） 。 （即：净费用=购买价+维护价