第二章极限与连续基础练习题含解答

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第二章极限习题及答案：函数的连续性

函数的连续性分段函数的极限和连续性例设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)21( 1)1( 21)10( )(x x x x x f（1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？（2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？（3）确定函数）x f (的连续区间．分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．解：（1）1lim )(lim 11==--→→x x f x x11lim )(lim 11==++→→x x x f∴1)(lim 1=→x f x函数）x f (在点1=x 处有极限．（2）)(lim 21)1(1x f f x →≠=函数）x f (在点1=x 处不连续．（3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）．说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在．函数的图象及连续性例已知函数24)(2+-=x x x f ，（1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；（2）求）x f (的不连续点0x ；（3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数．分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0x f x x →，再让)(lim )(00x f x f x x →=即可．解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ．因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22,当2≠x 时，.224)(2-=+-=x x x x f其图象如下图．（2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ．（3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 22-=-=-→-→x x f x x因此，将）x f (的表达式改写为⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数．说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根例利用连续函数的图象特征，判定方程01523=+-x x 是否存在实数根．分析：要判定方程0)(=x f 是否有实根，即判定对应的连续函数)(x f y =的图象是否与x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可．解：设152)(3+-=x x x f ，则）x f (是R 上的连续函数．又038)3(,1)0(<-=-=f f ，因此在[]0,3-内必存在一点0x ，使0)(0=x f ，所以0x 是方程01523=+-x x 的一个实根．所以方程01523=+-x x 有实数根．说明：作出函数)(x f y =的图象，看图象是否与x 轴有交点是判别方程0)(=x f 是否有实数根的常用方法，由于函数152)(3+-=x x x f 是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．函数在区间上的连续性例函数24)(2--=x x x f 在区间（0，2）内是否连续，在区间[]2,0上呢？分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续．解：224)(2+=--=x x x x f （R ∈x 且2≠x ）任取200<<x ，则)(2)2(lim )(lim 0000x f x x x f x x x x =+=+=→→∴ )(x f 在（0，2）内连续．但)(x f 在2=x 处无定义，∴ )(x f 在2=x 处不连续．从而)(x f 在[]2,0上不连线说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．函数在某一点处的连续性例讨论函数)0()11lim()(+∞<≤⋅+-=∞→x x xx x f nnn 在1=x 与21=x 点处的连续性分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x 以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得)(x f 的表达式，使解答搁浅．讨论)(x f 在1=x 与21=x 点处的连续性，若作出)(x f 的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证．由于)(x f 的表达式并非显式，所以须先求出)(x f 的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含n x ，故须分类讨论．解：（1）求)(x f 的表达式：①当1<x 时，x x x xxx f nn nn =⋅+-=⋅+-=∞→∞→0101lim 1lim 1)(②当1>x 时，x x x xx x f n nx -=⋅+-=⋅+-=∞→10101)1(1)1(lim )(③当1=x 时，01111lim)(=⋅+-=∞→x x f nn x∴⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-=<≤=x x x x x f 1,1,010,0)(（2）讨论)(x f 在1=x 点处的连续性：1)(lim )(lim ,1lim )(lim 1111-=-===++→→-→-→x x f x x f x x x x∴)(lim 1x f x +→不存在，)(x f 在1=x 点处不连续（3）讨论)(x f 在21=x 点处的连续性：21lim )(lim ,21lim )(lim 21212121====-+--→→→→x x f x x f x x x x21lim )(lim ,21lim )(lim 21212121====-+--→→→→x x f x x f x x x x∴)21(21)(lim 21f x f x ==→，)(x f 在21=x 点处连续．根据函数的连续性确定参数的值例若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,0,)1()(3x a x x x f x 在0=x 处连续，试确定a 的值解：x x x x x f 3)1(lim )(lim +=→→,)0(,)1(lim 3310a f e x x x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→ 欲)(x f 在0=x 处连续，必须使)0()(lim 0f x f x =→，故3e a =说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解．。

函数、极限与连续测试卷带答案

函数、极限与连续测试卷带答案第一篇：函数、极限与连续测试卷带答案上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、函数y=3-2x|-4的定义域是；解：|3-2x|-4≥0,3-2x≥4,或3-2x≤-4 ∴-2x≥1,或-2x≤-717∴x≤-,或x≥ 2217∴x∈(-∞,-]⋃[,+∞)222、把复合函数y=earctan(1+x)分解成简单的函数________________________；解：y=eu,u=arctanv,v=1+x23、函数y=arcsin2x的反函数是_____________________；1⎡ππ⎤解：y=sinx,x∈⎢-,⎥ 2⎣22⎦⎛1+x⎫4、lim ⎪； x→∞⎝x⎭2x2⎛1+x⎫解：lim ⎪x→∞⎝x⎭2x⎡⎛1⎫x⎤=lim⎢1+⎪⎥=e2 x→∞⎝x⎭⎦⎢⎥⎣2(2x-1)15(3x+1)30=；5、limx→∞(3x-2)45(2x-1)15(3x+1)30215⨯330⎛2⎫==⎪解：lim4545x→∞(3x-2)3⎝3⎭x2-3x+26、lim2；x→2x+4x-12(x-1)(x-2)=lim(x-1)=1x2-3x+2lim解：lim2 x→2x+6x→2x+4x-12x→2x+6x-28157、x→1=；2解：lim=x→1x→x-12x→12=x→1 =x→13x-1==34x+2的连续区间为(x+1)(x-4)解：x+2≥0,且(x+1)(x-4)≠08、函数f(x)=∴x≥-2,x≠-1,x≠4,∴x∈[-2,-1)⋃(-1,4)⋃(4,+∞)ax2+bx-19、已知a，b为常数，lim=2，则a=，b=.x→∞2x+1ax2+bx-1解：因为x的最高次为2，lim=2 x→∞2x+1所以a=0，b=2，即b=42x≠0在点x=0处连续，则a=x=0x1-⎤⎡=lim⎢(1-x)x⎥x→0⎣⎦-22⎧x⎪10、已知f(x)=⎨(1-x)⎪a⎩解：limf(x)=lim(1-x)x→0x→0=e-2因为f(x)在点x=0处连续，f(0)=a=limf(x)=e-2，所以a=e-2。

高等数学基础形成性考核册答案(附题目)

【高等数学基础】形成性考核册答案【高等数学基础】形考作业1答案：第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A 、2()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R定义域不同，所以函数不相等；B 、()f x x ==，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等；C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x >所以两个函数相等D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21()11x g x x x -==+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。

故选C⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y =分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+=所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称故选C⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()()()22ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C 、()()2x xa a y x y x -+-==，所以为偶函数D 、()ln(1)y x x -=-，非奇非偶函数故选B⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）．A. 1+=x yB. x y -=C. 2x y =D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y 分析：六种基本初等函数（1） y c =（常值）———常值函数（2） ,y x αα=为常数——幂函数（3） ()0,1x y a a a =>≠———指数函数（4） ()log 0,1a y x a a =>≠———对数函数（5） sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====——三角函数（6） [][]sin ,1,1,cos ,1,1,tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x=-=-==——反三角函数分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对对照比较选C⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x 分析：A 、已知()1lim 00n x n x→∞=> 2222222211lim lim lim 1222101x x x x x x x x x x x→∞→∞→∞====++++ B 、0limln(1)ln(10)0x x →+=+= 初等函数在期定义域内是连续的C 、sin 1limlim sin 0x x x x xx →∞→∞== x →∞时，1x 是无穷小量，sin x 是有界函数，无穷小量×有界函数仍是无穷小量D 、1sin1lim sin lim 1x x x x x x →∞→∞=，令10,t x x =→→∞，则原式0sin lim 1t t t →== 故选D⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A. xx sin B. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x 分析；()lim 0x af x →=，则称()f x 为x a →时的无穷小量 A 、0sin lim 1x x x→=，重要极限 B 、01lim x x→=∞，无穷大量 C 、01lim sin 0x x x →=，无穷小量x ×有界函数1sin x仍为无穷小量 D 、()0limln(2)=ln 0+2ln 2x x →+= 故选C⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。

第二章_极限与连续_习题解答

1习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，讨论有界性和单调性。

如果有极限请写出极限值：（1）13nn x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；解：{}n x 的前五项为：11111,,,,392781243⎧⎫---⎨⎬⎩⎭，从趋势可知，{}n x 不单调；11()33n -≤ ，故{}n x 有界。

{}n x 有极限值0。

（2）1n nx n =+；解： {}01nx <<，所以有界。

111021(1)(2)n n n n xx n n n n ++-=-=>++++，所以单调递增， {}n x 有极限值1 （3）()10.1nn x =-；解：{}01nx <<，所以有界。

()0.1n随着n 值的增大而减小，所以相应的n x 的值增大，所以为单调递增。

{}n x 的极限值为1 （4）cos2n n x n π=；解：分别取)(2+∈=N k k n 和)(12+∈+=N k k n ，显然cos2n n x n π=是无界不单调的，故没有极限值。

（5）1n x n =-。

解：是无界的，且单调递减。

不存在极限2. 用极限定义证明：：对于任意的正数2，即（3）3limn +3. 对下面情况进行讨论，对得到的结论作出论证：（1）数列{}n x 和{}n y 都发散，{}n n x y ±和{}n n x y 的收敛性如何？解：{}n n x y ±，{}n n x y 可能收敛，可能发散。

如sin ,n n x n y n ==，n n n n x y n n x y n n ±±⋅⋅=s i n 、=s i n 均发散的。

又如1,n n x n y n ==，1n n x y n n±±=是发散的，n n x y ⋅=1是收敛的。

（{}n n x y ±收敛需要再举个例子）（2）数列{}n x 、{}n y 中有一个收敛，另一个发散，{}n n x y ±、{}n n x y 的收敛性如何？解：{}n n x y ±一定发散，而{}n n x y 可能收敛可能发散。

第二章-极限与连续--基础练习题(含解答)

第二章极限与连续基础练习题（作业）§2.1 数列的极限一、观察并写出下列数列的极限：1．4682,,,357极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为03．212212⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩n nn nnn a n 为奇数为偶数极限为1§2.2 函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞xx e极限为零 2．2lim tan x x π→无极限3．lim arctan →-∞x x极限为2π-4．0lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1lim () 3.x f x →∴=222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2lim ()x f x →∴不存在。

三、设()111xf x e=+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．()101lim lim 01x x xf x e ++→→==+()11lim lim 11x x x f x e--→→==+lim ()x f x →∴不存在。

四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在§2.3 无穷小量与无穷大量一、判断对错并说明理由： 1．1sinx x是无穷小量．错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。

专升本高等数学(二)-极限和连续

专升本高等数学(二)-极限和连续(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：19，分数：20.00)1.下列各组函数中，两个函数相同的是______A． B．f(x)=x，C．f(x)=ln｜x｜，g(x)=lnx D．f(x)=1nx3，g(x)=3lnx（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 选项A中，D(f)=(-∞，-1)∪(-1，+∞)，D(g)=(-∞，+∞)，定义域不相同；选项B中，f(x)=x，g(x)=[*]=｜x｜，对应规律不相同；选项C中，D(f)=(-∞，0)∪(0，+∞)，D(g)=(0，+∞)，定义域不相同；选项D中，D(f)=(0，+∞)，D(g)=(0，+∞)，且lnx3=3lnx，即两个函数的定义域相同且对应规律相同，为相同函数.2.______∙ A.(0，5]∙ B.(1，5]∙ C.(1，5)∙ D.(1，+∞)（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 使函数解析式有意义，自变量x应满足 [*]解得1＜x≤5，即D(f)=(1，5].3.下列函数为奇函数的是______A．y=x4+x-2 B．y=tax+C． D（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据函数的奇偶性的定义，应选D.4.已知f(x)是(-∞，+∞)上的单调增加函数，则F(x)=e-f(x)是______∙ A.单调增加∙ B.单调减少∙ C.不单调但有界∙ D.不单调但无界（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为f(x)在(-∞，+∞)上单调增加，f(x)在(-∞，+∞)上一定单调减少，则F(x)=e-f(x)在(-∞，+∞)上一定单调减少.5.函数的反函数是______A．y=3log2x+1 B．y=3log2(x+1)C．y=log23x+1 D．y=log+1（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由[*]，得x=log23y+1，即y=log23x+1.6.函数y=cos3(5x+2)的复合过程是______∙ A.y=cos3u，u=5x+2∙ B.y=u3，u=cos(5x+2)∙ C.y=u3，u=cosv，v=5x+2∙ D.y=cosu3，u=5x+2（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] y=u3，u=cosv，v=5x+2.7.当x→0时，sin(2x+x)与x比较是______∙ A.较高价的无穷小量∙ B.较低价的无穷小量∙ C.等价的无穷小量∙ D.同阶无穷小量（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 因为[*]所以当x→0时，sin(2x+x2)与x比较是同阶无穷小量．8.等于______ A．0 B．1 D．5（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据重要极限[*]．9.等于______ A．0 B．1 D．2（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 注意到当x→∞时，[*]不存在，但｜sin2x｜≤1，即sin2x是一个有界变量，而当x→∞时，[*]，根据无穷小量的性质：“有界变量乘无穷小量仍为无穷小量”，则有 [*]．10.下列极限中，正确的是______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 选项A，[*]；选项B，[*]；选项C,[*]；选项D，[*](有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量)．11.等于______ A．0 B． C．1（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 将分母分解因式后，再运用极限的四则运算法则及重要极限Ⅰ，求极限． [*] 另解：(等价无穷小量代换)当x→2时，sin(x-2)～x-2，则 [*]．______∙ A.e2∙ B.e∙ C.e-1∙ D.e-2（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据重要极限Ⅱ：有[*]13.下列各式中，正确的是______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据重要极限Ⅱ：[*]．14.∙ A.-1∙ B.0∙ C.1∙ D.不存在（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*] 因为f(0-0)≠f(0+0)，所以[*]不存在.15.在x=0处连续，则a=______∙ A.-1∙ B.1∙ C.2∙ D.3（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]，因为[*]f(x)=f(0)，所以a=3．16.下列函数中在点x=0处不连续的是______ A． B． C． D （分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 选项A中，f(0)=0，[*]f(x)在点x=0处不连续；选项B中，f(0)=0，[*]，f(x)在点x=0处连续；选项C中，f(0)=1．[*]，f(x)在点x=0处连续；选项D中，f(0)=1．[*]，f(x)在点x=0处连续．17.______∙ A.1∙ B.0∙ C.3∙ D.2（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] f(x)的间断点为x=-1，x=1．18.函数f(x)=ln(4-x2)的连续区间是______∙ A.(-∞，-2)∙ B.(-2，2)∙ C.(2，+∞)∙ D.[-2，2]（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由4-x2＞0，解得-2＜x＜2，函数f(x)=ln(4-x2)的连续区间是(-2，2)．19.x=1处______∙ A.有定义∙ B.无定义且无极限∙ C.有极限但不连续∙ D.连续（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 函数f(x)点x=1处无定义． [*] 所以函数f(x)点x=1处有极限但不连续．二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：18，分数：20.00)20.设f(x)=3x+5，则f[f(x)-2]= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：9x+14）解析：f[f(x)-2]=3[f(x)-2]+5=3[3x+5-2]+5=9x+14.21.设，则（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：由[*]，得[*] 所以[*]22.设f(x+1)=x2-3x+4，则f(x)=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2-5x+8）解析：令x+1=t，则x=t-1，得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+4=t2-5t+8.即f(x)=x2-5x+8.23.f(0)= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：当x≤0时，f(x)=cosx，则f(0)=cos0=1.24.当x∈(-∞，+∞)时，f[f(x)]=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：当｜x｜≤1时，f(x)=1，则f[f(x)]=f(1)=1；当｜x｜＞1时，f(x)=0，则f[f(x)]=f(0)=1. 综上所述，当x∈(-∞，+∞)时，f[f(x)]=1．25.y=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=ln(x2+1)(x≥0)）解析：由[*]，解得x=ln(y2+1)(y≥0)，所以[*]的反函数为y=ln(x2+1)(x≥0)．26.设f(x)=e x，g(x)=cosx，则f[g(x)]= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：f[g(x)]=e cosx.）解析：27.设y=lnu，u=cosv，v=x2+x+1，则复合函数y=f(x)= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=ln cosv=ln cos(x2+x+1)．）解析：（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：e-2）解析：[*]33.设，（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[*] 因为f(0-0)=f(0+0)=1，所以[*]34.x=1处连续，则常数a=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：3）解析：f(1)=a，f(1-0)=[*] 因为函数f(x)在x=1处连续，所以f(1-0)=f(1+0)=f(0)，因此a=3．35.x=0处连续，则常数k=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：f(0)=2，f(0-0)=[*] f(0+0)=[*] 因为函数f(x)在x=0处连续，则有f(0-0)=f(0+0)=f(0)，所以k=2．36.x=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：3）解析：已知函数为分式函数，当x=3时，函数无定义．所以函数[*]的间断点为x=3．37.x=0处______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：连续）解析：f(0)e0-1=0，f(0-0)=[*]f(0+0)=[*]，因为f(0-0)=f(0+0)=f(0)=0，所以函数[*]在点x=0处连续.三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：5，分数：60.00)求下列极限．（分数：9.00）(1). 3.00）正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先对数列用拆项法求前n项之和，再求极限． [*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题为∞-∞型未定式的极限，要用有理化的方法进行恒等变形后再求极限． [*])解析：求下列极限．（分数：9.00）(1). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求下列极限．（分数：12.00）3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(4). 3.00）正确答案：(解法Ⅰ[*] 解法Ⅱ[*])解析：(1). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 因为f(0-0)≠f(0+0)，所以[*]不存在.)解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 因为f(0-0)=f(0+0)=2，所以[*])解析：求解下列极限的反问题．（分数：24.00）(1).k的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*](x2-2x+k)=32-2×2+k=0，解得k=-3.)解析：(2).a的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*](x2+ax+6)=1+a+6=0，解得a=-7)解析：(3).a，b的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令x2+ax+b=(x-2)(x+m)=x2+(m-2)x-2m，得a=m-2，b=-2m，又[*]解得m=6，于是有a=4，b=-12．)解析：(4).a的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(此极限为∞-∞型未定式应转化为[*]型未定式，再求解．[*][*](-x2-x+a)=-1-1+a=0，解得a=2.)解析：(5).b的值，使f(x)在点x=1处连续．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于f(1)=2，且有[*] 依题意f(x)在点x=1处连续，则必有[*] 于是1+b=2，解得b=1．即当b=1时，f(x)在点x=1处连续．)解析：(6).k的值，使f(x)在其定义域上连续．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)．因为当x＜0时，[*]连续，当x＞0时，f(x)=x2-2x+3k连续，为使f(x)在其定义域上连续，则必使f(x)在点x=0处连续．[*]因为f(0-0)=f(0+0)=f(0)，于是3k=2，得[*]即当[*]时，f(x)在其定义域上连续．)解析：(7).证明方程x5+5x-1=0至少有一个正根．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明：令f(x)=x5+5x-1，则f(x)=x5+5x-1在区间[0，1]上连续，f(0)=-1＜0，f(1)=15+5-1=5＞0．根据闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一点ζ∈(0，1)，使得f(ζ)=ζ5+5ζ-1=0．即方程x5+5x-1=0在区间(0，1)内至少有一个实根．亦即方程x5+5x-1=0至少有一个正根．)解析：(8).证明方程1+x+sinx=0 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明：令f(x)=1+x+sinx，则f(x)=1+x+sinx；在区间[*]上连续， [*] 根据闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一点ζ∈[*]，使得 f(ζ)=1+ζ+sinζ=0．即方程1+x+sinx=0在区间[*]内至少有一个根．)解析：。

高等数学作业集第2章极限与连续及答案

x+ x �
（4） 1 + x − 1 − x � x ， 1 阶，等价 x = x1/8 ，1/8 阶，
12．求下列极限（1） lim
x →+∞
x sin x 2x + 3
x sin x 2x + 3 1 sin x lim = � 0 （无穷小与有界量的乘积） x →+∞ x (2 + 3 / x)
(1/ 2) n 4 4n +1 + 2n 4 + (1/ 2) n 4 + nlim →+∞ 解： = lim lim = = n →+∞ 3 ⋅ 4 n − 3n n →+∞ 3 − (3 / 4) n 3 − lim(3 / 4) n 3
n →∞
（3） lim ( n + 1 − n − n )
2 1/2
− 1 (3) cos( x 2 ) − 1 ,(4) tan( x3 )
x�
3 3 （4） tan( x ) � x [3 阶]；（3） x [1/2 阶]；（2） (1 + x 2 )1/2 − 1 � x 2 / 2 [2 阶]；
cos( x 2 ) − 1 � − x 4 / 2 [4 阶]

2 3 − x x2 2 3 − =1 + 0 − 0 =1 x x2

(5) lim
4 x3 + 3x 2 x →∞ 5 x 4 + 2 x
4 x3 + 3x 2 1 4 + 3(1/ x) 1 4 + 3(1/ x) 4 解: lim =lim =lim �lim =0 × =0 x →∞ 5 x 4 + 2 x x →∞ x 5 + 2(1/ x 3 ) x →∞ x x →∞ 5 + 2(1/ x 3 ) 5

高等数学习题详解-第2章极限与连续(精品范文).doc

【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。

(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。

(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。

(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。

(3) 正确。

(4) 错误例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。

*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。

极限-练习(基础习题)

第二章极限与连续一、判断题1. 若)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→=，则)(x f 必在0x 点连续；（）2. 当0x →时，2sin x x +与x 相比是高阶无穷小；（）3. 设)(x f 在点0x 处连续，则)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→=；（） 4. 函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =点连续；（）5. 1=x 是函数122--=x x y 的间断点；（）6. ()sin f x x =是一个无穷小量；（）7. 当0→x 时，x 与)1ln(2x +是等价的无穷小量；（）8. 若)(lim 0x f x x →存在，则)(x f 在0x 处有定义；（）9. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量；（）10. 21sin lim 0=+→x x xx ；（）11. 01lim sin 1x x x →=；（）12. 22lim(1)xx e x -→∞+=；（）13. 11,0,,0,,0,481数列收敛2；（）14. 当0x +→时，x ；（）15. 函数1()cos f x x x =，当x →∞时为无穷大；（）16. sin lim 1x xx →∞=；（）17. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量；（）18. ln(1)x +~x ；（）19. 1lim sin 1x x x→∞=；（） 20. 0tan lim 1x x x→=.（）二、单项选择题1、=+-+-→45127lim 224x x x x x （）A ．1B ．0 C ．∞D ．31 2、hx h x 220h )(lim -+→=()。

A.2xB.hC.0D.不存在 3、=+--+∞→2332lim 22x x x x x （）A ．∞B ．32C ．0D ．1 4、=+-+++∞→2113lim 2433n n n n n （）A ．∞B ．43C ．0D ．1 5、设232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则0lim ()x f x +→=() (A)2(B)0(C)1-(D)2-6、=⎩⎨⎧>+≤-=→)(lim ,0101)(02x f x x x e x f x x 则，，设() (A)1(B)0(C)1-(D)不存在7、=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=→)(lim ,01020)(02x f x x x x x x f x 则，，，设() (A)2(B)0(C)1(D)不存在8、=--=→)(lim ,11)(1x f x x x f x 则设（）A ．0B ．1 C ．1-D ．不存在 9、1lim cos x x x→∞=（）A.0 B.1C.∞ D.不存在 10、1lim sin x x x→∞=（）A.0B.1C.∞D.不存在 11、下列极限正确的是() A.11sin lim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ；C.1sin lim =∞→xx x ；D.12sin lim 0=→x x x ； 12、x mx x sin lim 0→(m 为常数)等于()A.0B.1 C.m1D.m3 / 713、n n n x 2sin 2lim ∞→等于()A.0B.1 C.x1D.x 14、=+→)2(2sin lim 0x x x x （）A.1 B.0 C.∞ D.x 15、=→2x tan3x lim 0x （）A.∞ B.23C.0 D.116、=+∞→x x x )21(lim （）A.e -2B.e -1 C.e 2D.e17、已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →-和0lim ()x f x →() (A)都存在(B)都不存在(C)第一个存在，第二个不存在(D)第一个不存在，第二个存在18、当n →∞时，1sin n n是() (A)无穷小量(B)无穷大量(C)无界变量(D)有界变量19、1x +→时，下列变量中为无穷大量的是() (A)113-x (B)112--x x (C)x 1(D)112--x x 20、函数()12x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩11x x ≠=的连续区间是() (A)(,1)-∞(B)(1,)+∞(C)(,1)(1,)-∞⋃+∞(D)(,)-∞+∞21、的连续区间为，，，⎪⎩⎪⎨⎧>=<+=00001)(2x x x x x x f ()(A)），（∞+∞-(B)），（），（∞+⋃∞-00(C)]0，（∞-(D)），（∞+022、函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，在0x =处()(A)左连续(B)右连续(C)连续(D)左、右皆不连续23、()f x 在点0x x =处有定义，是()f x 在0x x =处连续的()(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)无关条件24、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0x ,a 0x ,)x 1(x 1要使f(x)在x=0处连续，则a=（）A.0B.1C.e 1D.e 25、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x a x x x x f 在x=0处连续，则常数a=（）A.0B.1 C.2D.326、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0011)(x k x x x x x f ，，在0=x 点处连续，则k 等于() A.0；B.1；C.21；D.2； 27、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x x x x f ，　，在点0=x 处连续，则k 等于() A.0B.41C.21D.2 28、若函数1,13,1x x y x x -≤⎧=⎨->⎩在1x =处是（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.非无穷型的第二类间断点29、则下列说法中正确的是，，设,0001)(2⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=x x x e x f x ()(A)个间断点有1)(x f (B)个间断点有2)(x f(C)个间断点有3)(x f (D)无间断点)(x f30、的间断点个数是设434)(2---=x x x x f () A.0B.1 C.2D.3二、填空题1、0lim h h →=___________；2、711lim 1x x x →-=-______； 3、1253lim 22-+∞→n n n n =_______；4、sin lim x x x→∞=_______；5 / 75、=-∞→xx x x sin lim ____________．6、=--→)sin()(lim x a a x a x 7、=→x x x 3sin lim 0.8、2lim(1)x x x→∞-=________； 9、=-++∞→]ln )2[ln(lim x x x x _________10、0ln(13)lim sin 3x x x →+=_________； 11、,14lim 231存在-+--→x ax x x x 则a =______； 12、当0x →时，1cos x -是比x ______阶的无穷小量；13、当0x →时，若sin 2x 与ax 是等价无穷小量，则a =______；14、当0x →23是______（同阶、等价）无穷小量.15、函数922-+=x x y 在_______处间断； 16、11设21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在0x =处________（是、否）连续； 17、设sin 2,0(),0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩连续，则a =_________；18、设,0()ln(1),0a x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩在0x =连续，则常数a =。

函数极限与连续习题(含答案)

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。

函数的极限与连续训练题1、已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限（2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续（3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续（4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。

其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若a x f x x =→)(lim 0，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0C 、)(x f 在0x x =处可以无意义D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x3、下列命题错误的是（ D ）A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 00x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、1lim 0=→x xx B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→xb ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3)(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在8、=--→33lim a x ax a x （ D ）A 、0B 、1C 、32aD 、323a9、当定义=-)1(f 2 时，xx x f +-=11)(2在1-=x 处是连续的。

经济数学(极限与连续习题及答案)

第二章函数的极限与连续习题 2－11.写出下面数列的前5项，并观察当n —>∞时，哪些数列有极限，极限为多少? 哪些数列没有极限.{}{}{}{}{}{}{}211(1) 1 (2) 21(3) (4) (1)11(1)(5) sin (6) 2n n n nn n n n n n x x n n x x nn x x n π⎧⎫-⎪⎪⎧⎫=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭-⎧⎫==-⎨⎬+⎩⎭⎧⎫+-⎪⎪⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭解（1）3231,1615 ,87 ,43 ,21 有极限 , 极限为 1.(2)524,415 ,38 ,23 ,0 没有极限. (3)64,53 ,42 ,31 0, 有极限 , 极限为 1. (4) －1, 2, －3, 4, －5 没有极限.(5)5sin,4sin ,3sin ,2sin ,sin πππππ, 有极限 , 极限为 0 . (6) 0, 1, 0 , 1, 0 没有极限 . 2. 用极限的定义证明：(1) 若k >0，则 1lim0kn n →∞=n 212(2) lim313n n →∞+=+解 (1) 因为对任给的ε> 0，要使不等式110(0)k kk n n ε-=<>11().kn ε>即便可所以对任给的ε> 0, 取正整数 N =11[()]1kε+ , 则当n >N 时, 就恒有 10kn ε-<故由数列极限的定义知, 1lim0kn n →∞=.(2) 因为对任给的ε > 0, 不妨设10ε<3<，要使不等式2121ε31393n n n +-=<++11(3) 9εn >-即便可.所以对任给的ε> 0, 取正整数N = 11[(3)]19ε-+, 则当n > N 时, 就恒有 212313n n ε+-<+故由数列极限的定义知,3213n 12n lim=++∞>-n .3. 设 120.9,0.99,,0.999,lim .nn n n x x x x →∞===求如果要使x n 与其极限之差的绝对值小于 0.0001 , 问n 应满足什么条件?解因为0.999,lim 1, 0.0001,n n n n x x ε→∞===由则取要使110.000110000n x -<=110.999910000n x >-=只要便可.所以n > 4 .4. 设数列｛x n ｝有界，且lim 0, lim 0.n n n n n y x y →∞→∞==证明证因为数列｛x n ｝有界, 所以存在正整数M > 0, 使得nx < M,又因为0lim =∞→n n y , 则对任给的M ε> 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时, 就恒有0n y M ε-<所以对任给的ε> 0, 存在正整数N , 使得当n >N 时, 就恒有n n n n x y x y M Mεε=<⋅=故由数列极限的定义知, .0lim =∞→n n n y x5. 设数列｛x n ｝收敛, 求证数列｛x n ｝必定有界.解由数列｛x n ｝收敛, 设Ax n n =∞→lim .因为对于任意ε > 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时的一切x n , 就恒有 n x A ε-<即n A x A εε-<<+所以对任给的ε > 0,取正数{}12max ,,,,,,N M x x x A A εε=+-使得当n > N 时 ,就恒有 n x M <故数列｛x n ｝必定有界.习题 2－21. 用极限的定义证明：2324(1) lim(31)8 (2) lim 4223(3) lim 2 (4) lim 20x x x x x x x x x x →→-→∞→-∞--==-++==解 (1)因为对任给的ε> 0, 要使不等式|(3 x – 1) – 8| =|3(x – 3)| < ε只要取正数δ= ε3就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε3,使得当0 < | x – 3|<δ时, 就恒有|(3x – 1) – 8| < ε故由极限定义知 3lim(31)8x x ->-=.(2)因为对任给的ε > 0, 要使不等式244242ε2x x x x -+=-+=+<+只要取正数δ= ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数δ= ε, 使得当0<|x + 2|<δ时, 就恒有244ε2x x -+<+ 故由极限定义知 224lim 42x x x →--=-+.(3)因为对任给的ε> 0, 要使不等式2332εx x x +-=<,则 |x |> 3ε, 只要取正数M = 3ε就可以了.所以对任给的ε> 0, 取正数M =3ε, 使得当| x | > M 时, 就恒有 232εx x +-<故由极限定义知 23lim 2x x x ->∞+=.(4)因为对任给的ε> 0 (不妨设0<ε<1), 要使不等式ln 202, ln 2x x x εε-=<<即 ln ln 2M ε=只要取正数就可以了.所以对任给的ε>0,取正数2ln ln ε=M , 使得当x <-M 时, 就恒有20x ε-<故由极限定义知 lim 20x x ->-∞=.2*. 当x →-2时，x 2→4. 问δ等于多少，在0<|x + 2|<δ时, 有| x 2 - 4|< 0.003 ?解因为当x→-2时，x -2 →-4, 取 ε= 0.003, 要使不等式 | x 2 - 4|=| x + 2| | x – 2 |< ε设21x +<, 即有 -3< x <-1, -5< x -2 <-3 所以当2x -< 5时，取0.0035δ==0.0006, 有240.003x ε-<=.3*. 当x —>∞ 时，102x →-. 问M 等于多少时，在|x |> M 时, 有100.012x -<-?解因为当x —>∞ 时，要使不等式100.012x -<-2100, 102.x x ->>只要便可即M = 102.4. 设函数1, 0() 0, 01, 0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩, 讨论当x —> 0时，f (x )的极限是否存在.解 00lim ()lim (1)1x x f x x --→->=-=-因为00lim ()lim (1)1lim ()lim ()lim ()x x x x x f x x f x f x f x ++-+→->→→->=+=≠即故不存在.5. 证明函数f (x ) = x | x |, 当x →0时极限为零.22, 0(), 0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩解因为--20020lim ()lim ()0lim ()lim 0lim ()0.x x x x x f x x f x x f x ++→→→→→=-====即故6* . 利用定义证明：0, 11lim , 01x x a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 证因为当a >1时，对任意ε> 0，不妨设0<ε<1, 要使110x x a a ε-=<1ln ln x a ε->只要取正数便可.所以对于0<ε<1，1ln 0,,ln M x M a ε->>取=当时就恒有10xa ε-<即 1limx x a →+∞=.又因为当0< a < 1时，令11b a =>时，由上述可得1 lim 0x x b →+∞=于是 1lim lim x x x x b a →+∞→+∞==+∞故由极限定义知0, 11lim, 01xx a a a →+∞>⎧=⎨+∞<<⎩. 7.设函数21, 2()2, 2x x f x x k x ⎧+≥=⎨+<⎩, 问当k 取何值时，函数f (x )在x —> 2时的极限存在. 解 2lim (), ,x f x ->因为要使存在必须左右极限存在且相等222lim (1)5lim (2)4 1.x x x x k kk ->->+==+=+=＋－即解得故 2lim () 5.x f x ->=8. 求(),()x xf x x x x ϕ==当x —> 0时的左、右极限，并说明它们在 x —> 0时的极限是否存在.解 1 , 0(), 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩因为不存在 0lim () lim101 , 0()1, 0x x f x x x x ϕ→→==>⎧=⎨-<⎩即而习题 2－31. 1. 求下列极限：3222010203031222042412(1)(1) lim (2) lim2(2)(23)31(3) lim (4) lim()1(13)112((5) lim[ ] (6 ) limx n x x n h x x x n x x n x x x x x n x n n n→→∞→∞→→∞→-++++-+------++++222) (7) x x h x h →→-解 322200424424(1)lim lim 2.22x x x x x x x x x x →→-+-+==++22102010202030303012(1)(1)1(2) lim=lim =.2223(1)(2)(2)(23)2(3) lim lim .1(13)3(3)n n x x n n n n n x x x x x x →∞→∞→∞→∞+++------==-- 233112122222313(1)(4) lim()lim111(2)(1)lim 1.(1)(1)1212 (5) lim[]lim1(1)1lim .22 (6) lim x x x n n n h x x x x x x x x x x n nn n n n n n n →→→→∞→∞→∞-++-=---+-==-++++++++=+=⋅=222000200()2lim lim(2)2.(7)lim(1 2.(8) h h x x x x x x h x xh h x h x h h →→→→→→→→+-+==+===-=-= 4x x →→===2. 求下列数极限：n n n n n n 1(1)(1) lim111(3) lim[]1223(1)(1) 0.1(1)(2) lim 0.nnnn n n →∞→∞→∞→∞→∞+-+++⨯⨯⨯+==+-= 解111(3) (1)1n n n n =-⨯++因为111 lim[]1223(1)11111lim[(1)()()]22311lim(1) 1.1n n n n n n n n →∞→∞→∞+++⨯⨯⨯+=-+-++-+=-=+ 故2. 2. 设 22lim()51x x ax b x →∞--+=--, 求常数a, b 的值.解 222(1)()2lim ()lim 511x x x a x b a x bax b x x →∞→∞--++---+==---由1051, 6.a a b a b -=⎧⎨+=-⎩==-得故3. 3. 若常数k 使233lim 222-++++-→x x k kx x x 存在, 试求出常数k 与极限值. 解 2222233lim lim (2)02x x x kx k x x x x →-→-++++-=+-由己知存在,且 22lim (33)150 15.x x kx k k k →-+++=-==所以得22222315183(2)(3)limlim2(2)(1)3(3)lim 1.1x x x x x x x x x x x x x →-→-→-++++=+-+-+==--则5. 求下列函数的极限：12100(1)1ln(1) (1) lim(2) limln(1)nx x x x x xx x →→∞+--+++解1(1) (1) , 1,n nx t x t +==-令当0x →时, 1t →, 则 1120112221010910910(1)1111limlimlim .1(1)(1)11ln (1)ln(1)(2) lim lim11ln(1)ln (1)112ln ln(1)2 lim lim 1110ln ln(1)nn n n x t t x x x x x t t x nt t t t x x x x x x x x x xx x x x x x --→→→→∞→∞→∞→∞+---===--+++-+-+=+++++-++==+++ 91011ln(1)/ln 1110ln(1)/ln 15xx x xx x-++++=6 .求下列曲线的渐近线： 3222122(1) (2) 232(3) 2 (4) 21x x x y y x x x x xy y x --==+---==-解332(1) (3)(1)23x x y x x x x ==+-+-3321133233lim lim (3)(1)231;lim lim(3)(1)233;x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-→-==∞+-+-===∞+-+-=- 因为所以是铅垂渐近线因为所以是铅垂渐近线 323222lim lim 1(23)23 lim[]lim 223232.x x x x y x x x x x x x xx x x x x y x →∞→∞→∞→∞==+--+-==-+-+-=- 又因为且所以是斜渐近线2222222222121102 (2) lim 121;2lim 222lim lim 221,2. (3) lim 21 lim 2x x x x x xxx x x x x y x x x x x x x x x x x -→∞→→→-→--→∞→-=--=-==∞----==∞----=-===∞因为所以是水平渐近线又因为且所以是铅垂渐近线因为且所1,0.y x ==以是水平渐近线是铅垂渐近线212(4) lim211.2x xx x →=∞-=因为所以是铅垂渐近线2221lim lim (21)22(21)11lim[]lim lim 2122(21)4241124x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞==----===---=+又因为且所以是斜近渐近线.7. 已知 2200012000lim 0,,.x x x x b a b x a →+++-=≠- 求的值解 2200012000lim x x x x b x a →+++-=- 由己知存在习题 2－41. 1. 利用极限存在准则，计算下列各题:22221111 (1)lim[] (1)(2)()(2)limn n n n n n n →∞→∞+++++++解2222111111(1)4(1)(2)()n n n n n n n ≤++++≤+++ 因为222211lim lim 041111lim[]0.(1)(2)() (2)1sin 1,n n nn n n n n n n n →∞→∞→∞==++++=+++-≤≤≤且所以因为则有lim lim lim 0.n n n →∞→∞→∞===所以 2.求下列极限：0022021sin (1) lim (2) lim cot 2sin 22(3) lim (4) lim sin tan 3sin(1)(5) lim (6) li 1x x x x x kxx xxx x x x x x →→→→∞→--01cos msin sin (7) lim (8) lim 2sin 2x n nx n xx x x xx ππ→→→∞-- 解 00sin sin (1) lim lim .x x kx kxk k x kx →→==0021(2) lim cot 2lim .2tan22x x x x x x →→==0022222221112000sin 2sin 2322(3) lim lim .tan 32tan 333222(4) lim sin lim 2sin / 2.sin(1)sin(1)(5) lim lim lim(1) 2.112sin s 1cos 2(6) lim lim2lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→∞→∞→→→→→→=⋅⋅===--=⋅+=---==20in 22sin cos22sin 112 lim cos .2222x x x x x x x →=⋅=00sin()sin sin (7) limt lim lim = 1.(8) lim 2sin lim sin /.222x t t n n n n n n t x tx x t tx x xx x ππππ→→→→∞→∞+-=-=--== 3.求下列极限：123sec 03(1) lim (1) (2) 121 (3) lim () (4) lim ()23 (5) lim (1cos ) (6) lim x x x x xx x x x x xx x x x x π+→∞→→∞→∞→→++-++2112cot0(12sin ) (7) lim(14) (8) lim(13tan )xxxxx x x x x -→→+-+解 3133333(1) lim (1) lim (1)(1).xx x x e x x x ⋅+→∞→∞+=++=11(3)330222(2) lim(13)lim(13)].11(3) lim() lim(1) .x x x x x x x x x x x e x e x x---→→→→∞→∞=-=-=+=+=23113()2()232222133sec cos 1121132(4) lim ()lim ()lim (1)lim (1)323221213 lim (1)lim (1).22(5) lim(1cos ) lim(1cos )x x x xx x x x x x x x x x xx x x x x x x xe e e x xx x ππ-→∞→∞→∞→∞⋅⋅--⋅----→∞→∞→→--==-⋅+++=-⋅+=⋅=+=+223112sin 22sin 011(44)440132cot 233tan 022000.(6) lim(12sin)lim(12sin).(7) lim(14) lim(14).(8) lim(13tan )lim(13tan).1001 4.lim ()5xx xx xx x xx xx x x xx x x x c x e x x e x x e x x e x e x →→-⋅---→→⋅→→+→∞=+=+=-=-=+=+=+=-已知,.c 求解 220001001lim()5x x x x +→∞+-由510062200010065201210061001 lim (1)lim ()552012.x x x x x c x x x e e c -⋅-→∞→∞+=+⋅--===故习题 2－51.下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷大量？3211(1) (2) 1(2) (4) ln(1)x x y y x x y e y x --==-==+解（1）因为 301lim x x →=∞,所以当0x →时，31y x =是无穷大量. 又因为 31lim 0x x →∞=，所以当x →∞时，31y x =是无穷小量. （2）因为21111lim lim 11x x x x x →-→--==∞+-，所以当1x →-时,21 1x y x -=-是无穷大量. 又因为 211lim lim 011x x x x x →∞→∞-==+-，所以当x →∞时，21 1x y x -=-是无穷小量. （3）因为lim x x e -→-∞=∞，所以当x →-∞时, xy e -=是无穷大量.又因为lim 0x x e -→+∞=，所以当x →+∞时,xy e -=是无穷小量. （4）因为1lim ln(1)lim ln(1)x x x x +→+∞→-+=∞+=∞或，所以当x →+∞,1, ln(1)x y x +→-=+时或时是无穷大量.又因为0lim ln(1)0x x →+=，所以当0 , ln(1)x y x →=+时是无穷小量.2．当0x →时，指出关于x 的同阶无穷小量、高阶的无穷小量、等价的无穷小量.22211,sin ,cos 1,(1),sin .2xx x e x ---解因为12x x →→==所以当0x +→时，与x1-；又因为 2200sin sin lim lim 0x x x x x x →→==200cos 1lim lim 02x x x x x x →→-=-= 所以当0x +→时，比x 高阶的无穷小量有2sin x ，2sin x ，cos 1x -；又因为 2001(1)122lim lim 12xx x e x x x →→-=⋅=所以当0x →时，与x 等价的无穷小量有21(1)2xe -.3.把下列函数表示为常数(极限值)与一个当x —>∞时的无穷小量之和的形式.3333(1)() (2) ()121x x f x f x x x ==-+解（1）因为33lim 11x x x →∞=-,所以3331() 111x f x x x ==+--. （2）因为 33311lim lim 0 22142x x x x x →∞→∞-==++且所以311()242f x x =-+. 4．证明：当x —>0 时，(1) e x -1 ∽ x ； (2) arcsin x ∽ x .解（1）100011lim 1lim lim 1ln(1)ln(1)x x x x x te t t e x t t →→→-=-==++令.（2）00arcsin limarcsin lim 1sin x t x tt x x t →→==令.5．利用等价替换原理, 计算下列极限：sin 2002000sin 31(1) lim (2) limsin tan 52ln(123)(3) lim (4) limsin()arcsin 2(5)lim(6) lims (sin )xx x x x n mx x x x e x xx x x x x x x →→→→→→-+-233in 235(7) lim(8) lim42tan x n xx x x x x→+-+解（1）因为当0x →时，sin33,sin ,tan5522x xx x x x所以 00sin336limlim 5sin tan5522x x x x x x x x x x →→⋅==⋅⋅.（2）因为当sin 2sin 0,12xxx e →-时所以sin 2001sin 1limlim22x x x ex x x →→-==. （3）因为当220,ln(123)23x x x x x →+-- 时所以 22000ln(123)23lim lim lim(23)2x x x x x x x x x x →→→+--==-=. （4）因为当0,sin 22x x x → 时所以x x →→=00 4x x →→===.（5）因为当0,sin ,sin n nx x x x x → 时所以 000, sin lim lim 1, (sin ), nnm mx x n mx x n m x x n m →→>⎧⎪===⎨⎪∞<⎩.（6）因为当0,arcsin 22,sin x x x x x → 时所以 00arcsin 22limlim 2sin x x x xx x →→==. （7）因为当230,,x x x x →时都是比更高的无穷小所以 233002352lim lim 12tan 2tan x x x x x x x x x →→+-==+.(8)因为当n →∞limlim0.n n ==所以6. 设x —>0 时, 函数122(1)1cos 1kx x +--与为等价无穷小量，求常数k 的值.解因为 12220021(1)12lim lim 11cos 12x x kxkx k x x →→+-==-=--所以 k = －1.*7. 求下列函数的极限：)tan 1ln(cos sin 1lim )1(20x xx x x +-+→ 11(2)lim ()x x x x a b →+∞-)]11ln(sin )31ln([sin lim )3(x x x x +-+∞→解0x →(1)0 x →=因为222210,1cos ,ln(1tan )tan 2x x x x x x →-+当时所以201sin cos lim 2x x x x x x →→+-=2001cos sin 113limlim 24242x x x x x x →→-=+=+=.(2)111111(1)(1)lim ()limlim11x x x xx xx x x a b a b x a b x x →+∞→+∞→+∞-----==11(1)(1)limlim11xxx x a bx x →+∞→+∞--=-因为当1,0x x →+∞→时,11111ln ,1ln xxa ab bx x --11lim()ln ln lnxxx ax a b a b b →+∞-=-=所以31(3)lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x →∞+-+31sin ln(1)sin ln(1)limlim 11x x x x x x →∞→∞++=-因为当x →∞时,333sinln(1)ln(1)x x x ++111sin ln(1)ln(1)x x x ++31lim [sin ln(1)sin ln(1)]31lim lim 31 2.11x x x x x xx x x x →∞→∞→∞+-+=-=-=所以习题 2－61.求函数 x y +=1 在x = 3, ⊿x = -0.2时的增量⊿y . 解因为()()y f x x f x ∆=+∆-=3,0.2,2x x y =∆=-∆-= 由所以2.利用连读函数的定义，证明下列函数在 x = 0 点的连续性.21(1)()1()21arctan , 10, 0(3)() (4) () 1, 01 0, 0x f x f x x x xx x f x f x xx x x x +=+=-⎧⎧-<<≠⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≤<=⎩⎩解 (1)因为(0)(0)1y f x f ∆=+∆-=lim lim 1)0()10.x x y f x x ∆→∆→∆===+=且所以在处连续(2)因为21(0)(0)121x y f x f x ∆+∆=+∆-=+∆-2020001lim lim (1)110211()0.210, (0)0,lim ()lim (1)1,lim ()lim 11lim ()()0x x x x x x x x y x x f x x x x f f x f x f x f x x --++∆→∆→→→→→→∆+∆=+=-+=∆-+==-===-=-===且所以在处连续 (3)因为在时且所以不存在,故在不连续.0000,(0)1,arctan lim ()lim arctan lim 1tan x x t x f x tf x t x x t ---→→→===== (4)因为在时且00lim ()lim (1)1lim ()1(0)arctan , 10() 0.1, 01x x x f x x f x f xx f x x x x x ++→→→=-===⎧-<<⎪==⎨⎪-≤<⎩所以在处连续3. 求下列函数的间断点, 并指出间断点的类型. 若是可去间断点，则补充定义，使其在该点连续.221(1)() (2) ()ln(21)(1)x x f x f x x x x -==--1, 11arctan , 0(3)()2, 10 (4) () 0, 01 sin , 02x x x f x x x f x xx x x x -⎧≤-⎪⎧⎪≠⎪=+-<≤=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪<≤⎩ 解(1)0,1,1() ,x x x f x ==-=因为在处没有定义 () 0,1,1. f x x x x ==-=所以在处间断而0000(1)lim ()lim 1(1)(1)(1)lim ()lim 1(1)(1)x x x x x x f x x x x x x f x x x x --++→→→→-==---+-==-+ 故 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.又因为 11(1)1lim ()lim (1)(1)2x x x x f x x x x →→-==-+所以 x = 1是()f x 的可去间断点，补充定义1(1)2f =. 又因为111(1)lim ()limlim (1)(1)(1)x x x x x x f x x x x x x →-→-→--===∞-++所以x = -1是()f x 的无穷间断点.(2) 因为1x =在处()f x 没有定义, 且111lim ()limln(21)x x f x x →→==∞-所以x = 1是()f x 的无穷间断点.(3)因为(1)1,f -=且11111 lim ()lim 1,lim ()lim (2)1x x x x f x xf x x --++→-→-→-→--===+=则1lim ()(1) 1.x f x f →-=-=所以x = 1是()f x 的连续点.(0)2, lim ()lim (2)21 lim ()lim sin0x x x x f f x x f x x x --++→→→→==+===又因为且所以 0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.0000(4)(0)0,1lim ()lim arctan21lim ()lim arctan 2x x x x f f x x f x x ππ--++→→→→===-==因为且所以0lim ()x f x →不存在，x = 0是()f x 的跳跃间断点.4.讨论下列函数的连续性，并作出函数图形.2211(1)()lim(0) (2) () lim11nnnn n x f x x f x xx x →∞→∞-=≥=++解 (1) 因为1, 011()lim0, 11n n x f x x x →∞≤≤⎧==⎨>+⎩ （函数图形见图2－1）且11(1)1,lim ()1,lim ()0x x f f x f x -+→→===所以x = 1是()f x 的间断点.图2－122 , 11 (2)()lim0 , 11 , 1nnn x x xf x x x x x x →∞⎧<⎪-=⋅==⎨+⎪->⎩因为（函数图形见图2－2） 1111(1)0lim ()lim ()1 lim ()lim 1x x x x f f x x f x x --++→-→-→-→-±==-===-且1111lim ()lim 1 lim ()lim ()1x x x x f x x f x x --++→→→→===-=- 图2－211lim (),lim ()x x f x f x →-→所以都不存在.因此x = 1，x = -1是()f x 的跳跃间断点.5.已知2, 01() 2, 1ln(1), 13ax b x f x x bx x ⎧+<<⎪==⎨⎪+<≤⎩,问当 a , b 为何值时,()f x 在 x =1 处连续.解因为(1)2,f =且21111lim ()lim () lim ()lim ln(1)ln(1)x x x x f x ax b a b f x bx b --++→→→→=+=+=+=+若函数()f x 在x = 1处连续，则必须 1lim ()2x f x →=.即 2ln(1)2a b b +=⎧⎨+=⎩解之，得223,1a e b e =-=-. 6.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求 )(lim ),(lim ),(lim 32x f x f x f x x x -→→→.解因为323223333()(3)(2)6x x x x x x f x x x x x +--+--==+-+-所以()(,3)(3,2)(2,),f x -∞-⋃-⋃+∞的连续区间是且3200331lim ()lim (3)(2)2x x x x x f x x x →→+--==+-322223233333lim ()lim (3)(2)(3)(1)338lim ()lim lim (3)(2)(3)(2)5x x x x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x →→→-→-→-+--==∞+-+-+--===-+-+-7.设函数()f x 在[a , b ]上连续，且(),()f a a f b b <>,证明在(a , b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ) = ξ.证 [][] ()(),(),,(),F x f x x f x a b F x a b =-设由已知在上连续则在上 (),(),()()0,()()0f a a f b b F a f a a F b f b b <>=-<=->连续.又因为所以故由零值定理知，在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0，即 ()f ξξ=.8.设函数()f x 在[a , b ]上连续，12n a x x x b <+++< , 求证在(a , b )内至少有点ξ,使n x f x f x f f n )()()()(21+++=ξ证因为()f x 在[a , b ]上连续，则1()[,]n f x x x 在上也连续.由最大最小值定理知，1()[,]n f x x x 在上存在最小值m ,最大值M ，取12()()()((),1,2,,),n i f x f x f x C m f x M i n nm C M +++=≤≤=≤≤ 则由介值定理知, 在(a , b )内至少有点ξ,使12()()()()n f x f x f x f C n ξ+++==.9. 证明方程331x x -=至少有一个根介于1和2之间.证设3()31F x x x =--,由于F （x ）在[1，2]内连续，且(1)30,(2)10F F =-<=>由零值定理知，在（1，2）内至少存在一点ξ，使得F （ξ）= 0.即 331ξξ-=.故方程331x x -=在[1，2]内至少有一个根.综合习题二1.选择填空：(1) 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) .① 必要条件 ② 充分条件 ③ 充要条件 ④ 无关条件(2) 当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. ① tan2 x②x③ 1ln(12)2x + ④ x (x +2)(3) 设0, 0(), lim (), 0x x e x f x f x ax b x →⎧≤=⎨+>⎩若存在, 则必有( ) .① a = 0 , b = 0 ② a = 2 , b = －1③ a = －1 , b = 2 ④ a 为任意常数, b = 1(4)若3116x →=-,则 f (x ) = ( ) . ① x +1 ② x +5③(5) 方程 x 4 –x – 1 = 0至少有一个实根的区间是( ) .① (0,1/2) ② (1/2, 1) ③ (2, 3) ④ (1, 2)(6)函数10()ln x f x x -的连续区间是( ) .① (0, 5) ② (0, 1) ③ (1, 5) ④ (0, 1) ∪(1,5)解（1）①; （2）③; （3）④; （4）③; （5）②; （6）④. 2.计算题：03sin()3(1) lim (2)lim12cos sin (3) (4) lim 0)x x x x n x ax e e x x a αβππ+→→→∞→---->2300cot 2022tan sin (5)lim (6)sin 11(7)lim(cos ) (8) lim (1)4(9)lim 1x x x nx n xx x x xx n nx x →→→→∞→∞-++⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ (10)lim [ln ln(2)]n n n n →∞-+解 333sin()sin()sin()333(1) lim= lim lim 112cos 2(cos )2(cos cos )23x x x x x x x x x πππππππ→→→---=---33001112sin ()cos ()cos ()1232323 lim lim 11124sin ()sin ()sin ()232323(1)(1)(2) lim limsin sin 0,1,1,sin x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e x xx e x e x x x ππαβαβαβππππππαβ→→→→-⋅--===+⋅-+----=→-- 因为当时所00 lim lim .sin x x x x e e x xx xαβαβαβ→→--==-以(3)1lim2limnn nn→∞→∞====3200(4) lim lim limlimlimtan sin tan1cos(5) lim limsinx a x a x ax ax ax xx x x xxx x+++++→→→→→→→-=-=-=--=⋅22001lim.22(6) limlimtan sin1tan1cos1lim lim.2(1cos)21cos2xxxx xx xx xx x x xx x x x→→→→→=⋅==--==⋅⋅=--221cot(cos1)cot cos100(7)lim(cos) =lim(1cos1)x xx xx xx x⋅⋅--→→+-因为222001cos112lim lim2tanx xxxx x→→--==-21cot2lim(cos).xxx e-→=所以22111()11221111(8) lim(1)lim(1)nn nn n nn nn nn n⋅⋅++→∞→∞++=++因为211lim()1nnn n→∞⋅+=211lim(1).nnen n→∞++=所以2222414(9)lim=lim111xxx xx xxx→∞→∞⎛⎫-⎪⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭-⎪⎝⎭2212222(1)(1)lim (1)lim (1) =lim =1111(1)(1)lim (1)lim (1) 1.(10)lim [ln ln(2)]lim ln()21 lim ln 2(1)x x x xx x x x x x xx x n n n n nx x x x x x x xe e e en n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞--→∞→∞→∞-+-+-+-+⋅==⋅-+=+==+22lim ln(1)ln 2.n n e n →∞-+=-=-2. 1. 设 10sin , 02() , , lim ()(1), 0x x x x x f x a f x ax x →⎧<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩试求使得存在.解00sin 1lim ()lim 22x x x f x x --→→==因为 10000 lim ()lim (1) lim ()lim ()1,ln 2.2a x x x x x a f x ax e f x f x e a +-+-→→→→=+====-则所以即 3. 2. 作出函数()lim 1txtx t x e f x e →+∞+=+的图形，并指出间断点.解由已知可得1, 0()lim , 01tx tx t x x e f x x x e →∞≥⎧+==⎨<+⎩ 则函数图形见图2－3.00 lim ()0lim ()1x x f x f x -+→→=≠=因为 0().x f x =所以是的跳跃间断点5. 求函数tan 32(3)x y x x =-的可去间断点. 图2－3 解因为tan 32(3)x y x x =-在x = 0，x = 3处无意义,所以x = 0，x = 3都是函数f (x )的间断点.但 00tan 331lim lim 2(3)2(3)2x x x x x x x x →→==--- 故 x = 0是f (x )的可去间断点.而 3t a n 3l i m 2(3)x x x x →=∞- 故 x = 3是f (x )的无穷间断点.6.设f (x )在点 x = x 0 处连续且 f (x 0)> 0, 试证在x 0 的某个邻域内有f (x )> 0.证由已知f (x )在点 x = x 0 处连续，则00lim ()()x x f x f x →=.取00()0,0,02f x x x εδδ=>∃><-<使得时，恒有00()(),()()f x f x f x f x εεε-<→-<-<故 0000()()()()()022f x f x f x f x f x ε>-=-=>. 7. 设本金为p 元，年利率为r, 若一年分为n 期, 存期为t 年, 则本金与利息之和是多少 ? 现某人将本金p = 1000元存入果银行, 规定年利率为 r = 0.06, t = 2, 请按季度、月、日以及连续复利计算本利和，并作出你的评价.解依题意，第一期到期后的利息为本金×利率=r p n ⨯ 第一期到期的本利和是本金＋利息=(1)r r p p p n n +⨯=+若按总利计算，第二期到期的本利和为 2(1)(1)(1)r r r r p p p n n n n+++⨯=+第n 期到期后的本利和为 (1)n r p n +存期若为t 年（事实上有t n 期），到期后的本利和为 (1)tnr p n + （*）由题设p = 1000 ，r = 0.06, t = 2,（1）（1）一年分为四季，取n = 4带入得（*）式，得2480.061000(1)1000 1.0151126.494⨯⨯+=⨯≈（2）（2）一年分为12个月，取n =12带入得（*）式，得 212240.061000(1)1000 1.0051127.1612⨯⨯+=⨯≈（3）（3）一年分为365天，取n = 365带入得（*）式，得 23657300.061000(1)1000 1.0001643841127.49365⨯⨯+=⨯≈（4）连续取息就是在（*）式中令n →+∞，得 20.120.060.120.060.06lim 1000(1)1000lim [(1)] 10001127.50n n n n n ne ⨯→+∞→+∞⨯+=⨯+=⨯≈ 结论是：用复利计算时，按季、月、日以及连续复利计算所得结果相差不大.8.证明方程sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一个正根，并且它不超过a b +. 证设()sin F x x a x b =--，显然F （x ）在[0，a b +]上连续，(0)0(0)()sin()[1sin()]0F b b F a b a b a a b b a a b =-<>+=+-+-=-+≥又则若()F a b +=0，则a b +为方程F （x ）= 0的正根;若()F a b +>0，则由零值定理，至少有一点(0,)a b ξ∈+使得F （x ）= 0，即sin a b ξξ=+.。

微积分习题答案第二章极限与连续

练习2.11.写出下列数列的前五项.()12312+-=n n a n (n=1,2,3,…) ()23)1(1n nn a --= (n =1,2,3, …)()3n n na )11(+= n=1,2,3, …)()4)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …)，其中x 是固定的实数.解：()1由2312+-=n n a n (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 51，83，115，147，179. ()2由3)1(1nnn a --= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为２，０，332，０，352. ()3由n n na )11(+= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为２，2)23(，3)34(，4)45(，5)56(.()4由)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …) 得数列的前五项为!1x，!33x -，!55x ，!77x -，!99x .2.做出下面各数列在数轴上的点，并说出哪些数列有极限？哪些没有极限？()1n n a 21=()2n nna )1(-= ()3n n n a 1)1(-= ()41+=n n a n ()5n n a n πsin 1= ()62sin πn n a n =. 解：作图略.()1有极限为0 ()2没有极限 ()3有极限为0 ()4有极限为1 ()5有极限为0 ()6没有极限.3*（略） 4*（略） 5*（略）6.设()⎩⎨⎧≥-<=1,131,x x x x x f ，作()x f 的图形，并讨论当1→x 时()x f 的左右极限，问)(lim 1x f x → 是否存在？解：图略.因为 2)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1=-→x f x)(lim )(lim 11x f x f x x -+→→≠所以)(lim 1x f x →不存在.7.求下列函数在指定点的极限.()1xx x f ||)(=在0=x 处 ()2⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x ，1=x ，2=x 处. 解：()1⎩⎨⎧-==11||)(x x x f Θ00<>x x 11lim )(lim 00==++→→x x x f ，11lim )(lim 0-=-=--→→x x x f所以xx x f ||)(=在0=x 处极限不存在. ()24)4(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ，4)4(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x 处极限为4.1)12(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，5)4(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在1=x 处极限不存在.3)12(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x ，3)12(lim )(lim 22=-=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在2=x 处极限为3.8.下列函数在什么情况下是无穷大量，什么情况下是无穷小量？()111-=x y ()2x y ln = ()32x y = ()4x e y =.解：()1当1→x 时11-=x y 是无穷大量，当∞→x 时11-=x y 是无穷小量.()2当+∞→x 时x y ln =是无穷大量，当+→0x 时x y ln =是无穷大量，当1→x 时x y ln =是无穷小量.()3当∞→x 时2x y =是无穷大量，当0→x 时2x y =是无穷小量.()4当+∞→x 时x e y =是无穷大量，当-∞→x 时x e y =是无穷小量.9.下列各题中哪些是无穷小，哪些是无穷大？()1221,0xx x +→ ()212,0-→-x x()3x x lg ,0+→ ()4θθθsec 1sin ,0+→.解：()1、()3是无穷大，()2、()4是无穷小. 10.下列说法是否正确？()1无穷大量是极限为无穷大的变量()2无穷大量是无界变量，无界变量也是无穷大量 ()3无极限的数列一定无界.解：()1不正确。

《高等数学一》第二章极限与连续历年试题模拟试题课后习题集(汇总)(含规范标准答案解析)

第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]6、（）.A、0B、∞C、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）. A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）.A、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]10、函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1.[单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）. A、B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确.[单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个. [单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctan x【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，. [单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=. [单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]24、极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】x=1时，分母为0，无意义。

高等数学极限与连续(习题)

第二章极限与连续习题2-11、观察下列数列的变化趋势,判别哪些数列有极限,如有极限,写出它们的极限. (1)nn a x 1= )1(>a ；有. 0lim =∞→n n x .(2) nx n n 1)1(1--=；有. 0lim =∞→n n x .(3) n x n n 1)1(--=；无.(4) 2sin πn x n =；无.(5) 11+-=n n x n；有. 1lim =∞→n n x .(6) nn x )1(2-=；无. (7) nx n 1cos =；有. 1lim =∞→n n x .(8) nx n 1ln=. 无.2、设9.01=u ,99.02=u ,个n n u 999.0,=,问 (1) ?lim =∞→n n u(2) n 应为何值时,才能使n u 与其极限之差的绝对值小于0001.0？解：(1) 显然,n n u 1011-=,可见1lim =∞→n n u ； (2) 欲使41010001.0101|1|=<=-n n u ,只需5≥n 即可.3、对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=1}{n n x n ,),2,1( =n ,给定(1)1.0=ε;(2)01.0=ε; (3)001.0=ε时,分别取怎样的N ,才能使当N n >时,不等式ε<-|1|n x 成立,并利用极限定义证明此数列的极限为1.解：欲使ε=<+=-+=-k n n n n x 1011111|1|,只需110->k n .(1)若给定1.0=ε,此时1=k ,取91101=-=N 即可; (2)若给定01.0=ε,此时2=k ,取991102=-=N 即可; (3)若给定001.0=ε,此时3=k ,取9991103=-=N 即可;下面证明1lim =∞→n n x . 欲使ε<<+=-n n x n 111|1|,只需ε1>n . 0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<-|1|n x ,所以 1lim 1lim==+∞→∞→n n n x n n.4、用极限定义考查下列结论是否正确,为什么？(1)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越小,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取nx n 11+=,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越小,但a x n n =≠=∞→01lim .(2)设数列}{n x ,当n 越来越大时,||a x n -越来越接近于0,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取nx n 11+=,0=a ,显然n a x n 11||+=-越来越接近于0,但a x n n =≠=∞→01lim .(3)设数列}{n x ,0>∀ε,N ∃,当N n >时,有无穷多个n x 满足ε<-||a x n ,则a x n n =∞→lim .解：结论错误.例如取n n x )1(-=,1=a ,显然0||2=-a x k ,),2,1( =k ,那么0>∀ε,1=∃N ,当N n >时,有无穷多个n x ,满足ε<-||a x n , 但显然n n x ∞→lim 不存在.(4)设数列}{n x ,若对0>∀ε,}{n x 中仅有有限个n x 不满足ε<-||a x n ,则a x n n =∞→lim .解：结论正确.0>∀ε,假设仅有k n n n x x x ,,,21 不满足ε<-||a x n ,于是取+∈=N },,,max{21k n n n N ,那么当N n >时,ε<-||a x n , 所以a x n n =∞→lim .5、用极限性质判别下列结论是否正确,为什么？ (1)若}{n x 收敛,则k n n n n x x +∞→∞→=lim lim (k 为正整数)；解：结论正确.显然}{k n x +是}{n x 的子数列,故n n k n n x x ∞→+∞→=lim lim .(2)有界数列}{n x 必收敛；解：结论错误.例如取n n x )1(-=,虽然}{n x 有界,但显然}{n x 发散.(3)无界数列}{n x 必发散；解：结论正确. 因收敛数列必有界,那么无界数列必发散.(4)发散数列}{n x 必无界.解：结论错误.例如取n n x )1(-=,虽然}{n x 发散,但显然}{n x 有界.6、利用数列的“N -ε”分析定义证明下列极限： (1) 01lim2=∞→n n ；分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-nn x n 11|0|2,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可. 证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-nn x n 11|0|2, 所以 0lim 1lim 2==∞→∞→n n n x n .(2) 321312l i m =++∞→n n n ；分析：0>∀ε,欲使ε<<+=-++=-n n n n x n 1)13(3132131232, 只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<<+=-n n x n 1)13(3132,所以 32lim 1312lim==++∞→∞→n n n x n n .(3) 1)311(lim =-∞→nn ；分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-nn x n 131|1|,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N 1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-nn x n 131|1|,所以 1lim )311(lim ==-∞→∞→n n n x n.(4) 0sin lim=∞→nnn .分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-nn n x n 1sin |0|,只需ε1>n 或1]1[+>εn 即可.证明：0>∀ε,取+∈+=N1]1[εN ,当ε1≥>N n 时,恒有ε<≤=-nn n x n 1s i n |0|, 所以 0lim sin lim==∞→∞→n n n x n n.7、若0lim =∞→n n u ,证明0||lim =∞→n n u ,并举例说明,如果数列|}{|n u 有极限,但数列}{n u 未必有极限.证明：因0lim =∞→n n u ,有0>∀ε,+∈∃N N ..t s N n >时,ε<-|0|n u ,于是 ε<-=-|0|0||n n u u , 所以0||lim =∞→n n u .而若取n n u )1(-=,显然1||lim =∞→n n u ,但显然}{n u 没有极限.8、对于数列}{n x ,若a x k →-12,)(∞→k ,a x k →2,)(∞→k ,证明a x n →,)(∞→n .证明：因0lim 12=-∞→k k x ,有0>∀ε,+∈∃N 1N ..t s 1N k >时,ε<--||12a x k ,又因0lim 2=∞→k k x ,对0>ε,+∈∃N 2N ..t s 2N k >时,ε<-||2a x k ,取+∈=N }2,2max{21N N N ,当N n >时,若12-=k n ,有1122221N N N n k =≥>+=,ε<-=--||||12a x a x k n , 若k n 2=,有222222N N N n k =≥>=,ε<-=-||||2a x a x k n , 总之,当N n >时,ε<-||a x n ,所以a x n →,)(∞→n .习题2-21、用极限定义证明： (1) 12)25(lim 2=+→x x ；分析：0>∀ε,欲使ε<-=-|2|5|12)(|x x f ,只需5|2|ε<-x 即可.证明：0>∀ε,取05>=εδ,当δ<-<|2|0x 时,恒有ε<-=-|2|5|12)(|x x f ,所以 12)(lim )25(lim 22==+→→x f x x x .(2) 424lim 22-=+--→x x x ；分析：0>∀ε,欲使ε<+=--|2||)4()(|x x f ,只需ε<+<|2|0x 即可. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<--<|)2(|0x 时,恒有ε<+=+-=--+-=--|2||4)2(|)4(24|)4()(|2x x x x x f ,所以 4)(lim 24lim 222-==+--→-→x f x x x x .(3) 8)13(lim 3=-→x x .分析：0>∀ε,欲使ε<-=-|3|3|8)(|x x f ,只需3|3|ε<-x 即可.证明：0>∀ε,取03>=εδ,当δ<-<|3|0x 时,恒有ε<-=-|3|3|12)(|x x f ,所以 8)(lim )13(lim 33==-→→x f x x x .2、用极限定义证明： (1) 656lim=+∞→xx x ；分析：0>∀ε,欲使ε<=-xx f 5|6)(|,只需ε5||>x 即可.证明：0>∀ε,取05>=εK ,当ε5||>x 时,恒有ε<=-x x f 5|6)(|,所以 6)(lim 56lim==+∞→∞→x f xx x x .(2) 0sin lim=+∞→xxx .分析：0>∀ε,欲使ε<≤=-xx x x f 1sin |0)(|,只需21ε>x 即可.证明：0>∀ε,取012>=εK ,当K x >时,恒有ε<≤-x x f 1|0)(|,所以 0)(lim sin lim ==∞→+∞→x f xxx x .3、当2→x 时,42→=x y ,问δ等于多少,则当δ<-<|2|0x 时,001.0|4|<-y ？(提示：因为2→x ,所以不妨设31<<x ). 解：欲使|2||4)2(||2||2||4||4|2-⋅+-=-⋅+=-=-x x x x x y3101001.0|2|5|2|)4|2(|=<-≤-+-≤x x x , 只需0002.01051|2|3=⋅<-x 即可. 因此,取0002.0=δ,当δ<-<|2|0x 时,有001.0|4|<-y .4、设⎩⎨⎧≥-<=.3 ,13,3,)(x x x x x f 作)(x f 的图形,并讨论3→x 时, )(x f 的左右极限(利用第1题(3)的结果). 解：(1) )(x f 的图形.(2) 令x x g =)(,13)(-=x x h ,已知3lim )(lim 33==→→x x g x x ,8)13(lim )(lim 33=-=→→x x h x x ,于是3)(lim 3=-→x g x ,8)(lim 3=+→x h x . 显然,当3<x 时,)()(x g x f =,于是3)(lim )(lim 33==--→→x g x f x x ；当3>x 时,)()(x h x f =,于是8)(lim )(lim 33==++→→x h x f x x .5、证明||)(x x f =,当0→x 时的极限为零. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<<||0x 时,恒有ε<=-=-||0|||0)(|x x x f ,所以 0)(lim ||lim 0==→→x f x x x .6、函数xx x f ||)(=,回答下列问题： (1)函数)(x f 在0=x 处的左右极限是否存在？答：)(x f 在0=x 处的左右极限是均存在.这是因为：1)1(lim lim )(lim 000-=-=-=---→→→x x x x xx f ； 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x xx f .(2)函数)(x f 在0=x 处是否有极限？答：)(x f 在0=x 处是没有极限.这是因为：)(lim 11)(lim 0x f x f x x +-→→=≠-=.(3)函数)(x f 在1=x 处是否有极限？答：)(x f 在1=x 处有极限.这是因为：11lim lim )(lim 111===---→→→x x x x xx f ；11lim lim )(lim 111===+++→→→x x x x xx f . 由于1)(lim )(lim 11==+-→→x f x f x x ,故1)(lim 1=→x f x .7、证明A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 00. 证明:“必要性”A x f x x =→)(lim 0⇒0>∀ε,0>∃δ..t s δ<-<||00x x 时,ε<-|)(|A x f ,从而,当 δ<-<00x x 时, ε<-|)(|A x f ；也有,当 δ<-<x x 00时, ε<-|)(|A x f ,所以 A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0. “充分性” A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0⇒ 0>∀ε,0,21>∃δδ ..t s当 100δ<-<x x 时, ε<-|)(|A x f ；当 200δ<-<x x 时, ε<-|)(|A x f ,取0},min{21>=δδδ,当δ<-<||00x x 时,有ε<-|)(|A x f , 所以 A x f x x =→)(lim 0.8、设)0()(lim ≠=+∞→A A x f x ,证明当x 充分大时2|||)(|A x f >. 证明:因)0()(lim ≠=+∞→A A x f x ,对于02||0>=A ε,0>∃K , 当K x >时, 2|||)(|0A A x f =<-ε. 所以2||2|||||)(||||))((||)(|A A A A x f A A x f A x f =->--≥-+=.习题2-31、根据定义证明：(1) 1-=x y 为当1→x 时的无穷小；证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<-<|1|0x 时,恒有ε<-=|1|||x y , 所以1-=x y 为当1→x 时的无穷小.(2) xx y 1cos =为当0→x 时的无穷小. 证明：0>∀ε,取0>=εδ,当δ<-<|0|0x 时,恒有ε<≤||||x y ,所以xx y 1cos =为当0→x 时的无穷小.2、根据定义证明：函数x xy 21+=为当0→x 时的无穷大,问x 应满足什么条件,能使410||>y ？ (1)分析：0>∀K ,欲使K x x x y >-≥+=2||121||,只需21||0+<<K x 即可.证明：0>∀K ,取021>+=K δ,当δ<<||0x 时,恒有 K x x x x y >-≥+=+=2||12121||,所以 ∞==+→→y xxx x 00lim 21lim. (2) 欲使K y =>410||,取10002121014=+=δ,则x 满足100021||0<<x 即可.3、利用有界量乘无穷小依然是无穷小求下列极限：(1) xx x 1sinlim 2→. 解：因0lim 0=→x x ,11sin≤x)0(≠x ,有)1(o x =(无穷小),)1(1sin O x=(有界), )0(→x ,则)1()1()1()1(1sin 2o O o o x x ==,)0(→x , 所以01sin lim 20=→xx x .(2) xxx arctan lim∞→.解：因01lim =∞→x x ,2arctan π≤,有)1(1o x=(无穷小),)1(arctan O x =(有界), )(∞→x , 则)1()1()1(arctan o O o x x ==,)(∞→x , 所以0arctan lim =∞→xxx .4、函数x x y sin =在区间),0(+∞内是否有界?又当+∞→x 时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)取22ππ+=k x ,则22)22sin()22(ππππππ+=++=k k k y , ,2,1=k ,可见, 函数x x y sin =在区间),0(+∞内无界.(2)取πk x =,则0)sin(==ππk k y , ,2,1=k ,可见,当+∞→x 时,函数x x y sin =不是无穷大.4’、函数xx y 1sin=在区间),0(+∞内是否有界?又当+∞→x 时,这个函数是否为无穷大?为什么? 解：(1)当0>x 时,11||1sin ||1sin=≤≤x x x x x x , 可见, 函数x x y 1sin =在区间),0(+∞内有界.(2)因函数xx y 1sin =在区间),0(+∞内有界,可见,当+∞→x 时,函数x x y sin =不是无穷大.习题2-41、填空题：(1)已知b a ,为常数,3122lim2=-++∞→n bn an n ,则=a 0 ,=b 6 ; 解：由于2122lim 1221lim 30022a n n nb a n bn an n n n =-++=-++=⨯=∞→∞→,有0=a . 而2122lim 122lim 122lim 32b nn b n bn n bn an n n n =-+=-+=-++=∞→∞→∞→,有6=b .(2)已知b a ,为常数,1)1(lim 2=--+∞→b ax xx x ,则=a 1 ,=b -1 ;解：由于a xba xb ax x x x x x x x -=--+=--+==∞→∞→∞→1)11(lim )1(1lim 1lim 022, 有1=a .而b b x b x x x b ax x x x x x -=-=--+=--+=∞→∞→∞→)1(lim )1(lim )1(lim 12 有1-=b .(3)已知b a ,为常数,21lim 1=-+→x bax x ,则=a 2 ,=b -2 .解：由于0201)1(lim )(lim 11=⋅=-+-=+=+→→x bax x b ax b a x x ,有a b -=. 而21lim 1lim11=-+=--=→→x bax x a ax a x x ,有2-=b2、求下列极限：(1) 4304031413lim 143lim 222=++=++=++∞→∞→nn n n n n n . (2) 510)2(501)52)(2(5)52(1lim )2(5)2(5lim 11=⨯-++=--+-+=-+-+∞→++∞→n nn n n n n n . (3) 340131121101311311211211lim 31313112121211lim1122=--⋅--=--⋅--=++++++++++∞→∞→n n n n n n . (4) )1221(1lim )1231(lim 222nn n n n n n n n n n -+++=-+++∞→∞→1)221(lim )121(211lim =⨯=-+⋅⋅=∞→∞→n n nn n n n .(5) ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n1)111(lim )]111()3121()2111[(lim =+-=+-++-+-=∞→∞→n n n n n .(6)2110111111lim1lim)1(lim =++=++=++=-+∞→∞→∞→nn n nn n n n n n . 3、求下列极限：(1) 443lim 222---→x x x x .解：由于0423242434lim 22222=-⨯--=---→x x x x ,所以∞=---→443lim 222x x x x .(2) )33(lim 33lim )(lim2203220330h xh x h h xh h x h h h x h h h ++=++=-+→→→ 22230033x x x =+⋅+=.(3) 3001003431153lim 43153lim 2222=++++=++++=++++∞→∞→xx x x x x x x x x . (4)503020503020503020532)15()23()32(lim )15()23()32(lim =++-=++-∞→∞→xx x x x x x x (5) 221)12)(11(lim 2=⋅=-+∞→xx x .(6) 0004000724132lim 724132lim 5454253=++++=++++=++++∞→∞→xx x x xx x x x x x .(7) )13)(1)(1()1()3(lim 113lim121x x x x x x x x x x x ++-+-+--=-+--→→ 42)1113)(11(2)13)(1(2lim1-=++-+-=++-+-=→x x x x .(8) 22121311211lim )131(11lim )1311(lim x x x x x x x x x x x x x ++-+⋅-=++--=---→→→ 1111)21(1)2(lim 221-=+++-=+++-=→x x x x .(9) 11lim )1/()1()1/()1(lim 11lim 2121111++++++=----=------→→→ n n m m x n m x n m x x x x x x x x x x x nm n n m m =++++++=----1111112121 .(n m ,是自然数).(10) )1)(1)(1()1)(1)(1(lim 11lim 3323323131+++-+++-=--→→x x x x x x x x x x x x321111111lim)1)(1()1)(1(lim33233213322331=+++=+++=++-+-=→→x x x x x x x x x x .(11) xx x x x x x x x x 1)651)(1(lim 1)31)(21)(1(lim 200-+++=-+++→→6060116)6116(lim 220=⨯+⨯+=++=→x x x .(12) xx x x x x x x x x x +-+--+=--++∞→+∞→)1)(2()1)(2(lim ))1)(2((lim 21)11)(21(21lim)1)(2(2lim +-+-=+-+-=+∞→+∞→xx x x x x x x x211)01)(01(01=+-+-=.4、求下列极限：(1) 223)3(3lim -+→x xx x ;解：由于0333)33(3)3(lim 22223=⨯+-=+-=→x x x x ,所以∞=-+→223)3(3lim x xx x .(2)432lim 3++∞→x x x ;解：由于001002143lim 243lim 243lim 33233=++=++=++=++∞→∞→∞→xx xx x x x x x x , 所以∞=++∞→432lim3x x x .(3))325(lim 2+-∞→x x x ;解：由于000503251lim 3251lim 222=+-=+-=+-∞→∞→xx x x x x x ,所以∞=+-∞→)325(lim 2x x x .5、设A x f x x =→)(lim 0,)(lim 0x g x x →不存在,证明)]()([lim 0x g x f x x +→不存在.证明：反证.假设B x g x f x x =+→)]()([lim 0,则)(lim )]()([lim )]()()([lim )(lim 0x f x g x f x f x g x f x g x x x x x x x x →→→→-+=-+=A B -=,可见)(lim 0x g x x →存在,这与条件)(lim 0x g x x →不存在冲突,所以)]()([lim 0x g x f x x +→不存在.习题2-51、求下列极限：(1)52151255sin 522sin 2lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=⋅⋅=→→xx x xx x x x .(2)2112122sin 22cos lim2cot lim 00=⨯=⋅=→→xx x x x x x .(3)212)sin 2(lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200=⨯=⋅=⋅=-→→→xxx x x x x x x x x .(4)x x txtxx x n t n nn n=⋅===∞→=∞→1)sin (lim 2sin2lim 21,(x 为不等于零的常数).(5)01111sin 1sin 1lim sin sin lim 00=+-=+-=+-→→xx x xx x x x x x . (6)xx xx xx x x x x x x x x cos 2sin 2sin lim cos )cos 1(sin lim sin tan lim3203030⋅=-=-→→→2112111122sin 21cos 1sin lim 220=⨯⨯⨯=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=→x x x x x x .(7)tta t t a t a a x a x t t a x t a x 22cos2sin 2lim sin )(sin lim sin sin lim 00+=-+====--→→-=→ a t a t t t t cos )2cos(lim 22sinlim 00=+=→→.(8))3cos(21sin limcos 21)3sin(lim 033ππππ+-====--→-=→t t x x t x t x t t tt t t t t sin 3cos 1sin lim)3sin sin 3cos (cos 21sin lim 00+-=--=→→ππ 3313101sin 3)2(2sin 2sin lim sin 3cos 1sin lim 2200=⨯+⨯=+⋅=+-=→→tt t t t t tt t t t t .(9))22tan(lim 2)1(tanlim 2tan)1(lim 011tt t t xx t t xt x ππππ-=-====-→→-=→πππππ2sin cos 2lim cot 2lim 2cotlim 002=⋅======→→=→uu u u u tt u u tu t .2、求下列极限：(1)ee t t t xtt tt x t xx 1)01(1)1()1(lim 1)1(lim )21(lim 10110212=+=++=+===-→--→-=-∞→.(2)et t xtt t t xt xx 1)1(lim 1)1(lim )22(lim 1010220=+=+===-→-→-=→.(3)211)11()11(lim )11(lim e e e xx x x x xx x x ==+-=+-∞→∞→.(4)11])11()11[(lim )11(lim )11(lim 2=⋅=+-=-===-+∞→+∞→=+∞→e et t t xt t t t t xt xx .(5)111])11()11[(lim 1)11(1lim )1(lim 222=⋅=+-=-=-∞→∞→∞→eex x x x x x x x x x x x .(6)33103tan 3cot 2])1(lim [)1(lim )tan 31(lim 22e t t x t t t t xt xx =+=+=====+→→=→.(7)3213ln 233sin lim3)21ln(lim 233sin 3)21ln(2lim3sin )21ln(lim 02102100=⨯=+=⋅+=+→→→→e xx x xx x x x x x x xx xx x .(8)2ln 2)21ln(2lim )21ln(lim ]ln )2[ln(lim 2==+=+=-+∞→∞→∞→e nn n n n n nn n n .3、利用极限存在准则证明：(1) 1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n . 证明：由于πππππ+≤++++++≤+2222222)1211(n n n n n n n n n n ，而111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n ππ, 111lim lim 222=+=+∞→∞→nn n n n ππ, 所以1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n .(2)设},,,max{21m a a a A =,),,2,1,0(m i a i =>,则有 A a a a n nm nnn =+++∞→ 21lim .证明：由于n n n n nm n n nn m A mA a a a A A =≤+++≤=21，而A A m A m A n n n n =⋅==∞→∞→1lim lim ,所以A a a a n nm n n n =+++∞→ 21lim .(3)设21=x ,12-+=n n x x , ,3,2=n ,证明数列}{n x 存在极限并求之. 证明：①显然221<=x ,假设21<-n x ,有22221=+<+=-n n x x , 因此,20<<n x , ,3,2,1=n ；②由于11222x x x =>+=,假设1->n n x x ,有n n n n x x x x =+>+=-+1122因此,}{n x 为单调递增数列；③由①②知, 数列}{n x 必存在极限. ④假设a x n n =∞→lim ，显然有20≤≤a ，且a x x a n n n n +=+==-∞→∞→22lim lim 1，即022=--a a ，得2=a (1-=a 舍去),所以2lim =∞→n n x .(4)数列21=x ,)1(211nn n x x x +=+的极限存在. 证明：①显然121≥=x ,而11221)1(211=⋅⋅⋅≥+=+nn n n n x x x x x , ②由于0121121221)1(21221=⋅-≤-=-=-+=-+n n n n n n n n n x x x x x x x x x , 即n n x x ≤+1,因此,}{n x 为单调递减数列；③由①②知,21≤≤n x , ,3,2,1=n ,因此数列}{n x 的极限必存在.4、某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？解：设0A 为发行时每份债券的价格,年利率为%5.6=r ,10=k 年后每份债券一次偿还本息1000=k A 元,若以连续复利计算利息,则krk e A A 0=,即065.01001000⨯=e A ,得05.5521000065.0100==⨯-eA (元).习题2-61、当0→x 时,下列各函数都是无穷小,试确定哪些是x 观的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？ (1) x x +2；解：因为1)1(lim lim020=+=+→→x x xx x x , 所以x x x ~2+,)0(→x .(等价无穷小)(2) x x sin +；解：因为211)sin 1(lim sin lim00=+=+=+→→xxx x x x x ,所以)(2x O x x =+,)0(→x . (同阶无穷小)(3) x x sin -；解：因为011)sin 1(lim sin lim00=-=-=-→→x xx x x x x ,所以)(2x o x x =+,)0(→x . (高阶无穷小)(4) x 2cos 1-；解：因为0102)sin sin 2(lim sin 2lim 2cos 1lim0200=⋅⋅===-→→→x xx x x x x x x x , 所以)(2x o x x =+,)0(→x . (高阶无穷小)(5) x tan ；解：因为111)cos 1sin (lim tan lim00=⋅=⋅=→→xx x x x x x ,所以x x ~tan ,)0(→x .(等价无穷小)(6) x 2tan . 解：因为221)2cos 222sin (lim 2tan lim00=⋅=⋅=→→xx x x x x x ,所以)(2tan x O x =,)0(→x . (同阶无穷小)2、证明当0→x 时,有： (1) x x ~arctan ；证明：因为111sin cos lim tan lim arctan lim 00arctan 0========→→=→tt t t t x x t t x t x ,所以x x ~arctan ,)0(→x .(2) 221~1sec x x -；证明：因为1)2(2sin lim 2sin 22limcos )cos 1(2lim 211sec lim2202202020==⋅=-=-→→→→xxx x x x x xx x x x x ,所以221~1sec x x -,)0(→x .(3) 221~1sin 1x x x -+；证明：因为1101121sin 1sin 2lim 211sin 1lim 020=++⋅=++⋅=-+→→x x x xxx x x x , 所以221~1sin 1x x x -+,)0(→x .(4) 222~11x x x --+.证明：因为101012112lim 11lim2202220=-++=-++=--+→→xx x x x x x , 所以222~11x x x --+,)0(→x .3、利用等价无穷小的性质,求下列极限：(1) 11lim 2121lim cos 11sin 1lim 02200===--+→→→x x x x xx x x . 其中：221~1sin 1x x x -+,221~cos 1x x -,)0(→x .(2) 22lim 2lim tan )1(2sin lim02020==⋅=-⋅→→→x x x x x x x x e x . 其中：x x 2~2sin ,x e x ~1-,22~tan x x )0(→x .(3) 52)52(lim 52lim 5sin )21ln(lim000-=-=-=-→→→x x x x x x x .其中：x x 2~)21ln(--,x x 5~5sin ,)0(→x .(4) 21cos 21lim cos 21lim cos sin cos 1lim sin sin tan lim 02202030===-=-→→→→x x x xx x x x x x x x x x .其中：221~cos 1x x -,x x ~sin )0(→x . (5) 2121lim 21lim sin cos 1lim )tan 1sin 1(1lim 022000===-=-→→→→x x x x x xx x x x x x . 其中：221~cos 1x x -,x x ~sin )0(→x .(6) 22lim )(21lim cos 1lim 22022020m m x mx x mx x x x ===-→→→. 其中：0≠m 时,2)(21~cos 1mx mx -,)0(→x ,而0=m 时,0)(21cos 12==-mx mx .4、证明无穷小的等价关系具有下列性质： (1) αα~(自反性)；证明：因11lim lim==αα,所以αα~.(2) 若βα~,则αβ~(对称性)；证明：已知βα~,因1111lim lim===βααβ,所以αβ~.(3) 若βα~,γβ~,则γα~(传递性). 证明：已知βα~,γβ~,因111lim lim )lim(lim =⋅=⋅=⋅=γββαγββαγα, 所以γα~习题2-71、研究下列函数的连续性,并画出函数图形：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=.1 ,1,11 ,,1 ,1)(2x x x x x f 解：显然,函数)(x f 在)1,(--∞,)1,1(-以及),1(+∞连续.由于)(lim 11lim )(lim 1211x f x x f x x x -++-→-→-→=-≠==,则)(x f 在1-=x 间断；由于)(lim 1)1(lim )(lim 1211x f f x x f x x x +--→→→====,则)(x f 在1=x 连续.总之,函数)(x f 在)1,(--∞,),1(+∞-连续,在1-=x 间断.(2) ⎩⎨⎧≤<-≤≤=.21 ,2,10 , )(2x x x x x f解：显然,函数)(x f 在)1,0[,]2,1(连续. 由于1lim )(lim 211==--→→x x f x x ,有 )(lim )1(112)2(lim )(lim 111x f f x x f x x x -++→→→===-=-=,则)(x f 在1=x 连续.总之,函数)(x f 在]2,0[连续.2、确定常数b a ,使下列函数连续：(1) ⎩⎨⎧>+≤=.0 ,,0 , )(x a x x e x f x解：显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续.由于1lim )(lim 000===--→→e e x f x x x , a a a x x f x x =+=+=++→→0)(lim )(lim 00, 欲使)(x f 在0=x 连续,只需)0(1)(lim )(lim 0f x f x f x x ===-+→→,即1=a . 因此,仅当1=a 时,函数)(x f 在),(+∞-∞连续.(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=.0 ,sin ,0,2 ,0 ,)31ln()(x xax x x bx x x f 解：显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续.由于bb bx x bx x x f x x x x 33lim 3lim )31ln(lim )(lim 0000-=-=-=-=----→→→→,)0(≠b , ⎪⎩⎪⎨⎧==≠=⋅==+++→→→.0 ,0,0 ,)sin (lim sin lim )(lim 000a a a a axax a x ax x f x x x , 欲使)(x f 在0=x 连续,只需)0(2)(lim )(lim 0f x f x f x x ===+-→→, 有 23==-a b , 即2=a , 23-=b . 因此,仅当2=a ,23-=b 时,函数)(x f 在),(+∞-∞连续.3、下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类型,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.(1) 65422+--=x x x y , 2=x ,3=x ；解：32)3)(2()2)(2()(-+=--+-==x x x x x x x f y , 2≠x .①由于4322232lim )(lim 22-=-+=-+=--→→x x x f x x , )(lim 4322232lim )(lim 222x f x x x f x x x -++→→→=-=-+=-+=, 可见, 2=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点. 欲使)(x f 在2=x 连续,只需定义4)2(-=f 即可.②由于∞=-+=→→32lim)(lim 33x x x f x x , 可见, 3=x 是函数)(x f y =的无穷间断点,属第二类间断点.(2) xxy sin =, πk x =,),2,1,0( ±±=k ；解：xxx f y sin )(==, πk x ≠,),2,1,0( ±±=k .①由于1sin lim )(lim 00==--→→xxx f x x , )(lim 1sin lim )(lim 000x f x xx f x x x -++→→→===, 可见, 0=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点. 欲使)(x f 在0=x 连续,只需定义1)0(=f 即可.②由于∞==-→→xxx f k x k x sin lim )(lim ππ,),2,1( ±±=k 可见,πk x =,),2,1( ±±=k 是函数)(x f y =的无穷间断点,属第二类间断点.(3) xy 1cos3=, 0=x ；解：xx f y 1cos )(3==, 0≠x .显然函数)(x f y =有界, 由于xx f x x 1cos lim )(lim 300→→=不存在,可见, 0=x 是函数)(x f y =的振荡间断点,属第二类间断点.(4) ⎩⎨⎧>-≤-=.1 ,54,1 ,12x x x x y 1=x .解：⎩⎨⎧>-≤-==.1 ,54,1 ,12)(x x x x x f y由于1)12(lim )(lim 01=-=--→→x x f x x , )(lim 13)52(lim )(lim 111x f x x f x x x -++→→→=≠-=-=, 可见,1=x 是函数)(x f y =的跳跃间断点,属第一类间断点.4、求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解：21)3)(2()3)(1(633)(22223--=+-+-=-+--+=x x x x x x x x x x x x f ,3-≠x . 显然,函数)(x f 在)3,(--∞,)2,3(-以及),2(+∞连续.5821lim )(lim 233-=--=-→-→x x x f x x ,∞=--=→→21lim )(lim 222x x x f x x , 2121lim )(lim 200=--=→→x x x f x x .5、求下列极限：(1) 33020)32(lim 32lim 22020=+⋅-=+-=+-→→x x x x x x .(2) 00)2(cos )]42[cos()2cos lim ()2(cos lim 3333434===⋅==→→ππππx x x x .(3) 2)1(2211111lim e e t e t t -=--=--⨯---→.(4) ππππ222sinsin lim2==→x x x .6、求下列极限：(1) 1lim lim 0011=====→=∞→e e e t t xt xx .(2) )]21cos[ln(lim )]121cos[ln(lim 2012t t xx t xt x -+===-+→=∞→ 10cos )]0021cos[ln()]}21(lim cos{ln[220==-⨯+=-+=→t t t .(3) )1ln(lim1lim )1(lim lim 010020t tx e x e e x e e t e t x x x x x x x x x+-====-=-=-→-=→→→ 1ln 1)1ln(1lim 10-=-=+-=→et tt .(4) 202022)1(cos 4lim)]1(cos 1ln[4limcos ln 4040lim )(cos lim x x x x x x x x x x x ee ex --+→→→→===2)2(lim 24lim22--⋅-===→→e e e x x x x .7、讨论函数x n xn n ee x x xf ++=∞→1lim)(2的连续性,若有间断点,判别其类型.解：①当0<x 时,x x x e e x x x f xn xn n =+⋅+=++=∞→0101lim)(22；当0>x 时,2221001lim)(x x x ex xex f xn x n n =++⋅=++=--∞→,所以⎩⎨⎧>>=.0 ,,0 ,)(2x x x x x f②显然,函数)(x f 在)0,(-∞,),0(+∞连续,在0=x 点间断点. ③由于0lim )(lim 00==--→→x x f x x ,)(lim 0lim )(lim 02x f x x f x x x -++→→→===, 可见,0=x 是函数)(x f y =的可去间断点,属第一类间断点.习题2-81、试证下列方程在指定区间内至少有一个实根： (1) 0135=--x x ,在区间)2,1(；证明：显然]2,1[13)(5C x x x f ∈--=,由于03)0(<-=f ,025)2(>=f ,由零点定理知,)2,1(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即01325=--ξξ, 所以方程 0135=--x x 在)2,1(内至少有一个根ξ.图形> plot(x^5-3*x^2-1,x=1..2);(2) 2-=xe x ,在区间)2,0(.证明：显然]2,0[2)(C x e x f x ∈--=,由于01)0(<-=f ,03)2(2>-=e f ,由零点定理知,)2,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即02=--ξξe ,所以方程 2-=xe x 在)2,0(内至少有一个根ξ.图形> plot(exp(x)-x-2,x=0..2);2、设)(x f 在],[b a 上连续,且b d c a <<<,证明在],[b a 内必存在一点ξ使)()()()(ξf n m d nf c mf +=+,其中n m ,为自然数. 证明：若n m ,全为零,则结论显然成立；若n m ,不全为零,因],[)(b a C x f ∈,知)(x f 在],[b a 上存在最小值和最大值βα,,令)()(d f n m nc f n m m +++=λ,由于 ββαα=++≤+++≤++=nm m m d f n m n c f n m m n m m m )()(即βλα≤≤,又因],[)(b a C x f ∈,则必],[b a ∈∃ξ..t s λξ=)(f ,即)()()()(ξf n m d nf c mf +=+.3、设函数)(x f 在]2,0[a 上连续,且)2()0(a f f =,证明在],0[a 内至少存在一点ξ,使)()(a f f +=ξξ.证明：若)()0(a f f =,则结论显然成立；若)()0(a f f ≠,已知]2,0[)(a C x f ∈,显然],0[)()()(a C a x f x f x F ∈+-=,由于)]2()()][()0([)()0(a f a f a f f a F F --=0)]()0([)]0()()][()0([2<--=--=a f f f a f a f f ,由零点定理知,),0(a ∈ξ..t s 0)(=ξF ,即)()(a f f +=ξξ.4、一个登山运动员从早晨7:00开始攀登某座山峰,在下午7:00到达山顶,第二天早晨7:00再从山顶沿着原路下山,下午7:00到达山脚,试利用介值定理说明,这个运动员必在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一地点. 证明：用)(x f 和)(x g 表示第一天和第二天运动员在时刻x )197(≤≤x 时距山脚的距离,显然]19,7[)(),(C x g x f ∈,假设山顶距山脚的距离为0>s ,那么,有0)19()7(==g f ,而s g f ==)0()19(,显然]19,7[)()()(C x g x f x F ∈-=,由于0)]19()19()][7()7([)19()7(2<-=--=s g f g f F F ,由零点定理知,)19,7(∈ξ..t s 0)(=ξF ,即)()(ξξg f =,说明运动员必在这两天的相同时刻ξ经过登山路线的同一地点,此时距山脚的距离为)(ξf .。

02 第二章极限与连续习题详解

1 1 n = 10 ，n = 9 ，故取 −1 = < ε = 0.1 ，只要 n + 1 > 0 .1 n +1 n +1
N = 9 即可．
(2) 要使 xn − 1 =
1 n 1 = 100 ，n = 99 ，故取 −1 = < ε = 0.01 ，只要 n + 1 > 0.01 n +1 n +1
1 > k1 ，得 xn − a = x2 k −1 − a < ε ， 2
若 n = 2k ，则 k > K ≥ k 2 ，得 xn − a = x2 k − a < ε ．从而只要 n > N ，就有 xn − a < ε ，即 lim xn = a ．
n →∞
习题 2.2
1．对下图中所示函数 f ( x) ，求下列极限，如果极限不存在，说明理由．
成立，只需取 δ = ε 即可．则当 0 < x − 2 < δ 时，恒有
x2 − 4 −4 <ε ． x−2
所以
x2 − 4 lim = 4． x→2 x − 2
(3) 对于 ∀ε > 0 ，要使不等式
f ( x) − A =
成立，只需 x >
3x + 5 5 −3 = < ε x x
5
ε
成立，取 X =
x →0
(4) 错， lim f ( x) = 0 ， lim f ( x) = −1 ，故 lim f ( x) 不存在． + −
x →1 x →1
x →1
(5) 对，因为 f (1 + 0) ≠ f (1 − 0) ． (6) 对． 3．求函数 f ( x) = 时的极限是否存在．解

极限与连续试题及答案

极限与连续试题及答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2在x=0处的极限是：A. 0B. 1C. 2D. 0^2答案：A2. 如果lim(x→2) [f(x) - 3] = 1，那么f(2)的值为：A. 4B. 2C. 5D. 3答案：C3. 函数f(x) = sin(x) / x在x=0处的极限是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B二、填空题1. 设函数f(x)在点x=a处连续，则lim(x→a) f(x) = ________。

答案：f(a)2. 如果函数f(x)在区间(a, b)内可导，则f'(x)在该区间内_______。

答案：存在3. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的导数为_______。

答案：6三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x=2处的极限。

答案：将x=2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2^3 - 6*2^2 + 11*2 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0。

因此，lim(x→2) f(x) = 0。

2. 判断函数f(x) = x^2 - 4x + 4在x=2处是否连续，并求出该点的导数。

答案：函数f(x) = (x-2)^2是一个二次函数，它在整个实数域上都是连续的。

因此，在x=2处也是连续的。

求导数，f'(x) = 2x - 4，所以f'(2) = 2*2 - 4 = 0。

3. 已知函数g(x) = 1 / (x^2 + 1)，求lim(x→∞) g(x)。

答案：当x趋向于无穷大时，x^2 + 1趋向于无穷大，因此1 / (x^2 + 1)趋向于0。

所以，lim(x→∞) g(x) = 0。

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当0x →时，1sin0x x →；当1x →时，1sin sin1x x→不是无穷小量。

2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。

3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。

二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：1．221x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。

2．1ln tan x, k Z ∈()2x k ππ-→+时，tan x →+∞，则ln tan x →+∞，从而+10ln tan x→为无穷小量；x k π+→时，tan 0x +→，则ln tan x →-∞，从而10ln tan x-→为无穷小量；4x k ππ→+时，tan 1x →，则ln tan 0x →，从而1ln tan x→∞为无穷大量；三、当0+→x 时，2x 们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁？200lim lim 01x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x22300lim lim 01x x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x30lim lim 0x x x x++→→==，所以当0+→x 时，的高阶无穷小量。

通过比较可知，当0+→x 时，2x 2x 的高阶无穷小量，因此2x 是三者中最高阶的无穷小量。

2x 的高阶无穷小量，四、利用无穷小量与极限的关系证明：0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=．证明：设0lim ()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，则由无穷小量与极限的关系，()f x A α=+，()g x B β=+，其中,αβ为0x x →时的无穷小量。

则0lim ()()x x f x g x →=0lim()()lim()x x x x A B AB B A αβαβαβ→→++=+++AB =lim ()lim ()x x x x f x g x →→=§2.4 极限的性质与运算法则一、如果0lim ()0→=>x x f x A ，则存在0x 的空心邻域，使得（1）（2）（4）成立．（1）()f x 有界；（2）()f x 非负；（3）()f x 落入其中；（4）|()|ε-<f x A ，>0ε∀．二、求下列函数的极限1．113(2)lim 3(2)n nn n n ++→∞+-+- 2．()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋯+⋅+⋅∞→11321211lim n n n3．2134lim 1x x x x →+-- 4．3113lim 11x x x →-⎛⎫- ⎪++⎝⎭5．)lim 2x xx →+∞6．(lim x x →∞+原式lim x →∞=原式x =14x -==2003x === 三、求,a b ，使得21lim 0.1x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭2211lim lim 0111x x bx ax a b x ax ax bx b x x x x→∞→∞+----+----===++原式必有1()a =→∞否则原式；同时有0(0)a b +=→否则原式；四、若3214lim1x x ax x b x →---+=+为有限值，求,.a b321lim 404x x ax x a →---+=⇒=由题意必有（否则商的极限不可存在）321144(1)(1)(4)lim =lim 1011x x x x x x x x b b x x →-→---++--==⇒=++原式§2.5 极限存在性定理与两个重要极限一、判断题： 1．1sin lim1x xx→=错2．1sin(1)lim11x x x →-=-对3．sin lim 1x x x→∞=错4．1lim sin 1x x x→∞=对5．01lim sin 1x x x→=错6．01lim(1)xx e x→+=对7．当0x →时，sin ,arcsin ,tan ,arctan ,ln(1),1xx x x x x e +-都是x 的等价无穷小．对二、求下列函数极限：1．0sin 2lim tan 3x x x → 2．22sin(4)lim2x x x →--sin 220tan 33x xx x x→，220sin(4)4x x x →--，00sin 222lim lim .tan 333x x x x x x →→∴== 224lim4.2x x x →-∴==-原式 3．0lim arctan x x x → 4．1lim 1xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭0arctan x xx →， 2112222lim 1111x x x x -→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦00lim lim 1.arctan x x x x x x →→∴== 21122222lim 11.11x x e x x -→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++= ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦5．111lim xx x-→111lim(11)xx x -→=+- 6．22lim 1xx x x →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭lim 11x xx x x x x →∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭ 1111lim(11).x x x e ---→=+-= 111lim 11 1.xxx ee x x ---→∞⎛⎫⎛⎫=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．2301limln(1)x x x x x→+++ 8． 0sin(sin )lim ln(1)x x x →+2323ln(1)(0)x x x x x x x +++++→sin(sin )sin ;ln(1)(0)x x x x x +→2323001lim ln(1)lim 1x x x x x x x x x x→→++∴+++==00sin(sin )sin limlim 1.ln(1)x x x x x x →→∴==+ 三、求极限22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++ ． 22222121212121n n nn n n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++ 2212(1)/21lim lim ,2n n n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++2212(1)/21lim lim .112n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++且由两面夹法则222121lim().122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ 四、设222111123n u n=+++⋅⋅⋅+，证明数列{}n u 的极限存在．1210,{}(1)n n n u u u n +-=>∴+为单调递增数列. 22222111111112323n u n n=+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+又由单调有界定理，数列{}n u 的极限存在.五、设0>a ，10>x ，且有11()2+=+n n nax x x ，(1,2,)=n ，证明数列{}n x 的极限存在，并求极限．{}11()2n n n nax x x x +=+≥∴有下界.{}2111()()0,22n n n n n n na x a x x x x x x +--=-=≤∴又单调递减(从第二项起).由单调有界定理，数列{}n x 的极限存在1lim ()2n n a x A A A A A→∞==+=若，有，可解得 §2.6 函数的连续性一、填空题 1．设函数()()xx x f -=1ln ，若补充()=0f -1 可使()x f 在0=x 处连续． 2．1=x 是函数23122+--=x x x y 的第 1 类间断点，且为可去间断点．3．0=x 是函数tan =xy x的第 1 类间断点，且为可去间断点． ()⋯±±==2,1k k x π是函数tan =xy x的第 2 类间断点，且为无穷间断点．()⋯±±=+=2,12k k x ππ是函数tan =x y x 的第 1 类间断点，且为可去间断点． 4．a x =是函数ax a x y --=的第 1 类间断点，且为跳跃间断点．5．0=x 是函数xy 1cos2=的第 2 类间断点．二、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型：1．221cos ,0()1,0xx f x x x x -⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩22001cos 1lim lim(1)12x x x x x -+→→-=+=；，0x ∴=为第一类跳跃间断点。