利用基本不等式求最值的常见方法PPT课件
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基本不等式与最值课件教学课件
排序不等式的证明
可以通过数学归纳法和排序性质证明 。
排序不等式的应用
在优化理论和线性规划中，排序不等 式常常被用来解决一些线性规划问题 。
04
基本不等式的实际应用
投资组合问题中的基本不等式应用
总结词
在投资组合问题中，基本不等式可以用于确定最优投资策略，即如何在给定风险水平下最大化预期收益，或在 给定预期收益水平下最小化风险。
物理定义
对于两个电阻$R_1$和$R_2$，并联电阻$\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \leq \frac{R_1 + R_2}{2}$，当且仅当$R_1 = R_2$时等号成立。
基本不等式的性质
非负性
基本不等式的左边是一个平方和，右边是一个平方根，所以左边总是大于或 等于右边。
利用基本不等式求最值
在极值的基础上，通过比较不同情况下的结果，找到最大或最小值。
掌握基本不等式的证明方法
利用导数证明基本不等式
通过求导数，找到函数的极值点，并证明在极值点处函数取得最小值。
利用定义证明基本不等式
通过比较两个数的差的符号，证明两个数之间的关系。
06
基本不等式的实际案例分析
案例一
总结词
案例三：资源分配问题中的基本不等式应用
总结词
在资源分配问题中，基本不等式被用来确定各部门的资源分 配比例，以实现资源利用效率的最大化。
详细描述
基本不等式在资源分配问题中的应用主要体现在对各部门资 源需求的权衡。通过使用基本不等式，我们可以找到一种最 优的资源分配方案，使得在满足各部门资源需求的前提下， 实现资源利用效率的最大化。
如果$a_1, a_2, \ldots, a_n$是实数
中考数学一轮复习---利用基本不等式求最值教学课件
2.已知a>0，b≥0，且a＋b＝2.则当a＝b＝______时，a·b 有最大值_______. 3.若a>0，则a＋ 1 有最________值2，此时a＝________.
a 4.若0<a<2，则a·(2－a)有最大值________，此时a＝ ________.
延伸例迁1：移(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜
E
②如何用a, b表示CD? CD=______
Rt△ACD∽Rt△DCB，
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
D A a OC b B
①如何用a, b表示OD? OD=______
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： a b≥ ab 2
你能用不等式的性质直接推导这个 不等式吗？
证明不等式：a b≥ ab 2
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则 a+b ≥ 2 ab
通常我们把上式写作：
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 适用范围： a>0,b>0
运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备xcm．则x的值是
（）
A．120 2
B．60 2 C．120 D．60
2、如图已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，若S△AOD=4，
S△COB=9，则四边形ABCD的面积的最小值为 ______
展示提升
构建知识网络：
1. 两个重要的不等式
a 4.若0<a<2，则a·(2－a)有最大值________，此时a＝ ________.
延伸例迁1：移(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜
E
②如何用a, b表示CD? CD=______
Rt△ACD∽Rt△DCB，
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
D A a OC b B
①如何用a, b表示OD? OD=______
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： a b≥ ab 2
你能用不等式的性质直接推导这个 不等式吗？
证明不等式：a b≥ ab 2
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则 a+b ≥ 2 ab
通常我们把上式写作：
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 适用范围： a>0,b>0
运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备xcm．则x的值是
（）
A．120 2
B．60 2 C．120 D．60
2、如图已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，若S△AOD=4，
S△COB=9，则四边形ABCD的面积的最小值为 ______
展示提升
构建知识网络：
1. 两个重要的不等式
基本不等式的应用最值问题 课件
设 x、y 满足约束条件3x－x－y＋y－26≥≤00 x≥0，y≥0
，若目标函数 z＝ax
＋by(a>0，b>0)的最大值为 12，则2a＋3b的最小值为( )
25 A. 6 C.131
8 B.3 D．4
[答案] A
[解析] 作出平面区域，如图阴影部分所示，当直线 ax＋ by＝z(a>0，b>0)过直线 x－y＋2＝0 与直线 3x－y－6＝0 的交 点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值 12，
[答案] (－∞，4]
[分析] 由 a＞b＞c 知：a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.因此， 不等式等价于aa－－bc＋ab－－cc≥m，要使原不等式恒成立，只需aa－－bc ＋ab－－cc的最小值不小于 m 即可．
[解析] ∵aa－－bc＋ab－－cc ＝a－ba－＋bb－c＋a－bb－＋cb－c ＝2＋ab－－bc＋ab－－bc≥2＋2 ab－－bc·ab－－bc＝4. 当且仅当ab－－bc＝ab－－bc，即 2b＝a＋c 时，等号成立． ∴m≤4，即 m∈(－∞，4]．
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[点评] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
基本不等式的应用—最值问题
变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常 常将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数 用等于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替， 也可以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
基本不等式求最值课件
证明方法一
证明方法二
证明方法三
利用代数方法，通过移项、合并同类项、化简等步骤，证明基本不等式。
利用几何方法，通过图形和面积等直观方式，证明基本不等式。
03
02
01
基本不等式的应用
利用基本不等式，我们可以求解一些函数的最值问题，从而在实际问题中得到应用。
总结词
基本不等式是数学中一种重要的工具，它可以用来求解一些函数的最值问题。例如，对于形如 f(x)=x+4/x 的函数，我们可以利用AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来求解其在某个区间的最值。
答案解析6
利用AM-GM不等式和平方差公式，得到 y = (x - 1)^2 + (1/x - 1)^2 ≥ 2√((x - 1)^2 * (1/x - 1)^2) = 4，当且仅当 x = √2 时取等号。
谢谢
THANKS
详细描述
总结词
均值不等式是数学中一个基本的不等式，它表示对于任意非负实数，其算术平均值总是大于或等于其几何平均值。
详细描述
均值不等式表述为：对于所有非负实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。这个不等式在求最值问题中非常有用，因为它提供了两个正数的和与它们的积之间的关系。
总结词
切比雪夫不等式是数学中一个关于概率和期望的不等式，它给出了一个随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
基本不等式求最值ppt课件
目录
CONTENTS
基本不等式的概念和性质基本不等式的应用基本不等式的扩展和深化基本不等式的实际应用案例基本不等式的解题技巧和策略练习题和答案解析
基本不等式的概念和性质
基本不等式是数学中常用的一个不等式，它表示两个正数的平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
证明方法二
证明方法三
利用代数方法，通过移项、合并同类项、化简等步骤，证明基本不等式。
利用几何方法，通过图形和面积等直观方式，证明基本不等式。
03
02
01
基本不等式的应用
利用基本不等式，我们可以求解一些函数的最值问题，从而在实际问题中得到应用。
总结词
基本不等式是数学中一种重要的工具，它可以用来求解一些函数的最值问题。例如，对于形如 f(x)=x+4/x 的函数，我们可以利用AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来求解其在某个区间的最值。
答案解析6
利用AM-GM不等式和平方差公式，得到 y = (x - 1)^2 + (1/x - 1)^2 ≥ 2√((x - 1)^2 * (1/x - 1)^2) = 4，当且仅当 x = √2 时取等号。
谢谢
THANKS
详细描述
总结词
均值不等式是数学中一个基本的不等式，它表示对于任意非负实数，其算术平均值总是大于或等于其几何平均值。
详细描述
均值不等式表述为：对于所有非负实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。这个不等式在求最值问题中非常有用，因为它提供了两个正数的和与它们的积之间的关系。
总结词
切比雪夫不等式是数学中一个关于概率和期望的不等式，它给出了一个随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
基本不等式求最值ppt课件
目录
CONTENTS
基本不等式的概念和性质基本不等式的应用基本不等式的扩展和深化基本不等式的实际应用案例基本不等式的解题技巧和策略练习题和答案解析
基本不等式的概念和性质
基本不等式是数学中常用的一个不等式，它表示两个正数的平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法用基本不等式求最值六种方法一．配项求 $\frac{9}{x-2}$ 的最小值。
解析：$y=\frac{9}{x-2}+2-2\geq 8$。
当 $x-2=2$ 时，即$x=5$ 时等号成立。
二．配系数求 $y=x^4-3x$ 的最大值。
解析：$y=\frac{1}{2}(3x^4-3x)\leq \frac{1}{2}\cdot 2=1$。
当 $x=\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ 时，即 $y=1$ 时等号成立。
三．重复使用不等式求 $a^2+b^2$ 的最小值，已知 $a>b>0$。
解析：$a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2=2ab$。
再用$a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2$，得 $a^2+b^2\geq 2ab+(a-b)^2$。
当 $a-b=b$ 时，即 $a=2b$ 时等号成立，此时$a^2+b^2=5b^2$。
四．平方升次求 $y=x+4-x^2$ 的最大值，当 $x>0$ 时。
解析：$y^2=x^2+2x(4-x^2)+(4-x^2)^2=8-2x^4+6x^2\leq8+(x^2+(4-x^2)^2)=16$。
当 $x=2$ 时，即 $y=4$ 时等号成立。
五．待定系数法求 $y=2\sin x(\sin x+\cos x)$ 的最大值。
解析：$y=2\sin^2 x+2\sin x\cos x=2\sin x(\sin x+\cos x)\leq 2\sqrt{(\sin^2 x+\cos^2 x)(\sin^2 x+2\cos^2 x)}=2\sqrt{\sin^2x+2\cos^2 x}$。
当 $\sin^2 x=2\cos^2 x$ 时，即 $\tan^2 x=2$，即 $x=\frac{\pi}{8}$ 时取得最大值 $\sqrt{6}$。
六．常值代换已知 $x>0,y>0$，且 $x+2y=3$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值。
基本不等式及其应用ppt课件
【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
基本不等式求最值---一种类型的两数和最值的求法课件(第二节课)
16
当且仅当
9x
y 1
9
y x 时取“” 1
x y
即
x4 y 12
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一般化： 1.条件是两正数和的形式，结论也是两正 数和的形式； 2.总是求最小值；
3.变量在形式上具有“倒数关系”；
4.都可以利用x x 1,其中，1 2 3 L（1的替换） 23
求解；
例1、已知a 0,b 0, a b 2,则y 1 4的最小值为（ ）
ab
解： Q y 1 4 (1 4) a b
ab ab 2
利用x 1 x,1 2 a b
1 (1 4 b 4a )
22
2
ab
1 (1 4 2 b 4a )
展开
2
ab
9
积为定值
2
解： Q y 1 4 1 (a b) ( 1 4)
基本不等式求最值
---------一种类型的两数和最值的求法
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一、题目的特点 1、条件是两正数的和的形式，结论也是两正数的 形式； 2、变量在形式上具有“倒数关系”； 3、求和的最小值。
和的
二、思路探求 积为定值，和有最小值。所以要求和的最小值，
mn
变形二：已知等式条件中，隐含“倒数关系”
例4：若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为
例5：已知x>0,y>0,3x+2y=6xy,求x+y的最小值
例4：已知正数x,y满足x+2y=2,则 x+8y 的最小值为 xy
变形三：给定函数形式中，隐含“倒数关系”
当且仅当
9x
y 1
9
y x 时取“” 1
x y
即
x4 y 12
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一般化： 1.条件是两正数和的形式，结论也是两正 数和的形式； 2.总是求最小值；
3.变量在形式上具有“倒数关系”；
4.都可以利用x x 1,其中，1 2 3 L（1的替换） 23
求解；
例1、已知a 0,b 0, a b 2,则y 1 4的最小值为（ ）
ab
解： Q y 1 4 (1 4) a b
ab ab 2
利用x 1 x,1 2 a b
1 (1 4 b 4a )
22
2
ab
1 (1 4 2 b 4a )
展开
2
ab
9
积为定值
2
解： Q y 1 4 1 (a b) ( 1 4)
基本不等式求最值
---------一种类型的两数和最值的求法
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一、题目的特点 1、条件是两正数的和的形式，结论也是两正数的 形式； 2、变量在形式上具有“倒数关系”； 3、求和的最小值。
和的
二、思路探求 积为定值，和有最小值。所以要求和的最小值，
mn
变形二：已知等式条件中，隐含“倒数关系”
例4：若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为
例5：已知x>0,y>0,3x+2y=6xy,求x+y的最小值
例4：已知正数x,y满足x+2y=2,则 x+8y 的最小值为 xy
变形三：给定函数形式中，隐含“倒数关系”
基本不等式与最大(小)值精选教学PPT课件
课前探究学习
课堂讲练互动
[规范解答] (1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元，则 y＝50n－98－12×n＋nn2－1×4(2 分) ＝－2n2＋40n－98 ＝－2(n－10)2＋102(4 分) ∴当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元(6 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)年平均利润为ny＝－2n＋4n9－20(8 分)
当且仅当 4x－5＝4x1－5，即 x＝32时，等号成立，
∴y≥2＋3＝5.
故当 x＝32时，函数 y＝4x－2＋4x1－5取最小值 5.
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法 对于能拆分为形如 y＝ax＋bx＋c 的函数，只要满 足“一正，二定，三相等”的条件，就可以利用基本不等式求 其最值或值域，在拆分时可适当换元，拆分后若两项为负， 可提取负号，创造变量为正数的条件，再求之．
则池塘的宽 y＝10 x000(x＞0)．
∴S＝(6＋x)20
x000＋6＝120x000＋6x＋20
036≥2
720 000＋
20 036＝1 200× 2＋20 036.
当且仅当120x000＝6x，即 x＝100 2，y＝50 2时，等号成立． 故每个池塘的长为 100 2 m，宽为 50 2 m 时，绿地总面积最小．
课前探究学习
课堂讲练互动
4 sin
x，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积为定值．但是由
0＜sin
x≤1，
知 sin x≠2，所以 sin x＋sin4 x＞2
sin
4 x·sin
x＝4
等号不成立，
取不到最小值．
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
用基本不等式求最值六种方法
gn111用基本不等式求最值六种方法一．配项例1：设x>2,求函数y=x+的最小值92x-解析：y=x-2++2≥8 当x-2=时，即x=5时等号成立92x-92x-例2：已知a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值法1：ab=a+b++3当a=b即ab≥9当a=b=3时等号成立。
法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3二．配系数例3:设0<x<1,求的最大值解析：y=当三．重复使用不等式例4：已知a>b>0，求+的最小值2a16()a b b-解析：+=+≥4(a-b)b+≥22a16()a b b-2a b b-+（）16()a b b-16()a b b-当时，等号成立。
四．平方升次例5：当x>0时，求函数y=x+的最大值。
解析：y=x+4-x=4+≤4+［x+)］22222 =8 当，即时，y取得最大值.五．待定系数法例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。
heibe解析：y=2sin x+2sinxcosx2=2 sin x+(a>0)22sin(cos)x a xa≤2 sin x+2222sin cosx a xa+=a+若为定值，则22(21)sina a xa+-=0，+1,221a a+-所以时成立。
六．常值代换例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求+的最小值1x1y解析：+=(x+2y)( +)=1+(+)≥1+1x1y131x1y132yxxy23当且仅当=，且x+2y=3，即-1),y=)时，取2yxxy32得最小值为1+23。
基本不等式求最值复习课课件
返
二、思 变形1：a,b是正数且a+4b=5，求ab最值；
返
三、展 变形一由第三小组展示，第五小组评讲。 变形二由第二小组展示，第七小组评讲。
返
四、检
1.若实数x,y,且x+y=5,则
的最小值（ ）
总结
1.
当且仅当a=b时，等号成立
注意：公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
2. 不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
3. 利用基本不等式求最值时，如果无定值， 要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解。
欢迎大家！
PART1
PART2
了解基本不等式会用基本不等式解决简单的最大 Nhomakorabea小)值问题
进一步培养学生化未知为已知以及发现问题、 解决问题的能力.
PART3
教学过程：
导
展、评
思、议 检
一、导
(简记：和定积最大 )
(简记：积定和最小)
牛刀小试：
1、若
，则
2、若
，则
的最小值？ 的最小值？
解：
二、思 变形1：a,b是正数且a+4b=5，求ab最值；
返
三、展 变形一由第三小组展示，第五小组评讲。 变形二由第二小组展示，第七小组评讲。
返
四、检
1.若实数x,y,且x+y=5,则
的最小值（ ）
总结
1.
当且仅当a=b时，等号成立
注意：公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
2. 不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
3. 利用基本不等式求最值时，如果无定值， 要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解。
欢迎大家！
PART1
PART2
了解基本不等式会用基本不等式解决简单的最大 Nhomakorabea小)值问题
进一步培养学生化未知为已知以及发现问题、 解决问题的能力.
PART3
教学过程：
导
展、评
思、议 检
一、导
(简记：和定积最大 )
(简记：积定和最小)
牛刀小试：
1、若
，则
2、若
，则
的最小值？ 的最小值？
解：
3.不等式与基本不等式PPT课件(人教版)
知识点分析
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
题型2
利用基本不等式求函数和代数式的最值
知识点分析
1．基本不等积定和最小
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
题型3
应用“1”的代换转化为基本不等式求最值
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
知识点分析
题型4
含有多个变量的条件最值问题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
题型5
基本不等式综合问题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
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必会例题
必会例题
必会例题
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3.不等式与基本不等式
章末复习
目录/contents
题型一：不等关系和不等式性质题型二：利用基本不等式求函数和代数式的最值题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值题型四：含有多个变量的条件最值及恒成立问题题型五：基本不等式综合问题
思维导图
本章知识
题型1
不等关系和不等式性质
知识点分析
作差法
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所以f (x)的最大值是1，此时x 1.
类型二：常数代换法 例2.（1）已知x 0, y 0, x y 1,求 1 1 的最小值；
xy （2）已知x 0, y 0, x 3y 5xy,求3x 4y的最小值.
解：（1）1 1 (1 1 )(x y) xy xy
类型三：函数单调性法；
特征：函数化成at b（a,b为非零常数）后，且取等条件不成立 t
类型四：和积转化法；
特征：题目同时含有x y, x y的形式
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2019/8/20
(3) a b 2(a,b同号)，当且仅当a b时取等号. ba
3.满足求最值的三个条件：一正二定三相等
类型一： x(4 3x)的最大值；
（2）已知x 5 , 求f (x) 4x 2 1 的最大值.
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值;
（2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（2）因为x 0, 所以xy x y
y 8
(0,x
y
2
)（*）
记t x y(t 0)
2
则（*)式可化为：t 2 4t 32 0,
可解得：t 8或t -4(舍），
即(x+y) 8, max
当且仅当x y 4时，等号成立.
总结与提升：
类型一：配凑定值法；
特征：函数能化成“积”或“和”为定值的形式
类型二：常数代换法；
特征：已知ax by c,求 d + e（a,b, c, d, e为非零常数）形式 xy
3时，等号成立.
x 1 正解：f (x) (x 1)
3
2
记t x 1(t 2)， x 1
原式y=t 3 2在[2，+）上单调递增，
所以y
2
t
3
2
11，
2
2
当且仅当t 2即x 3时等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
4
4x 5
解：（1）因为0 x 1,所以4-3x 0,
f (x) 1 3x (4 3x)
3
1 (3x43x)2
3
4
2
当且仅当33x 4 3x即x 2 时，等号成立.
3
所以f (x)的最大值是 4，此时x 2 .
3
3
类型一：配凑定值法 例1（. 1）已知0 x 1, 求f (x) x(4 3x)的最大值；
（2）已知x 5 , 求f (x) 4x 2 1 的最大值.
4
解：（2）因为x
5
,
所以4x
5
4x
0,
5
4
f (x) (5 4x
1
)3
5 4x
2 (5 4x) 1 3 5 4x
=1 当且仅当5-4x
1
即x 1时，等号成立.
5 4x
解：（2）因为x
3x 4 y 1 (3x
0, y 0,
4 y)( 3
所以 1)
1 y
3 x
5,
5
xy
=13 3x 12 y
yx
13 2 3x 12y yx
=25
3x 当且仅当 y
12 y x
即x
x 3y 5xy
1,
y
1 时，等号成立. 2
解：（1）因为x 0, y 0,
所以xy x y 8 2 xy （8 *） 记t xy(t 0)
则（*)式可化为：t 2 2t 8 0,
可解得：t 4或t -2(舍），
即(xy) 16, min
当且仅当x y 4时，等号成立.
类型四：和积转化法
2 x y yx
22 x y yx
4
x 当且仅当 y
y x
即x y
x y 1
2 时，等号成立. 2
类型二：常数代换法 例2.（1）已知x 0, y 0, x y 1,求 1 1 的最小值；
xy
（2）已知x 0, y 0, x 3y 5xy,求3x 4y的最小值.
利用基本不等式求最值 的常见方法
授课教师：郑娟
一.知识梳理
1.基本不等式：ab
a
b 2
(a，b
R)
当且仅当a b时，等号成立.
2.基本不等式的变形：
（1）a b 2 ab(a，b R),当且仅当a b时取等号.
(2)a2 b2 2ab(a，b R),当且仅当a b时取等号.
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2019/8/20
类型三：函数单调性法
例3.已知x 3, 求f (x) x 2 2 的最小值.
解：f (x) (x1)2 2(x 1) x3 1
(x 1) x31 2 x 1
2 3+2 当且仅当x 1
3
即x 1