第一章金属电子气体模型习题及答案
固体物理金属电子论作业答案
解：Na电子的费米速度：
2 EF 0 2 3.2 1.60 1019 J vF 1.06 106 m/s 1.06 108 cm/s m 9.111031 kg
由： vF (3 2 n)1/ 3 m
由：
n q 2 m
得： n
3 m 3v F
3 2 3
2. 已知KCl晶体的摩尔体积为3.7110-5m3。在可见光频率，钾 离子和氯离子的极化率分别为1.48和3.29（单位10-40 F· 2）。 m （1）计算KCl晶体的光频介电常数；（2）计算在105V/m的 有效电场下， KCl晶体正负电荷的位移。
解：KCl分子密度为：
6.02 1023 n 1.62 1028 3.7110-5
3） 费米速度
0 2 EF k F 1.05 10 34 J s vF 1.20 1010 m 1 m m 9.1110 31 kg
1.38 106 m / s 1.38 108 cm / s
3.用a3代表每个原子占据的体积，若金属中的自由电子气体在温 度为0K时能级被填充到kF0=(62)1/3/a，试计算每个原子的价电子 数目？并导出电子气在温度0K时的费米能的表达式？ 解：假设价电子数位Z，则电子浓度为： n
r
室温本征电阻l（室温）可认为仅与金属类型有关，与杂质 含量无关。金属纯度越高，剩余电阻越低，电阻率比越大； 反之，金属杂质含量多，则剩余电阻较大，电阻率比较小。
故金属电阻率比可近似表征一个金属样品的纯度。
•试解释为什么金刚石静态介电常数与光频介电常数几乎相等，但氧化 钛的静态介电常数远大于光频介电常数 （具体值见讲义）。 答：固体静态介电常数来自偶极子取向极化、离子极化和电子极化等不同 极化机制，而光频介电常数主要来自电子极化。金刚石只存在电子极化， 故静态介电常数与光频介电常数相等。而氧化钛低频时三种极化同时存在， 介电常数相对光频时（电子极化主导）较大。
(完整word版)阎守胜答案
固体物理基础习题解答第一章 金属自由电子气体模型思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是： 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率?[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布， 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-T k E E B F e g n ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然， 电子分布函数11)(/)(+=-T k E E B F e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数。
因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为： 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率。
2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量？［解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量。
格波的能量子称为声子， 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量。
频率为i ω的格波的声子数11/-=T k i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时， 任何频率的格波的声子全都消失。
因此， 绝对零度时， 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?[解答］自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由（价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上， 即分布在一个费密球内。
在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上， 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说， 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近。
4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?［解答] 费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小， 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低？[解答］当0≠T 时， 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高， 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多， 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高， 费密能反而降低. 6.为什么价电子的浓度越大， 价电子的平均动能就越大?[解答］由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密—狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时， 电子不可能都处于最低能级上， 而是在费密球中均匀分布。
清华大学固体物理：第一章 自由电子论
1 金属中自由电子的量子态
金属中的传导电子好比理想气体，相互之间没有相互作用，各自独立地在平均势场中运动，通常取
平均势场为能量零点。要使自由电子逸出体外，必须克服电子的脱出功，因此金属中自由电子的能态，
可以从在一定深度的势阱中运动的粒子能态估算，通常设势阱深度是无限的，设金属中自由电子的平均
势能为零，金属外电子的平均势能为无穷大，则金属中自由电子的薛定谔方程为：
(1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。没有外加电磁场时，电子作匀速直 线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。忽略其它电子和离子产生的复杂 的附加场。在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间 的相互作用称为自由电子近似。
x21 x y22 y
0 0
d
2 3 z
dz 2
k z2 3
z
0
(1.2.4)
这样问题简化为三个一维无限深势阱中粒子的量子态。设金属体是边长为 L 的立方体，周期性边界条件
为：
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
i
0
0 1
2
2
(1.1.26)
介质的复数折射率定义为：
n~ ~r12 n i
(1.1.27)
这里 n 是通常的折射率， 是消光系数。在光学实验中，通常不直接测量 n 和 ，而是测量反射率 R 和
吸收系数。它们之间的关系为：
R
n n
12 12
2 2
(1.1.28)
低频时 1 ， ~r i r " ，因此：
H Ex
2.金属自由电子气的Drude模型
• 金属中的价电子就象无相互作用的理想气体， 但模型与理想气体又有所不同：
* 电子气体的浓度比理想气体大三个量级 * 有两种粒子：电子，离子
不是很圆滑，所以再加些限制(基本假定)，完 成Drude模型的构造
10.107.0.68/~jgche/ 金属电子气的Drude模型
1、已知的金属性质
模型建立的依据
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
4
为什么研究固体从金属开始？
• 金属最基本物质状态之一，元素周期表中有2/3 是金属元素，应用很广泛，当时对金属的了解 比其他固体多
* 比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就 被广泛应用 * 区分非金属，实际上也是从理解金属开始
12
思考——假如你是Drude
• 根据已有线索，如何仿照理想气体建立模型？
* 与理想气体（电中性）还是有些不同！除了碰撞的 瞬间，可以不考虑其他。但现有两种带电粒子
• 不是电中性的，有库仑相互作用？那么
* 电子-电子如何相互作用？ * 电子-离子实如何相互作用？
• 还有——电传导（也包括热传导）是个输运过 程，非平衡过程，所以
上讲回顾
• 固体的微观定义
* 固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动
• 贯穿课程的主线
* 周期性波在周期性结构中的运动
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
1
本讲内容：建模推演比较修正
• 如何用在1900年左右可以理解和接受的假设、 前提和经典理论，在微观层次上建立研究金属 宏观性质的模型，解释实验观察到的金属的良 好导电和导热现象
固体物理基础参考解答
当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
对于自由电子气体，能量为
εn (k ) =
2k 2 2m
∇kεn (k )
=
2
m
k
；
k
=
1
(2mε
)
1 2
三维下，对应等能面为球面，所以单位体积的能态密度为：
∫ g (ε ) = 2
n
(2π )3
dsε
=2
4π k 2 =
1
(2m3
)
1 2
ε
1 2
∇k εn (k ) 8π 3 2k / m π 2 3
米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等。
5. 如何理解金属自由电子气体的简并性？
答 ：在 统 计 物 理 中 ，把 体 系 与 经 典 行 为 的 偏 离 ，称 为 简 并 性 (degeneracy)。在
绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照经
典 的 自 由 电 子 气 体 (Drude)的 模 型 ，电 子 在 T=0 时 的 平 均 能 量 为 零 。因 此 ，在 T=0K
如此对全部电子气来说要出现沿磁感应强度 B 方向的净磁矩，因而，出现了泡利
10 Drude模型
§1.0.2 Drude电子模型的成就与失效
尽管在Drude电子模型中对电子的运动作了最大胆的 简化，但却在解释金属材料的导电性和导热性以及光学特 性等问题上取得了相当可观的成就。 然而，对于金属中的另外一些问题，如金属中电子的
平均自由程、比热以及顺磁磁化率等等问题上，Drude电
子模型却遇到了根本性的困难。
rs
rs 1.41 2.67 a0 0.529
若给出的是 m
[解]若金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，其 所形成的晶体的质量密度为 m，则该金属中的电子浓度 为
ne ZN a
m
A
其中 N =6.022×1022为Avogadro常数。设金属中 a 每个传导电子平均占据体积的等效球体半 径为 r s， 则有
v 0 T
经典近似假设：热运动遵循Maxwell速度分布律，故有
返 回
驰豫时间近似假设： 若与离子实相继两次碰撞之间的时间 间隔为t，则有 e E e eEe 可得 e t E V ve t v e e D m m me e e
在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场方向相反的宏观定向运动于是就形成了电流著名的ohm定律微分形式由此可得到金属材料电导率的微观表达式2drude电子模型的失效下面就以电子的平均自由程为例来说明drude电子模型所遇到的根本性困难
第一章 金属自由电子气体模型
固体是由很多原子组成的复杂体系。作为近似, 可以把原子分为离子实和价电子两部分。 离子实由原子核和内层结合能高的芯电子组成。 形成固体时,离子实的变化可以忽略。 价电子是原子外层结合能低的电子，在固体中, 其状况可能和在孤立原子中十分不同。
这显然是Drude电子模型所无法解释的。
金属自由电子气理论
金属自由电子气理论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律 电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。
2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。
外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。
）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne S j E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。
4.2 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理 1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。
固体物理阎守胜第一章_金属自由电子气体模型
费 米 球
费米面： 费米能， 费米动量， 费米速度， 费米温度
2 kF EF 2m 2
pF kF
vF
kF m
TF
EF kB
由于
N 2
1 4 3 V 4 3 kF 2 3 kF k 3 8 3
N k 3 3 2 n V
3 F 2
自由电子气体模型中仅有的一个独立参量：
k2 E (k ) 2m
2
皆与波矢有关
p k
p k v m m
Born-von Karman边界条件
( x, y, z ) ( x L, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y L, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z L)
2. 对于电子受到的散射或碰撞，简单地用弛豫时间 描述。在dt时间内，电子受到碰撞的几率为 dt / ， 大体
相当于相继两次散射间的平均时间。
在外加电场E情况下，自由电子的运动满足含时 薛定谔方程
2 2 e (r , t ) i (r , t ) 2m
固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚 性的物质，包括晶体、准晶体和非晶态固体。 固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子 组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何 形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的 具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动 形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探 索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。
(1.1.3)
•自由电子近似使 V (r ) 为常数势，可简单地取为零。 则方程（1.1.3）成为：
2
2m
2 (r ) E (r )
固体物理第一章金属电子气体模型
⇓ ⇓ ⇓
为计算方便,设金属是边长为 L 的立方体， 内有N个原子，一个原子提供1个价电子。 则金属的体积: V=L3 自由电子数目为：N 由自由电子气体模型， N 个原子和N 个电子 的多体问题转化为单电子问题。 按照量子力学假设，单电子的状态用波函 数 Ψ (r ) 描述,且满足薛定谔方程。
1.薛定谔方程及其解
(3)价电子速度服从费米—狄拉克分布—自由电 子费米气体 （free electron Fermi gas) (4)不考虑电子和金属离子之间的碰撞 (No collision) 2.电子密度 理想气体在温度恒定下可用气体密度来描述， 与此类似，自由电子气体模型也可用电子密度 n来描述，而且，n是唯一的一个独立的参量。 电子的能量、动量、速度等都可以写成n的 数。
k
为波矢，其方向为平面波的传播方向 的大小与电子的德布罗意波长的关系为：
k
k =
2π
λ
把波函数
1 ik ⋅r ψ k (r ) = e 代入薛定谔方程 V
2 2
得到电子的本征能量：
k = 2 2 2 (k x + k y + k z ) ε = 2m 2m
2. 电子的动量 将动量算符
2
ˆ p = −i ∇
(3) 发展—1904年洛仑兹发展了这个理论：认 为金属中的电子不仅是自由的，而且遵守麦— 玻统计规律，同时认为电子和金属离子的碰撞 是弹性的。从而半定性地解释上述问题。 (4) 困难--(a) 根据经典统计的能量均分定 理，N个价电子的电子气有3N个自由度，它们 对热容的贡献为3NkB/2,但对大多数金属，实验 值仅为这个理论值的1% 。 (b) 根据这个理论得出的自由电子的顺磁磁 化率和温度成正比，但实验证明，自由电子的 顺磁磁化率几乎与温度无关。（第三节）
《第1章 分子动理论与气体实验定律》试卷及答案_高中物理选择性必修 第三册_2024-2025学年
《第1章分子动理论与气体实验定律》试卷(答案在后面)一、单项选择题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）1、一定质量的理想气体，在温度不变的情况下，体积减小了，则其压强将会：A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法确定2、在一个封闭容器内，有相同数量的氮气(N₂)和氧气(O₂)，如果两种气体都视为理想气体，则在相同的温度下，它们的分子平均动能比较结果是：A. 氮气大于氧气B. 氧气大于氮气C. 相等D. 无法判断3、下列关于扩散现象的描述，错误的是（）A、扩散现象表明分子在不停地做无规则运动B、不同物质在相互接触时，彼此进入对方的现象叫扩散C、扩散现象的存在说明分子间有引力作用D、气体分子比固体分子扩散速度快4、一定量的气体，在温度不变的情况下，体积减小到原来的一半，那么气体的（）A、压强增加到原来的两倍B、压强减小到原来的一半C、压强不变D、压强增加到原来的四倍5、一个密闭的气体容器，若温度升高，则下列哪个物理量一定会增加？（）A、分子的平均速率B、分子的质量C、容器的体积D、气体的压强6、关于气体实验定律，下列哪个定律描述了在体积保持不变的情况下，气体的压强与温度的关系？（）A、能量守恒定律B、波义耳定律C、查理定律D、盖·吕萨克定律7、下列关于分子间作用力的描述错误的是：A、分子间作用力在分子距离增大到一定距离后，表现为引力；B、分子间作用力随着分子距离增大先减小后增大，再减小；C、当分子距离减小到一定距离时，分子间作用力消失；D、当分子距离小于平衡距离时，分子间作用力表现为斥力。
二、多项选择题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、下列关于分子动理论的说法中，哪些是正确的？（多选）A. 温度是分子平均动能大小的标志。
B. 在一定温度下，不同种类的气体分子的平均速率相同。
C. 气体分子之间的作用力在通常情况下可以忽略。
D. 布朗运动证明了分子的无规则运动。
E. 气体压强是由气体分子对容器壁的频繁碰撞产生的。
2023年大学_固体物理基础第三版(阎守胜著)课后题答案下载
2023年固体物理基础第三版（阎守胜著）课后题答案下载固体物理基础第三版（阎守胜著）课后答案下载第一章金属自由电子气体模型1.1 模型及基态性质1.1.1 单电子本征态和本征能量1.1.2 基态和基态的能量1.2 自由电子气体的热性质1.2.1 化学势随温度的变化1.2.2 电子比热1.3 泡利顺磁性1.4 电场中的`自由电子1.4.1 准经典模型1.4.2 电子的动力学方程1.4.3 金属的电导率1.5 光学性质1.6 霍尔效应和磁阻1.7 金属的热导率1.8 自由电子气体模型的局限性第二章晶体的结构2.1 晶格2.1.1 布拉维格子2.1.2 原胞2.1.3 配位数2.1.4 几个常见的布拉维格子2.1.5 晶向、晶面和基元的坐标2.2 对称性和布拉维格子的分类2.2.1 点群2.2.2 7个晶系2.2.3 空间群和14个布拉维格子2.2.4 单胞或惯用单胞2.2.5 二维情形2.2.6 点群对称性和晶体的物理性质 2.3 几种常见的晶体结构2.3.1 CsCl结构和立方钙钛矿结构 2.3.2 NaCl和CaF、2结构2.3.3 金刚石和闪锌矿结构2.3.4 六角密堆积结构2.3.5 实例，正交相YBa2Cu307-82.3.6 简单晶格和复式晶格2.4 倒格子2.4.1 概念的引入2.4.2 倒格子是倒易空间中的布拉维格子 2.4.3 倒格矢与晶面2.4.4 倒格子的点群对称性2.5 晶体结构的实验确定2.5.1 X射线衍射2.5.2 电子衍射和中子衍射2.5.3 扫描隧穿显微镜第三章能带论I3.1 布洛赫定理及能带3.1.1 布洛赫定理及证明3.1.2 波矢七的取值与物理意义3.1.3 能带及其图示3.2 弱周期势近似3.2.1 一维情形3.2.2 能隙和布拉格反射3.2.3 复式晶格3.3 紧束缚近似3.3.1 模型及计算3.3.2 万尼尔函数3.4 能带结构的计算3.4.1 近似方法3.4.2 n(K)的对称性3.4.3 n(K)和n的图示3.5 费米面和态密度3.5.1 高布里渊区3.5.2 费米面的构造3.5.3 态密度第四章能带论Ⅱ4.1 电子运动的半经典模型 4.1.1 模型的表述4.1.2 模型合理性的说明4.1.3 有效质量4.1.4 半经典模型的适用范围4.2 恒定电场、磁场作用下电子的运动4.2.1 恒定电场作用下的电子4.2.2 满带不导电4.2.3 近满带中的空穴4.2.4 导体、半导体和绝缘体的能带论解释 4.2.5 恒定磁场作用下电子的准经典运动 4.3 费米面的测量4.3.1 均匀磁场中的自由电子4.3.2 布洛赫电子的轨道量子化4.3.3 德哈斯一范阿尔芬效应4.3.4 回旋共振方法4.4 用光电子谱研究能带结构4.4.1 态密度分布曲线4.4.2 角分辨光电子谱测定n(K)4.5 一些金属元素的能带结构4.5.1 简单金属4.5.2 一价贵金属4.5.3 四价金属和半金属4.5.4 过渡族金属和稀土金属第五章晶格振动5.1 简谐晶体的经典运动5.1.1 简谐近似5.1.2 一维单原子链，声学支 5.1.3 一维双原子链，光学支 5.1.4 三维情形5.2 简谐晶体的量子理论5.2.1 简正坐标5.2.2 声子5.2.3 晶格比热5.2.4 声子态密度5.3 晶格振动谱的实验测定 5.3.1 中子的非弹性散射5.3.2 可见光的非弹性散射 5.4 非简谐效应5.4.1 热膨胀5.4.2 晶格热导率第六章输运现象6.1 玻尔兹曼方程6.2 电导率6.2.1 金属的直流电导率6.2.2 电子和声子的相互作用 6.2.3 电阻率随温度的变化 6.2.4 剩余电阻率6.2.5 近藤效应06.2.6 半导体的电导率6.3 热导率和热电势6.3.1 热导率6.3.2 热电势6.4 霍尔系数和磁阻第七章固体中的原子键合7.1 概述7.1.1 化学键7.1.2 晶体的分类7.1.3 晶体的结合能7.2 共价晶体7.3 离子晶体7.3.1 结合能7.3.2 离子半径7.3.3 部分离子部分共价的晶体7.4 分子晶体、金属及氢键晶体7.4.1 分子晶体7.4.2 量子晶体7.4.3 金属……第八章缺陷第九章无序第十章尺寸第十一章维度第十二章关联固体物理基础第三版（阎守胜著）：基本信息阎守胜，1938生出生，1962年毕业于北京大学物理系，现任北京大学物理学院教授，博士生导师，兼任中国物理学会《物理》杂志主编，他长期从事低温物理，低温物理实验技术，高温超导电性物理和介观物理方面的实验研究，并讲授大学生的固体物理学，低温物理学和现代固体物理学等课程。
金属自由电子气模型
(1.2.2)式在一级近似下为
p(t
dt)
p(t)
F (t)dt
P(t)
dt
(1.2.3)
更简练的形式为
dp(t)
F (t )
P(t)
dt
(1.2.4)
引入外场作用下电子的漂移速度（Drift velocity）d
m
d d
(t)
F (t)
• 作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出，现在仍 然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个 模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na: K L M 1s 2s2p 3s 281
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
传导电子密度 n：单位体积的传导电子数
原子数/mole: N0 = 6.022 ∙ 1023，Avogadro常数 mole数/cm3: ρm/A, 其中 m是金属的质量密度（g/cm3），A 是元素的原子量
n
N0
Zm
A
6.022 1023
Zm
A
Z是每个原子贡献的价电子（传导电子）数目
对于金属，n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想 气体的密度高上千倍3源自0.22rs a0
1014 sec .
(1.2.10)
其a0为中玻，尔为半金径属。电阻率，rs为一个所占据体积的等效球半径，
金属Cu的室温电阻率ρ=1.56∙10-6Ohm-cm, τ=2.7 ∙10-14 sec
3）金属中电子的平均自由程
l = v0τ ; 而 mv02/2 =3kBT/2
第一章金属电子气体模型习题及答案
第一章金属自由电子气体模型习题及答案1.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答]自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2.晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答]费米能级3/222)3(2πn m E oFℏ=，其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3．为什么温度升高，费米能反而降低？[解答]当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4．为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E Fℏ=和3/222)3(10353πn m E E o F ℏ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n 。
高中化学高一电子结构模型练习题
高中化学高一电子结构模型练习题1. 给定一个元素的原子序数为17，回答以下问题：- 该元素的电子排布情况如何？- 具体描述该元素电子排布的原理。
答案：该元素的电子排布情况：1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁵。
具体描述该元素电子排布的原理：电子遵循能级填充原则，按顺序填充各个能级。
填充顺序是：1s、2s、2p、3s、3p、4s、3d、4p、5s、4d、5p、6s、4f、5d、6p、7s、5f、6d、7p。
该元素是第17个元素，所以从1s开始填充电子，直到填完17个电子。
2. 解释以下化学符号的含义：H, He, O, Fe, Au。
答案：H：氢，原子序数为1的元素。
He：氦，原子序数为2的元素。
O：氧，原子序数为8的元素。
Fe：铁，原子序数为26的元素。
Au：金，原子序数为79的元素。
3. 请写出以下化学式中非金属元素的符号：CO₂, H₂O, CH₄。
答案：CO₂中的非金属元素：C（碳）。
H₂O中的非金属元素：H（氢）和O（氧）。
CH₄中的非金属元素：C（碳）和H（氢）。
4. 以下哪个元素的原子结构含有18个电子？请写出该元素的符号和原子序数。
答案：元素的符号：Ar元素的原子序数：185. 请写出以下元素原子中电子的分布情况：K, Ca, Cl, Cu。
答案：K：1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 4s¹。
Ca：1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 4s²。
Cl：1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁵。
Cu：1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 4s¹ 3d¹⁰。
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其中n单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目 不变，n变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除
了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波 获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子 态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占 据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
（2） 体积弹性模量与压强P和体积的关系为 ，将 代入体积弹性模量与压强P和体积的关系式，得到
8． 每个原子占据的体积为 ，绝对零度时价电子的费米半径为 ，计 算每个原子的价电子数目。
[解答] 在绝对零度时导电电子的费米半径 。 现已知一金属导电电子的费米半径 ，所以，该金属中导电电子的 密度
。 是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子。
5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存 在电势差？为什么？
[解答] 两块同种金属，温度分别为和，且。在这种情况下，温度为 的金属高于费米能的电子数目，多于温度为的金属高于费米能的电 子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为的 金属高于的部分电子将流向温度为的金属。温度未达到相等前，这 种流动一直持续，期间，温度为的金属失去电子，带正电；温度为 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
7． 一金属体积为，价电子总数为，以自由电子气模型， （1）在绝热条件下导出电子气体的压强为： ，其中电子气体的基
态能量 （2）证明电子气体的体积弹性模量 。 [解答] (1) 在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功等于系统内能的 增加，即
式中P是电子气的压强。由上式可得 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由 由此可得到
已知铜的电子浓度，，试比较费米速度和飘移速度 [解答] 是费米面上电子的动量，电子的费米速度则为`
将漂移速度
与费米速度比较，得
将 ，，，， 代入上式，得到 可见如果认为所有价电子都参与导电，则价电子的飘移速度将远小于费 米面上电子的速度。这一点也不难理解，因为量子理论认为，参与导电 的电子只是费米面附近的少数电子。如果把费米面附近的电子对电流的 贡献也粗略地写成
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨
论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电
子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。在绝对零度时，电子不可能 都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多， 价电子的平均动能就越大。这一点从和式看得更清楚。电子的平均动能 正比于费米能 ，而费米能又正比于电子浓度。所以价电子的浓度越 大，价电子的平均动能就越大。
9． 求出绝对零度时费米能 、电子浓度 、能态密度及电子比热与费米 半径的关系。
[解答] 绝对零度时电子的费米半径
。 电子浓度与费米半径的关系是
。 绝对零度时电子的费米能与费米半径的关系为
自由电子的能态密度是
由此可得
平均一个电子对热容量的贡献为
因为 所以一个电子的热容与费米半径的关系为
10． 经典理论认为，所有价电子都参与导电，电流密度与所有电子 的飘移速度的关系是
由于 及答案
1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点 的？
[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自 由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米 球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电 子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上， 能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能 态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动 能十分相近。
6． 为什么价电子的浓度越高，电导率越大？ [解答] 电导是金属通流能力的量度。通流能力取决于单位时间内通 过截面积的电子数。但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电 有贡献的是费米面附近的电子。费米球越大，对导电有贡献的电子 数目就越多。费米球的大小取决于费米半径。 可见电子浓度越高， 费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就 越高。