高考文科数学圆锥曲线专题复习知识讲解

圆锥曲线专题复习

抛物线：

图形

x

y

O F

l

x

y

O F

l

方程

)0(22

>=p px y )0(22>-=p px y

)0(22>=p py x )0(22>-=p py x

焦

点 )0,2

(p )0,2(p -

)2,0(p

)2,0(p -

准

线 2

p x -= 2p x =

2p y -=

2

p y =

（一）椭圆

1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(122

22>>=+b a b

y a x

（1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-，椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。

（2）对称性:图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，

简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。a c

e =

⇒2)(1a

b e -=。10<

c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为是椭圆在1=e 时的特例。 2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率。

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程

对于12222=+b

y a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 2

2:=

对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 2

2:=

焦点到准线的距离c

b c c a c c a p 2

222=-=-=（焦参数）

（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性

由标准方程122

22=-b

y a x ，从横的方向来看，直线x ＝－a,x ＝a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x

的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不

封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 （2）顶点

顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21

实轴：21A A 长为2a,a 叫做实半轴长。虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 （3）渐近线

过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±b

y

a x ）

（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比a

c

a c e ==

22，叫做双曲线的离心率 范围：e>1 双曲线形状与e 的关系：112

2

222-=-=-==e a

c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。

2. 等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e 。

3. 共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为x a

b y ±

=)0(>±=k x ka kb

，那么此双曲线方程就一定是：

)0(1)()(22

22>±=-k kb y ka x 或写成

λ=-2

2

22

b y a x 。 4. 共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。

5. 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=

a c a

c

e 的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e 是双曲线的离心率。 6. 双曲线的准线方程：

对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2

1:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对

应着右准线c

a x l 2

2:=；

焦点到准线的距离c

b p 2

=（也叫焦参数）。

对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2

1:-=；相对于上焦点),0(2c F 对

应着上准线c

a y l 2

2:=。

（三）抛物线的几何性质 （1）范围

因为p ＞0，由方程()022

>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标（x ，y ）满足不等式x ≥0，所

以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 （2）对称性

以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 （3）顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y ＝0时，x ＝0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点。

（4）离心率

抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。由抛物线的定义可知，e ＝1。

【典型例题】

例1. 根据下列条件，写出椭圆方程

（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； （2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；

（3）中心在原点，焦点在x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的

距离是510－。