第九章 形态学图像处理

发展历史（1）
60年代：孕育和形成
1964诞生，法国学者Serra对铁矿石的岩相进行定量分析，以预 测特矿石的可轧性。同时，Matheron研究了多孔介质的几何结 构、渗透性及二者的关系，二者的研究直接导致数学形态学雏 形的形成。1966年命名Mathematical Morphology。1968年在法 国成立枫丹白露(Fontainebleau)数学形态学研究中心。
形态学图像处理概念
MM是一门综合了多学科知识的交叉科学， 尽管其理论基础很艰深 ， MM 是一门综合了多学科知识的交叉科学 尽管其理论基础很艰深， 是一门综合了多学科知识的交叉科学， 但基本概念却比较简单。其体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性， 但基本概念却比较简单 。 其体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性 ， 又具备与实践紧密相关的实验和计算技术。它涉及微分几何、 又具备与实践紧密相关的实验和计算技术 。 它涉及微分几何 、 积分 几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数学理论， 几何 、 测度论 、 泛函分析和随机过程等许多数学理论 ， 其中积分几 何和随机集论是其基石。 何和随机集论是其基石。 由于描述MM 的语言是集合论 的语言是集合论， 由于描述 MM的语言是集合论， 可以提供一个统一而强大的工具来 处理图像分析中的问题。 MM 对物体几何结构分析的过程就是主 处理图像分析中的问题 。 用 MM对物体几何结构分析的过程就是主 客体相互逼近的过程，通过MM 的几个基本概念和运算 的几个基本概念和运算， 客体相互逼近的过程 ， 通过 MM的几个基本概念和运算 ， 可将结构 元灵活地组合、分解，并根据所得形态变换序列达到分析得目的。 元灵活地组合、分解，并根据所得形态变换序列达到分析得目的。
A ⊕ B = z ( B) z ∩ A ≠ ∅
{
}
}
含义：膨胀结果是这样一个由移位元素z组成的集合，以至B 含义：膨胀结果是这样一个由移位元素z组成的集合，以至B的反射 对这些元素移位操作的结果与A至少重叠一个元素， 对这些元素移位操作的结果与A至少重叠一个元素，因此也可以表 示成： 示成：
A ⊕ B = z [( B) z ∩ A] ⊆ A
A $ B = { z ( B ) z ⊆ A}
含义：腐蚀结果是这样一个由移位元素z组成的集合，以至B 含义：腐蚀结果是这样一个由移位元素z组成的集合，以至B对这些 元素移位操作的结果完全包含于A 元素移位操作的结果完全包含于A。 腐蚀和膨胀关于补集和反射操作呈对偶关系（证明略）： 腐蚀和膨胀关于补集和反射操作呈对偶关系（证明略）：
( A $ B)c = Ac ⊕ B
腐蚀过程解释图示
腐蚀操作应用举例：消除二值图像中的不相 关细节
本例中“细节”是从尺寸大小的角度讲的，同时该例中出现的 本例中“细节”是从尺寸大小的角度讲的， 一些概念是形态学滤波的基础。 一些概念是形态学滤波的基础。
9.3.3 开和闭运算
开运算： 开运算：
A B = ( A $ B) ⊕ B
相当于先用结构元B 相当于先用结构元B对A腐蚀，再对腐蚀结果用同样的结构元进行 腐蚀， 膨胀操作。开运算也可以通过下面的拟合过程来表示： 膨胀操作。开运算也可以通过下面的拟合过程来表示：
A B = ∪{( B) z ( Bz ) ⊆ A}
基本属性： 基本属性： 开的结果是A的子集； ① 开的结果是A的子集； 的子集， 开的结果是D 开运算结果的子集； ② 如C是D的子集，则C与B开的结果是D与B开运算结果的子集； 对同样的A 做多次开运算的结果与做一次是一样的。 ③ 对同样的A，做多次开运算的结果与做一次是一样的。
70年代：
1973年，Mathron的《随机集和积分几何》为数学形态学奠定了 基础。
发展历史（2）
80年代： 80年代： 年代
1982 由 Serra 主 编 完 成 的 《Image Analysis and Mathematical Morphology》是里程碑，表明数学形态学在理论上已趋于完备。 Morphology》是里程碑，表明数学形态学在理论上已趋于完备。此 该书的第二版和第三版相继出版。 1986， CVGIP（ 后 ， 该书的第二版和第三版相继出版 。 1986 ， CVGIP （ computer vision graphics and image processing) 发表了MM专辑，使MM的研 发表了MM专辑 专辑， MM的研 究呈现新景象。提出基于MM的纹理分析模型系列 的纹理分析模型系列。 究呈现新景象。提出基于MM的纹理分析模型系列。
9.2 数学基础
集合论的一些基本概念： 集合论的一些基本概念：
－属于、不属于、空集 属于、不属于、 中的一个集合，如果a是其中的一个元素， 属于A 令A是Z2中的一个集合，如果a是其中的一个元素，称a属于A，并 记作： 否则， 不属于A 记为： 记作：a ∈ A, 否则，称a不属于A，记为： a ∉A ，如A中没有任何 元素，称A为空集：∅ 元素， 为空集： 子集、并集、 －子集、并集、交集 A ⊆ B, C = A ∪ B, C = A ∩ B －不相连（互斥）、补集、差集 ）、补集 不相连（互斥）、补集、 A ∩ B = ∅, Ac = { a | a ∉ A }, A – B = { c | c ∈ A, c ∉ B } = A ∩ Bc －反射（相对某个中心点） 反射（相对某个中心点） 、移位（相对原点） 移位（相对原点）
形态学图像分析的基本步骤
① 提出所要描述的物体几何结构模式，即提取几何结构特征； 提出所要描述的物体几何结构模式，即提取几何结构特征； 根据结构模式选择相应的结构元素（简单又有最强的表现力）； ② 根据结构模式选择相应的结构元素（简单又有最强的表现力）； 用选定的结构元对图像实行击中与否（HMT）变换， ③ 用选定的结构元对图像实行击中与否（HMT）变换，便得到比原 始图像更显著突出物体特征信息的图像。如赋予相应变量， 始图像更显著突出物体特征信息的图像。如赋予相应变量，还可 得到定量描述； 得到定量描述； 经过形态学变换后的图像突出我们所需的信息， ④ 经过形态学变换后的图像突出我们所需的信息，从而可以方便提 取信息。 取信息。 以上，HMT是MM图像分析的核心运算 图像分析的核心运算。 以上，HMT是MM图像分析的核心运算。
逻 辑 操 作 图 形 表 示
9.3 二值形态学基本运算
膨胀 (dilation) 腐蚀 (erosion) 开和闭 (opening and closing) 击中与否变换 (hit-or-miss)
9.3.1 膨胀运算
定义： 定义： 假定A 上的两个集合， 结构元素）膨胀定义为： 假定A和B是Z2上的两个集合，把A被B（结构元素）膨胀定义为：
形态学图像分析的优点
MM方法比其他空域或频域图像处理方法有一些明显的优势： MM方法比其他空域或频域图像处理方法有一些明显的优势： 方法比其他空域或频域图像处理方法有一些明显的优势 • 在恢复处理中，形态滤波可借助先验的几何特征信息，利用形态 在恢复处理中，形态滤波可借助先验的几何特征信息， 学算子有效滤除噪声，又可保留图像的原有信息； 学算子有效滤除噪声，又可保留图像的原有信息； • MM算法易于用并行处理方法有效实现，且硬件实现容易； MM算法易于用并行处理方法有效实现 且硬件实现容易； 算法易于用并行处理方法有效实现， • 基于MM的边缘信息提取由于基于微分的提取算法，也不象微分 基于MM的边缘信息提取由于基于微分的提取算法 的边缘信息提取由于基于微分的提取算法， 算法对噪声那样敏感，同时提取的边缘较光滑； 算法对噪声那样敏感，同时提取的边缘较光滑； • 基于MM方法提取的图像骨架较连续，断点少。 基于MM方法提取的图像骨架较连续 断点少。 方法提取的图像骨架较连续，
90年代至今： 90年代至今： 年代至今
在模式识别，编码，运动分析，运动景物描述、放射医学、 在模式识别，编码，运动分析，运动景物描述、放射医学、工业控 制等方面取得进展，及用于数值函数的形态学算子开发等。 制等方面取得进展，及用于数值函数的形态学算子开发等。 如果证明，在某些时候， “如果证明，在某些时候，形态学方法比其他方法在模式识别方面 更有效，那是因为它更好地把握了景物的几何特点，仅此而已” 更有效，那是因为它更好地把握了景物的几何特点，仅此而已” －Serra 在把握自然景物含义，人类思维的符号描述方面显得不够有力， 在把握自然景物含义，人类思维的符号描述方面显得不够有力，有 待发展。 待发展。
开运算的几何解释
可见，开运算的边界是由这样一些点组成的，就是当B沿A的内部 可见，开运算的边界是由这样一些点组成的，就是当B 边界滚动时， 中所能达到的A的内部边界的最远的点。 边界滚动时，B中所能达到的A的内部边界的最远的点。
闭运算
A • B = ( A ⊕ B) $ B
相当于先用结构元B 相当于先用结构元B对A进行膨胀，再对膨胀结果用同样的结构元 进行膨胀， 进行腐蚀操作，过程与开运算正好相反。 进行腐蚀操作，过程与开运算正好相反。 几何上，闭运算的结果是由这样一些点集w组成的，即包含w 几何上，闭运算的结果是由这样一些点集w组成的，即包含w的任 的交集非空。 何(B)z与A的交集非空。 基本属性： 基本属性： 是开运算结果的子集； ① A是开运算结果的子集； 的子集， 闭作用的结果是D ② 如C是D的子集，则C与B闭作用的结果是D与B闭运算结果的 子集； 子集； ③ 对同样的A，做多次闭运算的结果与做一次是一样的。 对同样的A 做多次闭运算的结果与做一次是一样的。
形态学图像变换中结构元选取的原则
在形态学算法设计中，结构元的选择十分重要，其形状、 在形态学算法设计中，结构元的选择十分重要，其形状、尺寸的选 择是能否有效提取信息的关键。选择的几个基本原则： 择是能否有效提取信息的关键。选择的几个基本原则： 结构元必须在几何上比原图像简单，且有界； ① 结构元必须在几何上比原图像简单，且有界；当选择性质相同 或相似的结构元时，以选择极限情况为宜； 或相似的结构元时，以选择极限情况为宜； 结构元的凸性很重要，对非凸子集， ② 结构元的凸性很重要，对非凸子集，由于连接两点的线段大部 分位于集合的外面， 分位于集合的外面，故用非凸子集作为结构元将得不到什么信 息。
( A) z = {c c = a + z , a ∈ A} B = {w w = −b, b ∈ B}
集合关系的图形表示
并 、 交 、 补 、减
移位、反射 移位、
二值图像中的基本逻辑操作
三种最基本的逻辑运算（功能完整的）：与 三种最基本的逻辑运算（功能完整的）：与、或、非（补） ）：
尽管逻辑操作与集合操作间存在一一对应的关系， 尽管逻辑操作与集合操作间存在一一对应的关系，但逻辑操作只 是针对二值图像。 是针对二值图像。
个分支。 个分支。
数学形态学(mathematical morphology, MM)：是根据形态
学概念发展而来具有严格数学理论基础的科学，并在图像处理和模 学概念发展而来具有严格数学理论基础的科学， 式识别领域得到了成功应用。 式识别领域得到了成功应用。除了通常作为一种抽取图像中区域形 状特征，如边界、骨骼和凸壳等，的工具外， 状特征，如边界、骨骼和凸壳等，的工具外，也经常用于图像的预 处理和后处理， 形态学滤波、细化和修剪等。 处理和后处理，如：形态学滤波、细化和修剪等。
{
这里，结构元B也可以成为卷积掩码，因为膨胀的操作过程和线性 这里，结构元B也可以成为卷积掩码， 卷积过程很类似。 卷积过程很类似。
膨胀过程解释图示
Βιβλιοθήκη Baidu胀操作应用举例：桥接断裂图像间的 间隙
9.3.2 腐蚀运算
定义： 定义： 假定A 上的两个集合， 腐蚀定义为： 假定A和B是Z2上的两个集合，把A被B腐蚀定义为：
第九章 形态学图像处理
内容提纲:
1. 数学形态学的发展历史及基本概念 2. 数学基础 3. 形态学基本运算 4. 二值形态学图像处理基本操作 5. 灰阶图像形态学处理基本操作 6. 形态学图像处理基本应用 7. 总结
9.1 数学形态学历史及基本概念
形态学：通常指生物学中对动植物的形状和结果进行处理的一