无穷区间上的广义积分

注：以上实际
lim xex
x

lim
x
x ex

lim
x
1 ex
0,
lim ex
x

lim
x
1 ex
0
即 xex 0 , 0
ex (0 e0 ) 1. 0
补例 计算 0 xexdx.
解 用分部积分法，得
0 xe xdx 0 xde x xe x 0 0 e xdx
为了书写上的方便，借用“N—L”公式的记法， 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记
F() lim F(x), F() lim F(x).
x
x
则定义 1，2，3 中的反常积分可表示为
a
f
( x)dx

F(x)
a

F()
F (a)，
b f ( x)dx F ( x) b F(b) F()，
c
f ( x)dx 与

f ( x)dx

c
都收敛，则称上面两个广义积分之和为 f (x) 在无穷区
间 (- , + ) 内的广义积分，
记作

f ( x)dx,
即


c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx,


c
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.


f ( x)dx F ( x) F() F().


例 1 计算 xexdx. 0
解 用分部积分法，得
xexdx xdex xex exdx
0
0
0
0
0 ex (0 e0 ) 1. 0
b
lim f ( x)dx
a a
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b]
上的广义积分，
记作 b
f
( x)dx,
即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx

a a
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.
定义4.43 设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续，且 对任意实数 c，如果反常积分
b a
存在， 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + )
上的广义积分，记作

a
f ( x)dx,
即

b
f ( x)dx lim f ( x)dx.
a
b a
这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散.
定义 4.3 设函数 f (x) 在 (- , b] 上连续， 取实 数 a > b，如果极限



ex 0 1.
其中 lim xex x

lim
x
x ex

lim
x

1 ex
0,
即 xex 0 0.
例 2
求

1
1 x2
dx.
解
1 1 x2 dx
arctan x ( ) .
e x ln x e ln x
e
故该积分发散.
*
补例

证明反常积分 1
1 xp
dx,
当 p > 1 时，
收敛；当 p ≤ 1 时，发散 .
证 p = 1 时，则
dx ln x
1x
1
所以该广义积分发散.
p 1 时，则
dx
1 xp
1 x 1 p
1 p
1


1 p1
,当
p
1,
, 当 p 1.
综合上述，当 p > 1 时，该反常积分收敛. 当 p ≤ 1 时，
该反常积分发散.
2
2
补例 判断 cos xdx 的 收 敛 性. 0
解

cos
xdx

sin
x
.
0
0
由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以原广义积
分发散 .
补例

判断Βιβλιοθήκη Baidu
dx
的 收 敛 性.
e x ln x
解
dx d ln x ln ln x
4.4 无穷区间上的广义积分
定积分的概念中,积分区间[a,b] 是一个有限区间,但在
科学技术中有时会遇到区间是无限区间,为此需要将定积 分的概念加以扩展,得到下列无穷区间上的广义积分的概 念.
定义 4.2 设函数 f (x) 在 [a, + )上连续，取实 数 b > a，如果极限
b
lim f ( x)dx