浙教版初三数学知识点整理

第一章反比例函数

知识点：1.定义：形如y ＝x

k （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其中x

是自变量，y 是函数，自变量x 的取值是不等于0的一切实数。

说明：1）y 的取值范围是一切非零的实数。

2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此其解析式也可以写成xy=k ；1-=kx y ；x

k

y 1

=（k 为常数，k ≠0） 3）反比例函数y ＝x k

（k 为常数，k ≠0）的左边是函数，右边是分母为自变量x 的分式，也就

是说，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式，如x

y 1=

，x y 2

13=等都是反比例函数，

但2

1

+=

x y 就不是关于x 的反比例函数。 2. 用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数y ＝

x

k

只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定其解析式。

3. 反比例函数的画法：

1）列表；2）描点；3）连线

注：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”

为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，

使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠

近两坐标轴

4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图

形。有两条对称轴：直线y=x 和 y= －x ；对称中心是：原点

5. 性质:

反比例函数

y ＝

x

k

（k 为常数，k ≠0） k 的取值 k ＜0 k ＞0

图像

性质 a) x 的取值范围是x ≠0；y 的取值范围是y ≠0;

a) x 的取值范围是x ≠0；y 的取值范围是y ≠0;

b) 函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。

b)

函数的图像两支分别位

于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小。

说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。

2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。

3）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．

4）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在

双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（

，）

在双曲线的另一支上．

6. 反比例函数y ＝

x

k

（k ≠0）中的比例系数k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线y ＝x

k

（k ≠0）上的任意一

点P （x , y ）做x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ，所得矩形OBPA 的面积S=PA ·PB=∣xy ∣=∣k ∣。

推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为

2

k

7. 经典例题考察：

1）反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果xy=k （k ≠0），那么x 与y 这两个量成反比例的关系，这里的x 、y 可以表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。例如y －1与x+1

成反比例，则11+=

-x k y ；若y 与x 2 成反比例，则2x

k

y =成反比例关系，x 和y 不一定是反比例函数；但反比例函数x k

y =（k ≠0）必成反比例关系。

2）坐标系中的求不规则图形的面积

3）反比例函数与一次函数、正比例函数的综合题

8 反比例函数与一次函数的联系．

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线

与双曲线

的关系：

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于

原点成中心对称．

8. 实际问题与反比例函数的应用

1）步骤：分析问题，列解析式建立反比例函数模型→利用反比例函数解决相关问题，建立

反比例函数模型是解决问题的关键。

思路：题目中已明确两变量的函数关系，常利用待定系数法求出函数解析式。

题目中不能确定变量间的函数关系，找出等量关系，将变量联系起来就能得到函

数关系式，并解决问题。

2）反比例函数的应用

（1）反比例函数在几何问题中的应用。求实际问题中的面积

（2）反比例函数在其他学科中的应用，

a)

物理学中，电压一定时，电阻R 与电流强度I 成反比例函数，R

U I =

b)

当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，

气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m 3）是体积v 的反比例函数，解析式可以表达为

v

k =

ρ c)

收音机刻度盘的波长l 与频率f 关系式: f

k l =