混凝土结构 第4章计算题及答案

第四章 受弯构件正截面承载力
计算题参考答案
1． 已知梁的截面尺寸为b ×h=200mm ×500mm ，混凝土强度等级为C25,f c =11.9N/mm 2，
2/27.1mm N f t =, 钢筋采用HRB335，2/300mm N f y =截面弯矩设计值M=165KN.m 。

环境类别为一类。

求：受拉钢筋截面面积
解：采用单排布筋 mm h 465355000=-= 将已知数值代入公式 s y c A f bx f =1α 及 )2/(01x h bx f M c -=α得 1.0⨯11.9⨯200⨯x=300⨯s A
165⨯106=1.0⨯11.9⨯200⨯x ⨯(465-x/2) 两式联立得：x=186mm
A s =1475.6mm 2
验算
x=186mm<=0h b ξ0.55⨯465=255.8mm
2
min 200500200%2.06.1475mm bh A s =⨯⨯=>=ρ
所以选用3Φ25 A s =1473mm 2
2．已知一单跨简支板，计算跨度l =2.34m ，承受均布荷载q k =3KN/m 2（不包括板的自
重），如图所示；混凝土等级C30，2
/3.14mm N f c =；钢筋等级采用HPB235钢筋，即Ⅰ
级钢筋，2
/210mm N f y =。

可变荷载分项系数γQ =1.4，永久荷载分项系数γG =1.2，环境类别为一级，钢筋混凝土重度为25KN/m 3。

求：板厚及受拉钢筋截面面积A s
解：取板宽b=1000mm 的板条作为计算单元；设板厚为80mm ，则板自重g k =25×0.08=2.0KN/m 2,
跨中处最大弯矩设计值：
图1
()()m KN l q g
M k q k G .52.434.234.122.18
181
22=⨯⨯+⨯⨯=+=
γγ 由表知，环境类别为一级，混凝土强度C30时，板的混凝土保护层最小厚度为15mm ，
故设a =20mm ，故h 0=80-20=60mm ,f c =14.3，f t =1.43， f y =210，b ξ=0.618
查表知，
图2
0878.06010003.1411052.42
6
2
01=⨯⨯⨯⨯==
bh f M
c s αα 092.0211=--=s a ξ
()
2
6037660
954.02101052.4954
.02115.0mm
h f M
A a s y s s s =⨯⨯⨯===-+=γγ 选用φ8@140，As=359mm 2（实际配筋与计算配筋相差小于5%），排列见图，垂直于受力钢筋放置φ6@250的分布钢筋。

验算适用条件： ⑴ ，满足。

mm h mm h x b 84.3660614.052.560092.000=⨯=<=⨯=⋅=ξξ
⑵2min 120601000%2.0376mm bh A s =⨯⨯=>=ρ
3．某矩形截面简支梁，弯矩设计值M=270KN.m ，混凝土强度等级为C70，
22/8.31,/14.2mm N f mm N f c t ==；钢筋为HRB400，即Ⅲ级钢筋，2
/360mm N f y =。

环境类别为一级。

求：梁截面尺寸b ×h 及所需的受拉钢筋截面面积A s
解：f c =31.8N/mm2，f y =360N/mm2，查表4-5，得α1=0.96，β1=0.76。

假定ρ=0.01及b=250mm ，则
118.08
.3196.0360
01.01=⨯⨯
==c
y
f f αρ
ξ
令M=M u
()可得：
2
01015.012h b f x h bx f M c c ξξαα-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=
()
()
mm
b f M
h c 564118.05.01118.02508.3196.010
2705.016
10=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=
-=ξξα
由表知，环境类别为一类，混凝土强度等级为C70的梁的混凝土保护层最小厚度为25mm ，取a=45mm ，h=h 0+a=564+45=609mm ，实际取h=600mm ，h 0=600-45=555mm 。

115.0555
2508.3196.01027026
2
01=⨯⨯⨯⨯==
bh f M
c s αα 123.0115.0211211=⨯--=--=s αξ
()()
939.0115.02115.02115.0=⨯-+⨯=-+⨯=s s αγ
26
01439555
939.036010270mm h f M
A s y s =⨯⨯⨯==γ
选配3φ25，A s =1473mm 2，见图3
验算适用条件：
⑴ 查表知ξb =0.481，故ξb =0.481>ξ=0.123，满足。

⑵2
min 390600250%26.01473mm bh A s =⨯⨯=>=ρ，满足要求。

图3
4．已知梁的截面尺寸为b ×h=200mm ×500mm ，混凝土强度等级为C25，
22/9.11,/27.1mm N f mm N f c t ==，截面弯矩设计值M=125KN.m 。

环境类别为一类。

求：（1）当采用钢筋HRB335级2
/300mm N f y =时，受拉钢筋截面面积；（2）当采用钢筋HPB235级2
/210mm N f y =时，受拉钢筋截面面积；（3）截面弯矩设计值M=225KN.m ，当采用钢筋HRB335级mm N f y /300=2时，受拉钢筋截面面积；
解：（1）由公式得
26
2
0465
2009.110.110125⨯⨯⨯⨯==
bh f M
c s αα=0.243 283.00.243211211=⨯--=--=s αξ
858.0)243.0211(5.0)2-1(15.0s =⨯-+⨯=⨯+⨯=αγs
26
01044465
858.030010125/mm h f M A s y s =⨯⨯⨯==γ
选用钢筋42
1017,18mm A s =Φ
2
min 200500200%2.01044mm bh A s =⨯⨯=>=ρ
（2）采用双排配筋 mm h h 440600=-=
2
01/bh f M c s αα==271.0440
2009.110.1101252
6
=⨯⨯⨯⨯ s αξ211--==323.0271.0211=⨯--
=+⨯=)2-1(15.0s αγs 0.50.838271.0211(=⨯-+⨯）
26
01614440
838.021010125/mm h f M A s y s =⨯⨯⨯=
=γ 选用钢筋8Φ16
A s =1608mm 2
2
min 270500200%27.01614mm bh A s =⨯⨯=>=ρ
(3)假定受拉钢筋放两排 60=a mm h 440605000=-=
2
01/bh f M c s αα==
488.04402009.110.1102252
6
=⨯⨯⨯⨯
s αξ211--==1-55.0845.0488.021>=⨯-
故采用双筋矩形截面
取b ξξ= M )5.01(2
11b b c bh f ξξα-=
)55.05.01(55.04402009.110.12
⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= =183.7KN m ⋅
26
6'
0'
'
9.339)
35440(300107.18310225)(/mm a h f M A y s =-⨯⨯-⨯=
-=
9.339300/4402009.110.155.0//'
'01+⨯⨯⨯⨯=+=y y s y c b s f f A f bh f A αξ
=2260mm 2 故受拉钢筋选用622Φ A s =2281mm 2
受压钢筋选用216Φ A '
s =402mm 2,满足最小配筋率要求。

5．已知梁的截面尺寸为b ×h=250mm ×450mm;受拉钢筋为4根直径为16mm 的HRB335钢筋，即Ⅱ级钢筋，2/300mm N f y =，A s =804mm 2；混凝土强度等级为C40，
22/1.19,/71.1mm N f mm N f c t ==；承受的弯矩M=89KN.m 。

环境类别为一类。

验算此
梁截面是否安全。

解：f c =19.1N/mm 2，f t =1.7 N/mm 2，f y =300 N/mm 2。

由表知，环境类别为一类的混凝土保护层最小厚度为25mm ，故设a=35mm ，h 0=450-35=415mm
2
min 293450250%26.0804mm bh A s =⨯⨯=>=ρ
则
，满足适用条件。

55.0121.01
.190.1300
0077.01=<=⨯⨯
==b c
y
f f ξαρ
ξ
()()，安全。

m KN M m KN bh f M c u .89.49.93121.05.01121.04152501.190.15.0122
01=>=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-=ξξα
6．已知梁的截面尺寸为b ×h=200mm ×500mm ，混凝土强度等级为C40，
22/1.19,/71.1mm N f mm N f c t ==，钢筋采用HRB335，即Ⅱ级钢筋，
2/300mm N f y =，截面弯矩设计值M=330KN.m 。

环境类别为一类。

求：所需受压和受拉钢筋截面面积 解：f c =19.1N/mm 2，f y ’=f y =300N/mm 2，α1=1.0，β1=0.8。

假定受拉钢筋放两排，设a=60mm ，则h 0=h-a=500-60=440mm
446.0440
2001.1911033026
2
01=⨯⨯⨯⨯==
bh f M
c s αα 55.0671.0211=>=--=b s ξαξ
这就说明，如果设计成单筋矩形截面，将会出现超筋情况。

若不能加大截面尺寸，又不能提高混凝土等级，则应设计成双筋矩形截面。

取，由式得b ξξ=
()
()m
KN bh f M b b c ⋅=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-=9.29455.05.0155.04402001.190.15.012
2
011ξξα
(
)
()
266'
0'
'
9.28835440300109.29410330mm a h f M
A s
y s =-⨯⨯-⨯=-=
2
'
'
14.3370300300
9.2883004402001.190.155.0mm f f A f bh f A y
y s
y
c b
s =⨯
+⨯⨯⨯⨯
=+=αξ
受拉钢筋选用7φ25mm 的钢筋，A s =3436mm 2。

受压钢筋选用2φ14mm 的钢筋，
A s ’=308mm 2。

7．已知条件同上题，但在受压区已配置3φ20mm 钢筋，A s ’=941mm 2 求：受拉钢筋A s
解：()
()6'0'
'
'103.11435440941300⨯=-⨯⨯=-=a h A f M s y KN m ⋅
则6
661'107.215103.11410330⨯=⨯-⨯=-=M M M KN m ⋅ 已知后，就按单筋矩形截面求A s1。

设a=60mm 、h 0=500-60=440mm 。

292.0440
2001.190.1107.21526
2
01'
=⨯⨯⨯⨯==
bh f M c s αα ，满足适用条件。

55.0355.0292.0211211=<=⨯--=--=b s ξαξ ()()
823.0292.02115.02115.0=⨯-+⨯=-+=s s αγ
26
0'11986440
823.0300107.215mm h f M A s y s =⨯⨯⨯==γ
最后得 2
210.29279411986mm A A A s s s =+=+=
选用6φ25mm 的钢筋，A s =2945.9mm 2
8．已知梁截面尺寸为200mm ×400mm ，混凝土等级C30，2
/3.14mm N f c =，钢筋
采用HRB335，2
/300mm N f y =，环境类别为二类，受拉钢筋为3φ25的钢筋，A s =1473mm 2，受压钢筋为2φ6的钢筋，A ’s = 402mm 2；要求承受的弯矩设计值M=90 KN.m 。

求：验算此截面是否安全
解：f c =14.3N/mm 2，f y =f y ’=300N/mm 2。

由表知，混凝土保护层最小厚度为35mm ，故5.472
25
35=+=a mm ，h 0=400-47.5=352.5mm
由式，得s y s y c A f A f bx f =+'
'
1α
mm
a mm h mm b
f A f A f x b c s y s y 8040221945.35255.03.112200
3.140.1402
3001473300'
''0
1=⨯=>=⨯=<=⨯⨯⨯-⨯=
-=
ξα 代入式
()
()，安全。

mm N mm N a h A f x h bx f M s y c u .1090.1087.132405.35240230023.1125.3523.1122003.140.1266'
0'
'01⨯>⨯=-⨯⨯+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-⨯⨯⨯⨯=-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=α
注意，在混凝土结构设计中，凡是正截面承载力复核题，都必须求出混凝土受压区高度
x 值。

9．已知梁的截面尺寸b=250mm ，h=500mm ，混凝土为C30级，
22/3.14,/43.1mm N f mm N f c t ==，采用HRB400级钢筋，2/360mm N f y =，承受弯
距设计值M=300kN ·m ，试计算需配置的纵向受力钢筋。

解：（1）设计参数
由表查得材料强度设计值，C30级混凝土MPa f c 3.14=,HRB400级钢筋
MPa f f y y 360=='，518.0,384.0max
,
==b s a ξ，等级矩形图形系数0.1=α。

初步假设受拉钢筋为双排配置，取mm h 440605000=-=。

（2）计算配筋
384.0433.0440
2503.1410300max ,2
620==⨯⨯⨯==s c s a bh f M α 故需配受压筋，取mm a 40='。

226020max ,238)
40440(3604402503.14384.010300)(mm a h f bh f a M A y c s s =-⨯⨯⨯⨯-⨯='-'-='
202501238440250360
3
.14518.0mm A bh f f A s y c s =+⨯⨯⨯='+=ξ
由表知，受压钢筋选用2Φ14，2
308mm A s
=''； 受拉钢筋选用82
2513,20mm A s =Φ。

若取b ξξ8.0=，则有
)
()4.01(8.002
0a h f bh f M A y c b b s
'-'--='ξξ 2
02
262315504440250360
3.14518.08.08.0504)
40440(3604402503.14)518.04.01(518.08.010300mm A f f f h b f A mm s y y y b c s =+⨯⨯⨯⨯=''+==-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯=ξ
此时总用钢量为2315+504=2819mm 2，大于前面取b ξξ=时计算的总用钢量
2501+238=2739mm 2。

受压钢筋选用2Φ18，2509mm A S
='；受拉钢筋选用42
2273,18420mm A s =Φ+Φ。

10．已知梁截面尺寸b=200mm ，h=400mm ，混凝土强度等级为C30，2
/3.14mm N f c =，
钢筋采用HRB400级，2/360mm N f y =，环境类别为二类b ，受拉钢筋采用
3)1473(252
mm A S =Φ，受压钢筋为2),402(162mm A S
='Φ要求承受的弯矩设计值M=90kN ·m 验算此梁是否安全。

解：查表或计算得：,518.0,/360,/3.14,0.12
2
1=='===b y y c mm N f f mm N f ξα混
凝
土
保
护
层
最
小
厚
度
为
35mm
，
故
mm h mm a mm a s s 5.3525.47400,432/1635,5.472/25350=-==+='=+=。

将以上有关数值代入基本公式，可得
mm b
f a A f A f x c s
y s y 81.134200
3.140.1402
36014733601=⨯⨯⨯-⨯=
''-=
mm a mm x mm h s b 86432281.1346.1825.352518.00=⨯='==⨯= ξ
可见满足基本公式的适用条件。

将x 值代入基本公式得
mm
N a h A f x
h bx f a M s s y c u ⋅⨯=-⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯='-'''+-=60011071.154)435.352(402360)2/81.1345.352(81.1342003.140.1)
()2
( 由于M=90kN ·m ＜M u =154.71KN ·m ，故此梁安全。

11．已知T 形截面梁，截面尺寸如图4所示，混凝土采用C30，2
/3.14mm N f c =，
纵向钢筋采用HRB400级钢筋，2
/360mm N f y =，环境类别为一类。

若承受的弯矩设计值为M=700kN ·m ，计算所需的受拉钢筋截面面积A S （预计两排钢筋，a s =60mm ）。

解：1、确定基本数据
由表查得2/3.14mm N f c =；2
/360mm N f y =；a 1=1.0；518.0=b ξ。

2、判别T 形截面类
)2
120
640(1206003.140.1)2
(01-
⨯⨯⨯⨯='-
''f f f c h h h b f a m kN M m kN mm N ⋅=⋅=⋅⨯=70017.5971017.5976
故属于第二类T 形截面。

3、计算受拉钢筋面积A S 。

2
01'0''1)
2()(bh f a h h h b b f a M a c f
f f c s -
--=
如图4
=2
66403003.140.1)2120
640(120)300600(3.140.110700⨯⨯⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯
=0.228
518.0262.0228.0211211==⨯--=--=b s a ξξ
y
f
f c c S f h b b f a h b f a A ')('101-+=
ξ
360
120
)300600(3.140.1640262.03003.140.1⨯-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=
2
3428mm =
选用4Ф28+2Ф25（A S =2463+982=3445mm 2）
12． 某钢筋混凝土T 形截面梁，截面尺寸和配筋情况（架立筋和箍筋的配置情况略）
如图5所示。

混凝土强度等级为C30，2
/3.14mm N f c =，纵向钢筋为HRB400级钢筋，
2/360mm N f y =，s a =70mm 。

若截面承受的弯矩设计值为M=550kN ·m ，试问此截面承
载力是否足够？ 解：1、确定基本数据
由表查得，2
/3.14mm N f c =；2/360mm N f y =；1a =1.0；
518.0=b ξ；A S =2945mm 2。

mm a h h s 630707000=-=-=
2、判别T 形截面类型
如图5
N
h b f a f f c 8580001006003.140.1''1=⨯⨯⨯=
N N A f S y 85800010602002945360 =⨯=
故属于第二类T 形截面。

3、计算受弯承载力M u 。

b
f a h b b f a A f x c f
f c S y 1''1)(--=
250
3.140.1100
)250600(3.140.12945360⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯=
=156.56mm
mm h x b 34.326630518.00=⨯=<ξ，满足要求。

)2
()()2('0'
'101f f f c c u h h h b b f a x h bx f a M --+-=
)2
100
630(100)250600(3.140.1)256.156630(56.1562503.140.1-⨯⨯-⨯⨯+-
⨯⨯⨯⨯= mm N ⋅⨯=6
1009.599=599.00kN ·m M u ＞M=550kN ·m
故该截面的承载力足够。

13． 已知肋形楼盖的次梁，弯矩设计值M=410KN.m ，梁的截面尺寸为b ×h=200mm ×
600mm ，b f ’=1000mm ，h f ’= 90mm ；混凝土等级为C20，2
/6.9mm N f c =，钢筋采用HRB335，
2/300mm N f y =，环境类别为一类。

求：受拉钢筋截面面积
解：f c =9.6N/mm 2，f y =300N/mm 2
，α1=1.0，β1=0.8 鉴别类型：
因弯矩较大，截面宽度较窄，预计受拉钢筋需排成两排，故取 mm a h h 540606000=-=-=
6
6'
0'
'
110410107.4272905409010006.90.12⨯>⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-f f f c h h h b f α 属于第一种类型的T 形梁。

以b f ’代替b ，可得
()2
6
02620'12748540921.030010410921
.02115.055
.0159.0211146.054010006.90.110410mm h f M A h b f M s y s s s b s f c s =⨯⨯⨯===-+⨯==<=--==⨯⨯⨯⨯==
γαγξαξαα
选用6φ25，A s =2945mm 2。

14． 某一般环境中的中型公路桥梁中，梁的截面尺寸为b ×h=200mm ×500mm ，混凝
土强度等级为C25，22/5.11,/23.1mm N f mm N f cd td ==，钢筋采用HRB335，
2/280mm N f sd =，截面弯矩设计值M d =165KN.m 。

求：（1）受拉钢筋截面面积；（2）若是一建筑工程单跨简支梁，情况又如何。

解：（1）查取相关数据
56.0,/280,/23.1,/5.11,0.12220=====b sd td cd mm N f mm N f mm N f r ξ 38%167.0,15.0167.0280
23.138min =>=⨯=ρ取sd td f f 采用绑扎骨架，按两层布置钢筋，假设a s =65mm ，655000-=h =435mm 。

求受压区高度
相关数据代入式得
)2
(00x h bx f M r cd d -=，有 )2
435(2005.11101656x x -⨯=⨯ 解得 mm mm x 9.6481.221或=
取 mm h mm x b 6.24343556.01.2210=⨯==ξ
求所需钢筋数量A S
有关数据代入公式 A f bx f sd cd =
1.221200280
5.11⨯⨯==bx f f As sd cd =181
6.2mm 2
选配钢筋并满足最小配筋率
由表查得6ф20，A S 实=1884mm 2，考虑按两层布置，ф20钢筋的外径为22mm ，梁侧混凝土保护层采用mm c 25=。

钢筋净间距为
mm S n 423
)220(3252200=+⨯-⨯-= 满足要求。

实际配筋率%167.0%2.24352001884min 0==⨯==
ρρ bh A s (2)若是建筑工程中单跨简支梁
查取有关数据：
55.0,/300,/27.1,/9.11,0.12221=====b y t c mm N f mm N f mm N f ξα 452.019.0300/27.145/<=⨯=y t f f 取%2.0min =ρ 按双层布筋 mm h mm a s 44060500,600=-==
358.04402009.110.1/10165/262
01=⨯⨯⨯⨯==bh f M c s αα
55.0467.0211=<=⨯--=b s ξαξ
766.0)211(5.0=-+⨯=s s αγ
2
608.1631440766.0300/10165/mm h f M A s y s =⨯⨯⨯==γ 选配钢筋，查表知318320Φ+Φ 2
1705mm A s =实
配筋率%2.0%9.1440200/1705/min 0=>=⨯==ρρbh A s ，满足要求。