算法分析与设计考试题目

请给出该方法的算法描述，并分析其复杂性。
2、已知
Ak
(a ) (k )
ij
ri *ri1
，k=1，2，3，4，5，6，r1=5，r2=10，r3=3，r4=12，r5=5，r6=50，r7=6，
求矩阵链积 A1×A2×A3×A4×A5×A6 的最佳求积顺序。（20 分） 3、对于下图使用 Dijkstra 算法求由顶点 a 到其他各个顶点的最短路径。并给出求各个顶点对之间 的最短路径的算法思想。（20 分）。
h.
40
40
35
30
10 150 140 35
146.85
(1,1, 0, 0,1,1,
2) 7
i.
40
30
50
35
30
150 125 60
167.5
(1, 0,1,1,1, 5 12
, 0)
j.
40
30
50
35
30
Fra Baidu bibliotek
150 145 60
157.5
(0,1,1,1,1, 1 12
,
0)
在 Q1 处获得该问题的最优解为 (1,1,1,1, 0, 0,1) ，背包效益为 170。即在背包中装入物品 F、B、G、
int mid; while (left<=right) {
mid=int((left+right)/2); if (v==A[mid]) return mid; else if (v>A[mid]) right=mid-1; else left=mid+1; } return -1; } （3）递归算法： 输入：递减数组 A[left:right]，待搜索元素 v。【1 分】 输出：v 在 A 中的位置 pos，或者不在 A 中的消息（-1）。【1 分】 步骤：【3 分】 int BinarySearch(int A[],int left,int right,int v) { int mid; if (left<=right) { mid=int((left+right)/2); if (v==A[mid]) return mid;
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else if (v>A[mid]) return BinarySearch(A,left,mid-1,v);
else return BinarySearch(A,mid+1,right,v);
}
else
return -1;
}
（4）搜索 18：首先与 27 比较，18<27，在后半部分搜索；再次与 18 比较，搜索到，返回 5。【1
山东科技大学 2007—2008 学年第一学期
《算法设计与分析》考试试卷
班级
姓名
学号________
算法设计与分析（1）
1、排序和查找是经常遇到的问题。按照要求完成以下各题：（20 分） 1) 对数组 A={15，29，135，18，32，1，27，25，5}，用快速排序方法将其排成递减序。 2) 请描述递减数组进行二分搜索的基本思想，并给出非递归算法。 3) 给出上述算法的递归算法。 4) 使用上述算法对 1)所得到的结果搜索如下元素，并给出搜索过程：18，31，135。 2、对于下图使用 Dijkstra 算法求由顶点 a 到顶点 h 的最短路径。（20 分）。
ij
ri *ri1
，k=1，2，3，4，5，6，r1=5，r2=10，r3=3，r4=12，r5=5，r6=50，r7=6，
求矩阵链积 A1×A2×A3×A4×A5×A6 的最佳求积顺序。（要求：给出计算步骤）（20 分） 5、回答如下问题：（20 分）
1) 什么是算法？算法的特征有哪些？
2) 什么是 P 类问题？什么是 NP 类问题？请描述集合覆盖问题的近似算法的基本思想。
u Vi ， v Vi1 。求由 s 到 t 的最小成本路径。（25 分）
1) 给出使用动态规划算法求解多段图问题的基本思想。 2) 使用上述方法求解如下多段图问题。
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4、回答如下问题：（15 分） 1) 什么是算法？算法的特征有哪些？ 2) 什么是 P 类问题？什么是 NP 类问题？请描述集合覆盖问题的近似算法的基本思想。 5、设 x1、x2、x3 是一个三角形的三条边，而且 x1+x2+x3=14。请问有多少种不同的三角形？给出解 答过程。（20 分）
第 3 页 共 12 页
算法设计与分析（3）
1、设数组 A 有 n 个元素，需要找出其中的最大最小值。（20 分） 1) 请给出一个解决方法，并分析其复杂性。 2) 把 n 个元素等分为两组 A1 和 A2，分别求这两组的最大值和最小值，然后分别将这两组的最
大值和最小值相比较，求出全部元素的最大值和最小值。如果 A1 和 A2 中的元素多于两个， 则再用上述方法各分为两个子集。直至子集中元素至多两个元素为止。这是什么方法的思想？
5 4 2 4 4 0
6 2010 1950 1770 1860 1500 0
6 2 2 4 4 5 0
因此，最佳乘积序列为（A1A2）（（A3A4）（A5A6）），共执行乘法 2010 次。【结论 2 分】 五、（1）算法是解决某类问题的一系列运算的集合【2 分】。具有有穷行、可行性、确定性、0 个 或者多个输入、1 个或者多个输出【8 分】。 （2）用确定的图灵机可以在多项式实践内可解的判定问题称为 P 类问题【2 分】。用不确定的图灵 机在多项式实践内可解的判定问题称为 P 类问题。【2 分】
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算法设计与分析（2）
1、排序和查找是常用的计算机算法。按照要求完成以下各题：（20 分）
1) 对数组 A={15，9，115，118，3，90，27，25，5}，使用合并排序方法将其排成递减序。
2) 若改变二分搜索法为三分搜索法，即从一个递减序列 A 中寻找元素 Z，先与元素 A[ n ] 比较， 3
始节点到其他节点的最短路径，最终可以求得所有顶点对之间的最短路径。【2 分】
三、按照单位效益从大到小依次排列这 7 个物品为：FBGDECA。将它们的序号分别记为 1～7。
则可生产如下的状态空间搜索树。其中各个节点处的限界函数值通过如下方式求得：【排序 1 分】
第 6 页 共 12 页
x3 1
x2 1
4、15 谜问题：在一个 4×4 的方格的棋盘上，将数字 1 到 15 代表的 15 个棋子以任意的顺序置入
各方格中，空出一格。要求通过有限次的移动，把一个给定的初始状态变成目标状态。移动的规
则是：每次只能把空格周围的四格数字（棋子）中的任意一个移入空格，从而形成一个新的状态。
为了有效的移动，设计了估值函数 C1(x)，表示在结点 x 的状态下，没有到达目标状态下的正确位
答过程。（20 分）
第 4 页 共 12 页
算法设计与分析（1）参考答案与评分标准
一、【20 分】 （1）第一步：15 29 135 18 32 1 27 25 5
第二步：29 135 18 32 27 25 15 1 5 第三步：135 32 29 18 27 25 15 5 1 第四步：135 32 29 27 25 18 15 5 1
置的棋子的个数。（20 分）请使用该估计函数，对图示的初始状态，给出使用分支限界方法转换到
目标状态的搜索树。初始状态
目标状态
12
4
5637
9 10 12 8
13 14 11 15
1234 5678 9 10 11 12 13 14 15
5、设 x1、x2、x3 是一个三角形的三条边，而且 x1+x2+x3=14。请问有多少种不同的三角形？给出解
3、假设有 7 个物品，它们的重量和价值如下表所示。若这些物品均不能被分割，且背包容量 M＝
150，使用回溯方法求解此背包问题。请写出状态空间搜索树（20 分）。
物品 A B C D E F G
重量 35 30 60 50 40 10 25
价值 10 40 30 50 35 40 30
4、已知
Ak
(a ) (k )
二、【20 分】
用 V1 表示已经找到最短路径的顶点，V2 表示与 V1 中某个顶点相邻接且不在 V1 中的顶点；E1 表示
加入到最短路径中的边，E2 为与 V1 中的顶点相邻接且距离最短的路径。【1 分】
步骤 V1
V2
E1
E2
1. {a}
{b} {}
{ab}
2. {a,b}
{d} {ab}
{bd}
60
4
e. 40 40 50 35 30 150 130 175 60
(1,1, 0,1,1, 1 , 0) 3
f. 40 40 50 35 10 150 130 170.71
35
(1,1, 0,1,1, 0, 4) 7
g. 40 40 50 30 160
(1,1, 0,1, 0,1, 0)
分】
搜索 31：首先与 27 比较，31>27，在前半部分搜索；再次 32 比较，31<32，在后半部分搜索，
与 29 比较，31>29，此时只有一个元素，未找到，返回-1。【2 分】
搜索 135：首先与 27 比较，135>27，在前半部分搜索；再次 32 比较，135>32，在前半部分
搜索；与 135 比较，相同，返回 0。【2 分】
若
Z
A[
n]
n ，则在前面 [
]
个元素中寻找
Z；否则与
A[ 2n]
n 比较，总之使余下的序列为 [ ]
个
3
3
3
3
元素。给出该方法的伪代码描述。
3) 使用上述算法对（1）所得到的结果搜索如下元素，并给出搜索过程：118，31，25。 2、假设有 7 个物品，它们的重量和价值如下表所示。若这些物品均可以被分割，且背包容量 M＝ 150，如果使用贪心方法求解此背包问题，请回答：（20 分）。
x1 1 a
a
x1 0
j
x2 0
a
i
x4 1
a
x5 0
b
x6 0
c
x7 0
Q1
a
x4 0
x3 0
d
e
x4 1
x4 0
e
h
x5 1
x5 0
e
g
x6 0
f
【状态空间搜索树及其计算过程 17 分，每个节点 1 分】
a． 40 40 30 50 35 150 115 190.625 (1,1,1,1, 7 , 0, 0)
40
8
b. 40 40 30 50 30 150 115 177.5 (1,1,1,1, 0, 7 , 0)
60
12
c． 40 40 30 50 10 170
(1,1,1,1, 0, 0,1)
d. 40 40 30 35 30 150 105 167.5 (1,1,1, 0,1, 3 , 0)
【1 分】 【1 分】 【1 分】
（2）基本思想：首先将待搜索元素
v
与数组的中间元素
A
n 2
进行比较，如果
v
A
n 2
，则在
前半部分元素中搜索
v；若
v
A
n 2
，则搜索成功；否则在后半部分数组中搜索
v。【2
分】
非递归算法： 输入：递减数组 A[left:right]，待搜索元素 v。【1 分】 输出：v 在 A 中的位置 pos，或者不在 A 中的消息（-1）。【1 分】 步骤：【3 分】 int BinarySearch(int A[],int left,int right,int v) {
3. {a,b,d}
{c,f} {ab,bd}
{dc,df}
4. {a,b,d,c}
{f} {ab,bd}
{df}
5. {a,b,c,d,f} {e} {ab,bd,dc,df}
{fe}
6. {a,b,c,d,e,f} {g} {ab,bd,dc,df,fe}
{eg}
7. {a,b,c,d,e,f,g} {h} {ab,bd,dc,df,fe,eg} {gh}
D、A 时达到最大效益，为 170，重量为 150。【结论 2 分】 四、使用动态规划算法进行求解。 求解矩阵为：【每个矩阵 18 分】
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1
2
3
4
10
150
330
405
2
0
360
330
3
0
180
4
0
5
6
1
2
3
4
10
1
2
2
2
0
2
2
3
0
3
4
0
5
6
5 1655 2430 930 3000 0
1) 对各个物品进行排序时，依据的标准都有哪些？ 2) 使用上述标准分别对 7 个物品进行排序，并给出利用各个顺序进行贪心求解时获得解。 3) 上述解中哪个是最优的？
物品 A B C D E F G
重量 35 30 60 50 40 10 25
价值 10 40 30 50 35 40 30
3、多段图问题：设 G＝(V，E)是一个赋权有向图，其顶点集 V 被划分成 k>2 个不相交的子集 Vi： 1 i k ，其中，V1 和 Vk 分别只有一个顶点 s（称为源）和一个顶点 （t 称为汇），图中所有的边（u,v），
8. {a,b,c,d,e,f,g,h} {}
{ab,bd,de,df,fe,eg,gh} {} 【以上每步 2 分】
结果：从 a 到 h 的最短路径为 a b d f e g h ，权值为 18。【1 分】
求所有顶点对之间的最短路径可以使用 Dijkstra 算法，使其起始节点从 a 循环到 h，每次求起