正n边形的尺规作图方法

几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.

正五边形的画法]

(1)已知边长作正五边形的近似画法如下:

①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K.

②以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=2/3AB.

③以C为圆心,已知边长AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.

④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形.

(2) 圆内接正五边形的画法如下:

①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和AP.

②平分半径ON,得OK=KN.

③以K为圆心,KA为半径画弧与OM交于H, AH即为正五边形的边长.

④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.

（3）.民间口诀画正五边形

口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分."

作法:

画法:

1.画线段AB=20mm,

2.作线段AB的垂直平分线,垂足为G.

3.在l上连续截取GH,HD,使GH=5.9/5*10mm=19mm,

HD=5.9/5*10mm=11.8mm

4.过H作EC⊥CG,在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm,

5.连结DE,EA,EC,BC,CD,

五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形.

（4）

1.画一条水平线，通过此线上的任意点做一个圆。

2.将圆规的一腿放在圆与直线的其一交点上，通过上述圆的圆心画半圆，并

与之交两点。连接这两点做垂直线，与先前的水平线相交与(a)点.

3.张开圆规，以水平线与第一个圆的两个交点为圆心以相同半径在水平线上

下第一个圆外分别做两个交点，这样可以得到一条通过第一个圆圆心的正交线，与第一个圆相交的位于水平线上方的点称之为(b).这是正五边形的第一个角。

4.将圆规的一脚放在(a)点上，(a)(b)间距为半径做另一个圆，交水平线于

点(c)。

5.将圆规的一脚放在(b)点上，(b)(c)间距为半径做圆，交第一个圆于两点，

这是正五边形的第二、三两点。

6.将圆规的一脚分别放在二、三两点上，同样是(b)(c)间距为半径交第一个

圆于另外两点，这两点就是正五边形的最后两点。

7.连接相邻两点就构成了正五边形。

如果不是连接相邻两点（即对角线连接），就会得到一个五角星，在它的中间构成一个小的正五边形。或者延长每一边，得到一个大正五边形。

正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．

人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．

17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如Fi （i为右下角标）＝22i（底数2指数2的i次幂）＋1 的数．

费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程xn＋yn＝zn没有正整数解．现在他又猜测Fi 都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：

F0＝3，F1＝5，F2＝17，

F3=257，F4=65 537

验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：

F5＝641×6 700 417．

当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？

更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．

当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事．

更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是

n=2k（2的k次幂）或2k×p1×p2×…×ps，（1，2…s为右下角标）

其中，p1，p2，…，ps是费马素数．

正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．

倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．

就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．

正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．

高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5＝F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22，因为6= 2· 3而3=F0．

备注一

一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是，该多边形的边数必定是一个费马质数。换句话说，只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来，其它的正质数多边形就不可以了。（除非我们再发现另一个费马质数。）

备注二

黎西罗给出了正257边形的尺规作法，写满了整整80页纸。盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法，此手稿整整装满了一只手提箱，现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁琐的尺规作图。

备注三