第8讲 分式方程(测)(解析版)

备战2021年中考数学总复习一轮讲练测第二单元方程（组）与不等式（组）第8讲分式方程一．选择题1．（2020•路北区二模）解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（）A．﹣2x＝1﹣（2﹣x）B．﹣2x＝（2﹣x）+1C．2x＝（x﹣2）﹣1 D．2x＝（x﹣2）+1【思路点拨】分式方程两边乘以（x﹣2）即可得到结果．【答案】解：去分母得：2x＝（x﹣2）+1，故选：D．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2019春•皇姑区期末）关于x的方程＝有增根，则k的值是（）A．2 B．3 C．0 D．﹣3【思路点拨】依据分式方程有增根可求得x＝3，将x＝3代入去分母后的整式方程从而可求得k的值．【答案】解：∵方程有增根，∴x﹣3＝0．解得：x＝3．方程＝两边同时乘以（x﹣3）得：x﹣1＝k，将x＝3代入得：k＝3﹣1＝2．故选：A．【点睛】本题主要考查的是分式方程的增根，掌握分式方程产生增根的原因是解题的关键．3．（2020春•滨江区期末）某地水稻种植基地在A，B两个面积相同的试验田里种植不同品种的水稻，分别收获13.2吨和16.8吨，已知B试验田的水稻比A试验田的水稻每公顷多收3吨．设A试验田每公顷产量为x吨，则可以列出方程为（）A．B．C．D．【思路点拨】关键描述语是：“两个面积相同的试验田”；等量关系为：A试验田的面积＝B试验田的面积．【答案】解：设A试验田每公顷产量为x吨，则A试验田的面积是公顷，B试验田的面积为公顷．那么方程可表示为＝．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．4．（2020春•江干区期末）施工队铺设2000米的下水管道，每天比原计划少施工40米，结果延期3天完成任务，设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）A．﹣＝3 B．﹣＝3C．﹣＝3 D．﹣＝3【思路点拨】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x﹣40）米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划多用3天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【答案】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x﹣40）米，依题意，得：﹣＝3．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．5．（2019秋•温岭市期末）我市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长4000米的排水管道，实际施工时，．求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道x米，则可得方程＝20，…”根据答案，题中被墨汁污染条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成【思路点拨】工作时间＝工作总量÷工作效率．那么4000÷x表示原来的工作时间，那么4000÷（x﹣10）就表示现在的工作时间，20就代表原计划比现在多的时间．【答案】解：原计划每天铺设管道x米，那么（x﹣10）就应该是实际每天比原计划少铺了10米，而用＝20，则实际用的时间﹣表示用原计划的时间＝20天，那么就说明每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象除法分式方程，是根据方程来判断缺失的条件，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．6．（2020春•杭州期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（）A．﹣2或﹣3 B．0或3 C．﹣3或3 D．﹣3或0【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【答案】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得，①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，解得m＝﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选：A．【点睛】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．7．（2020春•安吉县期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大的值，如Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{，}＝1﹣的解是（）A．x＝4 B．x＝5 C．x＝4或x＝5 D．无实数解【思路点拨】根据与的大小关系，取与中的最大值化简所求方程，求出解即可．【答案】解：当＞，即x＜0时，方程为＝1﹣，去分母得：1＝x﹣3，解得：x＝4（舍去），当＜，即x＞0时，方程为＝1﹣，去分母得：2＝x﹣3，解得：x＝5，经检验，x＝5是分式方程的解．故选：B．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8．（2019•江北区模拟）若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3＝有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【思路点拨】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【答案】解：不等式组整理得：，由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞﹣3的解，得到﹣3＜a﹣1≤3，即﹣2＜a≤4，即a＝﹣1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5﹣y+3y﹣3＝a，即y＝，由分式方程有整数解，得到a＝0，2，共2个，故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二．填空题9．（2019春•静安区期末）方程的根是x＝1．【思路点拨】先把方程两边乘以x+1得到x2＝1，解得x1＝1，x2＝﹣1，然后进行检验确定原方程的解．【答案】解：去分母得x2＝1，解得x1＝1，x2＝﹣1，检验：当x＝1时，x+1≠0，当x＝﹣1时，x+1＝0，所以x＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝1．故答案为x＝1．故答案为x＝1．【点睛】本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整式方程的解代入分式方程进行检验，从而确定分式方程的解．10．（2020春•柯桥区期末）若关于x的分式方程＝2﹣有增根，则常数a的值是5．【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【答案】解：去分母得：x+1＝2x﹣8+a，由分式方程有增根，得到x﹣4＝0，即x＝4，把x＝4代入整式方程得：a＝5．故答案为：5【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．11．（2019秋•椒江区期末）若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的非负整数k的值为0．【思路点拨】首先解分式方程，然后根据方程的解为正数，可得x＞0，据此求出满足条件的非负整数K的值为多少即可．【答案】解：∵，∴x＝2﹣K，∵x＞0，∴2﹣K＞0，∴K＜2，∴满足条件的非负整数K的值为0、1，K＝0时，解得x＝2，符合题意；K＝1时，解得x＝1，不符合题意；∴满足条件的非负整数K的值为0．故答案为：0．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．12．（2020•安丘市三模）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[2，m+1]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+＝1的解为x＝．【思路点拨】根据题中的新定义化简求出m的值，代入分式方程计算即可求出解．【答案】解：根据关联数”[2，m+1]的一次函数是正比例函数，得到m+1＝0，即m＝﹣1，则方程为﹣1＝1，即x﹣1＝，解得：x＝，经检验是分式方程的解．故答案为：【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．（2018秋•江岸区期末）关于x的分式方程无解，则m＝2或4．【思路点拨】先将原分式方程去分母，化为整式方程，根据一元一次方程无解的情况及分式方程取增根的情况，可得相应的m值，使得原分式方程无解．【答案】解：分式方程两边同时乘以x（x﹣2）得：mx﹣8＝2（x﹣2）∴（m﹣2）x＝4∴①当m﹣2＝0时，方程无解，此时m＝2；②当m﹣2≠0时，x＝，由x（x﹣2）＝0，可知当x＝0或x＝2时，原方程有增根，从而无解∴当m﹣2＝2时，x＝2∴m＝4时，原分式方程无解．故答案为：2或4．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟悉分式方程何时取得增根及明确含参数一元一次方程的无解情况，是解题的关键．14．（2020春•蚌埠期末）若关于x的分式方程＝2﹣的解为非负数，则满足条件的非负整数k的值为0或2．【思路点拨】首先解分式方程＝2﹣，然后根据方程的解为非负数，可得x≥0，据此求出满足条件的非负整数k的值为多少即可．【答案】解：∵＝2﹣，∴x＝2﹣k，∵x≥0，∴2﹣k≥0，∴k≤2，∴满足条件的非负整数k的值为0、1、2，k＝0时，解得x＝2，符合题意；k＝1时，解得x＝1，不符合题意；k＝2时，解得x＝0，符合题意．∴满足条件的非负整数k的值为0或2．故答案为：0或2．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．15．（2019•苍南县模拟）甲、乙两工程队分别承接了250米、150米的道路铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲完成铺设任务的时间是乙的2倍．设甲每天铺设x米，则根据题意可列出方程：．【思路点拨】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间＝和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．【答案】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：．故答案是：．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．16．（2019秋•霸州市期末）定义运算“※”：a※b＝，则：①2m※3m3（m＞0）；②若5※x＝2，则x的值为或10．【思路点拨】①原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值；②已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．【答案】解：①由m＞0，得到3m＞2m，根据题中的新定义得：原式＝＝3；②当x＞5时，化简得：＝2，解得：x＝10，经检验x＝10是分式方程的解；当x＜5时，化简得：＝2，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解，综上，x的值为或10，故答案为：3；或10【点睛】此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三．解答题17．（2019秋•阳新县期末）解方程：（1）+＝；（2）+＝．【思路点拨】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）去分母得：3x+x+2＝4，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：x﹣1+2x+2＝4，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．18．（2018•秀洲区二模）解方程：＝1小嘉同学的解题过程如下：将方程两边同乘以（x+1），得：x＝1+1﹣x所以，x＝1．判断小嘉同学的解题过程是否正确，若不正确，请给出正确的解题过程．【思路点拨】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．【答案】解：过程不正确，正确解题过程：去分母得x＝x+1+1﹣x∴x＝2，经检验：x＝2是原分式方程的根．【点睛】本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验分式方程的根．19．点A、B在数轴上，它们所对应数分别是，且点A、B关于原点对称，求x的值．【思路点拨】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解即可得到x的值．【答案】解：根据题意得：＝，去分母得：2x﹣2＝x﹣3，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2020•宁波模拟）（1）解方程：1﹣＝；（2）将（1）中的方程等号右边的分子系数改为多少（其他不变），方程无解？（写出计算过程，系数不为零）【思路点拨】（1）方程两边都乘以最简公分母（x+3）（x﹣3）化分式方程为整式方程，解整式方程并检验可得；（2）系数改为m，去分母可得（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣1）（x﹣3）＝mx，方程无解即x ＝3或﹣3，代入可得m的值，由系数不为零可得m的值．【答案】解：（1）方程两边都乘以最简公分母（x+3）（x﹣3），得：（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣1）（x﹣3）＝2x，解得：x＝6，经检验x＝6是原分式方程的解；（2）将（1）中的方程等号右边的分子系数改为8时，方程无解，将等号右边的分子系数改为m，得：1﹣＝方程两边都乘以最简公分母（x+3）（x﹣3），得：（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣1）（x﹣3）＝mx，x2﹣9﹣（x2﹣4x+3）＝mx，x2﹣9﹣x2+4x﹣3＝mx，4x﹣mx＝9+3，x＝，∵方程无解，∴x＝3或﹣3，即＝3或＝﹣3，解得：m＝8或m＝0（舍），故m＝8，所以将（1）中的方程等号右边的分子系数改为8时，方程无解．【点睛】本题主要考查解分式方程及分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的基础和关键，注意不要忘记检验．21．（2020•五华县模拟）2019年12月1日阜阳高铁正式运行，在高铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元，已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．【思路点拨】（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，根据甲工程队完成的工作量+乙工程队完成的工作量＝整项工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设甲工程队每天的费用是y元，则乙工程队每天的费用是（y﹣250）元，根据甲、乙两工程队合作12天共需费用27720元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出两队每天所需费用，再求出两队单独完成这些工程所需总费用，比较后即可得出结论．【答案】解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，依题意，得：+＝1，解得：x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意，∴1.5x＝30．答：甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需30天；（2）设甲工程队每天的费用是y元，则乙工程队每天的费用是（y﹣250）元，依题意，得：12y+12（y﹣250）＝27720，解得：y＝1280，∴y﹣250＝1030．甲工程队单独完成共需要费用：1280×20＝25600（元），乙工程队单独完成共需要费用：1030×30＝30900（元）．∵25600＜30900，∴甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．22．（2020春•嘉兴期末）某商场经销A，B两款商品，若买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元．（1）求A、B两款商品的单价；（2）若对A、B两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用640元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件，求对A、B两款商品进行了几折销售？（3）若对A商品进行5折销售，B商品进行8折销售，某顾客同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元，问该顾客同时购买A、B两款商品各几件？【思路点拨】（1）设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据“买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设对A、B两款商品进行了a折销售，根据数量＝总价÷单价结合用640元购买A 商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（3）设顾客购买A商品m件，B商品n件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各购买方案．【答案】解：（1）设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A商品的单价是16元，B商品的单价是4元．（2）设对A、B两款商品进行了a折销售，依题意，得：﹣＝20，解得：a＝8．答：对A、B两款商品进行了8折销售．（3）设顾客购买A商品m件，B商品n件，依题意，得：16×0.5m+4×0.8n＝49.6，∴m＝．又∵m，n都为正整数，∴，，．∴共有三种购买方案，方案1：购买A商品1件，B商品13件；方案2：购买A商品3件，B商品8件；方案3：购买A商品5件，B商品3件．【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．。