土力学清华版第2章 土体中的应力计算
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土力学-第2章 土体中的应力计算
应力计算方法：
1.假设地基土为连续，均匀，各向同性，半无限的线弹性体; 2.弹性理论。
§2.1 地基的自重应力
土的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身 的有效重量而产生的应力 目的：确定土体的初始应力状态 假定：水平地基 半无限空间体 半无限弹性体 有侧限应变条件 一维问题 计算： 地下水位以上用天然容重 地下水位以下用浮容重
pmax
pmin
M—作用于矩形基底的力矩设计值(kN· m)； W—基础底面的抵抗矩
讨论：
当e<l/6时， pmax ， pmin >0，基底压力呈梯形分布
当e=l/6时， pmax >0， pmin =0，基底压力呈三角形分布
当e>l/6时， pmax >0， pmin <0，基底出现“拉应力” ，基底压力重 分布 pmax pmin pmin =0 e=l/6 pmin <0 e>l/6 pmax pmin =0
§2.2 基底压力计算
基底压力计算
基础结构 的外荷载 基底反力
上部 结构 建筑物 设计
基础
地基
基底压力 附加应力 地基沉降变形
基底压力：基础底面传递给地基表面的压
力，也称基底接触压力。
基底压力既是计算地基中附加应力的外荷
载，也是计算基础结构内力的外荷载，上 部结构自重及荷载通过基础传到地基之中
§2.1 地基的自重应力
地面
土的自重应力
1 h1 2 h2 2 h3 cy
地下水
分布规律
1h1
cz
2h2 2h3
z
cz cx
z
分布线的斜率是容重 在等容重地基中随深度呈直线分布 自重应力在成层地基中呈折线分布 在土层分界面处和地下水位处发生转折或突变（水平应力）
岩土力学中应力计算
的原因 附加应力 土 中
由于外荷（静的或动的） 在土体内部引起的应力， 记为σZ。
应 力
有效应力
土粒所传递的粒间应力， 记为σ′。
按其传
递方式
孔隙水压力
土中水传递的 孔隙应力， 记
孔隙应力 孔隙气压力
为u。
土中气传递的 孔隙应力。
土中应力计算的基本假定
假定地基土是均匀、连续、各向同性的半无限弹性体。
【解】
本例题天然地面下第一层粉质黏土厚6m，其中地下水位以 上和以下的厚度分别为3.6m和2.4m；第二层为黏土层。依 次 计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m各深度处的土中竖向自重 应 力，计算过程及自重应力分布图一并列于下图中。
粉 质 黏 土
黏 土
习题2-1图
三、土中附加应力计算
上部 结构
应力矩阵
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
三维应力状态（轴对称应力状态）
应力条件
x y c
xy yz zx 0
水压 力c
应
c 0 0
力 矩
ij
0
c
0
阵
0 0 z
轴向力F
z
试 样
y
x
x y c
2、二维应力状态（平面应变状态）
o
y
z
x
1、当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由 水，计算时用土的浮重度。
2、当位于地下水位以下的土为坚硬黏土时（IL ≤ 0） ， 在饱和坚硬黏土中只含有结合水，对土体没有浮力 的作用，计算自重应力时应采用饱和重度。
3、地下水位以下黏土，当 IL > 1时，土处于流动状态， 土粒间存在大量的自由水，用土的浮重度。
土力学(清华大学-练习答案)
第一章1-1：已知：V=72cm 3 m=129.1g m s =121.5g G s =2.70则： 129.1121.5 6.3%121.5s s m m w m −−===3333129.1*1017.9/72121.5452.7724527 1.0*27121.5*1020.6/72s s sV s sat w V s sat sat m g g KN m v m V cm V V V cm m V m gg g KN m V V γρρργρ========−=−=++===== 3320.61010.6/121.5*1016.9/72sat w s d sat d KN m m g KN m V γγγγγγγγ′=−=−====′>>>则1-2：已知：G s =2.72 设V s =1cm 3则33332.72/2.72 2.72*1016/1.7 2.720.7*1*1020.1/1.720.11010.1/75%1.0*0.7*75%0.5250.52519.3%2.720.525 2.721.s s s d d s V w w r w w V rw s w s g cm m gm gg KN m V m V g g KN m V KN m m V S g m w m m m g g V ργρργργγγργρ======++====′=−=−========++===当S 时，3*1019.1/7KN m =1-3：3477777331.70*10*8*1013.6*1013.6*10*20% 2.72*1013.6*10 2.72*10850001.92*10s d w s s w m Vkg m m w kg m m V m ρρ======++==挖1-4：甲：33334025151* 2.72.7*30%0.81100%0.812.70.81 1.94/10.8119.4/2.7 1.48/1.8114.8/0.81p L P s s s sw r w Vw s w s ws d s w d d v s I w w V m V g m g S m V m m g cm V V g KN m m g cm V V g KN m V e V ρρργρργρ=−=−=======∴++===++=====+====设则又因为乙：3333381 2.682.68*22%0.47960.47962.680.4796 2.14/10.47962.14*1021.4/ 2.68 1.84/1.47961.84*1018.4/0.4796p L p s s s sw s V s w s V s d s w d dV sI w w V m V g m m wg V cm m m g cm V V g KN m m g cm V V g KN m V e V ρργρργρ=−========++===++======+=====设则则 γγ∴<乙甲 d d γγ<乙甲 e e >乙甲 p p I I >乙甲则（1）、（4）正确1-5：1s wd Ge ρρ=+ 则2.7*1110.591.7022%*2.7185%0.59s wd s r Ge wG S e ρρ=−=−====>所以该料场的土料不适合筑坝，建议翻晒，使其含水率降低。
土体中的应力计算
土体中的应力计算在土体中，应力是指单位面积上的力的作用，可以分为垂直应力和水平应力。
垂直应力是指垂直于土体中其中一点的力的作用，通常用σ表示，单位为N/m²或Pa；水平应力是指与土体中其中一点切向的力的作用，通常用τ表示，单位为N/m²或Pa。
在计算土体中的应力时，需要先确定作用力的大小和方向。
作用力可以分为自重应力、表面荷载和边界条件所引起的应力。
自重应力是由土体自身的重力引起的应力，可以通过土体的密度和重力加速度来计算；表面荷载是由于外界施加在土体上的荷载，可以通过荷载的大小和分布情况来计算；边界条件所引起的应力是由于土体边界的约束而产生的应力，可以根据边界条件的空间限制来计算。
计算垂直应力时，需要将作用力作用在单位面积上，即垂直应力等于作用力的大小除以土体的面积。
例如，对于自重应力来说，垂直应力可以通过土体的密度乘以重力加速度来计算。
而对于表面荷载来说，垂直应力可以通过荷载的大小和分布情况来计算。
计算水平应力时，需要考虑土体的弹性特性。
根据弹性理论，水平应力的大小与垂直应力的大小和土体的弹性模量有关。
弹性模量是反映土体抵抗应力的能力的指标，可以通过试验或经验公式估算得到。
一般来说，弹性模量越大，土体的抵抗应力能力越强，水平应力的大小也越大。
在应力计算时，还需要考虑土体的变形特性。
土体的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。
弹性变形是指在荷载作用后，土体恢复到无荷载状态时的变形，是可逆的，可以通过应力和应变之间的线性关系进行计算。
而塑性变形是指在荷载作用后，土体不完全恢复到无荷载状态时的变形，是不可逆的，需要通过试验或经验公式来确定。
总之，土体中的应力计算是根据应力平衡原理和弹性力学原理进行的，需要考虑土体的类型、作用力的大小和方向以及土体的弹性和变形特性。
通过合理的应力计算，可以为土壤工程和土木工程的设计和施工提供基础数据。
土力学课件(清华大学)3教案资料
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结排水试验
应力应变关系－以某种粘土为例
•与围压有关
•非线性
•剪胀性
v
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结排水试验
第三章
土体中的应力计算
§3 土体中的应力计算
地基中的应力状态 应力应变关系 土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系
自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
基底压力计算 有效应力原理
建筑物修建以后，建筑物 重量等外荷载在地基中引 起的应力，所谓的“附加” 是指在原来自重应力基础 上增加的压力。
变形。
y 0;
yx yz 0;
zx z
zx
xy
x
zx 0
x xz
y yz
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
二. 地基中常见的应力状态 3. 平面应变条件——二维问题
▪应变条件
y 0; xy yz 0; zx 0
▪应力条件
y
y E
E
x
z
0
zx zy z
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
一. 土力学中应力符号的规定
摩尔圆应力分析
- zx
z +
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
土力学课件清华大学.ppt
二. 地基中常见的应力状态 4.侧限应力状态——一维问题
▪应变条件
y x 0;
xy yz zx 0
▪应力条件
xy yz zx 0;
x y;
x
x E
E
y z
0;
x y 1 z K0z;
▪独立变量 z , z F(z)
K0：侧压力系数
ij =
0 x 0xy 0xz 0yx 0 y 0yz
第三章
土体中的应力计算
§3 土体中的应力计算
地基中的应力状态 应力应变关系 土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系
自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
基底压力计算 有效应力原理
建筑物修建以后，建筑物 重量等外荷载在地基中引 起的应力，所谓的“附加” 是指在原来自重应力基础 上增加的压力。
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结排水试验
应力应变关系－以某种粘土为例
•与围压有关
•非线性
•剪胀性
v
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结排水试验
应力应变关系－以某种粘土为例
u
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结排水试验
施加围压，排水阀门始终打开， 充分固结
施加(1 -)时，排水阀门始终 打开，速度慢足以使孔压消散
▪应变条件
y x 0;
xy yz zx 0
▪应力条件
xy yz zx 0;
x y;
x
x E
E
y z
0;
x y 1 z K0z;
▪独立变量 z , z F(z)
K0：侧压力系数
ij =
0 x 0xy 0xz 0yx 0 y 0yz
第三章
土体中的应力计算
§3 土体中的应力计算
地基中的应力状态 应力应变关系 土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系
自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
基底压力计算 有效应力原理
建筑物修建以后，建筑物 重量等外荷载在地基中引 起的应力，所谓的“附加” 是指在原来自重应力基础 上增加的压力。
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结排水试验
应力应变关系－以某种粘土为例
•与围压有关
•非线性
•剪胀性
v
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结排水试验
应力应变关系－以某种粘土为例
u
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (1)常规三轴试验 a) 固结排水试验
施加围压，排水阀门始终打开， 充分固结
施加(1 -)时，排水阀门始终 打开，速度慢足以使孔压消散
土力学完整课件土中应力计算
3dP z 3 3 pxz3 d z 5 dxdy 5 2 R 2bR
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
土力学完整课件土中应力计算49页PPT
侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
土力学完整课件土中应力计 算
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
土力学完整课件土中应力计 算
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
第二章 土体中的应力计算
• [思考题答案] 按给出的资料，计算并绘制地 基中的自重应力 沿深度的分布曲线。 （假定，地下水位位于标高为141.0处。）
2.2
基底压力
• 基底压力：上部结构荷载和基础自重通过 基础传递，在基础底面处施加于地基上的 单位面积压力。 • 基底反力：反向施加于基础底面上的压力
基底压力、反力
• 基底压力 建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传 基底压力：
讨论： 讨论：
p max p min = F + G 6e 1± bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 时 ， 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 时 ， ， 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布 时 ， ，基底出现拉应力， pmax e<l/6 pmin pmax e=l/6 pmax pmin<0 基底压力重分布 pmax e>l/6 pmin=0
2.2.1 基底压力的分布规律
（1）情况1 情况1
EI=0
(a) 理想柔性基础
(b) 堤坝下基底压力
图2-1 柔性基础 基础抗弯刚度EI=0，相当于绝对柔性基础 基底压力分布与作用荷载分布相同。 基底压力分布与作用荷载分布相同。
（2）情况2 EI=∞ 情况2 刚度很大(即EI=∞),可视为刚性基础(大块混凝土实体结构) 。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。
例题见教材P29 例题见教材P29 [例2-2]解题思路: 2]解题思路: 解题思路 1)求基础自重 G=γGAd 2)求外荷F=P+Q 3)求基础的合力距M:M=M/+Q∙e0 4）求合力距的偏心距e ：M=(F+G)∙e p F + G 6e 5）求基底压力 = 1 ±
土体中的应力计算
min
P 6e 1 A b
pmin
P 6e 1 A b
12
pmax
min
P 6e 1 A b
矩形面积单向偏心荷载
土不能承 受拉应力
P b e x y
p max
P b e
P b
压力调整
K e
L
x y
L
x
L
K=b/2-e
3K y pmin 0
L
y o b
L
b
L
pP A
P—集中力
P M y M yx p ( x, y ) x A Ix Iy
P’
P Pv Ph
P’
条 形
P’
b
b
b
p P b
P’—单位长 度上的荷载
P Mx p ( x) b I
P Pv Ph
14
§4.4竖直集中力作用下的附加应力计算
3
§4.2 地基中自重应力的计算
水平地基中的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态 假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 侧限应变条件一维问题 计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
4
1.计算公式
均质地基
竖直向：
角点法
叠加原理
角点下垂直附加 应力的计算公式
地基中任意点的附加应 力
23
角点法计算地基附加应力
a.矩形面积内
C z ( aA aB a aD ) p
B
A
C
h
b.矩形面积外
P 6e 1 A b
pmin
P 6e 1 A b
12
pmax
min
P 6e 1 A b
矩形面积单向偏心荷载
土不能承 受拉应力
P b e x y
p max
P b e
P b
压力调整
K e
L
x y
L
x
L
K=b/2-e
3K y pmin 0
L
y o b
L
b
L
pP A
P—集中力
P M y M yx p ( x, y ) x A Ix Iy
P’
P Pv Ph
P’
条 形
P’
b
b
b
p P b
P’—单位长 度上的荷载
P Mx p ( x) b I
P Pv Ph
14
§4.4竖直集中力作用下的附加应力计算
3
§4.2 地基中自重应力的计算
水平地基中的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态 假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 侧限应变条件一维问题 计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
4
1.计算公式
均质地基
竖直向：
角点法
叠加原理
角点下垂直附加 应力的计算公式
地基中任意点的附加应 力
23
角点法计算地基附加应力
a.矩形面积内
C z ( aA aB a aD ) p
B
A
C
h
b.矩形面积外
土体应力计算23页PPT
h3 3
1 h1 + 2h2 + 3h3
三、水平向自重应力
天然地面
z
cy
cz cx
cz z
cxc y K0cz
静止侧压 力系数
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算
并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa
角点法计算地基附加应力
计算点在基底角点外
I
o
o
z K c Ⅰ K c Ⅱ K c Ⅲ K c Ⅳ p
III
IV II
例题2-2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加应力
b l
z0 0dzz(pt,m ,n)
z K t1 pt z K t2 pt
Kt1
F(b,l,z)
x
1
Ph
1
b
2
l 2
y
z
z
2. 平面问题:若在半无限弹性体表面作用无限长条形的分布荷 载,荷载在宽度的方向分布是任意的,但在长度方向的分布 规律则是相同的,在计算土中任一点的应力时,只与该点的 平面坐标 (有x, 关z) ,而与荷载长度方向Y轴无关,这种情况属 于平面应变问题.
1）竖直线荷载作用时地基附加应力。
计算点在基底内 p
III IV
II o
I
III o II
IV
I
z
M z K c Ⅰ K c Ⅱ K c Ⅲ K c Ⅳ p
角点法计算地基附加应力
计算点在基底边缘点
o
o II
zK c Ⅰ K c Ⅱ p
I
计算点在基底边缘外
土力学 第二章 土体应力计算ppt课件
u0 wh3
1h1 2h2
wh3
1h12h2'h3
v c z u 0 1 h 1 2 h 2 3 'h 3 w h 3 1 h 1 2 h 2 3 s a t h 3
hc h u 0 K 0c z u 0 ppt精选版
14
2-2 地基中的自重应力
1 (1 2)
2
2
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
基础能否适应地基的变形
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17
2-3 基底压力与基底附加应力
一、柔性基础与刚性基础基底压力分布特征
柔性基础：基底压力与其上的荷载大小及分布相同。
▪基础抗弯刚度EI=0 → M=0；
▪基础变形能完全适应地基表面的变形;
▪基础上下压力分布必须完全相同，若 不同将会产生弯矩。
pmax=2Fv／3kb 式中：k——单向偏心荷载作用点至具有最大压力的基底边缘的距离，
k=(l/2-e)。
对于荷载沿长度方向均布的条形基础，P和G对应均取单位长度内的相应
值，基础宽p度m取ax为b，Fv则(1基底6压e力) 为
pmin b
b
（2-13）
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26
2-3 基底压力与基底附加应力
顺时针为正 逆时针为负
z zx xz
x
正应力
压为正 拉为负
剪应力
逆时针为正 顺时针为负
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7
2-2 地基中的自重应力
基本假定分析： (1) 土的分散性影响及连续介质假定
基础底面的尺寸远大于土颗粒; 工程实践中一般所关心只是平均应力。
(2) 土的非均质性和非线性影响 实际工程中土中应力变化范围不很大； 在这个应力范围内，应力应变关系可看 作是线性关系。
土力学土体中的应力
（3）饱和土中孔隙水压力和有效应力计算
? 自重应力情况
?静水位条件
（侧限应变条件） ? 稳定渗流条件
地下水位以下土 水面以下土 毛细饱和区
? 附加应力情况
? 侧限应力状态 ? 轴对称应力状态
等向压缩应力状态 偏差应力状态
? 自重应力情况 （侧限应变条件）
o
地面
? H1
有效应力分布曲线
B ?H1
地下水位线
y
P
x
r
z
K — 铅直向附加应力分布系数，无因次（查图） z
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
布辛奈斯克（Boussinesq ）法国著名物理家和数学家，对
数学物理、流体力学和固体力学都有贡献。
问题：
（1）集中力引起的附加应力分布规律？ （2）应力泡？ （3）多个集中力作用下的附加应力计算？
As： 颗粒接触点的面积
A ? AS ? Aw
Aw： 孔隙水的断面积
a
a
a-a断面竖向力平衡：
Psv
Ps
接触点
? ? ? ? ?
Psv ? Aw u AS ? 0.03A
AA
? '? u
?1
有效应力σ?
有效应力原理的表达式
②有效应力原理的应力可分为两部分 σ ?和u，并且：
1 地上建筑与土体的关系 2 土体的自重应力 3 基底压力 4 地基（土体）中的附加应力 5 有效应力原理 6 应力路径—应力变化的描述
1 地上建筑与土体的关系
世 界 第 一 高 楼
迪拜风帆酒店（七星级、楼高340米）
迪拜塔（楼高828米，169层，比台湾 101楼还要高出321米）
土力学1-第三章-清华大学
《土力学1》之第三章
土体中的应力计算
张丙印
清华大学土木水利学院 岩土工程研究所
10月29日习题讨论课
范围：第一、二章
内容： 小测验 习题讨论、方法讨论 难点讨论、其它讨论
答疑
时间：10月17日晚8：00 – 10：00 地点：新水利馆227
（从正门进，上2楼，两个左拐，右手）
第三章：土体中的应力计算
垂直于y轴断面的几何形状与应力状态相同 沿y方向有足够长度，L/B≧10 在x, z平面内可以变形，但在y方向没有变形
y 0 yx yz 0
地基中的应力状态（2）
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
二维应力状态（平面应变状态）
应变条件 y 0
yx yz 0
x
ij
1 2
0 xz
0
0 0
1 2
xz 0
z
应力条件
y
y E
E
x
z
0
y x z
ij
x 0
zx
0 y 0
xz 0
z
独立变量 x ,z ,xz ; x ,z ,xz ; x ,z
y M
βz
z
M
x
z zx xy
yz x
y
z
3Ph 2
xz2 R5
集中荷载的附加应力
§3.3 附加应力
仁者乐山 智者乐水
矩形面积竖直均布荷载 角点下的垂直附加应力：B氏解的应用
dP pdxdy
土体中的应力计算
张丙印
清华大学土木水利学院 岩土工程研究所
10月29日习题讨论课
范围：第一、二章
内容： 小测验 习题讨论、方法讨论 难点讨论、其它讨论
答疑
时间：10月17日晚8：00 – 10：00 地点：新水利馆227
（从正门进，上2楼，两个左拐，右手）
第三章：土体中的应力计算
垂直于y轴断面的几何形状与应力状态相同 沿y方向有足够长度，L/B≧10 在x, z平面内可以变形，但在y方向没有变形
y 0 yx yz 0
地基中的应力状态（2）
§3.1 应力状态及应力应变关系
仁者乐山 智者乐水
二维应力状态（平面应变状态）
应变条件 y 0
yx yz 0
x
ij
1 2
0 xz
0
0 0
1 2
xz 0
z
应力条件
y
y E
E
x
z
0
y x z
ij
x 0
zx
0 y 0
xz 0
z
独立变量 x ,z ,xz ; x ,z ,xz ; x ,z
y M
βz
z
M
x
z zx xy
yz x
y
z
3Ph 2
xz2 R5
集中荷载的附加应力
§3.3 附加应力
仁者乐山 智者乐水
矩形面积竖直均布荷载 角点下的垂直附加应力：B氏解的应用
dP pdxdy
土力学土体中的应力计算
自重应力分布规律
§4.2 自重应力
例4-1 某土层及其物理性质指标如
图4-5所示，计算土中自重应力。
解 第一层为细砂，地下水位以下的细 砂受到水的浮力作用，其浮重度为：
1 G （ （ 1 s1 G s-1 ） ） 2 1 .6 （ （ 9 9 2 1 .6 0 -.1 1 9 ） ） 8 1k N 0/m 3
土中的自重应力分布。
解 水下的粗砂受到水的浮力作用，其
浮重度为：
1 （ s- a t ） 1 .5 - 9 9 .8 9 1 .6 k N 9 /m 3
粘土层因为=20%<p=24%，则IL<0， 故认为土层不受水的浮力作用，土层面
图4-6
上还受到上面的静水压力作用。土中各
点的自重应力计算如下：
附加应力：是指土体受外荷载（包括建筑物荷载、交通荷载、 堤坝荷载等）以及地下水渗流、地震等作用下附加产生的应 力增量，它是产生地基变形的主要原因，也是导致地基土的 强度破坏和失稳的重要原因。
土中应力计算的目的和方法
§4.1 概述
1）碎散体
连续介质 （宏观平均）
线弹性
加载
2）非线性
线弹性体
弹塑性
（应力较小时）
b下点：z 10m, 但该点位于粘土层中，
a点：z 0,cz z 0
则 cz z h
b上点：z 10m,但该点位于粗砂层中，9.6910 9.8113 224.4kPa
cz z 9.691096.9kPa
c点：z 15m,cz
224.4 19.35 320.9kPa
自重应力算例
展而呈钟型分布，图c)桥梁墩台基础采用
钟 型
大块混凝土实体结构，其刚度很大，可认
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94.0 83.8 57.0 31.6 18.9 12.3
1200 1200 1600 1600 1600
25.6 44.8 60.2 71.7 83.2
88.9 70.4 44.3 25.3 15.6
114.5 115.2 104.5 97.0 98.8
0.970 0.960 0.954 0.948 0.944
a点：z=0，sz= z=0； b点：z=2m，sz=192=38kPa； c点：z=5m，sz=192+103=68kPa； d点：z=9m，sz=192+103+7.14=96.4kPa 分布如图:
§2 土体中的应力计算
§2.3地基中附加应力的计算
例题 土体表面作用一集中力F=200kN，计算地面深度 z=3m处水平面上的竖向法向应力z分布，以及距F作用点 r=1m处竖直面上的竖向法向应力z分布。
§3.3 地基的最终沉降量计算 四、例题分析 5.计算基础中点下地基中附加应力
7.2
6.确定沉降计算深度zn 根据σz = 0.2σc的确定原则，由计算结果，取zn=7.2m 7.最终沉降计算 根据e-σ曲线，计算各层的沉降量
§3土的压缩性与地基沉降计算
z( m ) 0 1.2 2.4 4.0 5.6 7.2 h σc σz σz+ σc e1 ( kPa ) ( mm ) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa)
§2.3地基中附加应力的计算
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
三角形分布荷载AFD作用在aeOh和ebfO上： z2=z2(aeOh)+
z2(ebfO)=p1(t1+t2)
z2=33.3(0.021+0.045)=2.2kPa
§2 土体中的应力计算
§2.3地基中附加应力的计算
§3.3 地基的最终沉降量计算 四、例题分析
σc σz
e2
0.937 0.936 0.940 0.942 0.940
e1i- e2i 1+ e1i
0.0618 0.0122 0.0072 0.0031 0.0021
si (mm) 20.2 14.6 11.5 5.0 3.4
16 35.2 54.4 65.9 77.4 89.0
[解] 列表计算见表4-2和4-3。 表
r(m) r/z
z(kPa) 0 0 0.478 10.6
z=3m处水平面上竖应力计算
1 0.33 0.369 8.2 2 0.67 0.189 4.2 3 1 0.084 1.9 4 1.33 0.038 0.8 5 1.67 0.017 0.4
§2 土体中的应力计算
1.计算法
1 f
o j o j 3 tan 45 2c tan 45 450 .8kPa 2 2
2
计算结果表明：1f大于该单元土体实际大主应力1， 实际应力圆半径小于极限应力圆半径，所以，该单 元土体处于弹性平衡状态
§4土的抗剪强度
规律分析：
（1）集中力作用线上最大. （2）随着r的增加而逐渐减小。
（3）集中力作用点处为奇异点。
（4）作用有多个集中力时，可叠加。 土中应力分布图
§2 土体中的应力计算
例题2-3 解
§2.3地基中附加应力的计算 三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
（1）M点竖向应力 将面积abcd通过中心O划成4个相等小矩形
竖向应力多大？
§2 土体中的应力计算
[解] 1)荷载作用面积叠加
§2.3地基中附加应力的计算
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
通过O点将矩形面积划为4块，假定其上作用均布荷载p1
p1=100/3=33.3kPa
用角点法，即 z1=z1(aeOh)+z1(ebfO)+z1(Ofcg)+z1(hOgd)
§2 土体中的应力计算
[解 ]
§2.1土体自重应力的计算
一. 水平地基中的自重应力
第一层土为细砂，地下水位以下考虑浮力作用
( s w ) (25.9 9.81) 19 10kN / m3 s (1 w) 25.9 (1 0.18)
第二层为粘土层，其液性指数
3 f 1 tan 2 45o
j
o j 2 c tan 45 189 .8kPa 2 2
计算结果表明： 3f小于该单元土体实际小主应 力 3，实际应力圆半径小于极限应力圆半径 ， 所以，该单元土体处于弹性平衡状态 在剪切面上
z
izi- i-1zi-1
(m) 0.2908 0.2250 0.1826 0.1041 0.0651 0.0185
Esi
(m)
(kPa) 5292 5771 6153 8161 7429 7448
e2
△ s
(mm)
s (mm)
0 0.2908 0.5158 0.6984 0.8025 0.8676 08861
0.937 20.7 0.936 14.7 0.940 11.2 0.942 4.8 0.940 3.3 0.9
54.7 55.6
根据计算表所示△z=0.6m, △sn =0.9mm ＜0.025Σ si =0.025*55.6mm= 6.沉降修正系数j s 满足规范要求 根据Es =6.0MPa， fk=p0 ，查表得到ys =1.1 7.基础最终沉降量 s= ys s =61.2mm
IL
w wP 50 25 1.09 1 wL wP 48 25
故受水的浮力作用，浮重度为
(26.8 9.81) 16.8 7.1kN / m3 26.8 (1 0.50)
§2 土体中的应力计算
§2.1土体自重应力的计算
一. 水平地基中的自重应力
§3土的压缩性与地基沉降计算
0.2500 0.2423 0.2149 0.1746 0.1433 0.1205 0.1136
§3.3 地基的最终沉降量计算 四、例题分析 5.列表计算各层沉降量△si
z(m) 0 1.2 2.4 4.0 5.6 7.2 7.8
l/b
1
z/b
0 0.6 1.2 2.0 2.8 3.6 3.9
f
1 90 j 45 j 55 2 2
1 1 3 1 1 3 cos 2 f 275.7kPa 2 2
1 1 3 sin 2 f 108.1kPa 2
库仑定律
f tanj c 115.3kPa
z(m) σc(kPa) 0 1.2 2.4 4.0 5.6 7.2 16 35.2 54.4 65.9 77.4 89.0
b=4m
3.计算基底压力 G G Ad 320kN
F G p 110 kPa A
4.计算基底附加压力
p0 p d 94kPa
§3土的压缩性与地基沉降计算
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
三角形分布荷载CFE作用在Ofcg和hOgd上： z3= z3(Ofcg)+ z3(hOgd)=(pp1)(t3+t4)=6.7kPa 于是 z=12.22.2+6.7=16.7kPa
§3土的压缩性与地基沉降计算
§3.3 地基的最终沉降量计算 四、例题分析
§2.3地基中附加应力的计算
表 r=1m处竖直面上竖应力z的计算
z(m)
0
1
2
3
4
5
6
r/z
z(kPa)
1
0.5
0.33
0.25
0.41 0 5.1
0.20
0.17
0 0
0.084 16.8
0.273 13.7
0.369 8.2
0.433 3.5
0.444 2.5
§2 土体中的应力计算
§2.3地基中附加应力的计算
由于τ<τf ，所以，该单元土体处于弹性平衡状态
§4土的抗剪强度
2.图解法
实际应力圆 τmax c
j
极限应力圆
3f
1 1f
最大剪应力与主应力作用面成45o 1 max 1 3 sin 90 115kPa 2 最大剪应力面上的法向应力
1 1 3 1 1 3 cos 90 315kPa 2 2
§4土的抗剪强度
五、例题分析 【例】地基中某一单元土体上的大主应力为430kPa，小 主应力为200kPa。通过试验测得土的抗剪强度指标c =15 kPa，j =20o。试问①该单元土体处于何种状态？②单元
土体最大剪应力出现在哪个面上，是否会沿剪应力最大 的面发生剪破？
【解答】 已知1=430kPa，3=200kPa，c=15kPa，j =20o
用角点法计算，过基底中点将荷载面四等分，计算边长l=b=2m ， σz=4Kcp0,Kc由表确定
z(m) 0 1.2 2.4 4.0 5.6 7.2 z/b 0 0.6 1.2 2.0 2.8 3.6 Kc σz(kPa) σc(kPa) σz /σc 0.2500 94.0 16 0.2229 83.8 35.2 0.1516 57.0 54.4 0.0840 31.6 65.9 0.0502 18.9 77.4 0.24 0.0326 12.3 89.0 0.14 zn (m)
§2 土体中的应力计算
§2.1土体自重应力的计算
一. 水平地基中的自重应力 例题 第一层土为细砂1=19kN/m3, s=25.9kN/m3, w=18%; 第 二层土为粘土, 2=16.8kN/m3, s=26.8kN/m3, w=50%(24%), wL=48%, wP=25%,并有地下水位存在。计算土中自重应力。