大一高数复习资料

第一章 函数与极限 第一节 函数

○邻域（去心邻域）

(){},|U a x x a δδ=-<

(){},|0U a x x a δδ=<-<

第二节 数列的极限

○数列极限的证明

【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞

= 【证明示例】N -ε语言

1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦

2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞

→lim

第三节 函数的极限

○0x x →时函数极限的证明

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0

lim

【证明示例】δε-语言

1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =

2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0

lim

○∞→x 时函数极限的证明

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞

→lim

【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =

2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞

→lim

极限存在准则及两个重要极限

○夹逼准则

第一个重要极限：1sin lim 0=→x

x

x

∵⎪⎭

⎫

⎝⎛∈∀2,

0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim

0=→x x x 0

000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫

⎪⎝⎭

（特别地，000

sin()

lim

1x x x x x x →-=-）

○单调有界收敛准则

第二个重要极限：e x x

x =⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞

→11lim

（一般地，()()

()()

lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

，其中

()0lim >x f ）

【题型示例】求值：1

1232lim +∞→⎪⎭

⎫ ⎝⎛++x x x x

【求解示例】

()()2111

212

1212

2121

1221

2

2121lim

212

21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞

+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛

⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎡

⎤⎛⎫⎛

⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭

⎝⎭

⎣

⎦

⎡

⎤⎛

⎫⎢⎥=+

⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦

解：()()12lim 121

21212

121

22lim 121x x x x x x x x x e

e

e e

+→∞⎡⎤

⋅+⎢⎥

+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥

+⎣⎦

+⎛⎫

⎪

+⎝

⎭

====

第四节 无穷小量与无穷大量 ○无穷小与无穷大的本质

函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f

函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦ （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1

f

x -为无穷小；反之，若()x f 为无

穷小，且()0f x ≠，则()x f 1

-为无穷大

【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣

⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U

内是有界的；

（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0

=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；

（()0lim =∞

→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）

3．由定理可知()()0

lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦

（()()lim 0x f x g x →∞

⋅=⎡⎤⎣⎦）

无穷小量的阶

○等价无穷小（P65/P77）

(外加此公式)

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：()()x

x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】

()()()()()()()3

131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为

【题型示例】求值233

lim 9

x x x →--

【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原

式()()2

3333311

lim lim lim 93336

x x x x x x x x x →→→--====-+-+ （其中3x =为函数()23

9

x f x x -=

-的可去间断点） 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解：()()0

23

3323311

lim

lim lim 926

9x L x x x x x x x '→→→'

--===-'

- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）

（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那

么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦

【题型示例】求值：9

3lim 23

--→x x x

【求解示例】3

6x →===

【题型示例】求值：1

1232lim +∞→⎪⎭

⎫ ⎝⎛++x x x x

【求解示例】

()()21

1

1

212

1212

2121

1221

2

2121lim

212

21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞

+→∞

⋅++++⋅⋅+++→∞

+→∞++→∞+++⎛⎫

⎛⎫

⎛

⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

⎡⎤

⎛

⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥

++⎝⎭

⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛

⎫⎢⎥=+

⎪⎢⎥+⎝⎭⎣

⎦

解：()()12lim 121

21212121

22lim 121x x x x x x x x x e

e e e

+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥

+⎣⎦+→∞+→∞⎡

⎤

⋅+⎢⎥+⎣⎦

+⎛⎫ ⎪

+⎝

⎭

====

第五节 函数的连续性 ○函数连续的定义

()()()00

0lim lim x x x x f x f x f x -

+→→==

○间断点的分类

⎩⎨

⎧∞⋯

⋯⎩⎨

⎧）无穷间断点（极限为

第二类间断点可去间断点（相等）

跳越间断点（不等）

限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x

a e x f x 2 ，00

≥

择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？

【求解示例】

1．∵()()()2010000f e e e f a a f a -

-⋅++⎧===⎪

⎪=+=⎨⎪

=⎪⎩

2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0

∴e a =

闭区间上连续函数的性质 ○零点定理

【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；

2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0f

g C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,~

x

x sin tan -23

x