必修4第一章《三角函数》章末检测试题含答案

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(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》检测(包含答案解析)

一、选择题1．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （51AB BC -=）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④2．已知关于x 的方程2cos ||2sin ||20(0)+-+=≠a x x a a 在(2,2)x ππ∈-有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（） A ．(,0)(2,)-∞+∞B ．(4,)+∞C ．(0,2)D ．(0,4)3．函数()()sin cos y x =的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知0>ω，2πϕ≤，在函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（） A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且其相邻对称轴间的距离为23π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期23T π= B ．58πϕ=-C ．()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧AB 长为83π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）(3 1.73≈)A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米7．已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（）A ．76π B ．56π C ．2πD ．3π 8．已知函数()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列说法错误的是（） A ．3π是函数()f x 的一个周期B ．函数()f x 的图象关于,13π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．函数的一条对称轴为712x π= D ．函数图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称 9．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．1B ．151+ C ．1916D ．3410．将函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，则以下说法正确的是（） A ．1ω=B ．函数()y f x =图象的一条对称轴为12x π=C ．()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增11．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 12．函数22y cos x sinx ＝－的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当(]0,1x ∈时，()21log f x x=，若函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点，则实数m 的取值范围是__________. 14．函数y ＝的定义域为________．15．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为106米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度约为50秒，升旗手应以__________（米 /秒）的速度匀速升旗．16．已知函数f （x ）＝A sin （3πx +φ），x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜2π．y ＝f （x ）的部分图象，如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），点R 的坐标为（1，0），∠PRQ ＝23π，则sin ∠PQR ＝_____．17．将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得到函数()y f x =图像，若函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围为_______________．18．函数[]y x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=.则对于函数()[]f x x x =-，有下列说法:①()f x 的值域为[)0,1；②()f x 是1为周期的周期函数；③()f x 是偶函数；④()f x 在区间[)1,2上是单调递增函数.其中，正确的命题序号为___________. 19．给出下列命题： ①函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心为5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭； ②若α，β为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，则ABC ∆必有两解.④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是 _________（把你认为正确的序号都填上）．20．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的部分图象如下图所示，则ϕ=________.三、解答题21．如图，在扇形OMN 中，半径10OM =，圆心角6MON π∠=，D 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记DON θ∠=，矩形ABCD 的面积为S .（1）用含θ的式子表示线段DC ，OB 的长；（2）求S 的最大值.22．已知()442sin cos cossin f x x x x x ωωωω=+-（其中ω>0）．（1）若()f x 的最小正周期是π，求ω的值及此时()f x 的对称中心；（2）若将()y f x =的图像向左平移4π个单位，再将所得的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得到()g x 的图像，若y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求ω的取值范围．23．已知函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，证明：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22()()10g x g x --≤.24．长春某日气温()C y ︒是时间t (024t ≤≤，单位：小时)的函数，下面是某天不同时间的气温预报数据： t (时)3 6 9 12 15 18 21 24 ()C y ︒ 15.714.015.720.024.226.024.220.015.7cos()y A t b ωϕ=++的图象.（1）根据以上数据，试求cos()y A t b ωϕ=++(0A >，0>ω，0ϕπ<<)的表达式；（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23C ︒.根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？(忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下哦，奥力给!) 25．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深5.0003.7542.8352.5002.8353.754（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数sin()y A x b ωϕ=++（0A >，0>ω）近似描述，试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能呆多久？26．函数()cos()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示.（1）求()f x 的表达式；（2）若[1,2]x ∈，求()f x 的值域；（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设51AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求出,,l m n ，再逐项判断即可得正确选项. 【详解】不妨设51AB =，则2BC =，所以()512l BE π==⨯， ()25135ED =-=所以(352m EG π==⨯，(5135254CG =-=，所以())422n GI ππ==⨯=，所以(())341222m n l πππ⨯+⨯=⨯==+，故①正确；(22227342m π-⨯==，))271222l n ππ-⨯⨯=⋅=，所以2m l n =⋅，故②正确；))51222l n πππ⨯++==，((22332m ππ=⨯⨯-=-，所以2m l n ≠+，故③不正确；11l n l n l n ++===⋅(113232m ππ+==⨯，所以211m l n ≠+，故④不正确；所以①②正确，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，正确求出扇形的半径，利用弧长公式求出弧长即,,l m n 的值.2．D解析：D 【分析】令2()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，易知函数()f x 是偶函数，将问题转化为研究当(0,2)x π∈时，2()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点，令sin t x =，则转化为2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈-求解.【详解】当(2,2)x ππ∈-，2()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，则()()f x f x -=，函数()f x 是偶函数，由偶函数的对称性，只需研究当(0,2)x π∈时，2()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点，设sin t x =，则2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈- ①当0a <时，2()22=--h t at t 是开口向下，对称轴为10t a=<的二次函数， (0)20h =-<则(1)0->=h a ，这与0a <矛盾，舍去；②当0a >时，2()22=--h t at t 是开口向上，对称轴为10t a=>的二次函数，因为(0)20h =-<，(1)220-=+->=h a a ，则存在(1,0)t ∈-，只需(1)220=--<h a ，解得4a <，所以04a <<．综上，非零实数a 的取值范围为04a <<．故选：D ．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解3．A解析：A 【分析】先确定奇偶性，再取特殊值确定函数值可能为负，排除三个选项后得出结论．【详解】记()()sin cos f x x =，则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==，为偶函数，排除D ，当23x π=时，21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，排除B ，C ．故选：A ．【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项，再由特殊的函数值，函数值的正负，变化趋势等排除一些选项后得出正确结论．4．D解析：D 【分析】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=，可求得()4k x k Z ππϕω+-=∈，再利用，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，可得2x ππω∆==，即可得2ω=，再利用正弦函数图象的特点，可得032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即可求出ϕ的取值范围. 【详解】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=，可得：()4x k k Z πωϕπ+=+∈，所以因为相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2x ππω∆==，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，232x ππϕϕϕ-+<+<+，要满足函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，需满足方程032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ ，解得32ππϕ≤≤，故选：D 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.5．D解析：D 【分析】首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是43π，故A 不正确； 243T ππω==，解得：32ω=，()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，解得：5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-，故B 不正确； ()311cos 216f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故C 不正确；当02x π≤≤时，3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，即,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求33216x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 6．B解析：B 【分析】根据已知求出矢2=，弦2AD ==. 【详解】由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=，可得：矢422=-=，由sin43AD AO π===可得：弦2AD ==所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)22)292=+=≈平方米．故选：B 【点睛】方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式l r α=、扇形面积公式12S lr =及直角三角函数求解.7．A解析：A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=，所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭的情况. 8．D解析：D 【分析】根据正弦函数性质周期，对称性，图象变换判断各选项．【详解】函数()f x 的最小正周期为π，故3π是函数()f x 的一个周期，A 正确；当3x π=时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故B 正确；当712x π=时，函数()f x 取得最小值，712x π=为对称轴，C 正确；函数图象向左平移6π个单位后函数解析式为sin 2163y x ππ⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，不是偶函数，图象不关于y 轴对称，D 错误．故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，考查周期的概念，对称轴与对称中心、奇偶性等性质，属于基础题．9．C解析：C 【分析】由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算．【详解】由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便． 10．C解析：C 【分析】由周期求出ω，然后由正弦函数的性质判断．【详解】函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，所以22πωπ==，A 错；12x π=时，206x π-=，12x π=不是对称轴，B 错；3x π=时，226x ππ-=，即23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭为最大值，因此()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭正确，C 正确； 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而sin y x =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 错；故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的性质，对函数()sin()f x A x ωϕ=+，掌握五点法是解题关键．解题时可由x 的值或范围求得x ωϕ+的值或范围，然后结合正弦函数性质判断．11．C解析：C 【分析】可得()()2f x f x π+=，得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 【详解】()()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴是以2π为周期的函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，41x π⎛⎫+ ⎝∴≤⎪⎭≤根据函数的周期性可得()f x 的最小值为1，故AB 错误，∴1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，故D 错误， ()()sin cos cos sin222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 12．D解析：D【解析】分析：将2cos x 化为21sin x -，令()sin 11x t t =-≤≤，可得关于t 的二次函数，根据t 的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简，22cos 2sin sin 2sin 1y x x x x =-=--+ 设()sin 11x t t =-≤≤，则()()22211211y t t t t =--+=-++-≤≤，根据二次函数性质当1t =-时，y 取最大值2，当1t =时，y 取最小值2-. 故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为2sin sin y A x B x C =++的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，根据角的范围求解.二、填空题13．【分析】根据条件易得函数是关于对称以2为周期的奇函数再根据时在同一坐标系中作出函数的图象利用数形结合法求解【详解】因为是奇函数且所以即函数是关于对称以2为周期的奇函数又时在同一坐标系中作出函数的图象解析：742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【分析】根据条件，易得函数()f x 是关于()1,0对称，以2为周期的奇函数，再根据(]0,1x ∈时，()21log f x x=，在同一坐标系中作出函数()y f x =，()sin y x π=的图象，利用数形结合法求解. 【详解】因为()f x 是奇函数，且()()20f x f x -+=，所以()()2f x f x -=-，即函数()f x 是关于()1,0对称，以2为周期的奇函数，又(]0,1x ∈时，()21log f x x=，在同一坐标系中作出函数()y f x =，()sin y x π=的图象如图所示：因为函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点，所以函数()y f x =，()sin y x π=在区间[]1,m -上有且仅有10个交点，由图知：实数m 的取值范围是742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故答案为：742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【点睛】方法点睛：函数零点求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则构造两个函数，将问题转化为两个函数图象的交点问题求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．14．(k ∈Z)【分析】解不等式2cosx －1≥0即得函数的定义域【详解】∵2cosx －1≥0∴cosx≥由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)∴x ∈(k ∈Z)故答案为(k ∈Z)【点睛】（解析： (k ∈Z)【分析】解不等式2cos x －1≥0即得函数的定义域. 【详解】∵2cos x －1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x ∈ (k ∈Z)．故答案为 (k ∈Z)【点睛】（1）本题主要考查三角函数线和解三角不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)三角函数线是解三角不等式较好的工具，要理解掌握并灵活运用.15．6【分析】根据题意可求得然后利用正弦定理求得最后在中利用求得答案【详解】在中由正弦定理得；在中（米）所以升旗速度（米/秒）故答案为06【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用此类问题的解决关键是建立解析：6 【分析】根据题意可求得，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，106CD =BC ，最后在Rt ABC 中利用sin60AB BC =︒求得答案．【详解】在BCD 中，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，106CD = 由正弦定理，得sin 45203sin 30CD BC ︒==︒在Rt ABC 中，3sin?603302AB BC =︒==（米）．所以升旗速度300.650t AB v ===（米/秒）．故答案为0.6. 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决，属于中档题.16．【分析】根据周期求出再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出最后由正弦定理求出【详解】过点作延长线的垂线垂足为连接如下图所示则由正弦定理可知则故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应解析：2114【分析】根据周期求出32TDQ ==，再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出,PR PQ ，最后由正弦定理求出sin PQR ∠.【详解】过点Q 作PR 延长线的垂线，垂足为D ，连接PQ ，如下图所示263T ππ==，则32T DQ == 6xRQ RQD π∠=∠=3tan336DR DQ π∴=⋅=⨯= 223,23,12921PR DP PQ PD PQ ∴===+=+=由正弦定理可知sin sin PQ PRPRQ PQR=∠∠则33sin 212sin 1421PR PRQPQR PQ⋅⋅∠∠===故答案为：2114【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应用，涉及了正弦定理解三角形，属于中档题.17．【分析】根据图象变换求出解析式再结合正弦函数的性质建立不等式即可求出的取值范围【详解】将函数图像上所有点向左平移个单位得到的图象再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变得函数在上有且仅有一条对称轴和一个对称解析：35,22⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据图象变换求出()f x 解析式，再结合正弦函数的性质建立不等式，即可求出ω的取值范围. 【详解】将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得()sin 4y f x x πω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得,4424x ，3242，解得3522. 故答案为：35,22⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，以及根据相关性质求参数，属于中档题.18．①②④【分析】当时即可判断①④；计算即可判断②也可以作图；计算即可判断③【详解】当时所以故①④正确；当时则故②正确；所以③错误故答案为：①②④【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质涉及到周解析：①②④ 【分析】当[,1)x n n ∈+时，()f x x n =-，即可判断①④；计算(1)f x +，()f x 即可判断②，也可以作图；计算12()33f -=，11()33f =即可判断③. 【详解】当[,1)x n n ∈+时，[]x n =，()||f x x n x n =-=-，所以()[0,1)f x ∈，故①④正确；当[,1)x n n ∈+时，则1[1,2)x n n +∈++，[1]1x n +=+，(1)|1[1]|f x x x +=+-+|1(1)|||()x n x n f x =+-+=-=，故②正确；1112()|[]|3333f -=---=，1111()|[]|3333f =-=，所以③错误.故答案为：①②④. 【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质，涉及到周期性、单调性、奇偶性以及值域，是一道中档题.19．①③【分析】分别利用余弦函数的对称性正切函数的单调性正弦定理三角函数图象变换等知识对各个命题判断【详解】①令是函数的一个对称中心①正确；②若它们为第一象限角且但②错；③在中内角所对的边分别为若∵∴∴解析：①③ 【分析】分别利用余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识对各个命题判断．【详解】 ①，令55()4cos()4cos()012632f ππππ-=-+=-=，5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心，①正确；②若136απ=，3πβ=，它们为第一象限角，且αβ>，但tan tan αβ=<=②错；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，sin sin 2sin 251a BA b==︒<，∵b a <，∴B A <，∴A 可能为锐角，也可能为钝角，则ABC ∆有两解，③正确；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2()sin(2)42y x x ππ=+=+的图象，④错．故答案为：①③．【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握三角函数的图象与性质是解题关键．本题需要掌握余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识，属于中档题．20．【分析】根据图象得出函数的最小正周期可得出的值再将点代入函数解析式结合的取值范围可求出的值【详解】由图象可知函数的最小正周期则将点代入函数解析式得即因为函数在附近单调递减则得故答案为：【点睛】本题考解析：6π【分析】根据图象得出函数()y f x =的最小正周期T ，可得出ω的值，再将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，222T ππωπ∴===，则()()sin 2f x A x ϕ=+，将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式得55sin 201212f A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为函数()y f x =在512x π=附近单调递减，则()526k k Z πϕππ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，πϕπ-<<，0k ∴=，6π=ϕ. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式中的参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．（1）10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；OB θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）max 100S =-【分析】（1）在Rt DCO 和Rt ABO 中利用三角函数的定义可表示出,DC OB ；（2）求出BC 后可得矩形面积S ，利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最大值．【详解】解：（1）在Rt DCO 中，10OD =，∴10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又Rt ABO 中，6AOB π∠=，10sin AB DC θ==，∴OB θ==，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）在Rt DOC 中，10cos OC θ=，∴10(cos )BC OC OB θθ=-=，∴100sin (cos )S AB BC θθθ=⋅=-11cos 2100sin 2100sin 2223θπθθ-⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵06πθ<<，∴22333πππθ<+<，∴当232ππθ+=即12πθ=时，max 100S =-【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是用角表示出矩形面积，然后可利用三角函数的恒等变换公式如二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式、诱导公式等化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x k ωϕ=++形式，最后利用正弦函数性质求得结论．22．（1）=1ω，对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈，（2）1524ω≤≤【分析】（1）先对函数化简变形得(2+4f x x πω（），由函数的周期为π，得=1ω，再由2+=4x k ππ，可求出对称中心的横坐标，进而可得对称中心；（2）由题意得到())24g x x ωππω=++，由0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，而y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围【详解】解：（1）()sin 2+cos 22+4f x x x x πωωω=（），()f x 的最小正周期是π，2==12ππωω∴∴，此时()2+4f x x π=（），令2+=4x k ππ，得,82k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈. （2）由题知())24g x x ωππω=++， 0,4824244x x πωππωπππωωπ⎡⎤⎡⎤∈∴++∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，又()y g x =在08π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤∴++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，即32154242,242242k k k k Z k ππωππωωππππ⎧+≤+⎪⎪⇒+≤≤+∈⎨⎪+≥+⎪⎩，150,24ωω>∴≤≤【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的图像和性质，第2问解题的关键是求出424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，再由y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围，属于中档题 23．（1）,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）根据sin 2126f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数可得6π=ϕ，则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈可得答案；（2）根据三角函数图象的变换规律可得()sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出1(),12g x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，进而可得结论.【详解】（1）由题意知：sin 2126y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数所以()6k k Z πϕπ-=∈，(Z)6k k πϕπ=+∈因为02πϕ<<，所以0k =，6π=ϕ 所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得：,Z 36k x k k ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由题知：将()y f x =的图象向右平移6π个单位得sin 266y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍，得()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因此1()sin 4,162g x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则2()10g x +≥且()10g x -≤，所以22()()1[2()1][()1]0g x g x g x g x --=+-≤ 【点睛】方法点睛：函数sin()y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的单调区间的求法：,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间；2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.24．（1）36cos 20124y t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[0,24]t ∈；（2）[11,19]t ∈，8小时. 【分析】（1）由表中数据列方程求出b 、A 的值，再求出T 、ω和ϕ的值即可；（2）令23y ，利用余弦函数的性质求出t 的取值范围，即可得出结论．【详解】（1）根据以上数据知，2614A b A b +=⎧⎨-+=⎩，解得20b =，6A =；由153122T=-=，解得24T =，所以212T ππω==；由3x =时14y =，即36cos()201412πϕ++=，解得cos()14πϕ+=-，即24k πϕππ+=+，k Z ∈；所以324k πϕπ=+，k Z ∈；由0ϕπ<<，解得34πϕ=；所以36cos()20124y t ππ=++，[0t ∈，24]；（2）令36cos()2023124y t ππ=++，得31cos()1242t ππ+，即32231243k t k ππππππ-+++，k Z ∈；解得1324524k t k -+-+，k Z ∈；当1k =时，1124t ，所以一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在[11t ∈，19]时间段将该种商品放在室外销售，且单日室外销售时间最长不能超过19118-=（小时）．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 25．（1） 2.5sin()56y x π=+；（2）该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时. 【分析】（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===，26T ππω==，取3x =代入可得2,k k Z ϕπ=∈，则解析式可得；（2）由（1）得计算2.5sin()5 6.256x π+≥解x 范围即可得结果.【详解】解：（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===. 因为0>ω，所以22126T πππω===. 因为3x =时y 取得最大值，所以32,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈.所以这个函数解析式为 2.5sin()56y x π=+（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，所以2.5sin()5 6.256x π+≥，即1sin()562x π+≥，所以522,666m x m m N πππππ+≤≤+∈，解得112512,m x m m N +≤≤+∈.取0,1,m m ==得15,1317x x ≤≤≤≤.答：该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.26．（1）()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （3）154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭，得ωπ=，又314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求出函数表达式. （2）当[1,2]x ∈时，52444x πππππ≤+≤+，由余弦函数图像可得答案. （3）先根据图象变换求出()g x 的解析式，再根据余弦型函数的单调减区间求解即可. 【详解】（1）由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭，得ωπ= 所以()()cos f x x πφ=+，又当1534424x +==时，314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即33cos 144f πφ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则324k k Z πφππ+=+∈，所以124k k Z φππ=+∈，，所以()cos 2cos 44f x x k x πππππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）当[1,2]x ∈时，52444x πππππ≤+≤+cos 124x ππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭所以当[1,2]x ∈时，()f x 的值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后可得：cos 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()1cos 26g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由122,26k x k k Z πππππ≤+≤+∈ 1544,33k x k k Z -≤≤+∈所以()g x 的单调递减区间为：154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：本题考查根据三角函数的图象求解析式以及根据解析式求值域和解决图象平移问题，解答本题的关键是读懂三角函数的图象，得到251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭和314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭从而求出解析式，在根据图象左右平移求解析式时，要注意将()f x 的图像向右平移112个单位后可得：1cos 124y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，属于中档题.。

高中数学必修四第一章《三角函数》单元测试题(含答案)

高中数学必修四第一章单元测试题《三角函数》（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（）A. B. C. D.2．函数的一条对称轴可能是（）A. B. C. D.3．已知1sin 3θ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan θ= A. 2- B. 2- C. 24-D. 28- 4．已知，，则（）．A. B. C. D. ，5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（） A. 2 B.C.D.6．下列区间上函数cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为增函数的是（）A. ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 711,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知α为第二象限角，则222sin 1-sin cos 1-cos αααα+的值是（） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 8．如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（）A.B.C. D.9．将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（）A. B. C. D.10．已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为（）A.1468 B. 2168 C. 6814 D. 682111．函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如下图所示，为了得到()cos g x A x ω=-的图像，可以将()f x 的图像（）A. 向右平移12π个单位长度 B. 向右平移512π个单位长度C. 向左平移12π个单位长度 D. 向左平移512π个单位长度 12．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭”的一个函数是（） A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若角α的终边经过点()1,2--，则2sin2cos αα+=____________. 14．函数()()π20,2f x sin x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则ω=__________， ϕ=__________．15．若()()sin 2cos 2,αππα-=-则()()()()sin 5cos 23cos sin παπαπαα-+----的值为____________.16．给出下列四个命题： ①函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是512x π=； ②函数tan y x =的图象关于点(2π,0)对称； ③函数2cos sin y x x =+的最小值为1-；= 0，则12x x k π-=，其中k Z ∈；以上四个命题中正确的有_____________（填写正确命题前面的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10（1（2）2sin sin2αα+.18．（本小题12分）（1）已知角α终边上一点，求cos α和tan α的值．（2）已知α是第三象限的角，且简()f α；②若，求()f α19．（本小题12分）已知函数()()sin (0,24,)2f x A wx b A w πϕϕ=++><<<.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的图象的对称中心及()2f x 的递减区间.20．（本小题12分）某同学用“五点法”画函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：6π23π0 22-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并求出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 21．（本小题12分）已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求的值；（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.22．（本小题12分）函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.高中数学必修四第一章单元测试题《三角函数》参考答案（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】,选D.2．函数的一条对称轴可能是（）A. B. C. D.【答案】B3．已知1sin 3θ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan θ= A. 2- B. 2- C. 24- D. 28- 【答案】C 【解析】∵1sin 3θ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴222cos 1sin 3θθ=--=-，则1sin 23tan cos 4223θθθ===--，故选C.4．已知，，则（）．A. B. C. D. ，【答案】D 【解析】 ∵，，∴，，∴．故选．5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（） A. 2 B. C.D.【答案】C【解析】6．下列区间上函数cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为增函数的是（） A. ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 711,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】当44x ππ-≤≤时，712312x πππ≤+≤，函数不是增函数；当263x ππ≤≤时， 23x πππ≤+≤，函数是减函数；当2433x ππ≤≤时， 533x πππ≤+≤，函数是增函数；选C.7．已知α为第二象限角，则222sin 1-sin cos 1-cos αααα+的值是（） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 【答案】B8．如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（）A.B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得A=2,f(0)=由所以，，选B.9．【2018届河南省天一大联考高三上测试二（10月】将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】D10．已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为（）A.1468 B. 2168 C. 6814 D. 6821【答案】B【解析】()2222sin cos sin 1sin 17sin 417tan 4sin cos tan θθθθθθθθθ+++=++ ()22141162117tan 68686841tan tan tan θθθθ++=+=+=+,故选B 11．函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如下图所示，为了得到()cos g x A x ω=-的图像，可以将()f x 的图像（）A. 向右平移12π个单位长度B. 向右平移512π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度 D. 向左平移512π个单位长度【答案】B【解析】试题分析:由题意可得,解之得,故,又可得,即,所以,而,即函数可由函数的图象向右平移512π个单位长度而得到,故应选B. 12．【2018届广西柳州市高三上摸底】同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④一个对称中心为,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭”的一个函数是（）A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【2018届福建省惠安惠南中学高三10月月考】若角α的终边经过点()1,2--，则2sin2cos αα+=____________.【答案】1【解析】由三角函数定义得2tan 21α-==∴- 2sin2cos αα+= 22222sin cos cos 2tan 1411sin cos 141tan ααααααα+++===+++14．函数()()π20,2f x sin x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则ω=__________， ϕ=__________．【答案】2π3 π615．若()()sin 2cos 2,αππα-=-则()()()()sin 5cos 23cos sin παπαπαα-+----的值为____________.【答案】35-【解析】因为()()sin 2cos 2sin 2cos ,αππααα-=-∴=-()()()()sin 5cos 2sin 5cos 3cos 33cos sin 3cos sin 5cos 5παπααααπααααα-+-+===-----+-故答案为35-.16．给出下列四个命题： ①函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是512x π=； ②函数tan y x =的图象关于点(2π,0)对称； ③函数2cos sin y x x =+的最小值为1-；④若12sin 2sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ = 0，则12x x k π-=，其中k Z ∈；以上四个命题中正确的有_____________（填写正确命题前面的序号）．【答案】①②③ 【解析】把512x π=代入函数得1y =,为最大值，故正确；结合函数tan y x =的图象可得点,02π⎛⎫⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故正确；函数 22215cos sin sin 124y x x x sinx sinx ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭ []1,1sinx ∈-Q 当sin 1x =-时，函数取得最小值为1-，故正确。

(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z2．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 3．函数()sin()(0||)2，f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（）A ．()sin 21g x x =-B ．()sin 21g x x =+C ．()sin(2)13g x x π=-- D ．()sin(2)13g x x π=-+4．已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，则ϕ=（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．如图，一半径为4.8m 的筒车按逆时针方向转动，已知筒车圆心O 距离水面2.4m ，筒车每60s 转动一圈，如果当筒车上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（）A ．点P 第一次到达最高点需要10sB ．点P 距离水面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数解析式为4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C ．在筒车转动的一圈内，点P 距离水面的高度不低于4.8m 共有10s 的时间 D ．当筒车转动50s 时，点P 在水面下方，距离水面1.2m 6．已知函数sin()0,0,||2y A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调增区间为（） A ．222,3939k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B ．242,3939k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．227,318318k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ D ．272,318318k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ 7．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =8．675︒用弧度制表示为（） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 9．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭11．将函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，则以下说法正确的是（） A ．1ω=B ．函数()y f x =图象的一条对称轴为12x π=C ．()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3二、填空题13．以下关于函数()()21sin 324f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的结论： ①()y f x =的图象关于直线2x π=-对称； ②()f x 的最小正周期是4π；③()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数； ④()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．其中正确的结论是__________________（写出所有正确结论的序号）． 14．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是_________．①()g x 的最小正周期为π ②()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③12x π=不是函数()g x 图象的对称轴 ④()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-15．已知函数()()πsin (00)2f x M x M ωϕωϕ=+>><，的部分图象如图所示，其中()23A ，(点A 为图象的一个最高点)502B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则函数()f x =___________.16．将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为125,,...,A A A ，若P 点坐标为()0,3，则125...PA PA PA +++=____.17．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .18．将函数()sin 23cos2f x a x x =+的图象向左平移6π个单位长度，若所得图象关于原点对称，则a 的值为_________．19．已知函数()sin f x x =，若对任意的实数(,)46αππ∈--，都存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最大值是____.20．已知函数()sin cos x f x x x =-，23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值是__________ 三、解答题21．已知函数()()sin (0,)2f x A x πωϕωϕ=+＞＜部分图象如图所示.（1）求ω和ϕ的值；（2）求函数()f x 在[,]-ππ上的单调递增区间；（3）设()1212x f x f x ππϕ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知函数2()2()3()21g x x x a ϕϕ=-+-在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，求实数a 的最小值和最大值. 22．在①()f x 的图象关于直线3x π=对称，②()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，③()f x 的图象上最高点中，有一个点的横坐标为6π这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的振幅为2，初相为3π，最小正周期不小于．．．π，且______. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.23．已知函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，证明：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22()()10g x g x --≤.24．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >，0>ω，2πϕ<)的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在[]0,m 上单调递增，当实数m 取最大值时，求函数()f x 在[]0,m 上的最大值.25．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；（3）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()32f x ≥，求x 的取值范围．26．已知函数()2sin 1f x x =-.（1）求函数f (x )的最大值，并求此时x 的值；（2）写出()0f x >的解集.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据图象得到函数()f x 解析式，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，可得()y g x =解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论. 【详解】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+. 将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈；||2ϕπ<， ∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ()()3sin 23sin 233g x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=--≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 不正确. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z ππ=+∈. 故C 错误；由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故D 正确；故选：D. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.2．A解析：A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-=+∈，即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.3．D解析：D 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分函数图象，1274123πππω⋅=-，2ω∴=．再根据五点法作图，23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，可得sin(2)3y x π=-的图象．然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为()sin(2)13g x x π=-+，故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A 的值，根据最值点求出ϕ的值.4．B解析：B 【分析】先由点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴,求出ω的范围,再由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出φ.【详解】由题意得:62484T πππ-=≥, 得1248ππω⨯≤,所以ω4≥. 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调,所以3662T πππ-=≤,得1226ππω⨯≥,所以ω6≤所以ω=4或5或6.当ω=4时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 402424460f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3πϕ=.当ω=5时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 502424560f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解. 当ω=6时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 602424660f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.综上: 3πϕ=.故选:B 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.5．B解析：B 【分析】先建立坐标系，从点0P 开始计时，建立三角函数模型()0sin h A t b ωϕ=++，通过题中条件求出参数0,,,A b ωϕ，再利用函数解析式对选项依次判断正误即可. 【详解】以水面所在直线为t 轴，过O 作OO t '⊥轴，建立坐标系如图：设点P 距离水面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数解析式为()0sin h A t b ωϕ=++.依题意可知， 2.4OO '=， 2.41sin 4.82OPO '∠==，6OPO π'∠=. 高度h 最大值为2.4 4.87.2+=，最小值为2.4 4.8 2.4-=-，故()()7.2 2.47.2 2.44.8, 2.422A b --+-====，周期60T =s ，则230T ππω==， 0t =时，06πϕ=-，故函数解析式为 4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，故B 正确；点P 到达最高点时 4.8sin 2.47.2306h t ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故2,3062t k k Z ππππ-=+∈，即2060,t k k Z =+∈，又0t ≥，故第一次到达最高点时，0,20k t ==s ，故A 错误；在筒车转动的一圈内，点P 距离水面的高度不低于4.8m ，即4.8sin 2.4 4.8306h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，得1sin 3062t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故563066t ππππ≤-≤，解得1030t ≤≤，故共有20 s 时间，C 错误；当筒车转动50s 时，即50t =代入 4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得，34.8sin 50 2.4 4.8sin 2.4 2.43062h πππ⎛⎫=⨯-+=+=- ⎪⎝⎭，故点P 在水面下方，距离水面2.4m ，故D 错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于按照题意，建立三角函数模型()0sin h A t b ωϕ=++，并解出解析式，才能解决选项中的实际问题，突破难点.6．A解析：A 【分析】由最大值点和对称中心的坐标可以求出()f x 的解析式，利用三角函数的性质，整体代换得出该复合函数的单调增区间. 【详解】图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭， 3A ∴=，0b =且124918T ππ=-，可得23T π=， 23Tπω∴==， 3sin(3)y x ϕ∴=+ 将2,39π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得3sin(3)3y x ϕ=+=，可得22,32k k Z ππϕπ+=+∈，且2πϕ<， 6πϕ∴=-，可得()3sin(3)6f x x π=-，令6232,22k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得222+9393k x k ππππ-≤≤，故选：A. 【点睛】方法点睛：根据图像求函数()sin()f x A x k ωϕ=++的解析式，根据最高点和对称中心的纵坐标可求出A 和k ，根据横坐标可求出周期T ，进而求出ω.求该函数的单调区间时，用整体代换的思想，借助正弦函数的单调区间，用解不等式的方法求复合函数的单调区间.7．B解析：B 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项．【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ．故选：B ．【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.8．C解析：C 【分析】根据弧度制与角度制的关系求解即可. 【详解】因为180π︒=弧度，所以156********4ππ︒=⨯=，故选：C9．D解析：D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断．【详解】左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ．故选：D ．【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．10．D解析：D 【分析】结合图象，依次求得,,A ωϕ的值. 【详解】由图象可知2A =，2,,22362T T πππππωω⎛⎫=--==== ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，依题意0ϕπ≤≤，则2333πππϕ-≤-≤， 2sin 0,0,6333f ππππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.11．C解析：C 【分析】由周期求出ω，然后由正弦函数的性质判断．【详解】函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，所以22πωπ==，A 错； 12x π=时，206x π-=，12x π=不是对称轴，B 错；3x π=时，226x ππ-=，即23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭为最大值，因此()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭正确，C 正确； 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而sin y x =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 错；故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的性质，对函数()sin()f x A x ωϕ=+，掌握五点法是解题关键．解题时可由x 的值或范围求得x ωϕ+的值或范围，然后结合正弦函数性质判断．12．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果. 【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确；对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确；对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误；对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确．故选：C ．【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二、填空题13．①②③【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误【详解】对于①所以的图象关于直线对称①正确；对于②的最小正周期是②正解析：①②③ 【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误. 【详解】对于①，212sin 232243f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，()y f x =的图象关于直线2x π=-对称，①正确；对于②，()f x 的最小正周期是2412T ππ==，②正确；对于③，当23x ππ≤≤时，3154244x πππ≤-≤，所以，函数()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数，③正确；对于④，由①可知，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.14．①③④【分析】由函数图像的变换可得结合余弦函数的周期性单调性对称轴等即可判断选项得出答案【详解】的最小正周期为选项A 正确；当时时故在上有增有减选项B 错误；故不是图象的一条对称轴选项C 正确；当时且当即解析：①③④ 【分析】由函数图像的变换可得()cos 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案. 【详解】()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．()g x 的最小正周期为π，选项A 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误；012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，D 正确．故答案为：①③④. 【点睛】本题考查了三角函数图像的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.15．【分析】由点的坐标可得的值由图象可求得函数的图象可得该函数的最小正周期可求得的值再将点的坐标代入函数的解析式结合的取值范围可求得的值可得出函数的解析式【详解】由于函数的图象的一个最高点为则由图象可知解析：ππ3sin 36x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由点A 的坐标可得M 的值，由图象可求得函数()y f x =的图象可得该函数的最小正周期，可求得ω的值，再将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，可得出函数()y f x =的解析式．【详解】由于函数()y f x =的图象的一个最高点为()2,3A ，则3M =，由图象可知，函数()y f x =的最小正周期为452632T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 23T ππω∴==，()3sin 3x f x πϕ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式得()223sin 33f πϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，可得2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，则27636πππϕ<+<，232ππϕ∴+=，解得6πϕ=-，()3sin 36x f x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭故答案为：()3sin 36x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式，考查计算能力，属于中等题.16．10【分析】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称再由向量的加法运算得最后求得向量的模【详解】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称所以【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景与平面向量解析：10 【分析】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知，它们都关于点3(1,0)A 中心对称，再由向量的加法运算得1253...5PA PA PA PA +++=，最后求得向量的模. 【详解】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知，它们都关于点3(1,0)A 中心对称，所以221253...5||5(01)(30)10PA PA PA PA +++==-+-=. 【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结合思想解决问题的能力.17．【分析】取中点连结交于点交于点连结设推导出和从而得出文化景观区域面积利用三角函数的性质解出面积最大值【详解】取中点连结交于点交于点连结设则文化景观区域面积：当即时文化景观区域面积取得最大值为故答案为解析：()40023-【分析】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，推导出DC 和CF ，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，解出面积最大值．【详解】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，则20sin DN CN ϕ==，40sin DC ϕ∴=，20cos 20cos 203tan 30PFCF DE PN ON OP ϕϕϕ===-=-=-︒，∴文化景观区域面积：()4020203EFCD S sin cos sin ϕϕϕ=-矩形400sin 2cos 2)ϕϕ=--800sin(2)3πϕ=+-∴当232ππϕ+=，即12πϕ=时，文化景观区域面积取得最大值为2400(2)m -．故答案为：400(2-．【点睛】本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．【分析】求出平移后的函数解析式由新函数图象过原点得出【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得解析式为它的图象关于原点对称则即故答案为：【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换考查三角函数的对称性注意性解析：【分析】求出平移后的函数解析式，由新函数图象过原点得出a ，【详解】将函数()sin 23cos2f x a x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得解析式为()sin 23cos 266g x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它的图象关于原点对称，则(0)0g =，即sin3cos033a ππ+=，a =故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查三角函数的对称性，注意性质：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点是其对称中心，它的对称中心在函数图象上．19．【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为有且仅有一个解然后根据三角函数的性质和图像求解即可【详解】由则存在唯一的实数使即有且仅有一个解作函数图像与直线当两个图像只有一个交点时由图可知故实数的最大值是解析：34π【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为()1,,22f k k β⎛=∈ ⎝⎭有且仅有一个解，然后根据三角函数的性质和图像求解即可. 【详解】由()sin f x x =，(,)46αππ∈--，则()21,22f α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭，存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，即()12,,22f k k β⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭有且仅有一个解，作函数图像()y f β=与直线12,,22y k k ⎛=∈ ⎝⎭，当两个图像只有一个交点时，由图可知，344m ππ<≤，故实数m 的最大值是34π. 故答案为：34π 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质，属于较为基础题.20．【分析】计算导数然后构造函数利用导数研究该函数的单调性进而判断原函数的单调性可得结果【详解】由题可知：令则由所以所以则在递减所以又则所以函数在递增所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数在区间的最值难解析：433π-【分析】计算导数，然后构造函数()cos sin h x x x x =+，利用导数研究该函数的单调性进而判断原函数的单调性，可得结果. 【详解】由题可知：'2cos si ()cos co n s f x x xxx x =-+ 令()cos sin h x x x x =+，则()'sin sin cos cos h x x x x x x x =-++=由23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 0x < 所以()'0h x <，则()h x 在23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减所以()min 3333cos sin 4444h x h ππππ⎛⎫==+⎪⎝⎭()min 31024h x π⎫=->⎪⎝⎭，又cos 0x < 则'2cos sin ()cos 0cos f x x x x xx=-+> 所以函数()f x 在23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递增所以min 2223()sin 233cos 3f x f ππππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以min 243()132f x ππ==--故答案为：43π- 【点睛】本题考查函数在区间的最值，难点在于构造函数二次求导，注意细节，需要通过判断函数在区间的单调情况才能代值计算，考查对问题的分析能力，属中档题.三、解答题21．（1）ω=2，6π=ϕ；（2）5,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2π,π3；.（3）最小值为12，最大值为1716. 【分析】（1）先由函数图象，先得到周期，求出ω，再由最大值点，求出ϕ；（2）由（1）的结果，确定函数解析式，利用正弦函数的单调性，求出函数增区间，再由给定区间，即可得出结果；（3）先化简得到()sin 23x x πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据函数()g x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，得到222sin 23sin 2133ππa x x ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令sin 23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦函数性质，求出,62x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，[]0,1t ∈，再结合二次函数的性质，得到2231y t t =-++的范围，即可得出结果.【详解】（1）由图象可知：22362T πππ=-=，T π=，则22T πω==，又22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈得26k πϕπ=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ，（2）()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得，,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =-，得4536x ππ-≤≤-，因x ππ-≤≤，则56x ππ-≤≤-，令0k =，得36x ππ-≤≤，令1k =，得2736x ππ≤≤，因x ππ-≤≤，则2ππ3x ，所以()f x 在[,]-ππ上的单调递增区间为5,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2π,π3；. （3）()sin 2sin 21212126126x f x f x x x ππππππϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1sin 2sin 2sin 22sin 2323x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2()2sin 23sin 22133g x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数()g x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，则222sin 23sin 2133ππa x x ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令sin 23t x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则220,33x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即[]0,1t ∈，则223171723121,488y t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以17128a ≤≤，即117216a ≤≤，故a 的最小值为12，最大值为1716. 【点睛】思路点睛：求解含三角函数的二次式在给定区间上的最值时，一般需要用换元法，将三角函数换成t 来表示，得到关于t 的二次函数，由三角函数的性质，得到t 的范围，再结合二次函数的性质，即可求解.22．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）由题意可知2,3A πϕ==，选择条件①，由正弦函数的对称性求出ω，进而得出解析式；选择条件②，由正弦函数的对称性求出ω，进而得出解析式；选择条件③，由正弦函数的性质求出ω，进而得出解析式；（2）由[],0x π∈-，求出x ωϕ+的范围，再结合正弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）由题意可知2,3A πϕ==选择条件①因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以332k πππωπ+=+，解得13,2k k Z ω=+∈ 由21321302kk k Z ππ⎧≥⎪+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎪∈⎩，解得0k =，即12ω=故1()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择条件②因为()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以,26,63k k k Z ππωπω-+==-∈由226260k k k Zππ⎧≥⎪-⎪⎨->⎪⎪∈⎩，解得0k =，即2ω=故()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择条件③因为()f x 的图象上最高点中，有一个点的横坐标为6π，所以2,632k k Z πππωπ+=+∈，解得112,k k Z ω=+∈由21121120kk k Zππ⎧≥⎪+⎪⎨+>⎪⎪∈⎩，解得0k =，即1ω= 故()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）选择条件①1,2363x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当1236x ππ+=-，即x π=-时，min ()2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当1233x ππ+=，即0x =时，max ()2sin 3f x π== 选择条件②52,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当5233x ππ+=-或233x ππ+=，即x π=-或0x =时，max ()2sin 3f x π==当232x ππ+=-，即512x π=-时，min ()2sin 22f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭选择条件③2,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当33x ππ+=，即0x =时，max ()2sin3f x π==当32x ππ+=-，即65x π=-时，min ()2sin 22f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将正弦型函数的问题转化为正弦函数的性质进行求解，利用已知知识解决未知问题.23．（1）,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据sin 2126f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数可得6π=ϕ，则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈可得答案；（2）根据三角函数图象的变换规律可得()sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出1(),12g x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，进而可得结论.【详解】（1）由题意知：sin 2126y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数所以()6k k Z πϕπ-=∈，(Z)6k k πϕπ=+∈因为02πϕ<<，所以0k =，6π=ϕ 所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得：,Z 36k x k k ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由题知：将()y f x =的图象向右平移6π个单位得sin 266y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍，得()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因此1()sin 4,162g x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则2()10g x +≥且()10g x -≤，所以22()()1[2()1][()1]0g x g x g x g x --=+-≤ 【点睛】方法点睛：函数sin()y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的单调区间的求法：,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间；2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.24．(1) ())3f x x π=+；【分析】(1)根据函数()f x 的部分图象可得A 及周期T ，再根据周期公式可求出ω，由五点法作图的第三个点可求出ϕ的值，从而可得函数()f x 的解析式；(2)根据平移变换和伸缩变换的规律，可求出()g x 的解析式，再根据函数()g x 在[]0,m 上单调递增，可求出m 的最大值，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出函数()f x 在[0,]m 上的最大值.【详解】(1)由已知可得A =52()63πT ππ=-=，所以22=πωT=，所以())f x x ϕ=+，根据五点法作图可得23πϕπ⨯+=，所以=3πϕ，所以())3f x x π=+(2) 将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，可得22333πππy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，因为函数()g x 在[]0,m 上单调递增，所以432m ππ-≤，所以524m π≤，m 的最大值为524π，由50,24x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得32,334x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2=32x +ππ时，()f x .故函数()f x 在[]0,m .【点睛】方法点睛：确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤： (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA ，2M mB +=； (2)求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=； (3)求ϕ，常用方法有以下2种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.25．（1）()23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）{},66πππ⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦．【分析】(1)利用题中图象可知A =，44T π=，结合周期公式求得=2ω，再由3x π=代入计算得=3πϕ即得解析式；(2)根据三角函数平移的方法求得()g x ，再利用整体代入法求单调递减区间即可；(3)先由()32fx ≥可得sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，再由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得到23x π+的前提范围，结合正弦函数性质得到不等式中23x π+的范围，再计算x 范围即可.【详解】解：（1）由题中图象可知：A =，741234T πππ=-=， 2T ππω∴==，即2ω=，又由图象知，3x π=时，223k πϕππ⋅+=+，即23k πϕπ=+，k Z ∈，又02ϕπ≤<，∴=3πϕ，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，故()2221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由余弦函数性质知，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，得减区间,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ， ∴()g x 的单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）由题意知：()3232f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，知[]0,x π∈，2,2333x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由正弦函数图象性质可知，22333x πππ≤+≤或2233x πππ+=+ 即06x π≤≤或x =π，又,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得x 的取值范围为{},66x πππ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：求三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++性质问题时，通常利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质，或者整体法求三角不等式的解. 26．（1）最大值1，2,2x k k Z ππ=+∈；（2）5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【分析】（1）当sin 1x =时，函数取最大值得解；（2）根据三角函数的图象解不等式得解集. 【详解】（1）当sin 1x =即2,2x k k Z ππ=+∈时，()2111max f x =⨯-=；（2）由题得1sin 2x >，所以不等式的解集为5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【点睛】关键点睛：解答这类题的关键是熟练掌握三角函数的图象和性质，再灵活利用其解题.。

(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》检测题(含答案解析)

一、选择题1．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π 2．下列命题正确的是（）A ．函数sin ||y x =是偶函数又是周期函数B ．函数3tan 3tan xy x +=-是奇函数C ．函数tan 6y ax π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是aπD ．函数cos(sin )y x =是奇函数 3．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的说法的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．44．函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（） A ．2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B ．2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈）C ．3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D ．37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈） 5．函数()3sin 22xf x x =-的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．6．函数2()cos sin (R)f x x x x =+∈的最小值为（） A ．54B ．1C ．1-D ．2-7．当5,2,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若αβ>，则以下不正确的是（） A ．sin sin tan tan αββα->-B ．cos tan cos tan αββα+<+C ．sin tan sin tan αββα> D ．tan sin tan sin αββα<8．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④9．设函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><.若5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，且1108f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()f x 在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，则（） A ．23ω=，12πϕ=B ．23ω=，1112πϕ=- C ．13ω=，1124πϕ=-D ．13ω=，724πϕ= 10．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3π D ．18π 11．如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（）A ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭B ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭C ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭D ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭12．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解二、填空题13．已知函数()()3cos g x x ωϕ=+()0ω>满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，且最小正周期3T π≥，则符合条件的ω的取值个数为___________.14．对任意0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()sin()f x x ωϕ=+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数ω的取值范围是________. 15．已知()()sin 03f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是___________.16．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ． 17．将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为125,,...,A A A ，若P 点坐标为(，则125...PA PA PA +++=____.18．已知函数()sin f x x =，若对任意的实数(,)46αππ∈--，都存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最大值是____.19．已知函数2()cos ()1(0,0,0)2πf x A ωx φA ωφ=++>><<的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)f f +=_____．20．已知函数sin cos |sin cos |()22+--=+x x x x f x [0,]m 上恰有4个零点，则实数m 的取值范围为________.三、解答题21．在①将函数f (x )图象向右平移12π个单位所得图象关于y 轴对称：②函数6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；③当712x π=时，函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值.三个中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题.题干：已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，其中0,||2πωϕ><，其图象相邻的对称中心之间的距离为2π，___________. （1）求函数y =f (x )的解析式；（2）求函数y =f (x )在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并写出取得最小值时x 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22．已知函数()2cos ,(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立．（1）求ω的最小值；（2）在（1）中ω值的条件下，若函数()()1(0)g x f kx k =+>的最小正周期为π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()g x m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．23．已知函数21()cos(2)sin ()(02)2632f x x x ππωωω=+++-<<，且()04f π=．（1）求()f x 的解析式;（2）先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数()y g x =的图象．若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有且只有一个0x ，使得0()g x 取得最大值，求α的取值范围． 24．已知函数()1tan ln1tan xf x x-=+.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）若()()()1tan tan f xa x g x e x-=-在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，求实数a 的取值范围.25．已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2π. （1）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6π个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若263x ππ≤≤时，()2g x m -<恒成立，求m 得取值范围.26．已知某海滨浴场的海浪高度y （单位：米）与时间()024t t ≤≤（单位：时）的函数关系记作()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，函数()y f t =可近似地看成是函数cos y A t b ω=+.（1）根据以上数据，求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 及函数表达式（其中0A >，0>ω）；（2）根据规定，当海浪高度不低于0.75米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午7时至晚上19时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 224242g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈，解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.2．B解析：B 【分析】根据函数的奇偶性与周期性判断各个选项．【详解】sin y x =是偶函数，但不是周期函数，A 错误；对函数()f x =0>得tan x <<,33k x k k Z ππππ-<<+∈，定义域关于原点对称，()()f x f x -==-=-，函数是奇函数，B 正确；tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是a π，C 错误；记()g x cos(sin )x =，定义域是R ，()()cos sin cos(sin )cos(sin )()g x x x x f x -=-=-==⎡⎤⎣⎦，()f x 是偶函数，D 错误．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与周期性．判断奇偶性一般用奇偶性的定义进行判断．tan y x ω=的最小正周期是T πω=，sin()y x ωϕ=+的最小正周期是2πω．3．B解析：B 【分析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误．【详解】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误；当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误；当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即252,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭的递增区间转化为sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间.4．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得由函数cos(2)5y x π=+，再根据余弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】由函数3cos 2cos2sin cos cos cos 2cos sin 2sin cos(2)510555y x x x x x x πππππ=-=-=+，令222,5k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，整理得3,510k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈，所以函数的单调递增区间为3[,],510k k k Z ππππ-+-+∈，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．A解析：A 【分析】求得函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的奇偶性，结合2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值以及排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数()3sin 22xf x x =-，20x -≠，得2x ≠±，所以，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠±.()()()sin 2sin 222x xf x f x x x --==-=----，函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 选项；又02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．C解析：C 【分析】由平方关系化为sin x 的函数，换元后利用二次函数性质得最小值．【详解】由已知2()1sin sin f x x x =-+，令sin t x =，则[1,1]t ∈-，2()()1f x g t t t ==-++215()24t =--+，∵[1,1]t ∈-，∴1t =-时，min ()1g t =-．故选：C ．【点睛】本题考查与三角函数有关的复合函数的最值．求三角函数的最值有两种类型：（1）利用三角恒等变换公式化函数为()sin()f x A x k ωϕ=++形式，然后由正弦函数性质得最值或值域．（2）转化为关于sin x （或cos x ）的函数，用换元法，设sin t x =（或cos t x =）变成关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求得最值或值域．7．D解析：D 【分析】对A ，由()sin tan f x x x =+在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断；对B ，由()cos tan f x x x =-在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减可判断；对C ，由()sin tan f x x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断；对D ，由tan ()sin x f x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断.【详解】A ．设()sin tan f x x x =+，则()f x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为αβ>，所以()()f αf β>，所以sin tan sin tan ααββ+>+，所以sin sin tan tan αββα->-，所以A 对，不符合题意；B ．设()cos tan f x x x =-，则()f x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因为αβ>，所以()()f f αβ<，所以cos tan cos tan ααββ-<-，所以cos tan cos tan αββα+<+，所以B 对，不符合题意； C ．设()sin tan f x x x =，因为sin ,tan x x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭都为正数，且都单调递增，所以()sin tan f x x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为αβ>，所以()()f αf β>，所以sin tan sin tan ααββ>，所以sin tan sin tan αββα>，所以C 对，不符合题意； D ．设tan ()sin x f x x =，则tan 1()sin cos x f x x x ==在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为αβ>，所以()()f αf β>，所以tan tan sin sin αβαβ>，所以tan sin tan sin αββα>，所以D 错，符合题意．故选：D. 【点睛】本题考查利用三角函数的单调性比较大小，解题的关键是恰当构造函数，判断函数的单调性，利用单调性判断大小.8．D解析：D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断．【详解】左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ．故选：D ．【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．9．A解析：A 【分析】5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，可得 58x π=时函数取得最大值，则函数满足518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，再利用排除法可得答案. 【详解】因为5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则58x π=时函数取得最大值，所以函数满足518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，对于A ，若23ω=，12πϕ=，可得2()sin 312f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5sin 182f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11sin 08f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3254412,,4,31222x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈-⊆- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则2()sin 312f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，故A 符合题意；对于B ，若23ω=，1112πϕ=-，可得211()sin 312f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，5sin 1182f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不符合题意；对于C ，若13ω=，1124πϕ=-，可得111()sin 324f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，5sin 1842f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 不符合题意；对于D ，若13ω=，724πϕ=，可得17()sin 324f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，113sin 0842f ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，故D 不符合题意；故选：A. 【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.10．D解析：D 【分析】由题先求出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要满足题意，则332ππθ+≥，即可求出.【详解】将()f x 横坐标缩短为原来的13得到3sin(3)2y x =--，再向右平移29π个单位得到()23sin 323sin 3293g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，,18x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要使()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则332ππθ+≥，即18πθ≥，则θ的最小值为18π. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是通过图象变化得出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质求解.11．B解析：B 【分析】先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10min ，结合摩天轮最高点距离地面高度为120m ，可得10t =时，120H =，再利用排除法可得答案. 【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min ，所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10min ，又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以10t =时，120H =，对于A ，10t =时，55cos 106555cos 65651022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，不合题意；对于B ，10t =时，55sin 106555sin 651201022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，符合题意；对于C ，10t =时，355cos 106555cos65651022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，不合题意；对于D ，10t =时，355sin 106555sin65101022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，不合题意；故选：B. 【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型： (1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.12．C解析：C 【分析】可得()()2f x f x π+=，得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可.【详解】()()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴是以2π为周期的函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，41x π⎛⎫+ ⎝∴≤⎪⎭≤根据函数的周期性可得()f x 的最小值为1，故AB 错误，∴1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，故D 错误， ()()sin cos cos sin222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 二、填空题13．5【分析】是零点是极大值点利用三角函数图像与性质可知它们之间相差可得到的一个关系式由可得到另一个范围解出的范围得到符合条件的的取值个数【详解】因为满足且最小正周期所以得所以解得故的取值共有5个故答案解析：5 【分析】4π是零点，π是极大值点，利用三角函数图像与性质，可知它们之间相差42T nT +，可得到,n ω的一个关系式423n ω+=，由3T π≥可得到ω另一个范围，解出n 的范围，得到符合条件的ω的取值个数. 【详解】因为()g x 满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，且最小正周期3T π≥，所以()()23214422T n T n T n N ππωπππω⎧=≥⎪⎪⎨+⎪-=+=∈⎪⎩，得06ω<≤，423n ω+=，所以42063n +<≤，解得04n ≤≤.故ω的取值共有5个. 故答案为：5 【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可表示出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.14．【分析】根据题意可得从而可得讨论或再求出的单调递增区间只需是单调递增区间的子集即可求解【详解】由正弦函数的性质的每个增区间的长度为其中函数的最小正周期为函数在区间上单调地藏可得即①当时此时单调递增当解析：130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【分析】根据题意可得22T π≥，从而可得2ω≤，讨论0>ω，0ω=或0ω<，再求出()sin()f x x ωϕ=+的单调递增区间，只需,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集即可求解.【详解】()()sin f x x ωϕ=+，0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，()f x 的每个增区间的长度为2T，其中函数()f x 的最小正周期为2T ωπ=.函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调地藏，可得22T π≥，即2ω≤.①当0>ω时，此时02ω<≤，x ωϕ+单调递增，当2,2,22x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增，解得112,2,22x k k k Z πππϕπϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，只需11,2,2,222k k k Z πππππϕπϕωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊆--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥-- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2141,2,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈--+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，则21410214k k πωππ--⨯≤≤+-⨯，即141,2,4k k k Z ω⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，由124141204k k k ⎧+>-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1588k -<<，k Z ∈，0k ∴=.所以，10,4ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；②当0ω=时，函数()sin f x ϕ=为常函数，不合乎题意； ③当0ω<时，20ω-≤<，x ωϕ+单调递减，由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解得13122,22k x k k Z πππϕπϕωω⎛⎫⎛⎫+-≤≤+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，可得13222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥+- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122,43,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈+-+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，于是12210434k k πωππ+-⨯≤≤+-⋅，即521,4,2k k k Z ω⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，由5142225402k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得518k -≤<-，由k Z ∈，1k =-，此时，32ω=-.综上所述，实数ω的取值范围是130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.故答案为：130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是求出函数的单调递增区间，使,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集，考查了分类讨论的思想. 15．【分析】由周期公式可得由三角函数的中心对称可得结合即可得为奇数即可得由可得进而可得即可得解【详解】由可得由是奇函数可得函数的图象关于中心对称所以即又所以所以为奇数由可得因为在上没有最小值所以即故答案解析：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由周期公式可得ω，由三角函数的中心对称可得,3k k Z πϕπ=+∈，结合()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭即可得k 为奇数，即可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由[)0,x t ∈可得2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭，进而可得432332t πππ<-≤，即可得解. 【详解】由T π=可得22T πω==，()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数可得函数()f x 的图象关于,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称，所以2,33k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++=∈ ⎪⎝⎭，即,3k k Z πϕπ=+∈，又()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2sin sin 33ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,3k k πϕπ=+为奇数，()sin 2sin 2333f x x k x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由[)0,x t ∈可得2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭，因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，所以432332t πππ<-≤即511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故答案为：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.16．【分析】根据扇形的周长求出扇形半径再根据扇形面积公式计算即可【详解】设该扇形的半径为r 根据题意有故答案为【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式弧长公式属于中档题解析：916【分析】根据扇形的周长求出扇形半径，再根据扇形面积公式计算即可. 【详解】设该扇形的半径为r ，根据题意，有2l r r α=+，322r r ∴=+，34r ∴=，211992221616S r α∴==⨯⨯=扇形．故答案为916．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，弧长公式，属于中档题.17．10【分析】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称再由向量的加法运算得最后求得向量的模【详解】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称所以【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景与平面向量解析：10 【分析】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知，它们都关于点3(1,0)A 中心对称，再由向量的加法运算得1253...5PA PA PA PA +++=，最后求得向量的模. 【详解】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知，它们都关于点3(1,0)A 中心对称，所以221253...5||5(01)(30)10PA PA PA PA +++==-+-=. 【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结合思想解决问题的能力.18．【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为有且仅有一个解然后根据三角函数的性质和图像求解即可【详解】由则存在唯一的实数使即有且仅有一个解作函数图像与直线当两个图像只有一个交点时由图可知故实数的最大值是解析：34π【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为()12,,22f k k β⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭有且仅有一个解，然后根据三角函数的性质和图像求解即可. 【详解】由()sin f x x =，(,)46αππ∈--，则()21,22f α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭，存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，即()12,,22f k k β⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭有且仅有一个解，作函数图像()y fβ=与直线1,2y k k ⎛=∈ ⎝⎭，当两个图像只有一个交点时，由图可知，344m ππ<≤，故实数m 的最大值是34π. 故答案为：34π 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质，属于较为基础题.19．【分析】利用二倍角公式可得由函数的最大值可求出由相邻两条对称轴间的距离可求出周期再利用周期公式可求出将点代入解析式可求出从而可得函数的解析式即可求出的值【详解】因为函数的最大值为所以所以由函数相邻两解析：3【分析】利用二倍角公式可得()cos(22)122A Af x ωx φ=+++，由函数的最大值可求出A ，由相邻两条对称轴间的距离可求出周期，再利用周期公式可求出ω，将点(0,2)代入解析式可求出ϕ，从而可得函数的解析式，即可求出(1)(2)f f +的值. 【详解】21cos(22)()cos ()11cos(22)1222ωx φA Af x A ωx φA ωx φ++=++=⋅+=+++，因为函数()f x 的最大值为3，所以1322A A++=，所以2A =，由函数()f x 相邻两条对称轴间的距离为2，可得周期4T =，所以222T ππω==，所以4πω=, 所以()cos(2)22πf x x φ=++，又()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，所以cos 222ϕ+=，所以cos20ϕ=，又02πϕ<<，所以=4πϕ，所以()cos()2sin 2222πππf x x x =++=-+，所以(1)(2)sin 2sin 2120232πf f π+=-+-+=-+-+=.故答案为：3 【点睛】本题主要考查求三角函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，诱导公式，属于中档题.20．【分析】周期为先考查一个周期函数判断零点个数及坐标再结合周期性即可求解【详解】是函数的一个周期当时当时只有四个零点在上恰有4个零点实数m 的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查函数的零点个数求参数注意解析：517[,)36ππ 【分析】()f x 周期为2π，先考查一个周期函数，判断零点个数及坐标，再结合周期性，即可求解【详解】2x π=是函数()f x 的一个周期，当[0,2]x π时，5cos [,]244()5sin [0,][,2]44x x f x x x πππππ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪+∈⋃⎪⎩当[0,2]x π时，()f x 只有四个零点5745,,,6633ππππ，在[0,]m 上恰有4个零点，实数m 的取值范围为517[,)36ππ. 故答案为:517[,)36ππ. 【点睛】本题考查函数的零点个数求参数，注意函数图像和性质的应用，属于中档题.三、解答题21．条件选择见解析；（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）12x π=-时，函数f (x )取得最小值，最小值为2-. 【分析】（1）由相邻中心距离得周期，从而可得ω，选择①，写出平移后解析式，由对称性得新函数为偶函数，结合诱导公式求得ϕ，选择②，求出6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数，结合诱导公式求得ϕ，选择③，求出()6y f x π=-，代入712x π=，结合正弦函数最大值可得ω，从而得函数解析式；（2）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，求得23x π-的范围，然后由正弦函数性质得最小值．【详解】（1）因为函数f (x )=2sin(ωx +φ)的图象相邻的对称中心之间的距离为2π，所以周期22T π=，即T =π，所以22T πω==.若选择①，因为函数f (x )图象向右平移12π个单位所得图象关于y 轴对称，所以()2sin 22sin 2126g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象关于y 轴对称，所以62k ππϕπ-=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择②，因为2sin 22sin 2663y f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，所以3k πϕπ+=，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择③，2sin 22sin 2663y f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题设，当712x π=时，函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值，所以当722()1232k k Z πππϕπ⨯-+=+∈，即2()3k k Z πϕπ=-∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以422,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当232x ππ-=-，即12x π=-时，函数f (x )取得最小值，最小值为2-.【点睛】关键点点睛：本题考查由三角函数的图象与性质求解析式，解题关键是掌握正弦函数的图象与性质，解题时注意“五点法”和整体思想的应用．对于奇偶性问题注意诱导公式的应用，由此计算比较方便．22．（1）23ω=；（2）[13,3)m∈+．【分析】（1）根据条件得到4fπ⎛⎫⎪⎝⎭为函数的最大值，结合函数的最值求出ω即可．（2）根据条件求出()g x的解析式，在同一坐标系中，作出函数()y g x=和y m=的图象，利用数形结合求解．【详解】（1）若()4f x fπ⎛⎫⎪⎝⎭对任意的实数x都成立，则4fπ⎛⎫⎪⎝⎭为函数的最大值，则2,46k kππωπ-=∈Z，得2,46k kππωπ=+∈Z，即28,3k kω=+∈Z，∵0>ω，∴当0k=时，ω取得最小值，最小值为23ω=；（2）在（1）中ω值的条件下23ω=，则2()2cos36f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2()()12cos1,(0)36g x f kx kx kπ⎛⎫=+=-+>⎪⎝⎭，∵()g x的最小正周期为π，∴223kππ=，即3k=，则()2cos216g x xπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，作出函数()03y g x xπ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭和y m=的图象如图：3xπ≤≤，则2662xπππ-≤-≤，所以0cos216xπ⎛⎫≤-≤⎪⎝⎭，则()13g x≤≤，且()02cos1316gπ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，由图象知：要使()g x m =恰有两个不同的解，则[1m ∈+．【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 23．（1）()cos 2f x x =；（2）11,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）利用降幂公式降次，然后利用辅助角公式合一，代入()04f π=求解即可；（2）根据伸缩平移得到函数()2cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后利用整体法，求解23x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，再根据题干列不等式求解. 【详解】（1）21cos 213()22622x f x x πωπω⎛⎫-+⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎝⎭1cos 2sin 22626x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 2x ω=．因为02ω<<，cos 042f πωπ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以1ω=，()cos 2f x x =．（2）由题可知，()2cos 22cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有且只有一个0x ，使得()0g x 取得最大值，所以0()()244ππααπ<+--≤，即0απ<≤．因为,44x ππαα⎛⎫∈-+⎪⎝⎭，所以22,2366x πππαα⎛⎫-∈-+ ⎪⎝⎭则112,666πππα⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，132,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当206πα-<，即12πα>时，226παπ+≤，故`111212ππα<≤；当206πα-≥，即12πα≤时，132266πππα<+≤，故α∈∅．综上，α的取值范围为11,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式.24．（1）函数()f x 为奇函数，证明见解析；（2）(),0-∞. 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，计算得出()f x -与()f x 之间的关系，由此可得出结论；（2）由,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得出1tan 0x -<<，1tan 0x ->，利用()0g x =可得出tan 1tan x a x =+，求出函数tan 1tan x y x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）对于函数()1tan ln1tan x f x x -=+，有1tan 01tan xx->+，即tan 10tan 1x x -<+，解得1tan 1x -<<，解得()44k x k k Z ππππ-<<+∈，所以，函数()f x 的定义域为(),44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ， ()()()()11tan 1tan 1tan 1tan ln ln ln ln 1tan 1tan 1tan 1tan x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪+--++⎝⎭，所以，函数()f x 为奇函数；（2）()()()()1tan 1tan 1tan tan 1tan tan f x a x a x x g x ex x x---=-=-+， 04x π-<<，则1tan 0x -<<，1tan 0x ->，所以，0tan 11x <+<，令()0g x =，可得()tan 11tan 1101tan tan 1tan 1x x a x x x +-===-<+++，所以，实数a 的取值范围是(),0-∞.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 25．（1）1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）()0,2. 【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得1()sin 262f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222T ππω==，解得2ω=，带入正弦函数的递增区间242262k x k πππππ-≤-≤+，化简即可得解；（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据题意只需要max min [()2][()2]g x m g x -<<+，分别在263x ππ≤≤范围内求出()g x 的最值即可得解. 【详解】（1）2()cos cos f x x x x ωωω=-12(cos 21)22x x ωω=-+ 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由222T ππω==，解得2ω= 所以，1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ∵242262k x k πππππ-≤-≤+∴224233k x k ππππ-≤≤+∴21226k k x ππππ-≤≤+ ∴()f x 的单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）依题意得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为|()|2g x m -<，所以()2()2g x m g x -<<+因为当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2()2g x m g x -<<+恒成立所以只需max min [()2][()2]g x m g x -<<+转化为求()g x 的最大值与最小值当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y g x =为单调减函数所以max ()1126g x g π⎛⎫==+=⎪⎝⎭，()min 21103g x g π⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，从而max [()2]0g x -=，min [()2]2g x +=，即02m << 所以m 的取值范围是()0,2. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：（1）三角函数基本量的理解应用；（2）三角函数图像平移伸缩变换的方法；（3）恒成立思想的理解及转化. 26．（1）12T =，0.5cos 16y t π=+；（2）从上午7时至晚上19时之间，共8个小时向冲浪爱好者开放. 【分析】（1）根据表格中数据规律确定T ，由2Tπω=，y 的最大值和最小值可确定,A b ，由此可得函数表达式；（2）利用余弦函数值域可求得t 的范围，进而确定所要求的时间段内的结果. 【详解】（1）由表中数据可知：18612T =-=，26T ωππ∴==， 1.50.50.52A -==， 1.50.512b +==，0.5cos 16y t π∴=+. （2）由（1）可得：0.5cos 10.756t π+≥，cos0.56t π∴≥-，即()2222363k t k k Z πππππ-≤≤+∈，解得：()124124k t k k Z -≤≤+∈， ∴从上午7时至晚上19时之间，当[]8,16t ∈时，可对冲浪爱好者开放，即从上午7时至晚上19时之间，共8个小时向冲浪爱好者开放. 【点睛】方法点睛：根据余弦型函数()cos y A x ωϕ=+的值域求解定义域的问题，采用整体对应的方式，将x ωϕ+整体对应余弦函数中的x 的范围，解不等式求得所求的定义域.。

【优质文档】人教版高中数学必修四第一章三角函数章末检测(附答案可下载)

( 2) ∵－ 1≤ cos x≤1， k＜ 0，
∴ k ( cos x－1) ≥ 0，又 sin2 x≥ 0，
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∴ 当 cos x＝ 1，即 x＝ 2k ( k ∈ Z) 时， f( x) ＝ sin2 x＋ k ( cos x－ 1) 有最小值 f( x) min＝ 0．
第 9页共 9页
20． ( 1) 有最小值无最大值，且最小值为 1＋ a； ( 2) 0．
解析： ( 1) f( x) ＝ sin x＋a ＝ 1＋ a ，由 0＜ x＜ π，得 0＜ sin x≤ 1，又 a＞ 0，所以当
sin x
Байду номын сангаас
sin x
sin x＝ 1 时， f( x) 取最小值 1＋ a；此函数没有最大值．
1
上所有点的横坐标缩短到原来的
倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到的图象所表示的函数是 (
)．
2
A． y＝ sin 2 x － π ， x∈ R 3
B．y＝ sin x ＋ π ， x∈R 26
C． y＝ sin 2 x ＋ π ， x∈R 3
D． y＝ sin 2 x＋ 2π ， x∈ R 3
二、填空题
②当 n＝ 2k ＋ 1， k ∈ Z 时，原式＝ sin[ ＋（2k＋1)π] ＋ sin[ －（2 k＋1)π] ＝－ 2 ．
sin [ ＋（2k＋1) π] cos[ －（2k＋1)π]
cos
19．对称中心坐标为
kπ＋ π，0 ；对称轴方程为 x＝ kπ＋ π( k∈ Z) ．
2 12
23
解析：∵ y＝ sin x 的对称中心是 ( k π， 0) ， k ∈ Z ，

(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(答案解析)

一、选择题1．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．3x π=-是()f x 图像的一条对称轴B ．()f x 图像的对称中心为22,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ C ．()1f x ≥的解集为44,4,3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的单调递减区间为282,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦2．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（） A ．2B ．4C ．6D ．83．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（）A ．4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[8,9)4．使函数()3)cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π5．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C 6．函数()3sin 22xf x x =-的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．7．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则（）A ．()f x 是奇函数B ．π2π33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 的一个周期是πD ．()f x 的最小值小于08．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，具有以下性质：（1）对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π；（2）6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数；（3）任取12,0,4x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12x x ≠时，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+．同时满足上述性质的一个函数可以是（） A ．4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9．:sin 3cos 1p x x +>的一个充分不必要条件是（） A ．02x π<在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个12．函数22y cos x sinx ＝－的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2二、填空题13．已知3()tan 1f x a x b x =++（a ，b 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____________．14．如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.15．设函数()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，给出下列命题：①图象C 关于直线1112π=x 对称；②函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数；③函数()f x 是奇函数；④图象C 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.其中，错误命题的是______. 16．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .17．函数y ＝的定义域为________．18．已知函数f (x )，任意x 1，x 2∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x 1≠x 2)，给出下列结论：①f (x ＋π)＝f (x )；②f (－x )＝f (x )；③f (0)＝1；④1212()()f x f x x x -->0；⑤1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.当()tan f x x =时，正确结论的序号为________．19．已知函数()sin f x x =，若对任意的实数(,)46αππ∈--，都存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最大值是____.20．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数()()cos[6]1,2,...,126y A x B x π=-+=来表示.已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为______℃.三、解答题21．已知函数21()sin 3cos 2f x x x x =+. （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()2()1()0f x m f x m -++=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.22．为整治校园环境，设计如图所示的平行四边形绿地ABCD ，在绿地中种植两块相同的扇形花卉景观，两扇形的边(圆心分别为A 和C )均落在平行四边形ABCD 的边上，圆弧均与BD 相切，其中扇形的圆心角为120°，扇形的半径为12米.（1）求两块花卉景观扇形的面积；（2）记BDA θ∠=，求平行四边形绿地ABCD 占地面积S 关于θ的函数解析式，并求面积S 的最小值.23．已知()sin()(0,0)f x x ωϕϕπω=+<<>为偶函数，且()y f x =图像的两相邻对称中心点间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图像向右平移6π个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间． 24．已知函数()2sin 1f x x =-.（1）求函数f (x )的最大值，并求此时x 的值；（2）写出()0f x >的解集.25．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象经过点312π⎛ ⎝，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间.26．已知函数()()()f x g x h x =，其()22g x x =，()h x =_____. （1）写出函数()f x 的一个周期（不用说明理由）；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 从①cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，②2sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】结合五点作图法和函数图像可求得函数解析式，采用代入检验法可依次判断各个选项得到结果. 【详解】()10sin 2f ϕ==且2πϕ<，6πϕ∴=，又882sin 233f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点作图法可得：83362πππω+=，解得：12ω=， ()12sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于A ，当3x π=-时，1026x π+=，,03π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，A 错误；对于B ，当223x k ππ=+时，1262x k πππ+=+，223x k ππ∴=+是()f x 的对称轴，B 错误；对于C ，由()1f x ≥得：1in 2612s x π⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝，15226266k x k πππππ∴+≤+≤+，解得：4344k x k πππ≤+≤，C 正确；对于D ，当282,233x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，13,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，当1k =时，135,2622x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，不是()f x 的单调递减区间，D 错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查正弦型函数()sin y A ωx φ=+的性质的判断，解决此类问题常用的方法有：（1）代入检验法：将所给单调区间、对称轴或对称中心代入x ωϕ+，确定x ωϕ+的值或范围，根据x ωϕ+是否为正弦函数对应的单调区间、对称轴或对称中心来确定正误；（2）整体对应法：根据五点作图法基本原理，将x ωϕ+整体对应正弦函数的单调区间、对称轴或对称中心，从而求得()sin y A ωx φ=+的单调区间、对称轴或对称中心.2．D解析：D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--，令()0f x =，则12cos 1x x π=-，则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称，画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点，即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.3．A解析：A 【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=，则4149166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈，当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=；当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=；当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=；当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<，解得414966ω≤<. 故选：A4．B解析：B 【解析】1())cos(2)2()cos(2))2sin(2)226f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.5．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．6．A解析：A 【分析】求得函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的奇偶性，结合2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值以及排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数()3sin 22xf x x =-，20x -≠，得2x ≠±，所以，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠±.()()()sin 2sin 222x xf x f x x x --==-=----，函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 选项；又02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．D解析：D 【分析】利用奇函数的性质判断A ，分别求3f π⎛⎫⎪⎝⎭和23f π⎛⎫⎪⎝⎭判断大小，取特殊值验证的方法判断C ，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D 。

高中数学北师大版必修4《第一章三角函数》单元测试卷含试卷分析详解

所示，则当t ＝1100s 时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5 AC ．5 3 AD ．10 A 答案：A解析：由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴T ＝150，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt＋φ)．又⎝⎛⎭⎫1300，10在图像上，∴100π×1300＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又0<φ<π2，∴φ＝π6 .∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，当t ＝1100 s 时，l ＝－5 A ，故选A. 7．下列四个命题：①函数y ＝tan x 在定义域内是增函数；②函数y ＝tan(2x ＋1)的最小正周期是π；③函数y ＝tan x 的图像关于点(π，0)成中心对称；④函数y ＝tan x 的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0成中心对称．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C解析：对于①，函数y ＝tan x 仅在区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内递增，如π4＜5π4，但tan π4＝tan 5π4，所以①不正确；对于②，其最小正周期是π2，所以②也不正确；观察正切曲线可知命题③④都正确．8．要得到函数y ＝sin2x 的图像，只需将函数y ＝cos(2x －π4)的图像( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位答案：B解析：将函数y ＝cos(2x －π4)向右平移π8个单位，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin2x ，故选B.9．在△ABC 中，若sin A sin B cos C ＜0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形答案：C解析：正弦函数在区间(0，π)的函数值都为正，故cos C ＜0，角C 为钝角．10．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤0，3π2上的函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝3π4对称，当x ≥3π4时，。

必修四第一章三角函数测试题(含答案)

图象有 7 个交点，所以方程有 7 个解．
13、答案 0
π
2π
解析方法一由图可知，Error!T＝Error!－＝π，即 T＝ 4
,∴ω＝＝3。∴y＝2sin T
（3x＋φ）,
将（Error!,0)代入上式 sin(Error!＋φ）＝0。
6
必修四第一章三角函数测试题(含答案)(word 版可编辑修改)
( )
A．1
B．2
C.Error!
D.Error!
5．函数 f（x)＝cos（3x＋φ）的图象关于原点成中心对称，则 φ 等于
( ）
A．－
B．2kπ－Error!（k∈Z） C．kπ（k∈Z）
sin θ＋c 的值是
sin θ－cos θ
A．－
B.
C．±Error!
2π 得＝ ,即 T＝π,∴ω＝Error!＝＝2.
π
由点 M (3），－2)在图象上得 2sin(2π，3）＋φf）＝－2，
即 sin ＝－1，故＋φ＝2kπ－ (k∈Z)， ∴φ＝2kπ－ (k∈Z）．又 φ∈Error!,∴φ＝，故 f(x)＝2sinError!。（2）∵x∈ ，∴2x＋ ∈[］），
5π
19π
所以 cos（4x0－ 6 ）＝Error!，且 ≤4x0－ ≤ 6 ，
11π
5π
从而得 4x0－＝ 6 ，或 4x0－ 6 ＝ ,即 x0＝，或 x0＝。
9
π 由题意得 2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋，k∈Z.
2 ∴函数 y＝sin 的单调增区间为Error!，k∈Z。
(3）由 y＝sin()）），知
x
0
Error!

(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图像如图所示，则()f x 的解析式为（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．函数()2cos 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πf x x 在[]0,π的单调递增区间是（） A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2π,π33．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为（）A ．30sin 30122t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭B ．30sin 3062t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭C ．30sin 3262t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭D ．30sin 62t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 4．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（）A ．35B ．45-C ．D ．5．将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（） A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④6．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且其相邻对称轴间的距离为23π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期23T π= B ．58πϕ=-C ．()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动，0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8．下列结论正确的是（） A ．sin1cos1- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()tan 52tan 47->-D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．使函数()3)cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 10．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则（）A ．()f x 是奇函数B ．π2π33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 的一个周期是πD ．()f x 的最小值小于011．如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（）A ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭B ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭C ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭D ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭12．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个二、填空题13．已知3()tan 1f x a x x =+（a ，b 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____________．14．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则实数m 的取值范围是______. 15．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .16．若函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为________. 17．设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x ∈D ，总存在2x ∈D ，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ．下列结论：①函数3y x x =-具有性质M ； ②函数35x x y =+具有性质M ；③若函数()[]8log 2,0,y x x t =+∈具有性质M ，则510t =； ④若3sin y x a =+具有性质M ，则5a =．其中正确结论的序号是____________．18．函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______. 19．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________.20．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________．三、解答题21．已知函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R .（1）用“五点法”画出函数()f x 一个周期内的图象；（2）求函数()f x 在[],ππ-内的值域；（3）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[],ππ-内的单调增区间.22．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；（3）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()32f x ≥，求x 的取值范围．23．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围 24．已知函数()()()f x g x h x =，其()22g x x =，()h x =_____. （1）写出函数()f x 的一个周期（不用说明理由）；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 从①cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，②2sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分. 25．已知sin(3)(),cos x f x x R xπ-=∈（1）若α为第三象限角，且3sin 5α=-，求()f α的值．（2）若,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且21()2()1cos g x f x x =++，求函数()g x 的最小值，并求出此时对应的x 的值．26．函数()cos()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示.（1）求()f x 的表达式；（2）若[1,2]x ∈，求()f x 的值域；（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】本题首先可根据33π44T 求出ω，然后根据当43x π=时函数()f x 取最大值求出ϕ，最后代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可求出A 的值. 【详解】因为4π7π3π3124，所以33π44T ，T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()sin(2)f x A x ϕ=+，因为当43x π=时函数()sin(2)f x A x ϕ=+取最大值，所以()42232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()26k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，()sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，3sin 26A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3A =，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数图像求函数解析式，对于()sin()f x A x ωϕ=+，可通过周期求出ω，通过最值求出A ，通过代入点坐标求出ϕ，考查数形结合思想，是中档题.2．C解析：C 【分析】先求出函数的单调增区间，再给k 取值即得解. 【详解】令22223+<+<+ππk πx πk π(k ∈Z ) ∴42233+<<+ππk πx k π(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间为4[2,2]33ππk πk π++(k ∈Z )，当1k =-时，5233ππx -<<- 当0k =时，433x ππ<<又∵[]0,x π∈，故选：C 【点睛】方法点睛：求三角函数()cos()f x A wx ϕ=+的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.3．B解析：B 【分析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B 的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B 的纵坐标减2. 【详解】如图所示，以点M 为坐标原点，以水平方向为x 轴，以OM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6π每分钟，经过t 分钟之后，转过的角度为6BOA t π∠=，所以，在转动的过程中，点B 的纵坐标满足：3230sin 30sin 322662y t t ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 306262h t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B ．【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系；（2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型；（3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.4．B解析：B 【分析】求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223x x π+=，这样12sin()x x -化为2222sin(2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，而已知条件为23sin(2)65x π-=，再由正弦函数性质确定226x π-的范围，从而由平方关系求得结论．【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=，结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：0πx <<，则112666x πππ-<-<，23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．5．A解析：A 【分析】根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【详解】解：由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，选项①错误；令2x k =π，k Z ∈，求得2k x =π，k Z ∈，故函数的图象关于点,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π对称，令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项②正确；则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项③正确，④错误.故选:A. 【点睛】本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是中档题. 6．D解析：D 【分析】首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是43π，故A 不正确； 243T ππω==，解得：32ω=，()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，解得：5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-，故B 不正确； ()311cos 216f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故C 不正确；当02x π≤≤时，3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，即 ,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求33216x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 7．D解析：D 【分析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断. 【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==，OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ=， ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-，P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max 426H =+=，当sin 1306t ππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭时，max 422H =-+=-，对A ，B ，由图像易知max min H H =-，故A ，B 错误；对C ，max min H H <-，故C 错误；对D ，max min H H >-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式.8．D解析：D 【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且01122ππ<-<<，则sin1sin 1cos12π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 3045πππ<<<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增，因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52tan 47-<-，C 选项错误；对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，因为021018πππ-<-<-<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.9．B解析：B 【解析】1())cos(2))cos(2))2sin(2)26f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.10．D解析：D 【分析】利用奇函数的性质判断A ，分别求3f π⎛⎫⎪⎝⎭和23f π⎛⎫⎪⎝⎭判断大小，取特殊值验证的方法判断C ，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D 。

(压轴题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（） A ．45-B ．35C ．35D ．452．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2πϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-φ）的图象（） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于轴512x π=-对称 C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6π个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平移3π个单位得到 3．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（） A ．2B ．4C ．6D ．84．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（）A ．4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[8,9)5．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（） A ．关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =对称 D ．关于直线π12x =-对称6．使函数())cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π7．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为A B C D 8．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C9．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．1B C ．1916D ．3410．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则（）A ．()f x 是奇函数B ．π2π33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 的一个周期是πD ．()f x 的最小值小于011．675︒用弧度制表示为（） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 12．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭二、填空题13．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，则实数ω的取值范围是__________.14．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式sin ()0x f x ⋅>，[,]x ππ∈-的解集为_________.15．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当(]0,1x ∈时，()21log f x x=，若函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点，则实数m 的取值范围是__________. 16．已知3cos 6απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则54cos sin 63ππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为_____．17．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .18．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）.①图象C 关于直线1112π=x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数；④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 19．已知函数f (x )，任意x 1，x 2∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x 1≠x 2)，给出下列结论：①f (x ＋π)＝f (x )；②f (－x )＝f (x )；③f (0)＝1；④1212()()f x f x x x -->0；⑤1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.当()tan f x x =时，正确结论的序号为________．20．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数()()cos[6]1,2,...,126y A x B x π=-+=来表示.已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为______℃. 三、解答题21．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变），最后向下平移2个单位得到()y g x =图象，求函数()y g x =的解析式及在R 上的对称中心坐标． 22．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π，且________.在①函数6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数；②33f π⎛⎫=⎪⎝⎭③x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间. 23．已知()442sin cos cossin f x x x x x ωωωω=+-（其中ω>0）．（1）若()f x 的最小正周期是π，求ω的值及此时()f x 的对称中心；（2）若将()y f x =的图像向左平移4π个单位，再将所得的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得到()g x 的图像，若y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求ω的取值范围．24．已知函数1()sin 2126f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（其中a 为常数）. （1）求()f x 的单调减区间；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2，求a 的值.25．已知函数2()22cos 1f x x x =+-．（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 的单调增区间；（III ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值． 26．已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先根据已知条件求解出cos α的值，然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值.【详解】因为3cos 5α==，且180βα=+︒，所以()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-，故选：B. 【点睛】结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠. 2．B解析：B 【分析】利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6π，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣6π）．当12x π=时，206x π-=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项A 错误；当512x π=-时，26x ππ-=-，则函数关于直线512x π=-对称，选项B 正确；函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项C 错误；其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项D 错误；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2k πϕπ+,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω；（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.3．D解析：D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--，令()0f x =，则12cos 1x x π=-，则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称，画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点，即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.4．A解析：A 【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=，则4149166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈，当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=；当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=；当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=；当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<，解得414966ω≤<. 故选：A5．B解析：B 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π，可知22T π=，从而可求出2ω=，再由()y f x =的图像向左平移6π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，可得sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，从而可求出ϕ的值，然后逐个分析各个选项即可【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=. 设将()f x 的图像向左平移6π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ，则()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故(0)1g =±，所以sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以,6k k Z πϕπ=+∈，因||2ϕπ<，所以6π=ϕ. 又()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ+=+∈，故对称轴为直线,26k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误；令2,6x k k ππ+=∈Z ，故,212k x k Z ππ=-∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以A 错误，B 正确. 故选：B 【点睛】此题考查了三角函数的图像变换和三角函数的图像和性质，属于基础题.6．B解析：B 【解析】1())cos(2)2()cos(2))2sin(2)226f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.7．A解析：A 【分析】由题意根据三角函数定义可知0x cos α=，先根据角α的取值范围求出6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围继而求出4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再通过凑角求cos α. 【详解】5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则26ππαπ<+<,则由3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，则0x cos α=. 又cos αcos 66ππα⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos sin 6666cos sin ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-+⨯=故0x =.选A. 【点睛】本题考查三角函数定义及三角恒等变换的简单应用.解题中注意所求角的取值范围.由配凑法根据已知角构造所求角进行求解是三角恒等变换中常用的解题技巧.8．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9．C解析：C 【分析】由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算．【详解】由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便．10．D解析：D 【分析】利用奇函数的性质判断A ，分别求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭和23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭判断大小，取特殊值验证的方法判断C ，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D 。

完整版)高中三角函数测试题及答案

完整版)高中三角函数测试题及答案高一数学必修4第一章三角函数单元测试班级：__________ 姓名：__________ 座号：__________评分：__________一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（48分）1、已知$A=\{\text{第一象限角}\}$，$B=\{\text{锐角}\}$，$C=\{\text{小于90°的角}\}$，那么$A$、$B$、$C$ 关系是（）A．$B=A\cap C$B．$B\cup C=C$C．$A\cap D$D．$A=B=C$2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是A。

$\frac{\pi}{3}\sin\alpha-\frac{2}{3}\cos\alpha$ B。

$-\frac{\pi}{3}$C。

$\frac{\pi}{6}$D。

$-\frac{\pi}{6}$3、已知 $\tan\alpha=-5$，那么 $\tan\alpha$ 的值为A。

2B。

$\frac{1}{6164}$C。

$-\frac{1}{6164}$D。

$-\frac{2}{3}$4、已知角 $\alpha$ 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角 $\alpha$ 的终边（）A。

在 $x$ 轴上B。

在直线 $y=x$ 上C。

在 $y$ 轴上D。

在直线 $y=x$ 或 $y=-x$ 上5、若 $f(\cos x)=\cos 2x$，则 $f(\sin 15^\circ)$ 等于()A。

$-\frac{2}{3}$B。

$\frac{3}{2}$C。

$\frac{1}{2}$D。

$-\frac{1}{2}$6、要得到 $y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})$ 的图象只需将$y=3\sin 2x$ 的图象A。

向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位B。

向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位C。

(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知实数a ，b 满足0<2a cos 3a b -C ．()2sin sin3a b +<D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭2．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（） A ．4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[8,9)3．设函数()2sin cos f x x x x +，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π ②()y f x =的图像关于直线12x π=对称③()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 ④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的编号是（）. A ．①④B ．②④C ．①②④D ．①②③4．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（） A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增 D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +也是奇函数，当(]0,1x ∈时，()11f x x=-.若函数()()sin F x f x x π=+，则()F x 在区间[]1949,2021上的零点个数是（） A ．108 B ．109 C ．144 D ．145 6．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，具有以下性质：（1）对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π；（2）6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数；（3）任取12,0,4x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12x x ≠时，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+．同时满足上述性质的一个函数可以是（） A ．4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7．:sin 1p x x +>的一个充分不必要条件是（） A ．02x π<B3a <<C．a >D ．92a >9．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3π D ．18π 10．函数1cos y x x=+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．11．已知函数2()[sin()]3sin()cos()f x x x x ωωω=+(0)>ω在[0,]π上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是（） A ．5[,2]3B ．5(,2)3C ．5[,2)3D ．5(,2]312．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3二、填空题13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．14．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5(,0)12π成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3π-，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②函数()3y f x π=-为偶函数；③函数1y =与35()()1212y f x x ππ=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是__________________．（写出所有正确判断的序号）15．如图，从气球A 上测得正前方的B ，C 两点的俯角分别为75︒，30，此时气球的高是60m ，则BC 的距离等于__________m .16．已知M 是函数()()238sin f x x x x R π=--∈的所有零点之和.则M 的值为_____. 17．如图，游乐场所的摩天轮匀速旋转，每转一周需要l2min ，其中心O 离地面45米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请问：当你第六次距离地面65米时，用了________分钟？18．如图是函数()2sin(),(0,)2f x x πωφωφ=+><的图象上的一段，则ω=_________φ =____19．已知函数()3)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为______.20．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当0x ≥时，()4242,,n 04x x f x x x ππππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭⎛⎫≤⎧⎪⎪=≤ ⎪⎝⎭，关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin()2πα+=____.三、解答题21．如图，在矩形OABC 中，22OA OC ==，将矩形OABC 绕着顶点O 逆时针旋转，得到矩形OA B C '''，记旋转的角度为θ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭旋转前后两个矩形公共部分的面积为()S θ.（1）求3S π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）若()728S θ=，求sin θ. 22．已知函数()sin()0,0,||2f x A wx A w πϕϕ⎫⎛=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（1）求出函数()f x 的函数解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）求函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 23．已知函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R . （1）用“五点法”画出函数()f x 一个周期内的图象；（2）求函数()f x 在[],ππ-内的值域；（3）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[],ππ-内的单调增区间.24．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，02πϕ<<)的部分图象如图所示，其中最高点以及与x 轴的一个交点的坐标分别为,16π⎛⎫⎪⎝⎭，5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）设M ，N 为函数y t =的图象与()f x 的图象的两个交点(点M 在点N 左侧)，且3MN π=，求t 的值.25．已知()sin()(0,0)f x x ωϕϕπω=+<<>为偶函数，且()y f x =图像的两相邻对称中心点间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图像向右平移6π个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间． 26．已知函数()sin 2sin 23233f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当π[0,]2x ∈时，（i ）求函数()f x 的单调递减区间；（ii ）求函数()f x 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断；对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断；对于C.由0<2a ，故A 错；对于B.有 23ab <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a - ∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对. 故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．2．A解析：A 【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=，则4149166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈，当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=；当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=；当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=；当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<，解得414966ω≤<. 故选：A3．C解析：C 【分析】根据题意，利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin(2)3f x x π=+，根据2T ωπ=求出最小正周期即可判断①；利用整体代入法求出()y f x =的对称轴，即可判断②；利用整体代入法求出()y f x =的单调减区间，从而可得在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增，即可判断③；根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简，即可求出平移后函数，从而可判断④. 【详解】解：函数()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π++=+，即：()2sin(2)3f x x π=+，所以()f x 的最小正周期为222T πππω===，故①正确；令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈，当0k =时，则直线12x π=为()y f x =的对称轴，故②正确；令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ，所以()f x 的单调递减区间为：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故在区间2121,3228,6ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上先减后增，故③错误；把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，得到s 2)2cos 22co 22cos 2126332sin(2y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦+⎝⎭⎣即平移后得到函数()y f x =的图象，故④正确. 所以所有正确结论的编号是：①②④. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法，以及三角函数的平移伸缩是解题的关键，还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，考查学生化简运算能力.4．A解析：ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误；对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确；对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误.故选：ABD. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.5．D解析：D 【分析】由题可得()f x 是周期为2的函数，进而判断()F x 是周期为2的函数，可求得()0=0F ，102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10F =，利用周期性即可求出零点个数.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +也是奇函数，()00f ∴=，()()()111f x f x f x +=--+=-， ()f x ∴是周期为2的函数，sin y x π=的周期为2，∴()()sin F x f x x π=+是周期为2的函数，()()00sin00=F f ∴+=，11sin 0222F f π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11sin 0F f π=+=，则在区间[]1949,2021上，()()()111949194919501950202122F F F F F ⎛⎫⎛⎫=+==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()F x 在区间[]1949,2021上的零点个数是()2021194921145-⨯+=个. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的应用，解题的关键是判断出()F x 是周期为2的函数，根据函数的周期性即可判断出零点的个数.6．B【分析】根据题设的条件可得正弦型函数的周期、对称中心以及函数在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调性，再逐项检验各选项中的函数是否满足即可得到正确的选项．【详解】因为对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π，故()f x 的半周期为2π即周期为π，此时A B C D 各选项中的函数均满足．因为6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，故()f x 图象的对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对于D 中的函数，因为sin 2166ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，故,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的对称中心，故排除D ．因为()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+等价于()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，故()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452336x πππ-≤-≤-，而sin y u =在45,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为减函数，故4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2336x πππ-≤-≤，而sin y u =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，故sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为增函数，符合；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2272336x πππ≤+≤，而sin y u =在27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，故2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍；故选：B ．【点睛】方法点睛：已知检验给定的点是否正弦型函数的对称中心，可以用代入检验法，而单调性的研究则需结合“同增异减”的原则来判断．7．A解析：A首先求解命题p 表示的集合，再根据集合关系表示充分不必要条件，判断选项. 【详解】:sin 2sin 13p x x x π⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，即1sin 32x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解得：522,636k x k k Z πππππ+<+<+∈，得22,62k x k k Z ππππ-+<<+∈，设22,62M x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+<<+∈⎨⎬⎩⎭经分析，只有选项A 的集合是集合M 的真子集，故选：A 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．8．D解析：D 【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元()t f x = ，可知新元的范围，然后分离参数，转为求函数的最大值问题，进而计算可得结果. 【详解】由题可知当[]0,1x ∈时，有[]()11,2f x x =+∈，当4](1,x ∈时，0sin14xπ≤≤，即111()sin,12422x f x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦所以当[]0,4x ∈时，1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而问题转化为不等式220t at -+<在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即222t a t t t+>=+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2y t t =+，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设1212t t <<<()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=->，所以2y t t =+在12t ⎡∈⎢⎣是单调递减函数，122t t <<<，()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=-<，所以2y t t=+在2t ⎤∈⎦是单调递增函数，在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上先减后增，而2t t +在12t =时有最大值为92，所以92a >.【点睛】本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值，同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.9．D解析：D 【分析】由题先求出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要满足题意，则332ππθ+≥，即可求出.【详解】将()f x 横坐标缩短为原来的13得到3sin(3)2y x =--，再向右平移29π个单位得到()23sin 323sin 3293g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，,18x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要使()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则332ππθ+≥，即18πθ≥，则θ的最小值为18π. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是通过图象变化得出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质求解.10．C解析：C利用函数的奇偶性和特殊的函数值的正负排除错误选项．【详解】函数定义域是{|0}x x ≠，关于原点对称，记1()cos f x x x=+，则11()cos()cos f x x x x x -=-+=+-()f x =，是偶函数，排除BD ， 11()cos 10f ππππ=+=-+<，排除A ．故选：C ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.11．C解析：C 【分析】先化简函数的解析式，然后利用x 的范围求出26x πω⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，根据题意列不等式求解ω.【详解】221cos 21()[sin()])cos()2sin(2)262ωπωωωωω-=+=+=-+x f x x x x x x ，因为[0,]x π∈，得2,2666πππωωπ⎛⎫⎡⎤-∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，因为函数在[0,]π有且只有四个零点，则19232666πππωπ≤-<，解得523ω≤<. 故选：C. 【点睛】关于三角函数中求解ω的取值范围问题，一般要先求解出整体的范围，即x ωϕ+的范围，然后根据题意，分析x ωϕ+范围所在的区间，列不等式求解，即可求出ω.12．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果.根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确；对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确；对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误；对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,622x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确．故选：C ．【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二、填空题13．【分析】由图象知三角函数的周期结合函数图象及写出单调递增区间【详解】由图象知：∴的单调递增区间为故答案为：【点睛】思路点睛：1看图定周期特殊函数值：2结合图象由周期对称轴写出增区间解析：37[2,2],44k k k Z ++∈【分析】由图象知，三角函数的周期2T =，结合函数图象及15()()044f f ==，写出单调递增区间. 【详解】由图象知：22||T πω==， 15()()044f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37[2,2],44k k k Z ++∈，故答案为：37[2,2],44k k k Z ++∈ 【点睛】思路点睛：1、看图定周期、特殊函数值：2T =，15()()044f f ==.2、结合图象，由周期、对称轴写出增区间.14．②③【分析】根据已知条件确定函数的解析式进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程对称中心及各个交点的特点进一步确定答案【详解】函数（其中）的图象关于点成中心对称且与点相邻的一个最低点为则：所以进一步解解析：②③ 【分析】根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．【详解】函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则：2543124T πππ-＝＝，所以T π=：，326f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（）．进一步解得：223A πωπ=＝＝，由于()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,，所以：5212k k Z πϕπ⋅+∈＝（），解得：5,6k k Z πϕπ-∈＝，由于0ϕπ<<，所以：当1k = 时，6πϕ＝．所以： ①当2x π=时，33262f sin πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（）．故错误． ②3232633f x sin x cos x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝．则3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为偶函数，故正确． ③由于：351212x ππ-≤≤，则：0266x ππ≤+≤，所以函数()f x 的图象与1y =有6个交点．根据函数的交点设横坐标为123456x x x x x x 、、、、、，根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．故答案为②③ 【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的解析式的求法，主要确定A ，ω、φ的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于基础题型．15．【分析】由题意画出图形由两角差的正切求出的正切值然后通过求解两个直角三角形得到和的长度作差后可得答案【详解】由图可知在中在中河流的宽度等于故答案为：【点睛】本题给出实际应用问题求河流在两地的宽度着重解析：1)【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15︒的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案．【详解】由图可知，15DAB ∠=︒()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒在Rt ADB 中，60AD =(tan15602120DB AD ∴=⋅︒=⨯=-在Rt ADC 中，60,60DAC AD ∠=︒=tan 60DC AD ∴=⋅︒=()()1201201BC DC DB m ∴=-=-=∴河流的宽度BC 等于()12031m -故答案为：120(31)- 【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在,B C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．16．【分析】根据和的函数图像的对称点和交点个数得出答案【详解】令可得作出和的函数图像如图所示：由图像可知两函数图像有个交点又两函数图像均关于直线对称的个零点之和为故答案为：【点睛】本题考查了函数零点之和解析：12【分析】根据8sin y x π=和23y x =-的函数图像的对称点和交点个数得出答案. 【详解】令()0f x =可得8sin 23x x π=-，作出8sin y x π=和23y x =-的函数图像如图所示：由图像可知两函数图像有8个交点，又两函数图像均关于直线32x =对称， ∴()f x 的8个零点之和为324122⨯⨯=.故答案为：12 【点睛】本题考查了函数零点之和，考查了转化与化归、数形结合的思想，属于基础题.17．【分析】根据题意得到化简得到或得到答案【详解】设时间为根据题意：故故或故或故故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的应用意在考查学生的应用能力解析：【分析】根据题意得到40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到124t k =+或128t k =+，得到答案. 【详解】设时间为t ，0t >，根据题意：40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故1sin 622t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故2626t k ππππ-=+或52626t k ππππ-=+，故124t k =+或128t k =+，k Z ∈. 故1234564,8,16,20,28,32t t t t t t ======. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.18．=2=【分析】由图像可得其周期；由特值再结合可得【详解】由图可得：周期所以：由可得：因为所以故答案为：2【点睛】本题考查了利用三角函数的图像求三角函数的参数值考查了三角函数的周期公式考查了数形结合属解析：ω=2 φ=6π 【分析】由图像可得其周期11()1212T πππ=--=，2=2T πω=；由特值()26f π=，再结合2πφ<，可得=6πφ. 【详解】由图可得：周期11()1212T πππ=--=，所以：22==2T ππωπ=，由()26f π=，可得：2sin(2)=26πφ⋅+，因为2πφ<，所以=6πφ. 故答案为： 2 ，6π. 【点睛】本题考查了利用三角函数的图像求三角函数的参数值，考查了三角函数的周期公式，考查了数形结合，属于中档题.19．【分析】利用辅助角公式化简根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得进而得到解析式代入即可求得结果【详解】为上的奇函数解得：又故答案为：【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值已知解析式求解三角函解析：2-【分析】利用辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得ϕ，进而得到()f x 解析式，代入8x π=-即可求得结果.【详解】()()()3sin 2cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，()f x 为R 上的奇函数，()6k k Z πϕπ∴-=∈，解得：()6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，6πϕ∴=，()2sin 2f x x ∴=，2sin 284f ππ⎛⎫⎛⎫∴-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、已知解析式求解三角函数值的问题；关键是能够通过辅助角公式将函数化简为正弦型函数，进而利用奇偶性构造方程求得参数.20．【分析】作出函数的图像结合图像可得即从而可得四个不同的实数根进而可得代入即可求解【详解】当时函数在区间和上是增函数在区间上是减函数的极大值为极小值为作出函数当时的图像如图函数函数是R 上的偶函数当时的解析：2-【分析】作出函数()y f x =的图像，结合图像可得1m =，即1y =，从而可得四个不同的实数根，进而可得34πα=，代入即可求解. 【详解】当0x ≥时，函数在区间0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在区间,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，()f x 的极大值为4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭极小值为02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，作出函数当0x ≥时的图像如图，函数函数()y f x =是R 上的偶函数，∴当0x <时()y f x =的图像与当0x ≥时的图像关于y 轴对称，故函数x ∈R 的图像如图所示，将()()f x m m R =∈进行平移，可得当1m =时，两图像有且仅有四个不同的实数根，令1y =，可得12,44x x ππ=-=，334x π=-，434x π=，所以34πα=，3sin()cos cos 242ππαα∴+===-故答案为：2- 【点睛】本题考查了三角函数的图像以及根据方程根的个数求参数值、特殊角的三角函数值，考查了数形结合的思想，属于中档题.三、解答题21．（1）3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1sin 3θ=. 【分析】（1）作出图形，可知公共部分区域为直角三角形，计算出两直角边的长，由此可求得该直角三角形的面积；（2）分6πθ=、06πθ<<、62ππθ<<三种情况讨论，求出()S θ的表达式，结合()8S θ=可求得sin θ的值. 【详解】（1）当3πθ=时，A '点在矩形OABC 外部，公共部分形状为三角形，设A O BC D '⋂=，则6COD π∠=，tan63CD CO π==，则1133132236S CD CO π⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯=⎪⎝⎭；（2）①当6πθ=时，点A '在线段BC 上，此时，223A C A O OC ''=-=，11313622S OC A C π⎛⎫'=⨯=⨯⨯=⎪⎝⎭； ②当06πθ<<时，公共部分为四边形，A '点在矩形OABC 内部，过点A '作线段AB 的平行线，分别交线段AO 、BC 于点E 、F ，设A B BC G ''⋂=，则有如下长度：2cos OE θ=，22cos AE θ=-，2sin A E θ'=，12sin A F θ'=-，()12sin tan FG θθ=-，则()OEA A FG OABC AEFB S S S S S θ''=---△△矩形矩形，即()()()()111222cos 2cos 2sin 12sin 12sin tan 22S θθθθθθθ=⨯---⨯⨯-⨯-- ()2sin 12sin 45sin 2cos 2sin cos 2cos 2cos θθθθθθθθ--=--=，由题知45sin 722cos θθ-=，两边同时平方得221640sin 25sin 494cos 32θθθ-+=，由22cos 1sin θθ=-，整理得2249sin 320sin 790θθ-+=，即()()3sin 183sin 790θθ--=，因为06πθ<<，所以1sin 2θ<，故1sin 3θ=；③当62ππθ<<时，公共部分为三角形，且()11628S S πθ⎛⎫<=⨯=< ⎪⎝⎭，不合题意；综上所述，1sin 3θ=. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键就是找出θ的临界情况，然后对θ的取值进行分类讨论，确定公共区域的形状，计算求出()S θ的表达式，结合已知条件求解sin θ的值. 22．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为1-，最大值为2.【分析】(1)根据图像观察计算A 、ω、φ的值，求出()f x 的函数解析式；（2）利用同增异减求()f x 的单增区间；（3）用换元法求函数()f x 的最值.【详解】解：（1）由图可知：2A =，44T π=，即T π=，根据2T πω=得：2ω=，由26f π⎛⎫=⎪⎝⎭得：2262k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈ 6πϕ∴=，||2πϕ⎛⎫<⎪⎝⎭，故：函数()f x 的解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）知函数()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 222262k x k πππππ∴-+≤+≤+，k Z ∈，36k x k ππππ∴-+≤≤+，k Z ∈，故：函数()f x 的单调递增区间为(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，（3）由（2）知()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， ()f x ∴在6x π=-时，取得最小值16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ()f x ∴在6x π=时，取得最大值26f π⎛⎫=⎪⎝⎭，综上所述：()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-，最大值为2. 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③)求φ通常利用函数上的点代入即可求解. （2）利用同增异减求()f x 的单增区间；（3）利用换元法就可以得到()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值.23．（1）答案见解析；（2）2⎡⎤⎣⎦；（3）5,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）利用五点法作图，按照列表、描点、连线的步骤作图即可；（2）根据x ππ-≤≤求出126x π+的范围，再利用正弦函数的性质求出1sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围即可求值域；（3）先求出()12sin 6212g x f x x ππ⎛⎫=+⎛⎫=-⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，再令12222122k x k πππππ-+≤+≤+， ()k Z ∈，不等式的解集与[],ππ-求交集即可.【详解】（1）利用五点法作图列表如下：（2）因为x ππ-≤≤，所以123263x πππ-≤+≤，所以31sin 1226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()12sin 2263x f x π⎛⎫=+≤⎪⎝⎭-≤，函数()f x 在[],ππ-内的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦（3）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()112sin 2sin 6266212g x x x x f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎝⎦⎭⎭⎣，令12222122k x k πππππ-+≤+≤+()k Z ∈，解得：754466k x k ππππ-+≤≤+()k Z ∈，当0k =时，7566x ππ-≤≤，当1k =时172966x ππ≤≤，又因为[],x ππ∈-，所以56x ππ-≤≤， ()g x 在[],ππ-内的单调增区间为5,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【点睛】关键点点睛：在求三角函数单调区间时，要把x ωϕ+看成一个整体让其满足正弦的单调区间，解出的x 的范围即为所求三角函数的单调区间. 24．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12±. 【分析】（1）由周期求出ω，取点,16π⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ，进而得出()f x 的解析式；（2）设()0,M x t ，0,3N x t π⎛⎫+⎪⎝⎭，解方程005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出0()2k x k π=∈Z ，再由0sin 26t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出t 的值.【详解】解：（1）由题意易知1A =，周期524126T πππω⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将最高点,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+中可得1sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得2()32k k ππϕπ+=+∈Z ，即2()6k k πϕπ=+∈Z .又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）设()0,M x t ，0,3N x t π⎛⎫+⎪⎝⎭，则005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以001sin 2cos 222x x ⋅+⋅001sin 2cos 22x x ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭所以0sin 20x =，所以02()x k k π=∈Z ，即0()2k x k π=∈Z 所以1sin 62t k ππ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：由图象求函数()sin y A x ωϕ=+的解析式时，有如下步骤： 1、由最值得出A 的值； 2、由周期结合2T πω=得出ω；3、取点求出ϕ.25．（1）()cos 2f x x =；（2）42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）根据函数()sin()f x x ωϕ=+为偶函数求出ϕ，根据()y f x =图像的两相邻对称中心点间的距离求出ω，则可得()f x 的解析式；（2）根据图象变换规律求出()g x ，再根据余弦函数的递减区间列式可解得结果. 【详解】（1）由于函数()sin()f x x ωϕ=+为偶函数，则,2k k πϕπ=+∈Z ．又0ϕπ<<，则2ϕπ=．又函数()f x 图象的两相邻对称中心点间的距离为2π，从而22T T ππ=⇒=，故22Tπω==．故()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．（2）函数()y f x =图象向右平移6π个单位得()cos 2cos 2663h x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；再由伸缩变换可得：()cos 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由223k x k ππππ-+．得4223k x k πππ≤≤+，k Z ∈，故()g x 的单调递减区间为：42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．【点睛】关键点点睛：掌握三角函数的图象变换规律以及余弦函数的递减区间是解题关键. 26．（1）最小正周期为π；（2）（i ）ππ[,]122；（ii ）当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π=2x 时，()f x 取最小值为【分析】（1）利用和差公式展开合并，再利用辅助角公式计算可得()2sin (2+)3f x x π=，可得最小正周期为π；（2）（i ）通过换元法令π23t x =+，求出sin y t =的范围，然后再根据sin y t =的单调递减区间求解即可；（ii ）根据函数单调性求得最大值，然后计算端点值，比较大小之后可得函数的最小值. 【详解】解：（1）πππ()=sin(2+)sin(2)2=sin 22=2sin(2+)333f x x x x x x x +-.2π==π2T ，∴()f x 的最小正周期为π. （2）（i ）π[0,]2x ∈，∴ππ4π2[,]333t x =+∈，sin y t =，π4π[,]33t ∈的单调递减区间是π4π[,]23t ∈，且由ππ4π2233x ≤+≤，得ππ122x ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为ππ[,]122. （ii ）由（i ）知，()f x 在ππ[,]122上单调递减，在π[0,]12上单调递增.且π(0)=2sin 3f =ππ()=2sin 2122f =，π4π()=2sin 23f =所以，当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π=2x 时，()f x 取最小值为【点睛】思路点睛：（1）关于三角函数解析式化简问题，首先利用和差公式或者诱导公式展开合并化为同角，然后再利用降幂公式进行降次，最后需要运用辅助角公式进行合一化简运算；（2）三角函数的单调区间以及最值求解，需要利用整体法计算，可通过换元利用sin y t =的单调区间以及最值求解.。

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班级姓名考号必修4第一章《三角函数》章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．sin 600°＋tan 240°的值是()A．－32 B.32C．－12＋ 3 D.12＋ 32．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|的最小的θ值是()A．－34πB．－π4 C.π4 D.3π43．设α角属于第二象限，且⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cosα2，则α2角属于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则cos α的值是()A．±45 B.45C．－45 D.355．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为() A．6π cm B．60 cmC．(40＋6π) cm D．1 080 cm6．若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π7．下列四个命题中，正确的是()A．函数y＝tan⎝⎛⎭⎫x＋π4是奇函数B．函数y＝⎪⎪⎪⎪sin⎝⎛⎭⎫2x＋π3的最小正周期是πC．函数y＝tan x在(－∞，＋∞)上是增函数D．函数y＝cos x在区间⎣⎡⎦⎤2kπ＋π，2kπ＋74π(k∈Z)上是增函数8．为了得到函数y＝sin⎝⎛⎭⎫2x－π6的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象() A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度9．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是()第9题第13题10．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向左平移φ (φ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是( )A.4π3B.2π3C.π3D.5π3二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知tan α＝2，则sin αcos α＋2sin 2α的值是________． 12．函数f (x )＝|sin x |的单调递增区间是________________．13．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如上图所示，则f (7π12)＝___ ____．14．已知函数y ＝sin π3x 在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是____ __．15．方程sin πx ＝14x 的解的个数是．三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16．(本小题12分)求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．17．(本小题12分)求函数12y=log sin 2x 3π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调递增区间．18.( 本小题12分)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．19．(本小题12分)已知α是第三象限角，f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)·tan (－α－π)tan (－α)·sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－1860°，求f (α)的值．20.( 本小题13分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．21．(本小题14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0且ω>0，0<φ<π2)的部分图象，如图所示．(1)求函数解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．必修4第一章《三角函数》章末检测参考答案1．B 2.A 3.C 4.C.5．C.6．B 7．D.8．B 9．D 10．B11．2 12.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z 13．0 14．8 15. 716．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x＝4sin 2x －4sin x －1＝4⎝⎛⎭⎫sin x －122－2，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，∴y ＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2 (－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；当t ＝－1，即x ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.17．解 y ＝log 2⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3log 212＝－log 2⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵2>1，由复合函数的单调性知，要求sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增且小于0恒成立． ∴2x －π3在第四象限．∴2k π－π2<2x －π3<2k π(k ∈Z )．解得：k π－π12<x <k π＋π6(k ∈Z )．∴原函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，π6＋k π，k ∈Z .18．解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1，综上可知，实数a 的值为2或－1.19．解 (1)f (α)＝sin α·cos (－α)·[－tan (π＋α)]－tan α[－sin (π＋α)]＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15. 又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.(3)f (α)＝f (－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝12.20．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．21．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为T ＝4⎝⎛⎭⎫7π6－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.方法一由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象沿x 轴负方向平移π3个单位得到的，故φ＝π3，其函数解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 方法二由图象知f (x )过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，则sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0， ∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z .∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫0，5π3上的图象，当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝⎛⎭⎫32，1∪(－1,0)．。