信号与系统作业答案

硕士研究生信号与系统选修综合课作业题
一、试证明：二阶测量系统当阻尼率ζ为0.7时，输入信号在0～0.58ωn 的频率范围内，其幅频特性A(ω)的变化不超过5%。

答：二阶系统的幅频特性为：
()
[]
()
2
2
2
2411
)(n n w w
w w
w A ζ
+-=
当阻尼率ζ为0.7时，输入信号在0～0.58ωn 的频率范围内，其幅频特性A(ω)的变化范围为1～0.9535.即A(ω)的最大变化率为4.65%，小于5%，命题得证。

二、一个加速度传感器的幅度-频率特性如图所示，现在需要测量一个频率范围在3kHz 内的加速度信号。

（1）完成下面的系统框图，并简述其工作原理。

（2）系统要不失真测量这个信号应满足什么条件（时域和频域条件）？为使信 号完整，ADC 的采样频率至少应该是多少kHz ，为什么？
（3）设被测加速度信号的范围是0-5g ，如果采用8位的理想ADC ，利用单一量程时，系统可分辨出最小加速度信号是多少g?
答：
（1） 系统框图如上图。

通过加速度传感器采集加速度信号的变化，转化成电信
号，然后经过放大和滤波电路得到需要的频率范围在3kHz 内的加速度信号，然后输入到采样保持电路进行电压保持，再将此加速度信号输入模数转换电路，最终输出对应的数字量。

（2）系统不失真测量信号应满足：设系统的输出y(t)与输入x(t)
时域条件：y(t)=A 0x(t-t 0）
8 f(kHz)
10 A
传感器
放大滤波
采样保
持
ADC
数字量输出
频域条件：Y(w)=A 0e -jwt0X(w)，即H(jw)=Ke -jwt0 ,幅度特性是常数K,相位特性是斜率为-t 0的直线。

为使信号完整，根据抽样定理，ADC 的最低采样频率应该是6kHz 。

（3）系统可分辨的最小加速度信号=5/(28
-1)=5/255=0.0196g 三、计算题
1、已知描述系统的微分方程和初始状态如下，求其完全响应，零输入响应，零状态响应，暂态响应和稳态响应。

)()(3)(4
)(2
2t x t y t y dt
d t y dt
d =++
1)0(=-y 1)0('=-y )()(t u t x =
答：
（1）求系统的完全响应： 求齐次解：
系统的特征方程： 0342=++αα
()()031=++αα
特征根： 3,121-=-=αα
故有齐次解：t t h e A e A t y 321)(--+=
求特解：由于)()(t u t x =，即0≥t 时，1)(=t x ，所以令特解B t y p =)(，代入原微分方程有，3
1=
B 。

所以，系统的完全响应为3
1)(321++=--t t e A e A t y
由初始状态1)0(=-y 和1)0('=-y ，有
1
3)0(1
3
1)0(21'
21=--==+
+=--A A y A A y
综合两式，解得6
5,2
321-
==
A A
综上，系统的完全响应为3
16
523)(3+
-
=
--t
t
e
e
t y ，0≥t
（2） 求零输入响应：
由零输入响应的定义：没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应，记为)(t y zi ，得,
t
t
zi e
A e
A t y 321)(--+=,代入初始状态有， 1
3)0(1)0(21'
21=--==+=--A A y A A y
综合两式解得，1,221-==A A ，故系统的零输入响应为t t zi e e t y 32)(---= （3）求零状态响应：
零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号所产生的响应，记为)(t y zs 。

因为系统响应的表示式有： 全响应=零输入响应+零状态响应 所以，系统的零状态响应为
3
16
12
1)2()3
16
523(
)()()(333+
+
-
=--+
-
=-=------t
t
t
t
t
t
zi zs e
e
e
e
e
e
t y t y t y
（4）求暂态响应和稳态响应： 全响应=暂态响应+稳态响应
系统的暂态响应最终衰减为0，稳态响应不随时间变化，故有 系统的暂态响应=t
t e
e 36523
---
系统的稳态响应=3
1
2、求单位冲激序列1
()()
T t t nT
δδ∞
-∞
=
-∑ 的傅立叶变换和傅立叶级数（周期
为T 1）。

答：
因为)(t T δ是周期函数，所以可以把它展成傅里叶级数
∑
∞
-∞
==
n t
jnw n T e
F t 1)(δ
其中，1
12T w π=
1
22
12
2
1
1)(1)(111
111
1T dt e t T dt
e
t T F t
jnw T T t
jnw T T T n =
=
=--
--
⎰
⎰
δδ
这样，得到周期单位冲击序列的傅里叶级数为
∑∞
-∞
==
n t
jnw T e
T t 11
1)(δ
下面求)(t T δ的傅里叶变换，
因为周期信号的傅里叶变换为∑∞
-∞
=-=n n
nw w F
t f F )(2)]([1δπ
，因为在本题中，
1
1T F n =
所以)(t T δ的傅里叶变换为∑∞
-∞
=-==n T nw
w w t F w F )()]([)(1
1
δδ。

3、一线性时不变系统在相同的初始条件下，当激励为)(t f [0<t 时，0)(=t f ] 时，其全响应为
)2cos(2)(1t e
t y t
+=-[0
>t ]；当激励为)(2t f 时，其全响应为
)
2cos(2)(2t e
t y t
+=- [0>t ]，试求在同样的初始条件下，当激励为)(4t f 时系统
的全响应。

答：
系统的全响应=零输入响应+零状态响应
)()()(t y t y t y zs zi +=
由题目所给条件有，
)2cos(2)()()(1t e t y t y t y t
zs zi +=+=-，激励为)(t f 时 )2cos(2)(2)()(2t e
t y t y t y t
zs zi +=+=-，激励为)
(2t f 时
所以有：
)
2cos()(3)(t e
t y e
t y t
zs t zi +-==--
综上，当激励为)(4t f 时，系统的全响应为
)2cos(4)2cos(443)(4)()(t e
t e
e
t y t y t y t
t
t
zs zi +-=+-=+=---
4、 已知系统结构如下图所示，系统激励为，以电流为响应时求系统的
系统函数H （S ）。

图4
答：
由题给电路图，设电容C 和电阻R 两端的电压为V 0，可列出下列两个式子： 电压关系：00)()()(V t i dt
d V t i dt
d L t
e +=
+=
电流关系：0000)(V V dt
d R
V V dt
d C
t i +=
+
=
综合以上两式，得系统的微分方程：
)()()()()(22
t e dt
t de t i dt
t di dt
t i d +=
++
，0≥t
两边取拉普拉斯变换，得
)()0()()())0()(())0()0()(('
2
s E e s sE s I i s sI i si s I s +-=+-+--
其中，e(0)=0,且由系统函数的定义：系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数，得0)0(,0)0('==i i ，所以
)()()()()(2
s E s sE s I s sI s I s +=++
综上，系统的系统函数为
1
1)
()()(2
+++=
=
s s s s E s I s H。