棱柱与棱锥
棱柱、棱锥的概念和性质
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
六年级数学知识点复习认识棱柱与棱锥
六年级数学知识点复习认识棱柱与棱锥六年级数学知识点复习：认识棱柱与棱锥一、引言在六年级数学学习中，认识和区分各种几何体是非常重要的一部分。
本文将重点介绍棱柱与棱锥这两个几何体，并对其定义、特征以及相关的数学知识点进行深入探讨。
二、棱柱的认识与特征1. 定义棱柱是指所有截面都是平行于底面的多面体。
它有两个底面，在两个底面之间有若干个平行于底面的面。
这些面的边都与底面相交，形成了棱柱的各个侧面。
2. 特征（1）底面：棱柱的两个底面是多边形，且相等。
（2）侧面：棱柱的侧面是若干个平行于底面的长方形，它们的边分别与两个底面的边相交。
（3）棱：棱柱的棱是侧面与底面之间的边。
3. 相关知识点（1）棱柱的体积计算公式：V = 底面积 ×高，其中底面积可根据不同情况采用不同的计算公式。
（2）棱柱的表面积计算公式：S = 2 ×底面积 + 侧面积，其中底面积与侧面积也需要根据不同情况进行相应计算。
三、棱锥的认识与特征1. 定义棱锥是指一个底面是多边形，其余各面都共有一个顶点的多面体。
与棱柱类似，棱锥也有底面和侧面之分。
2. 特征（1）底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形或其他多边形。
（2）侧面：棱锥的侧面是多边形的边与顶点连接而成的三角形。
（3）棱：棱锥的棱是底面的边与顶点相连而成的边。
3. 相关知识点（1）棱锥的体积计算公式：V = 底面积 ×高 ÷ 3，其中底面积也需要根据不同情况采用不同的计算公式。
（2）棱锥的表面积计算公式：S = 底面积 + 侧面积，其中底面积与侧面积需要根据不同情况进行相应计算。
四、棱柱与棱锥的比较与应用1. 比较（1）相同点：棱柱和棱锥都是由多个平面构成的几何体，它们都有底面、侧面和棱。
（2）不同点：棱柱有两个底面，而棱锥只有一个底面。
棱柱的侧面是长方形，棱锥的侧面是三角形。
2. 应用棱柱和棱锥广泛应用于日常生活和工程实践中。
比如，建筑物中的柱子就是棱柱的一种应用，而一些锥形的建筑物如塔楼、钟楼等则是棱锥的应用。
棱柱和棱锥知识点归纳总结
棱柱和棱锥知识点归纳总结### 棱柱知识点归纳总结一、定义与分类- 棱柱：由两个平行的多边形面和若干个平行四边形侧面组成的几何体。
- 分类：- 按多边形面的形状：三棱柱、四棱柱（长方体）、五棱柱、六棱柱等。
- 按侧面的形状：直棱柱（侧面与底面垂直）、斜棱柱（侧面与底面不垂直）。
二、几何特性- 所有侧棱相互平行。
- 相邻两个侧面的交线是一条直线，称为棱。
- 两个平行多边形面称为底面，其余的面称为侧面。
三、体积计算- 体积公式：V = 底面积× 高。
- 其中，高指的是两个平行多边形面之间的距离。
四、表面积计算- 表面积公式：S = 2 × 底面积 + 侧面积。
- 侧面积 = 底面周长× 高。
五、特殊棱柱- 正棱柱：所有侧面都是全等的矩形。
- 长方体：底面为矩形的四棱柱。
- 正方体：底面为正方形的长方体。
六、易错点- 容易混淆棱柱的高与侧面的边长。
- 计算体积时忘记乘以高。
- 计算表面积时漏掉底面积或侧面积。
经典例题及解题步骤1. 例题：求一个底面为正方形，边长为2，高为3的正方体的体积。
- 解题步骤：1. 确定底面为正方形，边长a=2。
2. 确定高h=3。
3. 应用体积公式：V = a^2 × h。
4. 计算：V = 2^2 × 3 = 12。
2. 例题：求一个底面为等边三角形，高为4的正三棱柱的表面积。
- 解题步骤：1. 确定底面为等边三角形，边长a。
2. 应用等边三角形面积公式：A = (sqrt(3)/4) × a^2。
3. 确定高h=4。
4. 计算侧面积：S_side = 3 × (sqrt(3)/2) × a × h。
5. 应用表面积公式：S = 2 × A + S_side。
6. 计算：S = 2 × (sqrt(3)/4) × a^2 + 3 × (sqrt(3)/2) × a × 4。
第十八课认识棱柱和棱锥
第十八课认识棱柱和棱锥在几何学中，我们学习了许多不同的几何体，如圆柱、圆锥等。
而现在，我们将继续学习另外两个重要的几何体，它们分别是棱柱和棱锥。
一、棱柱的定义与特征棱柱是由两个平行且相等的多边形（底面和顶面）所包围，再由与底面的边相对应的垂直线段（侧面）所连接而成的几何体。
棱柱的侧面是由多个矩形（或其他多边形）组成。
一个棱柱的特征可以由以下几个方面来描述：1. 底面：棱柱的底面是一个多边形，它的边数决定了棱柱的类型，如三角棱柱、四边形棱柱等。
2. 顶面：与底面平行且相等的多边形。
3. 侧面：侧面是由底面的边和顶面的对应边之间的垂直线段连接而成的。
侧面的形状决定了棱柱的外观。
4. 棱：棱是底面和侧面的交线。
棱的数量等于底面的边数。
二、棱锥的定义与特征棱锥与棱柱类似，同样由底面、侧面、顶面和棱构成。
但与棱柱不同的是，棱锥的顶面只有一个顶点，而非多边形。
棱锥的特征如下：1. 底面：棱锥的底面是一个多边形，其边数可以通过底面的形状来确定。
2. 侧面：侧面是由底面的边与顶点相连接而成的三角形，每个侧面都共享一个顶点。
3. 顶点：位于棱锥的顶部，是由侧面的共同顶点连接而成的。
4. 棱：棱是底面的边与顶点之间的线段，连接底面和顶点。
三、棱柱和棱锥的区别与联系1. 区别：棱柱和棱锥在顶部结构上有所不同，棱柱的顶部是一个多边形，而棱锥只有一个顶点。
另外，棱柱的侧面是由矩形（或其他多边形）组成，而棱锥的侧面都是三角形。
2. 联系：棱柱和棱锥都是由底面、侧面和棱构成的几何体，它们都可以根据底面的形状进行分类。
此外，它们也可以通过棱数来区分，例如三角棱柱和三棱锥。
四、实际应用棱柱和棱锥在日常生活和工程中有许多实际应用。
1. 棱柱：例如水管、柱子和笔筒等都是棱柱的实例。
棱柱的形状和体积可以用于设计和建造建筑物、家具等。
2. 棱锥：例如流线型的汽车车身和建筑物的尖顶等都是棱锥的实例。
由于棱锥的特殊形状，它们常被用于改善流体力学性能，如减小空气阻力。
(完整版)棱柱和棱锥的知识点整理
(完整版)棱柱和棱锥的知识点整理棱柱和棱锥的知识点整理
棱柱和棱锥是几何学中常见的几何体，它们具有一些独特的特
性和属性。
以下是对棱柱和棱锥的知识点的整理：
棱柱
- 棱柱是由两个平行的底面和连接底面的若干个直线段（棱）
所构成的几何体。
- 底面是具有相同形状和大小的平面，棱连接底面上对应点的
直线段。
- 棱柱的侧面是由棱和底面组成的平面形成的。
- 棱柱的顶面是连接棱的顶点的平面。
- 棱柱有一个轴线，通过底面中心和顶面中心的直线叫做轴线。
棱锥
- 棱锥是由一个底面和连接底面到一个顶点的直线段（棱）所
构成的几何体。
- 底面是一个平面形状，棱连接底面上点到顶点的直线段。
- 棱锥的侧面是由棱和底面组成的平面形成的。
- 棱锥的顶面是连接棱的顶点的平面。
相似性质
- 棱柱和棱锥都是由底面和侧面组成的几何体。
- 棱柱和棱锥的侧面都是由棱和底面组成的平面形成的。
- 棱柱和棱锥都有一个顶点，并且顶点连接底面上对应点的直
线段。
- 棱柱和棱锥都有轴线，轴线通过底面中心和顶面中心的直线。
以上是对棱柱和棱锥的基本知识点的整理。
它们是几何学中重
要的几何体，应用广泛，在日常生活和工作中都可以看到它们的存在。
参考资料：
- 《高中几何与初等数学教材》
- 《几何与拓扑》。
棱柱、棱锥的概念和性质
（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
2
又∴得M平N面t∥aPnABCD⊥，P平∴C面MANPM⊥N平2.2面. PAC.
设MN∩AC=Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN=PQ. 作OH⊥PQ，垂足为H， 则OH⊥平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离， 作AG⊥PQ于G. 在Rt△PAQ中，PA=a,
AQ 3 AC 3 2 a,
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
棱柱与棱锥
食盐
明矾
石膏
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
C D
A
E 问：以上多面体哪个为凸多面体？
B
多面体分类：
按多面体面数分为四面体、五面体、六面体等
（3）正多面体：
定义：每个面都是有相同边数正多边形，且以每个顶点 为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。
例3 作一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正五棱 锥直观图。(比例尺1:5)
y
D E N C E1 N1
1 D ·
y1
o
A M B
x
A1
· M1
o
· 1
B1
C1
x1
正棱锥的直观图的画法
S
z’
y’
D
E A O’ B C x’
画轴．画 加以整理，就得到所画的正五棱锥的直观图 x′轴、 y′SB 轴、 z′ 轴，记坐标原点为 O′ ，使 ， 画底面．按 x′ 轴、 y′、 轴画正五边形的直观图 ABCDE ..成图．连结 画高线．在 z′ SA 轴上取 、 O′S SC ＝ 、 11.5 SD、 ÷SE 5＝ ， 2.3(cm) ． ∠ x′O′y′＝45°，∠x′O′z′ ＝1(cm) 90° ，并使正五边形的中心 按比例尺取边长等于 5÷ 5＝ 对应于点O′．
直观图的画法 E’ z’ D’ C’
y’
F’ A’
E D
E1
O’
B’
D1
C1 x’ B1
F A B
C
F1 A1
直棱柱的直观图的画法
E’ F’ A’
z’
棱柱、棱锥的概念和性质
5.体积公式
（1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面
积， h 为高; （2）锥体体积公式为V=
1 Sh 3
，其中
S
为底面面
积， h 为高.
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面面积之和，直棱柱的
侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各
侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜
侧面与底面的公共
顶点 顶点
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
三角形
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 底面 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
棱柱和棱锥
（2）求三棱锥S-ABC的体积。
S
A D
C O
B
2、（2004.天津理）在四棱锥P-ABCD中，底 面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD， PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点 F。
（1）证明PA//平面EDB；
P
（2）证明PB⊥平面EFD
（3）求二面角C-PB-D的大小。
1. 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。正棱柱 的底面为正多边形。 2. 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱的侧面 为矩形。正棱柱的各个侧面为全等的矩形。
棱柱的性质：
1、棱柱的侧棱有何关系？ 侧棱都相等，侧面是平行四边形
2、侧面有何特点？ 两个底面与平行底面的截面是全等 的多边形
3、与底平行的截面有何特点？过不 相邻的两侧棱的截面有何特点？
棱长都相等
正四棱柱
正方体
{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}
定理 长方体一条对角线的长的平方等 于一个顶点上三条棱的长的平方和
D' A'
D A
C' B'
C B
棱锥的定义：
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱 锥．
这个多边形叫做棱锥的底面．其余各面 叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫 做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱 锥的高．
棱锥的分类：
棱锥的底面是三角形、四边形、五边 行等把棱锥分成三棱锥、四棱锥、五 棱锥。
棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，
那么截面和底面相似，并且它们的面积比等
棱锥与棱柱的计算问题
棱锥与棱柱的计算问题棱锥和棱柱是我们经常遇到的几何形体之一。
它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在本文中，我们将重点讨论棱锥和棱柱的计算问题，并且提供相关的公式和计算方法。
通过学习这些内容，我们将能够更好地理解和应用棱锥和棱柱的概念。
一、棱锥的计算问题棱锥是一个具有一个顶点和具有n个面的多面体，其中顶点通过边与n个底面上的顶点相连。
现在，让我们一起来解决棱锥的计算问题。
1. 体积的计算棱锥的体积计算公式为V = (1/3) * 底面积 * 高度。
通过这个公式，我们可以很容易地计算出棱锥的体积。
例如，如果我们知道棱锥的底面积为A，高度为h，则棱锥的体积V = (1/3) * A * h。
2. 表面积的计算棱锥的表面积计算包括底面积和侧面积。
底面积的计算与底面的几何形状有关，可以是正多边形或其他形状。
侧面积一般由棱锥的斜高（母线）和底面边长共同决定。
二、棱柱的计算问题棱柱是一个具有两个平行且相等的底面的多面体，底面通过等长的棱连接，并且底面和棱之间的连接线垂直于底面。
下面我们将解决棱柱的计算问题。
1. 体积的计算棱柱的体积计算公式为V = 底面积 * 高度。
与棱锥类似，我们可以通过已知的底面积和高度来计算出棱柱的体积。
例如，如果我们知道棱柱的底面积为A，高度为h，则棱柱的体积V = A * h。
2. 表面积的计算棱柱的表面积计算包括底面积和侧面积。
底面积的计算与底面的几何形状有关，可以是正多边形或其他形状。
侧面积由棱柱的高度和侧面的周长共同决定。
三、例题解析与计算方法为了更好地理解和应用棱锥和棱柱的计算问题，我们来看几个具体的例题。
例题1：已知一个棱锥的底面为正三角形，边长为4cm，高度为8cm，求其体积和表面积。
解：首先计算棱锥的体积。
根据公式V = (1/3) * 底面积 * 高度，我们可以得到V = (1/3) * (4cm * 4cm * sqrt(3)/4) * 8cm = (4/3) * 16cm^2 * sqrt(3) * 8cm = 64cm^3 * sqrt(3)。
初中数学知识归纳棱柱棱锥和棱台的性质与计算
初中数学知识归纳棱柱棱锥和棱台的性质与计算初中数学知识归纳：棱柱、棱锥和棱台的性质与计算在初中数学中，我们学习了许多图形的性质与计算方法，其中包括了棱柱、棱锥和棱台。
这些几何图形在我们的生活中随处可见，掌握它们的性质与计算方法对我们理解空间几何关系非常重要。
本文将就棱柱、棱锥和棱台的性质与计算进行归纳总结。
一、棱柱的性质与计算方法棱柱是一个具有两个并列相等的多边形底面，并由这些底面上的边和垂直于底面的侧面边组成的一类立体图形。
下面我们来归纳棱柱的性质与计算方法。
1. 底面性质：棱柱的底面是一个多边形，根据底面的形状可以称为正棱柱、长方体等。
正棱柱的底面是一个正多边形，而长方体的底面是一个矩形。
2. 侧面性质：棱柱的侧面是由底面对应边相连而形成的矩形或平行四边形。
这些侧面相互平行且等大，与底面垂直。
3. 高度与体积：棱柱的高度是底面上某个点到另一个底面上对应点的垂直距离。
设棱柱的底面积为S，高度为h，则棱柱的体积V等于底面积乘以高度，即V=S×h。
4. 表面积：棱柱的表面积等于底面积与侧面积之和。
底面积等于底面的面积，侧面积等于所有侧面的面积之和。
二、棱锥的性质与计算方法棱锥是一个具有一个多边形底面和以底面上的点为顶点的若干个三角形侧面组成的立体图形。
下面我们来归纳棱锥的性质与计算方法。
1. 底面性质：棱锥的底面是一个多边形，形状可以是正多边形或其他类型的多边形。
2. 侧面性质：棱锥的侧面是以任意底面顶点为顶点，连接底面顶点与其它底面边上点的三角形。
3. 高度与体积：棱锥的高度是底面上某个点到顶点的垂直距离。
设棱锥的底面积为S，高度为h，则棱锥的体积V等于底面积乘以高度再除以3，即V=(S×h)/3。
4. 表面积：棱锥的表面积等于底面积与侧面积之和。
底面积等于底面的面积，侧面积等于所有侧面的面积之和。
三、棱台的性质与计算方法棱台是一个具有两个底面为多边形的立体图形，两个底面之间的侧面为梯形或其他类型的多边形。
《棱柱和棱锥》课标解读
《棱柱和棱锥》课标解读一、引言本文是对《棱柱和棱锥》这一数学课标内容进行解读和分析。
在这个课标中，我们将研究有关棱柱和棱锥的定义、特性以及相关的应用问题。
通过研究这些内容，我们可以更好地理解和应用几何学中与棱柱和棱锥相关的概念。
二、概述2.1 棱柱2.1.1 定义棱柱是指由两个平行且相等的多边形所围成的立体图形。
其中，多边形被称为底面，底面所在的平面被称为底面平面；而连结底面对应顶点的线段称为棱，所以它是由若干条棱和多个面构成的几何体。
2.1.2 性质- 棱柱的底面是相等的多边形。
- 棱柱的侧面是多个矩形，其长度等于底边的长度，高度等于棱柱的高度。
- 棱柱顶点到底面的距离是棱柱的高度。
2.2 棱锥2.2.1 定义棱锥是指由一个凸多边形（底面）和与底面的每个顶点连结的线段组成的立体图形。
连接底面的各个顶点与顶点连结的线段称为棱，也是棱锥的侧面。
2.2.2 性质- 棱锥的底面是一个凸多边形。
- 棱锥的侧面是由每个底面顶点与顶点连结所形成的三角形。
- 棱锥顶点到底面平面的距离是棱锥的高度。
三、应用3.1 直方体是一种特殊的棱柱直方体是一种所有侧面都是正方形的棱柱。
它具有以下特点：- 所有的棱都是相等的且平行排列。
- 所有的面都是正方形。
直方体在生活中有广泛的应用，如建筑物的立体结构设计、图像处理中的体素表示等。
3.2 锥形盒子的体积计算对于一个底面半径为$r$，高度为$h$的锥形盒子，其体积可以通过以下公式计算：$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$这个公式基于棱锥底面是一个圆的性质，可以帮助我们计算出锥形盒子的容量。
四、总结通过学习《棱柱和棱锥》这个课标内容，我们了解到棱柱和棱锥的定义、性质以及相关的应用。
这些知识对于我们理解几何学中的立体图形以及解决实际问题有很大的帮助。
在应用中，我们可以利用棱柱和棱锥的性质进行建模、计算体积等。
希望通过这篇文档的解读，能够帮助大家更好地掌握和应用这一课标内容。
立体几何中的棱柱与棱锥的性质
立体几何中的棱柱与棱锥的性质在立体几何中，棱柱与棱锥是两种常见的立体图形。
它们具有一些特定的性质和特征，下面将对这两种几何图形进行详细介绍。
一、棱柱的性质棱柱是由两个平行相等的多边形底面及连接底面上相对顶点的若干条棱构成的立体图形。
在棱柱中，可以明显地看出以下几个性质：1. 底面：棱柱的底面是相等且平行的多边形。
常见的棱柱底面有三角形、四边形、五边形等各种形状。
底面的形状决定了整个棱柱的特征。
2. 侧面：棱柱的侧面是由底面上的顶点和底面之间的棱所构成。
侧面全部平行于棱柱的轴线，并且相互之间平行。
3. 棱：棱柱的棱是指连接棱柱底面上对应顶点的线段。
共有n条棱，其中n为底面的边数。
4. 高度：棱柱的高度是指两个底面之间的垂直距离。
5. 体积：棱柱的体积可以通过底面的面积与高度的乘积来计算，即V = 底面积 ×高度。
6. 表面积：棱柱的表面积可以通过底面的面积与侧面的面积之和来计算，即S = 底面积 + 侧面积。
二、棱锥的性质棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点到一个中心点的直线段（称为棱锥的轴）所构成的立体图形。
棱锥具有以下几个主要的性质：1. 底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形、五边形等不同形状。
2. 侧面：棱锥的侧面是由底面上的顶点和底面之间的棱所构成。
侧面全部汇集于锥的顶点，并与底面上的顶点相交。
3. 棱：棱锥的棱是指连接底面顶点和顶点的线段。
4. 底面角：棱锥的底面角是指底面上相邻两边之间的夹角。
5. 高度：棱锥的高度是指从顶点到底面的距离，与底面垂直。
6. 体积：棱锥的体积可以通过底面面积与高度的乘积再除以3来计算，即V = (底面积 ×高度) / 3。
7. 表面积：棱锥的表面积可以通过底面的面积与侧面的面积之和来计算，即S = 底面积 + 侧面积。
总结：棱柱和棱锥是立体几何中常见的两种图形，它们有着各自独特的性质。
棱柱由两个平行的底面和连接底面的棱构成，而棱锥由一个底面和连接底面顶点到一个中心点的棱构成。
了解棱柱与棱锥的特点
了解棱柱与棱锥的特点棱柱与棱锥是几何学中常见的几何体，它们有着不同的特点和性质。
在本文中，我们将详细了解棱柱与棱锥的特点。
一、棱柱的特点棱柱是一个由两个平行且相等的多边形底面以及连接底面对应顶点的侧面组成的几何体。
棱柱的特点如下：1. 底面形状：棱柱的底面可以是任意多边形，比如三角形、四边形、五边形等。
底面上的边与对应顶点相连形成棱柱的侧面。
2. 侧面与底面关系：棱柱的侧面是由底面上的边逐一连接对应顶点而形成的。
侧面的形状和底面相同，并且侧面之间是平行的。
3. 切割面：如果将棱柱从底面到顶面沿着侧面切割成多个平行于底面的截面，则每个截面都与底面形状相同。
这说明棱柱的截面是平行于底面的多边形。
4. 高度：棱柱的高度是从一个底面到另一个底面的垂直距离。
5. 体积和表面积：棱柱的体积可以通过底面面积乘以高度来计算，而表面积则由底面积和侧面积之和组成。
二、棱锥的特点棱锥是一个由一个多边形底面和连接底面顶点的侧面形成的几何体，顶点不在底面所在的平面上。
棱锥的特点如下：1. 底面形状：棱锥的底面可以是任意多边形，比如三角形、四边形、五边形等。
2. 顶点：棱锥的顶点是不在底面所在平面上的点，它连接底面的顶点，并与底面上的边垂直相交。
3. 侧面：棱锥的侧面是由底面上的每个顶点与顶点连接而成的，它们汇聚于顶点。
4. 切割面：如果将棱锥沿着侧面从底面切割至顶点，所得截面的形状会随着距离顶点的远近逐渐减小，最终过渡至一个顶点。
5. 高度：棱锥的高度是从底面某一顶点到底面所在平面的垂直距离。
6. 体积和表面积：棱锥的体积可以通过底面面积乘以高度再除以3来计算，而表面积则由底面积、底面与侧面之间的三角形面积之和组成。
结论：通过对棱柱与棱锥的特点进行了解，我们可以看到它们在形状和性质上存在一些不同。
棱柱由两个平行且相等的多边形底面和连接底面顶点的侧面组成，而棱锥则由一个多边形底面和连接底面顶点的侧面构成，并且顶点不在底面所在平面上。
小学三年级数学题目认识棱柱和棱锥的计算公式
小学三年级数学题目认识棱柱和棱锥的计算公式在小学三年级的数学学习中，我们开始接触到一些几何图形的认识和计算。
其中，认识棱柱和棱锥以及它们的计算公式是我们需要了解和掌握的重要内容。
本文将详细介绍棱柱和棱锥的定义、特点以及它们的计算公式。
一、棱柱的定义和特点棱柱是由一个面包围的多边形和与之平行的另一个面相连接得到的立体图形。
这个多边形被称为底面，连接底面的线段被称为棱。
棱柱有以下几个特点：1. 底面：棱柱的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形等。
2. 侧面：棱柱的侧面是由棱和底面的边相连接而成的矩形。
3. 高度：棱柱的高度是指底面到顶面的垂直距离。
4. 体积：棱柱的体积计算公式为底面积乘以高度，即V = 底面积 ×高度。
5. 表面积：棱柱的表面积计算公式为底面积加上所有侧面的面积，即S = 底面积 + 侧面积。
二、棱锥的定义和特点棱锥是由一个面包围的多边形和一个顶点与多边形的各个顶点连线相交而得到的立体图形。
这个多边形被称为底面，连接底面的线段被称为棱。
棱锥有以下几个特点：1. 底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形等。
2. 侧面：棱锥的侧面是由棱和底面的边相连的三角形。
3. 高度：棱锥的高度是指底面到顶点的垂直距离。
4. 体积：棱锥的体积计算公式为底面积乘以高度再除以3，即V =底面积 ×高度 ÷ 3。
5. 表面积：棱锥的表面积计算公式为底面积加上所有侧面的面积，即S = 底面积 + 侧面积。
三、例题分析1. 小明做了一个棱柱的数学作业，底面是一个边长为4厘米的正方形，高度是3厘米。
请计算棱柱的体积和表面积。
解答：棱柱的底面积为正方形的边长的平方，即底面积 = 4厘米 × 4厘米= 16厘米²。
棱柱的体积 = 底面积 ×高度 = 16厘米² × 3厘米 = 48厘米³。
棱柱的表面积 = 底面积 + 侧面积，由于棱柱的侧面是由矩形组成，所以侧面积 = 矩形的周长 ×高度 = 2 × (4厘米 + 3厘米) × 3厘米 = 54厘米²。
数学的棱柱与棱锥
02
棱柱与棱锥的几何特性
棱柱的几何特性
定义：棱柱是一个多面体，其面都是平行四边形
分类：根据底面的形状，棱柱可以分为三棱柱、四棱柱等
特性：棱柱的侧棱相等，且都垂直于底面
特殊情况：当棱柱的底面为三角形时，称为三棱柱；当底面为四边形时，称为四棱柱
棱柱的数学模型
定义：棱柱是一个多面体，其面都是平行四边形
分类：根据底面的形状，棱柱可以分为三棱柱、四棱柱等
特性：棱柱的侧棱相等，且都垂直于底面
表示方法：可以用一个二元组来表示棱柱，其中一个是底面的顶点集，另一个是侧棱的长度
棱锥的数学模型
添加标题
定义：棱锥是一个多面体，其底面为多边形，顶点为底面的外一点，其他各面为过顶点与底面各边或其延长线作垂直平面的多边形。
棱锥在光学中的应用：棱锥在光学仪器中常被用作反射面或折射面，例如望远镜和显微镜。
棱柱与棱锥在物理学中的其他应用：除了力学和光学外，棱柱与棱锥在电磁学、量子力学等领域也有应用。
物理学中棱柱与棱锥的应用案例：例如，在研究电磁波的传播和散射时，可以利用棱柱与棱锥的结构特点进行模拟和分析。
04
棱柱与棱锥的数学模型
添加标题
性质：棱锥的各侧棱都相等，各侧面都是全等的三角形。
添加标题
分类：根据底面形状，棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
添加标题
面积和体积：棱锥的侧面积和体积的计算公式分别为侧面积=1/2ch、体积=1/3sh，其中c为底面周长，h为高，s为底面积，h为高。
特殊棱柱与棱锥的数学模型
特殊棱柱：正棱柱、斜棱柱
棱锥的几何特性
添加标题
棱柱棱锥的概念ppt课件
问题1：有两个面互相平行，其余各面都
是四边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是
问题2：有两个面互相平行，其余各面都 是平行四边形的几何体是棱柱吗？
答：不一定是
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
棱柱
1、棱柱的概念
底
侧面与底面的 公共顶点叫 做棱柱的
·E’ · A’
·D’
两个互相
· · C’ 平行的面
B’
叫做棱柱
顶点
的底
其两余个各面面的叫做
相邻侧面的公棱共柱边的叫侧做面 E
· 公共边叫做 棱柱的棱 · · 棱柱的侧棱 A
底
D
· · B
C
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棱锥
课堂练习
思考：有一个面是多边形，其余各面都是 三角形的立体图形一定是棱锥吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
棱柱和棱锥认识棱柱和棱锥的特性
棱柱和棱锥认识棱柱和棱锥的特性棱柱和棱锥是几何学中常见的立体形体，它们具有各自独特的特性和性质。
本文将介绍棱柱和棱锥的定义、特征，以及它们在实际生活中的应用。
一、棱柱的定义及特性棱柱是一种具有两个平行且相等的多边形底面的立体形体。
在棱柱中，底面的边与顶面的对应边垂直，并且所有相连的顶点通过垂线连接。
棱柱的侧面由这些垂线与底面边组成，形成了一系列平行四边形或矩形。
棱柱的特性如下：1. 底面：棱柱的底面是一个多边形，可以是三边形、四边形或其他多边形。
底面的形状决定了棱柱的类型。
2. 侧面：棱柱的侧面由底面的边和顶面的对应边连接而成。
侧面的形状是平行四边形或矩形，并且对应边相等。
3. 高度：棱柱的高度是指底面与顶面之间的垂直距离。
4. 体积：棱柱的体积可以通过底面的面积乘以高度来计算。
5. 表面积：棱柱的表面积由底面的面积、顶面的面积和侧面的面积之和组成。
棱柱在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑物中的柱子、筒形容器等都属于棱柱的范畴。
二、棱锥的定义及特性棱锥是一种具有一个多边形底面和一个顶点的立体形体。
与棱柱类似，棱锥的底面的边也与顶面的对应边垂直。
棱锥的侧面由底面边与顶点相连而成，形成了一系列三角形。
棱锥的特性如下：1. 底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形或其他多边形。
底面的形状决定了棱锥的类型。
2. 侧面：棱锥的侧面由底面的边和顶点连接而成。
侧面的形状是一系列的三角形。
3. 顶点：棱锥的顶点是连接侧面的顶点。
4. 高度：棱锥的高度是指底面与顶点之间的垂直距离。
5. 体积：棱锥的体积可以通过底面的面积乘以高度再除以3来计算。
6. 表面积：棱锥的表面积由底面的面积、侧面的面积之和组成。
棱锥也广泛应用于现实生活中，例如圆锥形的麦克风、冰淇淋的锥形外形等都是棱锥的例子。
总结：本文介绍了棱柱和棱锥的定义、特性以及在实际生活中的应用。
棱柱具有两个平行且相等的底面，侧面由垂线连接形成平行四边形或矩形；棱锥具有一个底面和一个顶点，侧面由底面边与顶点相连形成三角形。
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棱柱与棱锥年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共62题，题分合计310分)1.在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AD 中点，O 为侧面AA 1B 1B 的中心，P 为侧棱CC 1上任意一点，那么异面直线OP 与BM 所成的角是A.90°B.60°C.45°D.30°2.长方体三条棱长之比为1：2：3，全面积为88cm 2，则它的对角线长为A.12B.24C.142D.1443.下列命题中，正确的是A.有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.底面是正多边形的棱柱是直棱柱4.若一个棱锥的每条侧棱在底面上的射影相等，每个侧面与底面所成的角也相等，则此棱锥为A.正四面体B.正棱锥C.不是正棱锥D.不一定是正棱锥5.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是：A.23B.32C.6D.66.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有A.8种B.12种C.16种D.20种7.正六棱柱.的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°8.若棱柱的侧面都是正方形,则此棱柱是A.正棱柱B.直棱柱C.正方体D.长方体9.直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长均为2, ∠BAD =60°,则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为A.21B.23C.22D.4310.下列四个命题中，真命题是A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中两个互相平行的平面间的距离叫做棱柱的高D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形11.如果三棱锥S-ABC 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S 在底面的射影O 在△ABC内,那么O 是△ABC 的A.垂心B.重心C.外心D.内心12.正三棱锥的侧棱与底面成60°的角，则斜高与底面成角的余弦值为A.63B.1313C.13392D.1717413.若四棱锥的四个侧面与底面所成的角都相等，则其底面四边形必是A.矩形B.菱形C.圆外切四边形D.圆内接四边形14.在斜棱柱的各侧面中，矩形最多有A.2个B.3个C.4个D.6个15.正棱锥的侧面与底面所成的角为θ，则它的全面积与底面积之比为A.1sec +θB.1cos +θC.θsecD.随棱锥高变化而变化16.给出下列三个命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②侧棱长都相等的棱是正棱锥；③侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.317.正三棱锥的两个侧面所成的角为θ，则θ的取值范围是A.（ππ，2） B.（20π，） C.（30π，） D.（23ππ，）18.若棱柱的各个侧面都是矩形,则此棱柱A.一定是直棱柱B.不一定是直棱柱C.一定是斜棱柱D.一定是正棱柱19.具有下列那一个条件的棱柱是直棱柱A.恰有一个侧面是矩形B.恰有两个侧面是矩形C.有两个相邻侧面垂直于底面D.有一条侧棱垂直于底面的两条边20.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长AB =3，AA 1=1，截面AB 1C 1D 为正方形.（1）求点B 1到平面ABC 1的距离；（2）求二面角B -AC 1-B 1的正弦值.21.若正n 棱锥的侧面上的一底角与底面的一内角互补，则n 的值是A.3B.4C.5D.3、4、5均可以22.下列命题中，真命题是A.在正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1中，因为平面AB 1∥平面ED 1，所以面AB 1与面ED 1可看成是此棱柱的两个底面B.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，所以平行六面体的任意两个相对的面均可当作它的底面C.底面是正多边形的棱柱是正棱柱D.直四棱柱就是长方体23.下列四个命题中，其本身与其逆命题都成立的是A.正四棱柱一定是长方体B.正方体一定是正四棱柱C.直平行六面体一定是直四棱柱D.侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱24.正方体的全面积为S ，则它的体积是A.8S SB.93S SC.366SS D.S S25.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积是5，E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，则三棱柱AEF -A 1E 1F 1的体积是A.2VB.4VC.3VD.无法计算26.直平行六面体的底面为菱形，一个底面面积为4cm 2，两个对角面面积是5cm 2和6cm 2，那么它的体积是A.230cm 3B.30cm 3C.215cm 3D.415cm 327.正方体的对角线长为a ,则它的全面积为A.6a 2B.2a 2C.a 3D.3a 228.正六棱柱的底面边长为4,高为12,则它的全面积为A.483+288B.243+288C.483+144D.243+14429.长方体长、宽、高的和为14,对角线长为8,则它的全面积为A.64B.196C.132D.12830.若正方体的全面积为72cm2,则它的对角线的长为A.23B.12C.6D.631.如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm,A1到A、B、C三点距离相等，AA1＝13 cm，求斜三棱柱的全面积.32.如果一个多面体的两个面互相平行，其他的面都是平行四边形，那么这个多面体A.是平行六面体B.不是棱柱C.是棱柱D.不一定是棱柱33.若一个棱柱的相邻两个侧面都垂直于底面，则这个侧柱是A.直棱柱B.正棱柱C.斜棱柱D.以上都不对34.正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D1、B1、C、A为顶点的四面体与正方体的体积之比为A.3∶1B.3∶1C.1∶3D.1∶335.四面体A-BCD，面ACD⊥面BCD，且△ACD和△BCD都是边长为a的正三角形，那么它的体积是A.2161aB.383aC.381aD.341a36.一个棱锥的每个侧棱在底面的射影长都相等，每个侧面和底面所成的角也都相等，那么它A.是正棱锥B.不是正棱锥C.不一定是正棱锥D.不存在这样的棱锥37.棱锥的中截面(过棱锥高的中点且与高垂直的截面)将棱锥的侧面分成两部分，这两部分的面积的比为A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶138.正六棱锥的底面边长为a ，体积为23a 3，那么侧棱与底面所成的角为A.6πB.3πC.8πD.4π39.一个棱锥被平行于底面的平面所截，如果截面面积与底面面积之比为1∶2，那么这截面所截得棱锥与原棱锥的体积的比为A.1∶2B.1∶2C.1∶22D.1∶(2+1)40.正四棱锥底面外接圆半径为10cm ，斜高为12cm ，下面数据正确的是A.高h =211cmB.侧棱长l =12cmC.侧面积S =602cm 2D.对角面面积S =1094cm 241.已知三棱锥P -ABC ，如图，PC ⊥AB ,AB =5,PC =6,E 、F 、G 、H 分别是PA 、PB 、CB 、CA 的中点，则下列结论中正确的是A.EFGH 不一定是平行四边形B.EFGH 是平行四边形但计算其面积的条件不够C.EFGH 是矩形，其面积等于7.5D.以上结论都不成立42..正三棱锥的底面边长是4，侧棱长是6，则它的高是A.42B.26C.3692D.378243.已知三棱锥P -ABC 中各侧面与底面所成的角都是60°,且底面三角形三边长为7、8、9，则此三棱锥的侧面积为A.125B.245C.85D.6544.长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是A.20π2B.25π2C.50πD.200π45.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ,则三棱锥D -ABC 的体积为A.63aB.123aC.3123aD.3122a46.如图:在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，AC ＞AB ，D 、E 分别是BC 、AB 的中点，设PC 与DE所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面角P -BC -A 的平面角为γ，则α、β、γ的大小顺序为 A.α＜β＜γ B.α＜γ＜β C.β＜α＜γ D.γ＜β＜α47.长方体的全面积为11，十二条棱长之和为24，则这个长方体的一条对角线长为A.23B.14C.5D.648.下列命题中的真命题是A.各侧面都是矩形的棱柱是长方体B.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.各侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥D.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是正四棱台49.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为A.29B.5C.6D.21550.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为A.105°B.90°C.60°D.75°51.设命题甲：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD －A1B1C1D1是正方体”。
那么，甲是乙的A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件52.如图:正三棱锥S－ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别是SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于A.90°B.45°C.60°D.30°53.如果一个多面体的两个面互相平行，其他的面都是平行四边形，那么这个多面体A.是平行六面体B.不是棱柱C.是棱柱D.不一定是棱柱54.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,1,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与1J所成角的度数为A.90°B.60°C.45°D.0°55.用一个平面去截一个正四棱柱，截法不同，所得截面的形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面的形状为A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形56.已知三棱锥D -ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝２，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是A.33arccosB.31arccosC.2πD.32π57.α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是A.α、β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l 、m 是α内的直线且ｌ∥β，ｍ∥βD.l 、m 是两条异面直线，且ｌ∥α，ｍ∥α，ｌ∥β，ｍ∥β58.正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是A.90B.60C.45D.3059.长方体长、宽、高的和为14,对角线长为8,则它的全面积为A.64B.196C.132D.12860.若正方体的全面积为72cm 2,则它的对角线的长为A.23B.12C.6D.661.如图,设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点,则二面角C -FG -E 的大小是A.arcsin 36 B.33arccos 2+π C.2π-arctan 2 D.22arccot-π62.如图,在透明塑料制成的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1容器中灌进一些水,固定容器底面一边BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列命题: (1)水的形状始终呈棱柱形; (2)水面EFGH 的面积不变; (3)A 1D 1始终与水面EFGH 平行;(4)当容器倾斜时(如下图所示),BE ·BF 是定值. 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(共22题，题分合计89分)得分 阅卷人1.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,E为BB1中点,∠A1DE=90°.(1)求证:CD⊥面A1ABB1;(2)求二面角CA1ED的大小;2.在正四棱锥P-ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）3.如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（1）证明BD1∥平面C1DE；（2）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.4.在三棱锥S-ABC中，下面能使顶点S在底面内的射影是底面三角形外心的条件是：(你认为正确的都填上.)(1)侧棱与底面所成的角相等；(2)侧面与底面所成的角相等；(3)侧棱两两互相垂直5.三棱锥Ｓ-ＡＢＣ对于以下条件①各侧面是等腰三角形且底面是正三角形②底面是正三角形③各侧面是正三角形④顶点在底面的射影是底面三角形的外心.其中作为三棱锥S-ABC构成正三棱锥的必要不充分条件的是 .6.长方体有公共点的三个面的面积是S1、S2、S3，那么长方体的体积为_______.7.长方体的对角线长10 cm，过同一顶点的两条与对角线都成60°角，则长方体体积为__________.8.用斜二测画法画正方形的直观图时，在直观图中，正方形的边与x′轴的夹角θ的范围是________.9.用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的面积是_________.10.如果一个四棱柱的底面是平行四边形，那么这个四棱柱是______.11.若棱柱的底面面积为8，侧棱与底面所成的角为60°，并且侧棱长为6，则棱柱体积是________.12.已知棱柱的直截面的周长为16，侧棱长为9，那么棱柱的侧面积是______.13.在体积为V的三棱柱ABC－A'B'C'中，已知S是侧棱CC'上的一点，过点S、A、B的截面截得的三棱锥的体积为v，那么过点S、A'、B'的截面截得的三棱锥的体积为________.14.棱长为2的正四面体的体积为_________.15.如图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_________.16.命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且________的三棱锥是正三棱锥.17.若正四棱锥的底面边长为23cm ，体积为4cm 3，则它的侧面与底面所成二面角的大小为____________. 18.正三棱锥ABC P -两条侧棱的夹角为cm 640=︒PA ，，M 是PA 的中点，一个蚂蚁从A 点出发通过每一个侧面最后爬到M 点，则它所爬过的最短路程等于_____________.19.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，那么V 1:V 2＝______.20.如图，直平行六面体A'C 的上底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，侧面为正方形，E 、F 分别为A'B'、AA'的中点，M 是AC 与BD 的交点，则EF 与B'M 所成的角的大小为____ _____(用反三角函数表示)CD C'21.设正四棱锥底面边长为4cm ，侧面和底面所成的二面角为60°，则这个棱锥的侧面积为___________.22.如图，E、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是______________.(要求：把可能的图的序号都填上)三、解答题(共27题，题分合计262分)1.在直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∠BAC =60°，A 1C = l ，且A 1C 与侧面B 1C ，A 1C 与侧面DC 1所成的角都是30°，求此直平行六面体的全面积.2.如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1，已知侧面BB 1C 1C 是边长为2的菱形，且∠CBB 1=60°,侧面BB 1C 1C 与底面ABC 垂直，∠BCA =90°,二面角A -BB 1-C 为30°. (1)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（2）求AB 1与平面BB 1C 1C 所成角的大小；3.已知直棱柱的底面是梯形，两个互相平行的侧面的面积分别是S 1、S 2，且它们之间距离为h .求这个棱柱的体积.4.直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm ，全面积为144 cm 2，求底面各边之长.5.已知棱锥V -ABCD 的高为h ，底面是菱形，侧面VAD 和侧面VDC 分别垂直于底面，并且这两个侧面所成的二面角为120°，另外两个侧面分别和底面成30°角，求棱锥的全面积S 全.得分 阅卷人6.四棱锥P-ABCD 中,底面是矩形,AB =3,AD =1,又PA ⊥AB ,PA =4,∠PAD =60°(1)求四棱锥P-ABCD 的体积;(2)求二面角P-BC-D 的大小.(用反三角函数表示)7.已知：平行六面体AC 1的对角线A 1C ，B 1D 1，C 1A ，D 1B 相等求证：平行六面体AC 1是长方体.8.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 、AB 、AD 两两互相垂直，BC //AD ，且AB=AD =2，BC =1，F 是PD 的中点．（1）证明：CF //平面PAB ；（2）若PA =4，求PD 与平面PAC 所成的角.FDCBPA9.已知斜三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90°，BC=2，AC =23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C 。