高等数学下课后习题答案

高等数学(下)

习题七

1、在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置:

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);

D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0)、

解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限;

点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上、

2、xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点,z=0;

在yOz面上的点,x=0;

在zOx面上的点,y=0、

3、x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答:x轴上的点,y=z=0;

y轴上的点,x=z=0;

z轴上的点,x=y=0、

4、求下列各对点之间的距离:

(1) (0,0,0),(2,3,4); (2) (0,0,0), (2,-3,-4);

(3) (-2,3,-4),(1,0,3); (4) (4,-2,3), (-2,1,3)、

解:(1)s=

(2) s==

(3) s==

(4) s==

5、求点(4,-3,5)到坐标原点与各坐标轴间的距离、

解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5)、

s==

故

s==

x

s==

y

s==、

5

z

6、在z轴上,求与两点A(-4,1,7)与B(3,5,-2)等距离的点、

解:设此点为M(0,0,z),则

222222

-++-=++--

(4)1(7)35(2)

z z

解得 149z = 即所求点为M (0,0,

149)、 7、 试证:以三点A (4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形就是等腰直角三角形、 证明:因为|AB |=|AC |=7、且有

|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2、

故△ABC 为等腰直角三角形、

8、 验证:()()++=++a b c a b c 、

证明:利用三角形法则得证、见图7-1

图7-1

9、 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -

解:

232(2)3(3)2243935117u v -=-+--+-=-++-+=-+a b c a b c a b c a b c a b c

10、 把△ABC 的BC 边分成五等份,设分点依次为D 1,D 2,D 3,D 4,再把各分点与A 连接,试以AB =c ,BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 与4D A 、

解:1115

D A BA BD =-=--c a 2225

D A BA BD =-=--c a 3335

D A BA BD =-=--c a 444.5

D A BA BD =-=--c a 11、 设向量OM 的模就是4,它与投影轴的夹角就是60°,求这向量在该轴上的投影、 解:设M 的投影为M ',则

1Pr j cos604 2.2

u OM OM =︒=⨯= 12、 一向量的终点为点B (2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次就是4,-4与7,求这向量的起点A 的坐标、

解:设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z ),则

{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

解得x =-2, y =3, z =0

故A 的坐标为A (-2, 3, 0)、

13、 一向量的起点就是P 1(4,0,5),终点就是P 2(7,1,3),试求:

(1) 12PP 在各坐标轴上的投影; (2) 12PP 的模;

(3) 12PP 的方向余弦; (4) 12PP 方向的单位向量、

解:(1)12Pr j 3,x x a PP ==

12Pr j 1

,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-

(2) 12(7PP =

=(3) 12

3cos 14x

a PP α== 121cos 14y

a PP β==

122cos 14

z

a PP γ-==

(4) 12

0123{

14PP

PP ===+

e j 、 14、 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点、 求合力R 的大小与方向余弦、

解:R =(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)

||==R

cos cos cos

αβ

γ=== 15、 求出向量a = i +j +k , b =2i -

3j +5k 与c =-2i -j +2k 的模,并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c 、

解:||=a ||==b ||3==c

, , 3. a b c ==a b c e

16、 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量、

解:a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k

在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j 、

17、 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角,求这向量的单位向量e r 、

解:因αβγ==,故23cos 1 α=

,cos αα==舍去)

则{cos ,cos ,cos }{,})3333

r αβγ===++e i j k 、 18、 已知两点M 1(2,5,-3),M 2(3,-2,5),点M 在线段M 1M 2上,且123M M MM =,求向径OM 的坐标、

解:设向径OM ={x , y , z }

12{2,5,3}

{3,2,5}

M M x y z MM x y z =--+=----

因为,123M M MM = 所以,11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩

故OM ={111,,344

-}、 19、 已知点P 到点A (0,0,12)的距离就是7,OP 的方向余弦就是

236,,777

,求点P 的坐标、 解:设P 的坐标为(x , y , z ), 2222||(12)49PA x y z =++-= 得222

9524x y z z ++=-+

126570cos 6, 749z z γ==⇒==

又122190cos 2, 749x x α==⇒==