罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型

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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。设()·0f '>，()()*

**

1c s f k =-。设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。

（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。证明k 的成本最小化水平

()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+⎛⎫"==-=++=+ ⎪⎝⎭

＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。 （b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。

证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。这是一个典型的最优化问题。

()

.mi . n s t w Y ALf k AL rK = +

本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：

用第一个结果除以第二个结果：

上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。很明显，k 的选择独立于Y 。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。

（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：

单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。因此，如果单一厂商拥有L 的劳动人数，则它也会生产()Y AL f k =的产量。这恰好是N 个厂商成本最小化的总产量。

2.2 相对风险厌恶不变的效用条件下的替代弹性。考虑一个寿命为两个时期且效用由教材中方程（2.43）给定的个人。

（2.43）

设1P 与2P 表示两个时期的消费价格，W 表示个人终生收入值，因此预算约束为1122PC P C W +=。

（a ）给定1P 、2P 与W ，效用最大化个人的1C 与2C 的选择是什么？

（b ）两个时期的消费的替代弹性是()()()()12121212//////P P C C C C P P -∂∂⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，或者

()()2211ln //ln /C C P P -∂∂。证明在效用函数为教材中方程（2.43）的条件下，1C 与2C 之间

的替代弹性是

1

θ

。

答：（a ）这是一个效用最大化的优化问题。

（1）

1122..s t PC P C W += （2）

求解约束条件：

2112//C W P C P P =- （3）

将方程（3）代入（1）中，可得：

（4） 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对1C 求一阶条件可得：

再简化为：

()

()

1/1/12121/C P P C θ

θ

ρ=+ （5）

将方程（5）代入（3），则有：

()

()

()()

()

1/1/1/1/22212122212/1//11//C W P P P C P P C P P W P β

β

β

ββ

ρρ-⎡⎤=-+++=⎣⎦

再简化为：

（6）

将方程（6）代入（5）中，则有：

（7）

（b ）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：

()

()1/1/1221/C 1/C P P β

β

ρ=+ （8）

对方程（8）两边取对数可得：

()()()()()1221ln /C 1/ln 11/ln /C P P θρθ=++ （9）

则消费的跨期替代弹性为：

因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。

2.3 （a ）设人们预先知道，在某个0t 时刻，政府将把每个家庭所持有的财富没收一半。在该时刻消费发生非连续的变化吗？如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？

（b ）设人们预先知道，在0t 时刻，政府将在该时刻把每个家庭相当于其平均所持有的一半的财富没收。在0t 时刻，消费发生非连续的变化吗?如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？

答：（a ）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期t ∆内，从()0t ε-到()0t ε+。 考虑家庭在()0t ε-时期减少每单位有效劳动的消费为c ∆。然后他在()0t ε+投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。

这一变化有一效用成本()u c c '∆前，在()0t ε+会有一收益()

r t n g t

e c --⎡⎤∆⎣⎦∆，财富的回报率为

()r t ，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为[]()()

1/2r t n g t

u c e c --∆⎡⎤⎣⎦'∆后。

总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：

在0c ∆≠时，有下式：