罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)
罗默高级宏观经济学讲义第二章幻灯片
动态均衡分析方法
动态最优化方法
通过构建代表性家庭和企业的跨期最优 化问题，求解经济增长的动态均衡路径 。
VS
相位图和比较静态分析
利用相位图展示经济增长的动态过程，通 过比较静态分析探讨各参数变化对经济增 长的影响。
政策含义及启示
重视教育和研发创新
罗默模型强调了人力资本和技术进步在经济增长中的重要作用，因此政府应加大对教育 和研发创新的投入，提高人力资本素质和科技创新能力。
效果评估
综合考量以上手段对经济增长 、物价稳定、就业等方面的影 响，评估货币政策实施效果。
利率调整对通货膨胀影响分析
利率水平变动
通过调整基准利率、存贷款利率等， 影响市场资金成本和投资消费决策， 进而对通货膨胀产生影响。
国际资本流动
利率差异会导致国际资本流动，进而 影响本国货币供应量和通货膨胀水平 。
罗默高级宏观经济学讲义第 二章幻灯片
目录
• 宏观经济学基础概念回顾 • 罗默模型理论框架介绍 • 经济增长因素分析 • 货币政策与通货膨胀治理策略 • 财政政策与公共支出管理改革方向 • 全球视野下罗默模型应用前景展望
01 宏观经济学基础 概念回顾
宏观经济学研究对象与目标
研究对象
宏观经济学以整个国民经济活动作为 考察对象，研究经济中各有关总量的 决定及其变动。
预期通货膨胀率变化
利率调整会改变人们对未来通货膨胀 率的预期，从而影响当前消费和投资 决策。
汇率变动对国际收支平衡影响
汇率水平变动
通过调整汇率水平，影响本国出口商品价格和竞争力 ，进而对国际收支产生影响。
跨境资本流动
汇率变动会导致跨境资本流动，影响本国外汇储备和 货币供应量。
国际贸易环境
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•试看部分内容第1章索洛增长模型[视频讲解]第一部分重难点解读“一旦人们开始思考（经济增长）问题，他将很难再顾及其他问题。
”——罗伯特·卢卡斯（Robert Lucas，1988）1.1 模型假设投入与产出生产函数采取如下形式：其中，：时间，：有效劳动——劳动增加型的或哈罗德中性。
生产函数生产函数是规模报酬不变的：，对于所有规模不变结合两个不同的假设：第一是经济规模足够大，以至于专业化的收益已被全部利用。
第二是除资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。
把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数：定义，以及，得：关于的假设：（1），，（如何推导？比较重要！）（2）稻田条件（Inada condition）：，柯布一道格拉斯函数：。
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罗默《高级宏观经济学》（第3版）第3章 新增长理论跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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3.1 考虑教材中第3.2节中1θ<时的模型。
（a ）在均衡增长路径上，()A A g t *=，其中A g *是A g 的均衡增长路径值。
利用这个事实以及方程（3.6）()()() L t B a L A t A t θγ=［］推导均衡增长路径上() A t 的一个表达式，把它用B 、L a 、γ、θ和()L t 来表示。
（b ）应用对（a ）问的答案以及生产函数()()()()1L Y t A t a L t =-，求均衡增长路径上()Y t 的表达式。
求最大化均衡路径产出的L a 的值。
答：（a ）关于产出和知识的生产函数为：()()()()1L Y t A t a L t =- （1）()()()() 1L t B a L t t A A θγθ=<［］ （2） 在均衡增长路径上，()()()//1A A t A t g n γθ*==- （3） 对（2）两边除以() A t ，即：()()()()1/L t A t Ba L t A A t γθγ-=（4）将（3）（4）联立得：()()()()()11/1/(1)L L Ba L t t n A n Ba L t A t γθθγγγγθγθ--⎡⎤=-⇒=-⎣⎦上式简化为：()()()()1/11/L A t Ba L t n θγγθγ-⎡⎤=-⎣⎦（5）（b ）将（5）代入（1）得：()()()()()()()()(1/11/1/11)()())1(/1/11/1L L L L Y t Ba L t n a L t B n a a L t θγγθγθγθθγθγ---+-⎡⎤=--⎣⎦- -⎡=⎤ ⎣⎦［］两边取对数，可得：()()()()()()()()ln 1/1ln 1//1ln ln 1/11ln L L Y t B n a a L t θθγγθγθ⎡⎤=--+-+-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦一阶条件为：经过简单的数学运算求L a *：（6）θ值越大，新知识在生产函数中的作用越大。
罗默《高级宏观经济学》(第1和2版)笔记和课后习题详解
罗默《高级宏观经济学》(第1和2版)笔记和课后习题详解本文深入讨论罗默《高级宏观经济学》(第1和2版)，旨在为学习者提供出色的笔记、精彩的课后习题解析，并对概念、理论和应用进行认真的细致分析，从而增加理解深度，完成更深层的知识探索。
《高级宏观经济学》是由罗默编写的经济学经典，既有第一版，也有第二版。
该书深入探讨了有关宏观经济的一系列概念，从而帮助学习者更好地理解宏观经济学和实践中的问题。
本文主要记录了罗默《高级宏观经济学》的笔记和课后习题详解。
一、《高级宏观经济学（第一版）》笔记：1.什么是宏观经济学？宏观经济学是研究几个最基本的经济活动，如消费、、政府支出、出口和多国贸易等，以及它们如何影响整体经济活动的经济学分支。
它重点关注经济中的总体现象，这些总体现象包括：一般内需、总计计划、工业产出、通货膨胀和未来经济增长。
2.宏观经济学的重要概念宏观经济学的重要概念包括：货币与兴贸易政策。
货币政策包括由中央银行控制的货币和信贷供应，而贸易政策包括贸易壁垒、补贴和关税等。
此外，宏观经济学还关注大规模的经济转换，如通货膨胀、失业和衰退。
3. 宏观经济学中的重要理论宏观经济学中的重要理论包括：需求管理理论、金融结构理论、宏观经济政策理论以及经济增长理论。
它们都被广泛应用于实践中，有助于帮助政府改善国民经济的表现。
二、《高级宏观经济学（第二版）》笔记：1.经济增长的关键因素经济增长的关键因素包括资本形成、技术进步和劳动力。
资本形成是指为生产加倍而积极的活动；技术进步指科学技术的发展；劳动力是指劳动力技能和可用劳动力水平的增加。
这三个因素是推动经济增长的关键因素。
2.宏观经济政策宏观经济政策分为货币政策和财政政策。
货币政策是由中央银行控制的货币及信贷供应的政策，其目的是稳定经济和利率，达到最佳的经济增长；而财政政策则指政府通过征税、支出和债务管理来调节经济的政策。
3.货币策略货币策略主要通过操作利率和货币供应来实现宏观经济目标。
5-罗默高级宏观经济学
我们在求导的时候注意 是一个常数， 表示的是家庭在两个时期转换消费的消费意愿， 越小，随着消费的上升边际效用下降的越慢，家庭越愿意跨期消费。
2.2企业行为和家庭行为
资本要素完全竞争---利率=资本的边际产出
工资=劳动的边际产出
宏观经济学的起点——凯恩斯1936年的通论
高级宏观经济学的起点——将我们的动态最优的分析方法，1928年开始提出，196几年的时候才开始运用，现在宏观经济学运用最多的就是这个模型
这样的争论是，资本的所有者是否应该
资本存量的增长率先是增加，然后增加的逐渐下降，
资本存量的变化率
资本存量本身是一定是往上走的，是递减的增加
和资本存量的增长率相对应
劳均资本的增长率和资本存量的增长率是同步的
变动，因为技术进步率是不变的
劳军产出的对数值
每单位劳动的平均消费是怎么变化
取决于产出怎么变
也取决于劳动怎么变
投资先快速下滑，然后回归到新的均衡
我们经济学是先提出假定，然后在这个基础上发展框架
政治经济学中资本对劳动的剥削，只要你进行劳动，就有剩余
资本对劳动存在剥削，
因为只有劳动创造价值，其他因素不占有价值，其他要素获取剩余价值，所以就有对劳动的剥削
劳动者得到工资L——w
资本所有者得到利息K——r(一定是来自于劳动者的贡献)—所以这就应该是剥削
考虑一个变量对另一个变量的影响，
最基本的方式就是求导；
还有一个是弹性的概念总产出增加2%，储蓄增加X%。
有一个基本的方程，如果卡住了，把那个公式写到一遍，就一定能得到启发
如果储蓄率一定的话，经济会收敛到唯一的一个均衡点
考察经济收敛的速度，核心的变量就是资本存量
第二章 无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
C (t )1 L(t ) dt 1 H
1 nt c ( t ) L ( 0 ) e e t [ A(0)1 e (1 ) gt ] dt t 0 1 H 1 L ( 0 ) c ( t ) A(0)1 e [ n (1 ) g ]t ]d t t 0 H 1 1 c ( t ) B e t ]d t (2.12) t 0 1 1 L (0) B A(0) , n (1 ) g H
e R (t )C (t )
t 0
e
R (t )
c(t )e
( n g )t
d t k (0) e R (t ) w(t )e ( n g )t d t
t 0
(2.14)
• 单位有效劳动的非蓬齐条件变为：
s
lim e R ( s ) e ( n g ) s k ( s) 0 (2.15)
• 消费者均衡条件为终生效用保持不变，即消费变
动带来的效用损失和储蓄投资带来收入增加导致 的效用增加量必须相等，所以：
(t ) / c (t )]dt [ r (t )n g ]dt Be t c(t ) dc(t ) Be (t dt ) [c(t )e[c ] e dc(t ) (2.22)
e
R (t ) ( n g )t
e
(2.17)
• 利用变分法得到：
• 泛函： T V ( y ) F [t , y, y]d t
0
y dy / dt
• 的欧拉方程为：
Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fty Fy 0
• 特殊情形： • Case 1： F F (t , y) • 欧拉方程为： Fy constant • Case 2：
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，在
会有一收益
，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低Hale Waihona Puke 费。，同时厂商受到生产函数
的约束。这是一个典型的最优化问
题。
构造拉格朗日函数： 求一阶导数：
得到：
上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比， 这便是成本最小化条件。 （b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为：
（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
因为 k 保持不变，即 知：
，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为： （3）
对方程（3）两边关于 g 求导数，可得：
可以再简化为：
（4）
由于 由
决定，对该式两边关于 g 求导数，可得：
，从而求出 为：
（a）考虑厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定并独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
罗默《高级宏观经济学》章节题库(无限期模型与世代交叠模型)【圣才出品】
n g 2
f k 1 k 2 代入方程（6）中，可得：
s g
ng
k
k
k
1
k
k
1
k 2
k k 1 k 2
简化为：
s n g k (1 ) (1 )k k1
f k* k* / g ，从而求出 k / g 为：
k* / g / f k* 0
（5）
将方程（5）代入（4）中，可得：
s g
n
g
f
k k f k f f k 2 f k
不过，此处无法确定新的均衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定 每单位有效劳动的消费 c 是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的均衡增长路径恰 好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费 c 甚至可能保持不变。因此，c 和 k 逐步移动到新的均衡增长路径，此时的值高于原先的均衡增长路径值。
核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
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在均衡增长路径上，要求 c 0 ，即 f k g ，在 g 永久性地下降时，为保持 c 0 ， f k 必须下降。由于 f k 0 ，因而 f k 下降必然导致 k 上升。因此，c 0
必须上升，在图形上表现为 c 0 向右移动，如图 2-1 所示。
（c）在 g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因 而不会发生不连续的变化。它仍然保持在均衡增长路径 k*处。
宏观经济学第三版高教宏观经济课后习题部份答案
宏观经济学（第三版）部份习题答案第一章一、答：宏观经济学识将一个国家或一个社会作为一个整体的经济运行主体作为考察对象，它研究的是一个国家经济的整体运行状况，和政府如何运用经济政策来阻碍国家整体经济的运行。
宏观经济学家所关切的问题包括以下几个方面：决定一国经济长期增加的经济因素，什么缘故会显现通货膨胀，失业的存在和自然失业率不断上升的缘故，一国经济什么缘故会显现周期性波动现象，全世界经济体系是如何阻碍一国经济运行的。
宏观经济学以标准与实证的方式研究一个经济体的总量经济问题。
总量问题包括一个国家资源是如何配置的，一国国民收入与就业总量是如何决定的，价钱总水平是如何形成的，国民收入在长期增加趋势中什么缘故会显现周期性波动，等等。
二、答：一个国家宏观经济运行质量一样能够从4个方面进行考察，即国民产出，就业状况，价钱转变和对外贸易。
（1）一个国家的经济实力和经济成绩最终是以一国的国民产出水平，国民的人均收入水平和经济增加速度为标志。
实际的国民产出的高水平和快速，稳固，均衡的增加是一国宏观经济追求的首要目标。
（2）维持劳动力的充分就业是宏观经济的第二个目标。
就业水平与产出水平紧密相关，高产出意味着高就业，即人们能够较容易地寻觅到自己情愿同意的报酬水平的工作职位。
政府一样将高就业与低非志愿失业作为宏观经济的重要目标之一。
（3）维持价钱总水平的稳固是宏观经济运行的第三个目标。
价钱总水平也与国民产出有较高的相关度。
国民产出增加过快，容易刺激物价的上升，形成通货膨胀的局面；国民产出增加过慢，会减少人们的购买力，从而造成物价总水平的下降，形成通货紧缩的局面。
因此宏观经济追求的目标是高产出与低通胀相对应的经济格局。
（4）宏观经济的第四个目标涉及到一国的对外经济关系。
在开放经济中，一国与别国的经济关系包括商品及劳务的入口与出口，资本的流入与流出，技术的引进与输出等。
因此维持汇率的稳固和入口大致的平稳是各国对外经济方面力求达到的宏观经济目标。
高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案(2020年九月整理).doc
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。
设()·0f '>，()()***1c s f k =-。
设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。
（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+⎛⎫"==-=++=+ ⎪⎝⎭＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。
（b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。
这是一个典型的最优化问题。
().mi . n s t w Y ALf k AL rK = +本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
罗默高宏 第2章 索洛增长模型15
第2章 索洛模型与收入决定理论相比，经济增长理论研究的主题、内容和分析方法与之显著不同。
收入决定理论研究均衡产出如何被决定，以总需求和总供给的分析为内容，属于短期分析、静态分析。
经济增长理论则研究均衡产出随时间的变化，以生产率的动态变化及其速度问题为内容，属于长期分析、动态分析。
索洛模型为研究经济增长提供了一个恰当的逻辑框架。
追寻索洛模型能够清楚地知道哪些事情才是经济增长研究需要考虑的，避免把属于收入决定的问题错误地当成经济增长问题。
本章先介绍索洛模型的框架体系，随后围绕该框架体系展开讨论。
§1 索洛模型的假设考虑一个国家的经济总量（总产出）变化，自然要从资本总量和劳动总量如何变化入手。
资本总量变化取决于投资、折旧，总投资与总储蓄相联系，总储蓄又来自于总产出，是收入中未被消费的部分。
从这里应该知道增长理论不可回避一些经济总量关系，具体包括：产出-储蓄，储蓄-投资，投资-资本，资本-产出，这些关系的总和代表了增长问题研究应当遵循的一个逻辑框架，这个框架以产出-资本-产出之间的关系为核心。
劳动总量由总人口决定，但是，人口-劳动-产出之间的关系要比产出-资本-产出之间的关系简单得多。
以下是索洛模型中对上述涉及到的经济总量关系的假设。
1.1 生产函数用()Y t 代表t 时期经济中的总产出， ()K t 代表资本总量，()L t 代表劳动总量，生产函数是：)](),([)(t L t K F t Y = （2.1） 这个函数的古典假设是：1）规模报酬不变，生产函数是一次齐次函数。
即对任意非负常数λ，[][])(),()(),(t L t K F t L t K F λλλ= （2.2）2）边际报酬递减。
也就是：/0F K ∂∂>，22/0F K ∂∂< /0F L ∂∂>，22/0F L ∂∂<3）稻田条件成立。
即：lim lim KL K L F F →→''==∞，lim lim 0K L K L F F →∞→∞''== （2.3）1.2 资本()K t资本K 是存量。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(无限期模型与世代交叠模型)【圣才出品】
i 1
i 1
i 1
其中， L 是总的雇佣人数。
单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k，k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果
单一厂商拥有 L 的劳动人数，则它也会生产 Y AL f k 的产量。这恰好是 N 个厂商成本
最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函
C2
1 (1
W P2 )1 (P2
P1 )(1 )
将方程（6）代入（5）中，则有：
（5） （6）
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C1
(1 )1 ( P2 P1)1 (W P2) 1 (1 )1 ( P2 P1)(1 )
这一变化有一效用成本 u c前 c ，在（t0＋ε）会有一收益 ertngt c ，财富
的 回 报 率 为 r （ t ）， 不 过 ， 此 刻 有 一 半 的 财 富 会 被 没 收 。 此 时 的 效 用 收 益 为
（b）假设事先知道在某一时刻 t0，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数 量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻 t0 发生突然变化？为 什么？（如果会，请说明时刻 t0 前后消费之间的关系。）
解：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 t 内，从（t0－ε）到（t0＋ε）。 考虑家庭在（t0－ε）时期减少每单位有效劳动的消费为 c 。然后他在（t0＋ε）投资并 消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没 有影响。
数由方程（2.43）给定。
Ut
C1 1t
1
1 1
宏观经济学第三讲 无限期界与世代交叠模型
收敛 速度
差分方程 的求解：
k的动态 方程为：
达到均 衡时： 在平衡 路径附 近线性 化：
1 C C C2 t 1 (1 r t 1) C 1
最优的个人 消费变化：
C2t 1 1 rt 1 C1t 1
1/
21
个人效用最大化：拉格朗日函数
构造拉格朗日函数，并根据一阶条件可以得到最优化条件。
1 1 C1 C 1 1 t 2t 1 L [ At wt (C1t C2t 1 )] 1 1 1 1 rt 1
5
瞬时效用函数采取如下形式：
C (t ) u (C (t )) , 0, n (1 ) g 0 1
由于该函数的消费替代弹性为1/θ，因此被称为不变跨期 替代弹性效用函数。 边际效用弹性：消费 每增加1％，边际效用 下降的百分比。
1
du(c) c cu(c) dc u(c) u(c)
• 每个人在年轻的时候供给1单位的劳动，并且将劳 动收入在第一期的消费和储蓄之间进行分配；在第 二时期，个人只是消费其储蓄和利息。
18
在t时期出生的一个人的效用取决于两时期的消费。效用函 数为不变相对风险厌恶效用函数：
1 1 C1 C 1 2 t 1 Ut t 1 1 1 0, 1 该假设确保第二个时期的消费权数为正。
在t时期，由老年人拥有的资本与由年轻人供给的 劳动结合起来进行生产。老年人消费其资本收入与现 存财富。年轻人将劳动收入wtAt分配在消费和储蓄上。 他们把储蓄带入下一个时期，因此在t+1时期内的资 本存量Kt+1等于t时期的年轻人的数量Lt乘以他们的储 蓄wtAt-C1t。该资本量与下一代年轻人的劳动供给相结 合，生产持续进行。
罗默高级宏观经济学答案
罗默高级宏观经济学答案【篇一：罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章无限期界与世代交叠模型)】模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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*以成本r租借资本，并且拥有相同的a值。
（a）考虑一位厂商试图以最小成本生产y单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平??????*f??c?c?0?k??＜0csf?k*???n?g???kt?lt?1??1?n?lt唯一地被确定并独立于y，所有厂商??因此选择相同的k值。
（b）证明n个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用n个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本k和有效劳动al以最小化成本rk?wal，同时厂商受到生产函数y?alf?k?的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min??wal?rks.t.?? y?alf?k?本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数：求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和a，下面是n个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的a并且选择相同数量的k，k的决定独立于y的选择。
因此，如果单一厂商拥有l的劳动人数，则它也会生产y?alf?k?的产量。
这恰好是n个厂商成本最小化的总产量。
（2.43）设p1与p2表示两个时期的消费价格，w表示个人终生收入值，因此预算约束为pc11?p2c2?w。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题问题详解
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=，，或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2）求解约束条件：（3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对求一阶条件可得：解得：（5）将方程（5）代入（3），则有：解得：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第1章 索洛增长模型)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1.1 增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t Y t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果：则得到（c ）的结果。
1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。
（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。
答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
页脚
.
.
增长路径上是独立于利率的。对于折现率 而言， 越大，家庭越厌恶风险，越 会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。假设实际利率不 变，令 W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。已知 r、 W 和效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先 会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使 自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.1
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
2.2 （1）
（2） W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消
，得：
两边对时间 t 求导，可得： 得到下面的方程： 将方程（3）代入（4），可得：
（3） （4）
页脚
.
（a）已知 和 和 W，则此人效用最大化的 和 是多少？
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罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。
设()·0f '>，()()***1c s f k =-。
设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。
（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+⎛⎫"==-=++=+ ⎪⎝⎭＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。
（b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。
这是一个典型的最优化问题。
().mi . n s t w Y ALf k AL rK = +本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
因此，如果单一厂商拥有L 的劳动人数，则它也会生产()Y AL f k =的产量。
这恰好是N 个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险厌恶不变的效用条件下的替代弹性。
考虑一个寿命为两个时期且效用由教材中方程（2.43）给定的个人。
（2.43）设1P 与2P 表示两个时期的消费价格，W 表示个人终生收入值，因此预算约束为1122PC P C W +=。
（a ）给定1P 、2P 与W ，效用最大化个人的1C 与2C 的选择是什么？（b ）两个时期的消费的替代弹性是()()()()12121212//////P P C C C C P P -∂∂⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，或者()()2211ln //ln /C C P P -∂∂。
证明在效用函数为教材中方程（2.43）的条件下，1C 与2C 之间的替代弹性是1θ。
答：（a ）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）1122..s t PC P C W += （2）求解约束条件：2112//C W P C P P =- （3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4） 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对1C 求一阶条件可得：再简化为：()()1/1/12121/C P P C θθρ=+ （5）将方程（5）代入（3），则有：()()()()()1/1/1/1/22212122212/1//11//C W P P P C P P C P P W P βββββρρ-⎡⎤=-+++=⎣⎦再简化为：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b ）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：()()1/1/1221/C 1/C P P ββρ=+ （8）对方程（8）两边取对数可得：()()()()()1221ln /C 1/ln 11/ln /C P P θρθ=++ （9）则消费的跨期替代弹性为：因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a ）设人们预先知道，在某个0t 时刻，政府将把每个家庭所持有的财富没收一半。
在该时刻消费发生非连续的变化吗？如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？（b ）设人们预先知道，在0t 时刻，政府将在该时刻把每个家庭相当于其平均所持有的一半的财富没收。
在0t 时刻，消费发生非连续的变化吗?如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？答：（a ）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期t ∆内，从()0t ε-到()0t ε+。
考虑家庭在()0t ε-时期减少每单位有效劳动的消费为c ∆。
然后他在()0t ε+投资并消费这一部分财富。
如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本()u c c '∆前，在()0t ε+会有一收益()r t n g te c --⎡⎤∆⎣⎦∆，财富的回报率为()r t ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为[]()()1/2r t n g tu c e c --∆⎡⎤⎣⎦'∆后。
总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：在0c ∆≠时，有下式：因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。
征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b ）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。
家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4 设教材中方程（2.1）瞬时效用函数()u C 为ln C 。
考虑一个在方程（2.6）约束下旨在最大化方程（2.1）的家庭的问题。
给出在每一时刻由初始财富与劳动收入现值之和、()r t 的路径与效用函数参数表示的C 的表达式。
注意：（2.1）（2.1）中，()C t 是在£时刻家庭每个成员的消费。
()u 是瞬时效用函数——它给出了既定时刻家庭每个成员的效用。
()L t 是经济的总人口，()/L t H 因此是每个家庭的成员人数。
故()()()u C t L t H ／是t 时刻家庭的总瞬时效用。
最后，ρ是贴现率。
ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小。
由于每个家庭有()/L t H 个成员，在t 时刻其劳动总收入为()()W t L t H ／，并且其消费支出为()()C t L t H ／。
在0时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的1/H ，或等于()0/K H 。
因此，家庭预算为：（2.6）答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
（1）（2）令建立拉格朗日方程：求一阶条件：抵消()/L t H 项得：()()1R t t e C t eρλ---= （3）可以推出：()()1R t t C t e eρλ--= （4）将其代入预算约束方程：（5）将()()0nt L t e L =代入上式：（6）只要0n ρ->，则积分项收敛，为()1/n ρ-，则：（7）将方程（7）代入（4）：（8）因此，初始消费为：（9）个人的初始财富为()/0W L H ⎡⎤⎣⎦／，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。
()n ρ-为个人的财富边际消费倾向。
可以看出，这个财富边际消费倾向在均衡增长路径上是独立于利率的。
对于折现率ρ而言，ρ越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。
2.5 考虑一个其效用由教材中方程和方程给定的家庭。
设真实利率不变，并且W 表示家庭的初始财富与其终生劳动收入现值之和教材中方程的右边，给定r 、W 与效用函数的参数，求出C 的效用最大化路径。
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：（1）（2）W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r 是常数。
建立拉格朗日方程如下：求一阶条件，可得：抵消()/L t H ，得：()t t e C t e ρθγλ---= （3）两边对时间t 求导，可得：得到下面的方程：（4）将方程（3）代入（4），可得：抵消t e γλ-然后求消费的增长率()()/C t C t ，可得：（5）由于利率r 是常数，所以消费的增长率为常数。
如果r ρ>，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果r ρ<，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。
如果r ρ>，则θ决定了消费增长的幅度。
θ值越低，也就是替代弹性越高，1/θ越高，即消费增长的越快。
重写方程（5），得：（6）对方程（6）积分，积分区间是从时间0τ=到时间t τ=，可得：上式可以简化为：[][]()/0/lnC t C r t ρθ=- （7）对方程（7）两边取指数，可得：()()[]//0r t C t C e ρθ-=（），整理得：()()[]/ 0r tC t C e ρθ-=（） （8）下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：将()()0nt L t L e =代入上式，可得：（9）只要[]/0r r n ρθθ-+->（），从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：（10）将方程（10）代入（9）中，求解()0C ：（11）将方程（11）代入（8），求解()C t ：（12）上式便是C 的效用最大化路径。
2.6 生产力下降与储蓄。
考虑一个正处在其均衡增长路径上的拉姆齐—卡斯—库普曼经济，并且设g 永久性地下降。
（a ）如果这个变动影响0k =曲线，它将怎样影响？ （b ）如果这个变动影响0c =曲线，它将怎样影响？（c ）在变动时刻，c 会发生什么事情？（d ）找出g 的边际变化对正处在均衡增长路径上的产出的储蓄份额产生影响的表达式。
人们可否说明这种表达式为正还是为负？（e ）对于生产函数是柯布—道格拉斯的情形，即()k k α=，请重新写出用ρ、n 、g 、θ与α表示的（d ）的答案。
（提示：利用事实()*f k g ρθ'=+。
） 答：（a ）关于资本的欧拉方程为：()()()()()()k t f k t c t n g k t =--+ （1）该方程描述了资本的动态方程，在拉姆齐模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
图2-1 拉姆齐模型在均衡增长路径上，k =0，由此可以推出：()()c f k n g k =-+。
在该方程中，当g 永久性地下降时，会导致消费c 上升以保持方程的均衡。