高等数学篇节自测题答案
(完整版)高等数学自测题第13章自测题1答案
第13章自测题1答案一、选择题（每小题4分）1、答：(A).2、答：(B).3、设C为分段光滑的任意闭曲线，ϕ(x)及ψ(y)为连续函数，则的值(A)与C有关(B)等于0(C)与ϕ(x)、ψ(x)形式有关(D)2π答( ) 答：（B）4、曲线积分的值(A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关(C)与起点、终点无关(D)等于零答( ) 答：（B）二、填空题（每小题4分）1、L是xoy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L关于ox轴的转动惯量用曲线积分表示为___________. (ρ(x,y)为连续函数)。
答：2、设L是单连通域上任意简单闭曲线，a,b为常数，则 _______.答： 03、力构成力场，(y>0)若已知质点在此力场内运动时场力所做的功与路径无关，则m=________.答：14、设是某二元函数的全微分，则m=______.答：2三、解答题（每小题6分）1、求曲线ρ=a(1+cosθ)的长度(0≤θ≤2π, a>0).2、设曲线L 为摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) (0≤t ≤2π)的一拱，其线密度为1，求L 的形心坐标( ).3、求质点M (x ,y )受作用力沿路径L 所作的功W L 是从A (2，3)沿直线到B (1，1)的直线段. 解：L 的直线方程：12-=x y从2=x 到1=x⎰⋅=LsF w d ϖϖ⎰-++=AByx y x x y d )2(d )3(⎰-=12d )115(xx223-=4、质线L 为 其上任意点(x ,y )处的密度为 ，求此质线对于原点处的单位质点的引力 .5、设质线L 的方程为L 上任意点(x ,y )处的线密度为求质线L 的质量M 及质心坐标(ξ,η).解：L 的极坐标方程为 )cos 1(θ-=a r 0≤θ≤2πθθθd 2sin2d 'd 22a r r s =+=θθθμπ⎰⎰⎰-=+==2022d 2sin)cos 1(2d 1d asy x as M LLa 332=⎰⎰⎰-=-⋅⋅==ππθθθθθθθμξ2022022d 2sin )2sin 21(43d 2sin cos )cos 1(21d a a M Msx La 78-=由于L 关于OX 轴对称，221y x a+=μ关于y 是偶函数，故0=η∴ 质心：)0 , 78(a -6、计算 ，其中D 是由y =0和摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) 0≤t ≤2π 所围成的区域。
《高等数学》测试题和答案自测题一答案 (4)
自测题二一、单项选择题（每题2分，共30分）．1．函数)(x f y =在0x 处连续是它在0x 处可导的（ ）．（A ）充分条件；（B ）充要条件；（C ）必要条件；（D ）既非充分条件也非必要条件． 2．函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '的几何意义就是曲线)(x f y =在（ ）． （A ）在0x 处的切线的斜率； （B ）在点))(,(00x f x 处切线的斜率； （C ）在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切； （D ）在点0x 处的切线的倾斜角．3. 设)(x f 是可导函数，当)(x f 为偶函数，则)(x f '是（ ），当)(x f 是奇函数，则)(x f '是（ ）．（A ）偶函数； （B ）奇函数； （C ）非奇非偶函数； （D ）以上结论都不对． 4．函数在某点处不可导，函数所表示的曲线在相应点处的切线（ ）．（A ）一定不存在；（B ）不一定不存在； （C ）一定存在； （D ）以上结论都不对． 5. 设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则=')(a f （ ）． （A ）)(a a ϕ； （B ）)(a a ϕ-； （C ）)(a ϕ-； （D ）)(a ϕ． 6. 函数|sin |x y =在0=x 处是（ ）．（A ）连续可导； （B ）不连续不可导； （C ）不连续可导； （D ）连续不可导．7. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(2x x xx x f 在0=x 处是（ ）．（A ）连续可导； （B ）不连续不可导； （C ）不连续但可导； （D ）连续但不可导． 8. 设xe y 1=，则=dy （ ）． （A ）dx e x1； （B ）dx ex 21-； （C ）dx e x x 121； （D ）dx e xx 121-．9. 函数||x x y =在点0=x 处的导数是（ ）．（A ）x 2； （B ）x 2-； （C ）0； （D ）不存在． 10. 函数||x e y =在0=x 处的导数是（ ）．（A ）1； （B ）1-； （C ）0； （D ）不存在． 11. 已知y x y ln =，则='x y （ ）． （A ）y x ； （B ）y ln ； （C ）x y y y -ln ； （D ）yxy +ln ． 12. 函数)ln(xxb a y +=的导数是（ ）．（A ）)ln ln (1b b a a ba x x x xx ++； （B ）)10ln(-a ； （C ）)(10ln 1x x x x b a b a ++； （D ）)ln ln (10ln b b a a ba xx x xx ++． 13. 设)(sin x f y =，则=dy （ ）．（A ）xdx x f sin )(sin '； （B ）dx x f )(sin '； （C ）xdx x f cos )(sin '； （D ）xdx x f sin )(sin ． 14. 若)(x f 是奇函数且)0(f '存在，则0=x 点是函数xx f x F )()(=的（ ）． （A ）无穷间断点； （B ）可去间断点； （C ）连续点； （D ）振荡间断点． 15. 若⎩⎨⎧>+≤=11cos )(x b ax x x x f ，且)1(f '存在，则必有（ ）．（A ）1,1-==b a ； （B ）1sin ==b a （C ）1sin 1cos ,1sin +=-=b a ； （D ）0,1==b a ． 二、填空题（每题3分，共30分）． 1．若)(x f 在a x =处可导，则=--+→hmh a f nh a f h )()(lim．2．若)]1[sin(sin )(2+='x x f ，4)0(=f ，则==4y dydx ．3．若⎩⎨⎧==mty t x ln ，则1=t nn x d yd ．4．若2sin x y =，则)(2x d dy． 5．若已知yx e xy +=，则dxdy． 6．=')(sin xx ．7．='+)1(xx ．8．设)1ln(ax y +=，a 为非零常数，则='y ，=''y ．9．已知t e x tsin =，t e y tcos =则==2πt dxdy ．10．已知)0()(≠='K Ke x f x，则)(x f y =的反函数的二阶导数=22dyxd ．三、计算下列各题（每题10分，共60分）．1．1ln 44+=xx e e y ，求0='x y ． 2．设0tan ln arcsin 2=+-y e y x x ，求40π==y x dxdy ．3．设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2arcsin 22tancos t y t t x t ，求0=t dx dy ．4．设txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→，求)(t f '．5．设⎩⎨⎧==-tt e y te x ，求dx dy ，22dx yd ． 6．设函数⎩⎨⎧>+≤=0,2sin 0,)(x b x x e x f ax ，且)0(f '存在，求b a 、． 四、（５分）求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy ．五、（５分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(2x x xx x f ，试讨论)(x f '在0=x 处的连续性．。
《高等数学》测试题和答案自测题一答案 (6)
自测题六一、 判断题（将“√”或“×”填入相应的括号内）．（每题2分，共20分）．1．以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(为顶点的三角形为是等边三角形（ ）．2．方程042222=+-++y x z y x 代表一个空间球面（ ）．3．方程0943=+-y x 代表一个空间柱面（ ）．4．方程122222=-+z y x 代表一个旋转曲面（ ）．5．极限y x xy y x +→→00lim 存在（ ）． 6．若函数),(y x f z =在点),(000y x P 处连续，则在该点处有极限（ ）．7．若函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数存在，则函数必在该点连续（ ）．8．若函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数存在且连续，则函数在该点可微（ ）．9．),(y x f z =的两个混合偏导数xy z y x z ∂∂∂∂∂∂22,未必相等（ ）． 10．二元可微函数),(y x f z =的极值点只能是使0=∂∂=∂∂yz x z 的点（ ）． 二、单项选择题（每题2分，共20分）．1．平面2=y ( )．（A ）垂直于xoz 面； （B ）平行于xoy 面；（C ）平行于xoz 面； （D ）平行于oy 轴． 2．方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面是( )． （A ）椭圆抛物面； （B ）双叶双曲面； （C ）单叶双曲面； （D ）椭球面.3．下列各组函数中，定义域相同的是( )．（A ）2211ln yx z --=与2211y x z --=； （B ）2211y x z -+-=与y x z arcsin arcsin +=；（C ）221111y x z -+-=与2222)1()1(y x z -+-=；（D ）3-+=y x z 与922-+=y x z ．4．二元函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是xOy 平面上的区域( ). （A ）x y y x 4,1222≤≤+；（B ）0,4,122222≠+≤<+y x x y y x ；（C ）x y y x 4,1222<<+；（D ）0,4,122222≠+<≤+y x x y y x . 5．空间曲线⎩⎨⎧+==++Γ.,2:22222y x z z y x 在xOy 面上的投影为（ ）． （A ）222=+y x ； （B ）122=+y x ； （C ）⎩⎨⎧==+.0,222z y x ； （D ）⎩⎨⎧==+.0,122z y x ． 6．函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(),,(00'00'y x f y x f y x 存在是该点连续的( ).（A ）充分条件而非必要条件； （B ）必要条件而非充分条件；（C ）充分必要条件； （D ）即非充分条件又非必要条件．7．若),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数存在，则在该点（ ）．（A ）有极限； （B ）连续； （C ）可微； （D ）有切线．8．已知2)()(y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则a 等于( ). （A ）1-； （B ）0； （C ）1； （D ）2．9．函数221y x z +-=的极值点是( ).（A ）驻点； （B ）不可微点；（C ）间断点； （D ）可微但全微分不为零的点．10．可使y x yx u -=∂∂∂22成立的函数是( ). （A ）;2122xy y x u += （B ）;52122-++-=y x e e xy y x u （C ）;2122xy y x u -= （D ）234xy y x xy u -+=． 三、填空题（每题4分，共20分）． 1．过点)3,0,0(),0,2,0(),0,0,1(C B A 的平面方程为.2．锥面02222=-+z y x 和平面2=y 的交线是. 3．=+-+→→yx xy y x 11lim 00. 4．方程z y y x =确定了函数),(y x z z =，则=∂∂⋅∂∂y z x z ． 5．设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则.______)1,1,0('=-x f四、计算题（每题10分，共30分）．1．设,n z y x z y x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=求.,,du z u x u ∂∂∂∂ 2．求函数xy z =在区域122≤+y x 上的最值．3．某地两个工厂共同生产同种产品供应市场，各厂产量分别为y x ,单位时，成本函数分别为7032,181622221++=++=y y C x x C ．已知该产品的需求函数为p Q 4130-=，其中p 为售价，且需求量即为两厂的总产量．求使该产品取得最大利润时的总产量、各工厂产量、产品售价及最大利润．五、证明题（10分）．设方程0),(=y x F 确定隐函数)(x f y =，且),(y x F 存在二阶连续偏导数，证明32'222)()(2)(d d y x yy y x xy y xx F F F F F F F F x y ''''-'''+'''-=.。
《高等数学》(指导书)附录1自我测试题参考 答案
314 附 自我测试题参考答案第一章A 级自测题一、选择题1．D ． 2．C ． 3．D ． 4．B ． 5．C ． 6．A ． 二、填空题1．[1,)+∞． 2．()x ϕ(,0]x ∈-∞． 3．6e ． 4．2e -． 5．5n =． 6．1-．三、1．1-． 2．1023⎛⎫⎪⎝⎭． 3．1． 4．4． 5．ln2．四、0x =是()f x 的第一类间断点中的跳跃间断点，1x =是()f x 的第二类间断点中的无穷间断点． 五、2a =，1b =．六、1．证明 用单调有界准则证明．由于1111111n nn n k k x x n k n k ++==-=-+++∑∑=11121221n n n +-+++=102(21)(1)n n >++，其中1,2,n =．所以{}n x 单调增加．又11111nnn k k x n k n===≤=+∑∑，所以{}n x 有上界，根据单调有界准则知{}n x 收敛．证毕．2．证明 设()1cos f x x x =++，显然（1）()f x 在闭区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续； （2）2f π⎛⎫- ⎪⎝⎭=12π-+=102π-<， 2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭=12π+0>，所以由零点定理知()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内至少有一个零点，即1c o s 0x x ++=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内至少有一个根．证毕．B 级自测题一、选择题1．A ． 2．C ． 3．D ． 4．D ． 5．B ． 6．D ． 二、填空题1．2,11, 1x x x +<-⎧⎨≥-⎩． 2．1． 3．2． 4． 1x =，1x =-． 5．2a =，b 任意．三、1．1． 2．． 3． 1． 4． 2e ． 5． 6． 6．14． 7． 1． 四、当0a >时，()f x 在(,)-∞+∞内连续；当0a ≤时，()f x 在(,0)(0,)-∞+∞内连续，在点0x =处间断．五、1．证明:因为130,2x <<设30,2n x <<又1n x +(3)3,22nn x x +-=即 301.2n x <+<下证1n n x x +>.,n x 亦即01n x +<32<.成立所以1n n x x +>.由单调有界定理知数列{}n x 有极限.设lim .n n x A →∞=对1n x +A =解得123,02A A ==(舍掉).2．证明 设221121()1n n n f x x a xa x --=+++-．则(0)10f =-<，则对于1n >，由于 lim ()x f x →+∞=+∞，则0,0M X ∀>∃>，当x X >时，有()0f x M >>，现任意取一点0x ，使0x X >，则0()0f x >．所以()f x 在0(0,)x 上连续且0(0)()0f f x ⋅<，根据零点定理可知，()0f x =在0(0,)x内至少有一315个实根，从而()0f x =在(0,)+∞内至少有一个实根；同理可证()0f x =在(,0)-∞内至少有一个实根．即方程 22112110n n n x a x a x --+++-=至少有两个不同实根．证毕．第二章A 级自测题一、选择题1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．A ． 5．B ． 二、填空题1．1． 2．高阶无穷小． 3．1!(1)(1)n n n x +-⋅+．4．1(1)42y x π-=-，2(1)4y x π-=--． 5． 三、()f x 在区间[,ln3)2π-，(ln 3,3)上连续且可导，在ln3x =处不连续，不可导．四、1．2．d y x, y ''．3． 32(270)cos (30720)sin x x x x x ----． 4． ()()e (e )e (e )e ()f x x x x f x f f f x ''⋅⋅+⋅⋅． 5．4(1)(15)(1)x x x --+．6． 31e 2t --．7. sin()1sin()x y x y +-++，3[1sin()]yx y -++ ．五、1．证明 由于()()()()()l i ml i m l i m ()x a x a xaf x f a x a x f a x x ax aϕϕ→→→--'===--，又()x ϕ为连续函数则有lim ()()x ax a ϕϕ→=．故()()f a a ϕ'=．证毕．2．证明d d d d d d y y tx t x=，22d d d d d d d d d d d d d d d d y y y t y x x x t x x t x ⎛⎫⎛⎫⎛=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝（1）其中2d d d d d d d d d d y y t x t t t ⎛⎫== ⎪⎝⎭， （2）其中2d d (sec )sec tan d d 1xt t t t t x ===-， （3） 将（3）代入（2）得22d d d d d d 1y y xt x t x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭．（4）将（4）代入（1）得22222d d 1d d 1y y x t x =-将d d yx ，22d d y x 代入原方程得222d 0d y a y t+=．证毕． B 级自测题一、选择题1．D ． 2．B ． 3．D ． 4．B ． 二、填空题1．!n ． 2．34π．3．sin n n θ．316 三、1．y '=231[(1(1]27x -⋅⋅．2．2(1tan )ln(sec )d x x x x x x+．3．21[(ln )(ln )]f x f x x '''-． 4．1011011100!100!3(4)(1)x x ⎡⎤-⎢⎥--⎣⎦．5． 1(ln )ln(ln )ln x x x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．6．11e [cot ]22(1e )xxx x -++- 7．sin e cos 2t t t ， 3e (cose e sine cose )4t t t t t t t t --． 8．3(1)f f '''-．四、(3)25()()3[()][()]f x f x f x f x '''--'．五、1．证明 用数学归纳法．当1n =时，11112d d 1e e e d d n n x xx n x x x x -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立．假设当自然数n k ≤时，公式都成立，即1111d (1)e e d n n n x xn n x x x -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭．那么，当1n k =+时 111d e d k k xk x x ++⎛⎫ ⎪⎝⎭=1d d e d d k k xkx xx ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=1112d e e d k k k x x k kx x x --⎛⎫- ⎪⎝⎭ =111121d d d e e d d d kk k k x x kk k x x xx x ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1111(1)d (1)e e d k k x x k kk x x x -+⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ =1111112(1)(1)(1)e e e k k k x x xk k k k k x x x ++++----+=112(1)e k x k x++-．即当1n k =+时，等式也成立．2．证明 由于对任何(,)x y ∈-∞+∞、有()()()f x y f x f y +=⋅．取0y =，则有()()(0)()[1(0)]0f x f x f f x f =⋅⇒-=．由x 的任意性及(0)1f '=，知(0)1f =．所以对任何(,)x ∈-∞+∞有()f x '=0()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆=0()()()lim x f x f x f x x∆→∆-∆=0()[()1]lim x f x f x x ∆→∆-∆=0()[()(0)]lim x f x f x f x∆→∆-∆=()(0)f x f '⋅=()f x ． 3. 证明:利用参数形式所表示的函数的求导公式.得d (cos cos sin )tan .d (sin sin cos )y a t t t t t x a t t t t -+==-++曲线在对应于参数t 点处的法线方程为(sin cost)cot ((cos sin )),y a t t t x a t t t --=--+简化后为cos sin 0t x t y a ⋅+⋅-=，法线到原点的距离为22d ||co sin aa r t t==+.第三章A 级自测题一、选择题1．B ． 2．C ． 3．D ． 4．D ． 5．D ． 二、填空题1．12ξ=． 2．1-． 3．2e π． 4．16 ；0． 5．12．317三、1．12 2． 16． 3． 在1(,1],52⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦及上单调减；在11,[5,)2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦及上单调增．在15x x =-=及处取得极小值，分别为(1)0f -=及(5)0f =，在12x =处取得极大值12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．(,1)-∞-与(1,1]-是曲线的凸区间；[1,)+∞是曲线的凹区间．(1,0)是拐点．5．2356ln 11(1)(1)(1)23!x x x ξ+-+-+-四、用反证法, 假设()f x 在[0,1]上有两个零点12,x x , 不妨设12x x <,则()f x 在区间12[,]x x , 满足罗尔定理条件, 于是至少存在一点12(,)(0,1)x x ξ∈⊂,使得()0f ξ'=, 而当(0,1)x ∈时, 2()330f x x '=-<,这与()0f ξ'=矛盾, 故假设不成立, 命题得证.五、先证存在性.令()()1,F x f x x =+-则()F x 在[0,1]内连续,且(0)(0)10,(1)(1)0.F f F f =-<=>由闭区间上连续函数的零点定理知,存在(0,1)ξ∈,使()0,F ξ=即ξ为方程()1f x x =-的实根.唯一性(用反证法证)若()1f x x =-在(0,1)内有两个不等实根1212,(01)x x x x <<<,即1122()1,()1f x x f x x =-=-.对12(),]f x x x 在[上利用拉格朗日中值定理,至少存在一点12(,)(0,1)x x ξ∈⊂,使得21212121()()(1)(1)() 1.f x f x x x f x x x x ξ----'===---这与题设条件()1f x '≠-矛盾.唯一性得证.证华.六、提示:构造辅助函数()ln ()F x f x =, 对()F x 在[,]a b 用拉格朗日中值定理即可证.七、设224()ln e x x x ϕ=-，2e e x <<，则2ln 4()2e x x x ϕ'=-，21ln ()2xx x ϕ-''=，所以当e x >时，()0x ϕ''<，故()x ϕ''单调减小．从而当2e e x <<时，22244()(e )0e ex ϕϕ''>=-=，即当2e e x <<时，()x ϕ单调增加．因此当2e e a b <<<时，()()b a ϕϕ>，即222244ln ln e e b b a a ->-．故2224ln ln ()eb a b a ->-．八、设切点的坐标为(,)P x y ,切线方程为2(4)2()Y x x X x --=--,即221442X Yx x x+=++.故所求三角形面积为2232214116116()(4)8, ()=38,2244x S x x x x S x x x x x ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫'=+=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3132()64S x x x ⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭. 由22116()3804S x x x ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭,得x0S ''>,,当x 时,83y =,故所求点P为83⎫⎪⎭. B 级自测题一、选择题1． C ． 2．D ． 3．D ． 4．C ． 5．C ． 二、填空题1．1 680． 2．12-； 3．1． 4．11(1),en n +-+- ． 5．1[1,e ]e ．三、1．14 2．21()2[()]f a f a ''-' 3. 112- 4．单调增加区间(,1)-∞和(3,)+∞, 单调减少区间(1,3)，(,0)-∞是凸的, (0,1)和(1,)+∞是凹的，极小值318 3274x y ==, 拐点(0,0), 铅直渐近线:1x =, 斜渐近线: 2y x =+． 5．7a 四、()f x 在[,]a b (0)a b <<满足拉格朗日中值定理, 从而存在一点(,)a b ξ∈, 使()()()()f b f a f b a ξ'-=-, 故问题归结为2()()()f b f a f b a abηη-'=-,即2()()()()111f b f a f f b a ηηηη'-'==---上式只要()f x 和1()g x x=在[,]a b 上应用柯西中值定理即可得到所要证明的结果．五、证法1 设2e()e (1)2x f x x =-+,显然()f x 在[1,)+∞上连续且可导，()e e x f x x '=-，在[1,)+∞上连续且可导，在[1,)+∞上有()e e 0x f x ''=->，所以()f x '单调递增，当1x >时,()(1)0f x f ''>=，从而有()f x 单调递增，所以1x >时,()(1)0f x f >=，即2ee (1)2x x >+.证法2 设()e t f t =，2()g t t =，显然它们在[1,]x 上满足柯西中值定理条件，所以有 2e e ()(1)()e 1()(1)()2x f x f f x g x g g ξξξξ'--==='--, 1x ξ<<.再令e ()x x x ϕ=，显然()x ϕ在[1,)+∞上连续且可导,2(1)e ()0xx x x ϕ-'=≥．所以()x ϕ在[1,)+∞单调递增．当1x >时,()(1)e x ϕϕ>=．故在1ξ>时有e ()e ξϕξξ=>，即2e e (1)2x x >+.证法3 展开()e x f x =为1x =点处带拉格朗日余项的二阶泰勒公式23e e e e e(1)(1)(1)2!3!xx x x ξ=+-+-+-, 1x ξ<<，所以 22e ee e e(1)(1)(1)2!2x x x x >+-+-=+.六、证明 (1)令()()x f x x Φ=-,显然它在[0,1]上连续, 又(1)(1)110f Φ=-=-<, 11()022Φ=>,根据零点定理知存在1(,1)2η∈, 使()0ηΦ=, 即()f ηη=.(2)令()()[()]xx F x e x e f x x λλ--=Φ=-, 它在[0,]η上满足罗尔定理的条件, 故存(0,)ξη∈, 使()0F ξ'=, 即{()[())]1}0e f f λξξλξξ-'---=, 故()[())]1f f ξλξξ'--=．七、证明 对()f x 在[0,](0)x x >上利用拉格朗日中值定理, 并注意到()0f x k '≥>, 有()(0)()(0)f x f f x kx x ξξ'-=≥<<，()(0)(0)f x f kx x ξ≥+<<，于是lim ()x f x →+∞=+∞. 故存在00x >,使得 0()0f x >，又(0)0f <, 由零点定理知, 存在0(0,)(0,)x ξ∈⊂+∞, 使得 ()0f ξ=；再由 ()0f x k '≥>知, ()f x 单调增加, 因此, ()f x 不可能有第二个零点, 故方程()0f x =在(0,)+∞内有唯一的实根.八、由[0,2](1)min ()x f f x ∈=，可知(1)f 是()f x 在[0,2]上的最小值．又()f x 在(0,2)内可导，从而有(1)0f '=．由于()f x 在(0,2)内有三阶导数，所以有231(1)()(0)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!f f f f f ξ''''''=+-+-+-， 101ξ<<，231(1)()(2)(1)(1)(21)(21)(21)2!3!f f f f f ξ''''''=+-+-+-，212ξ<<． 于是121(2)(0)[()()]13!f f f f ξξ''''''-=+=,即12()()6f f ξξ''''''+=．由()f x '''的连续性可知， ()f x '''在12[,]ξξ上有最大值M及最小值m，于是12()()2f fm Mξξ''''''+≤≤．再由连续函数的介值性定理知，至少存在一点12(,)(0,2)ξξξ∈⊂，使12()()()32f ffξξξ''''''+'''==．第四章A级自测题一、选择题1．B． 2．C． 3．B． 4．D． 5．B．二、填空题1．()f x C=．2．x C+． 3．31e3x C+．4．ln csc cotx x C-+．5．()e xf x C+．三、1．1722ln72x C+．2．cos secx x C-++．3．101(41)40x C-+．4．ln1xCx x--+．5．5222152x x x C+--．6．ln(1x C-+．7．csc cot22x xC-+．8．C．9．213ln2(22)2(1)2x ln x x arctg x C++++-++. 10．2111)]2C++．11．311ln tan3cos cos2xCx x+++． 12．222ln1ln2(1)41x xCx x-++++．四、111()d()d[()]f x x xf x x f x---=-⎰⎰，令1()t f x-=，然后积分111()d()d[()]f x x xf x x f x---=-⎰⎰1()()xf x f t dt-=-⎰1()()xf x F t C-=-+11()[()]xf x F f x C--=-+．B级自测题一、选择题1．A．2．C．3．C．二、填空题1．162e(7)12xx--+．2．22e(21)x x C---+．三、1．arcsin e ex C+．2．[sin(ln)cos(ln)]2xx x C++．3．21arctan(1)2x C++．4．1111sin2sin4sin6481624x x x x C++++．5C+．6．71ln17x C--++．7．ln1ee1xxxC---+++．8．e ln(e1)ln(e1)x x x C---+-++．9．2e C．10．12C-．319320 1111ln 21x C x-++． 12ln x C +．13．2C ．14．1tan 22C x -++． 四、2112dcos cos cos (1)d sin sin sin n n n n x x xI n x x x x+++=-=--+⎰⎰12cos d d (1)(1)sin sin sin n n n x x x n n x x x ++-=-+++⎰⎰， 21cos (1)(1)sin n n n xn I n I x++=--+++，从而，21cos (1)sin 1n n n x nI I n x n ++-=+++，1n =，2，． 五、先分别在(,1)-∞和(1,)+∞内求原函数21221,1()2,1x x x C F x x x C ⎧≤++⎪=⎨>⎪+⎩，由于()f x 在1x =处连续，因此，原函数()F x 在这点有定义且连续，从而得(1)(1)F F -+=，即12312C C +=+，211122C C C =+=+．故221,12()d 1,12x x C x f x x x x C⎧++⎪≤⎪=⎨>⎪++⎪⎩⎰． 六、提示22tan (sec 1)d n n I x x x -=-⎰．第五章A 级自测题一、选择题1．D ． 2．A ． 3．B ． 4．D ． 5．C ． 二、填空题1．13． 2．ln2 3．4π-π． 4．22(e 1)+． 5．32a π．三、1．1-． 2．0 3．1,0,2a b c ===-．或1,0,0a b c ≠==．4．sin , 02()1,22x x x c x x π⎧≤≤⎪⎪Φ=⎨ππ⎛⎫⎪+-<≤π ⎪⎪⎝⎭⎩，()x Φ在[0,]π上连续．5．1arctan 2． 6．e 12-． 7．2a． 8．π． 四、1．94． 2．12a π，22a π，12ln 22a ⎛⎫-π ⎪⎝⎭． 3．0x=2(3a π，032y a =．五、证明 根据积分中值定理得，存在1(0,)a ξ∈与2(,)a b ξ∈满足()d ()d a bab f x x a f x x -⎰⎰=12()()()b af a b a f ξξ⋅-⋅-=2122[()()]()ab f f a f ξξξ-+0>，（由()0f x >且递减）．即得 0()d a b f x x >⎰()d baa f x x ⎰．B 级自测题一、选择题3211．D ． 2．D ． 3．B ． 4．B ． 5．B ． 二、填空题1．2x ． 2．3． 3．163． 4．444b a -． 5．22a π．三1．316π． 2．1(16． 3．22π+． 4．22ln2-． 5．5221e e 2-．6．2ln 2x．四、1．54a =，b =16-，0c =． 2．45πm/m in ．五、1．若令2x t =，则2221d aa x f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=221a a f t t ⎛+ ⎝⎰=22211d d []2a a a a ta t f t f t t t t t ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰．而若令2a u t=，22d a a a t f t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=22122a a u a f u du u a u ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰=21d a a xf u u u ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰．于是证得左边=右边．2．证法1 由于()()d b af x h f x x h +-⎰=11()d ()d b ba af x h x f x x h h +-⎰⎰． 令x h u +=，则1()d b a f x h x h +⎰=1()d b ha hf u u h ++⎰于是()()d b af x h f x x h +-⎰=11()d ()d b h ba h af x x f x x h h ++-⎰⎰ =11()d ()d b h a hb af x x f x x h h ++-⎰⎰． 由积分中值定理与()f x 的连续性可知01lim ()d ()b h b h f x x f b h +→=⎰，01lim ()d ()a hah f x x f a h +→=⎰．原题得证． 证法2 0()()l i m d ba h f x h f x x h→+-⎰=0()d ()d lim b h ba h ah f x x f x x h ++→-⎰⎰ =[]0lim ()()h f b h f a h →+-+=0．即0()()lim d ()()ba h f x h f x x fb f a h→+-=-⎰．3．当1x ≥时，221'()0()f x x f x =>+．，故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加．又(1)1f =，则当1x ≥时，()1f x ≥．于是()(1)f x f -=1'()d x f x x ⎰=2211d ()xx x f x +⎰211d 1xx x ≤+⎰=arctan 4x π-24ππ≤-=4π， 得()14f x π≤+．由于()f x 在区间[1,)+∞上单调增加且()14f x π≤+，根据单调有界定理知lim ()x f x →+∞存在且有lim ()x f x →+∞14π≤+． 第六章A 级自测题一、选择题1．C ． 2.C ． 3.D ． 4.A. 5. B.322 二、 填空题 1．263-；23.2. 29100y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩.3. 以原点为圆心，2为半径的圆周；以224x y +=为准线，母线平行于z 轴的圆柱面．4. 4370x y z --+=.5. 321421x y z -+-==-．三、8)-四、(,)3π=a b五、225400x y xy x z ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩；2252400x z xz x y ⎧+--=⎪⎨=⎪⎩；22200y z y z x ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩六、8550x y z -++=七、21051,,333P ⎛⎫- ⎪⎝⎭八、θ=，174710,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭.九、20451330x y z --+=或20451190x y z ---=． 十、12212x y z -+==- B 级自测题一、选择题1．D ． 2.C ． 3.C ． 4.C ． 5.C ． 二、填空题1．2. 2.15-. 3.22221x z a c +=，z ；22221y z a c+=，z ．4.23435x y z -+==-. 5.0.x y z -+=． 三、13λ=±，23μ=±，148,,333⎛⎫=± ⎪⎝⎭d ．四、123121x y z -+-==-- 五、44133122y z x ++-==-；1d =. 六、952002590x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩七、过l 作平面1π垂直平面π，则1π过点(1,0,1)且法向量n 垂直于l 的方向向量(1,1,1)-及π的法向量(1,1,2).- 即111(1,3,2).112=-=---ij kn 1π的方程为(1)32(1)0x y z ----=，即3210.x y z --+=从而0l 的方程为210,3210.x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩ 消去z 得2x y =，消去x 得210.y z +-=0l 的对称式方程为12.1212z x y -==- 设0l 绕y 轴旋转所成的旋转面上323的点(,,)X Y Z 是由0l 上的点(,,)x y z 绕y 轴旋转而得到的，故2222,.Y y X Z x z =+=+又0l 上的点(,,)x y z 满足2,1(1),2x y z y =⎧⎪⎨=--⎪⎩故222214(1).4x z y y +=+-即曲面方程为 222214(1)4X Z Y Y +=+-，即2224174210.X Y Z Y -++-=仍用(,,)x y z 表示旋转面上的点，得方程为2224174210.x y z y -++-=八、解:设点M 的坐标为000(,,)x y z ,则曲面在点M 处的法向量000(2,4,6)x y z =n ,故过点M 的切平面方程为0000002()4()6()0x x x y y y z z z -+-+-=,即0002321.x x y y z ++=由于切平面过直线6321212x y z ---==-,故直线的方向向量(2,1,1)=-s 与n 垂直,即0002230x y z +-=,①.且点16,3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在切平面上,故000366212x y z ++=,②.又点M 在曲面上,即222002321x y z ++=,③.由①②③可得220002,29z x y =+=,所以,0001,2, 2.x y z === 故所求的切平面方程为4621.x y z ++=第七章A 级自测题一、选择题1．B ． 2.D ． 3. A ． 4. B ． 5.B ． 二、填空题1．{}(,)0,2(21),0,1,2,x y x n y n n ≥π≤≤+π=±±{}(,)0,(21)(22),0,1,2,x y x n y n n ≤+π≤≤+π=±±2.2(,)2x xy f x y -= 3．2{1,2,2}9- 4.22eπ 5.122211x y z -++==-三、1．11e z y z x -∂-=∂-，e 1e z y z yz y --∂-=∂- 2.34θπ=. 3．极大值,36z ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4．2122222z f xg xyg g x y ∂'''''''=-+++∂∂.5．23250x y ++-=，2323x y --=. 四、因为u u x u y u z r x r y r z r ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂sin cos sin sin cos u u ux y zθϕθϕθ∂∂∂=++∂∂∂10uu u x y z r x y z ⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭， 因此，u 与r 无关.五、． 六、1.3x y z ++=七、223()z xzx y y x z ∂=∂∂+ 八、221()yf x y - B 级自测题一、选择题1．B ． 2.C ． 3.D ． 4.B ． 5.B ． 二、填空题1．d d .z x y = 22-324 3.arctan 122ln x y y z y y yx y x x y -⎛⎫∂=+ ⎪∂+⎝⎭，arctan 22ln 1ln arctan xy yz x y x x x y y x yy y ⎛⎫∂-=++ ⎪∂+⎝⎭. 4．⎧⎪⎨⎪⎩ 5．0. 三、1． 1.-2．214u v x uv ∂-=∂+，114v y uv∂=∂+. 3.(3,4)125z -=，(3,4)75z -=-4．d d y x y z x x y y zf g f g h uf xg gh ''''''=-+'''5．在点(2,0,1)-取极小值1z =;在点168,0,77⎛⎫- ⎪⎝⎭取极大值87z =-.四、2u y yx x x ϕψψ∂''=-+-∂， 2222223422334322u y y y y y y y y x x x x x x x x x ϕϕψψψϕϕψ∂''''''''''''=+-++=++∂，(1) 2232232u y y y yx y x x x x x x x xϕψψϕϕψϕψ''''∂''''''''=--+--=---∂∂，(2) 1u y x ϕψ∂''=+∂，22211u y x x ϕψ∂''''=+∂ (3) 将22(1)(2)2(3)x xy y ⨯+⨯+⨯即得所证的等式. 五、5, 2.a b =-=-，七、设曲面上任一点(,,)M x y z 的法向量12122()(),,()f f f x a f y b z c z c z c ''''⎧⎫-+-=-⎨⎬---⎩⎭n ，这样，过任意点(,,)M x y z 的切平面方程为 12122()()()()()0()f f f x a f y b X x Y y Z z z c z c z c ''''-+--+---=---，即 1212()()()()[()()]()0z c f X x z c f Y y f x a f y b Z z ''''--+----+--=，这样，对曲面上任意点(,,)M x y z ，取(,,)(,,)X Y Z a b c =均能使上式恒满足，故切平面都通过定点(,,)a b c .八、令u tx =，v ty =，w tz =，则u x t ∂=∂，v y t ∂=∂，w z t∂=∂，将关系式 (,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =两边对t 求偏导，得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t-∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂，即 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂ 将上式两边同乘以t ，得 (,,)k f f f tx ty tz kt f x y z x y z ∂∂∂++=∂∂∂ ，即(,,)f f fu v w kf u v w x y z ∂∂∂++=∂∂∂将,,u v w 分别换写成,,x y z ，得 (,,)f f fxy z kf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂． 第八章A 级自测题一、选择题1．C ． 2.C ． 3. D ． 4. A ． 5. C ． 二、填空题3251.202d (,)d d (,)d .a aa I x f x y y x x y y =+⎰⎰2. 132I I I <<．3.2sec 40d d (cos ,sin ,)d .f z z θρθρρρθρθπ⎰⎰⎰4. 8(,).25a a -5.()24222R I R R e π⎡⎤=-+-⎣⎦．三、1.1(1cos1)3- 2.11(1e )2--3.1)6π4.648a 5.4π四、412π．五、ln 22π．六、证明：先利用球面坐标计算(),F t 再求极限．222220()d d ()sin d 4()d ,t tF t f r r r f r r r θϕϕπππ==⎰⎰⎰⎰2222055400022004()()4()lim lim lim 54()4()44lim lim (0).5555tt t t t u f r r dr F t f t t t t t f t f u f t u +++++→→→→→ππ==ππππ'====⎰七、21()Gm R R μπ-八、以圆柱体与半球底面重合的平面为xOy 平面，底面圆心为原点建立空间直角坐标系（半球位于z 轴正向），则圆柱体可表示为：222,0x y R H z +≤-≤≤，半球体表示为：2222,0.x y z R z ++≤≥设此几何体的体密度为,ρ根据题意，其重心坐标中1d z z MρυΩ=⋅⎰⎰⎰02232023d d d d d sin cos d 023RRHz z r r r rR H R θϕθϕϕπππ-+==π+π⎰⎰⎰⎰⎰⎰整理可得224024R H R ππ-+=，即.H ．B 级自测题一、选择题1.C ．2.D ．3.C ．4.B ．5.A ． 二、填空题1.1320d (,)d .y I y f x y x -=⎰2.1sin1-.3.23202cos d d .p p θθπ⎰⎰4.sin 222sin 06d sin d ()d r f r r θφθφφπππ⎰⎰⎰． 5.2222(,)sin()1f x y x y π=++-π． 三、1.2.92.21)32π+．3.4.3 4.316a π.．四、3(2cos )3R π-．五、5123π． 六、49()4e e -．七、12cm ．八、ln 2210()()d d d ()d xye x D I t x t x y x x t y =-=-⎰⎰⎰⎰ 223121(e 1)e ,299t t =-+++由326 21()2(e 1)0,2I t t '=-+=得2e 1,4t +=由()20I t ''=>可知，2e 14t +=时()I t 最小． 第九章A 级自测题一、选择题1.D ．2.B ．3.C ．4.D ．5.A 二 、填空题1.π2.4π3.18π4.3π5.246++i j k三、1.212n a +π 2.44R π 3.3R π 4.33221()3x y xy x y C --++ 5.3-π四、8π．21)t t -．． 七、()e x f x =．八、证明 由高斯公式可知 2222d d d d (1)d d x yz y z xy z z x xyz z x y ∑-++⎰⎰(12)d d d 2d d d xyz x y z V xyz x y z ΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于Ω关于xOz 平面对称, xyz 是区域Ω上关于y 的奇函数, 故有d d d 0xyz x y z Ω=⎰⎰⎰．所以等式成立．B 级自测题一、选择题1.A ．2.D ．3.C ．4.A ．5.D 二、填空题1.12.a 2.32π．3.(,,)d Q x y z y S ∑⎰⎰4.3(2.R π5.23三、1.π 2.22a π 3.32222a a b ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 4.-π． 5.1:7:2．四、24-． 五、2π．六、ξηζ. 七、32π． 八、证明: (1) 由格林公式, 有sin sin sin sin d d ()d d y x y x LDxe y ye x e e x y ---=+⎰⎰⎰，sin sin sin sin d ed (e e )d d yxy x LD xey y x x y ---=+⎰⎰⎰，由轮换对称性, 有sin sin sin sin ed de d d ,e d d e d d yx y x DDDDx y x y x y x y --==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，因此sin sin sin sin ed ed e d e d yxy x LLx y y x x y y x ---=-⎰⎰．(2) 由(1)知sin sin sin sin e d e d (e e )d d y x y x LDx y y x x y ---=+⎰⎰⎰sin sin (e e )d d 2d d x x DDx y x y -=+≥⎰⎰⎰⎰．327第十章A 级自测题一、选择题1. A ．2.B ．3.C ．4.D ． 二、填空题1.1a >2.R ， ()s x '．3.[2,2)-．4.22π 三、 1.收敛且其和为112． 2.当1p >时, 级数收敛; 当01p <≤时, 级数发散. 3.当2a >时, 级数收敛; 当02a <<时, 级数发散, 当2a =时, 级数可能收敛也可能发散. 4.绝对收敛．四、1.(2,0]-． 2.11ln(),(11)21xx x+-<<-.五、1.101(1)1(1),(02)32n n n n x x ∞+=⎡⎤--+-<<⎢⎥⎣⎦∑．2．11(1)!n n nx n ∞-=+∑，（x -∞<<+∞，0x ≠），11(1)!n nn ∞==+∑．3．20211(1)()cos 112cos 2n n n n a f x a nx nx nπ∞∞==-=+=++∑∑，x -∞<<+∞．六、证明 因为级数1n n a ∞=∑，1n n b ∞=∑都收敛，故级数1()n n n b a ∞=-∑收敛，又因为n n na ub ≤≤⇒0n n n n u a b a ≤-≤-，由比较审敛法可知正项级数1()n n n u a ∞=-∑收敛，而()n n n n u a u a =+-，故级数1n n u ∞=∑也收敛．B 级自测题一、选择题1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．B ． 5．C ． 二、填空题1.32a >．2.4R =．3.244(1)(1) ()x x x +-+--∞<<+∞．4.23π三、收敛． 四、条件收敛．五、231(3)11(1)x x x x ---++，（1x <）． 六、53ln 284-． 七、112S =，21ln 2S =-． 八、1011(1),132n n n n x x ∞+=⎡⎤+-<⎢⎥⎣⎦∑．九、2218121cos ,[0,2](21)2n n x x n ∞=--π∈π-∑．十、1．证明 记() 1.n n f x x nx =+-当0x >时，'1()0n n f x nx n -=+>，故()n f x 在[0,)+∞上单调增加．而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>，由连续函数的介值定理知10n x nx +-=存在唯一正实根n x ．由10nnn x nx +-=与0n x >，知110n n n x x n n -<=<．故当1α>时，10.n x n αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭而正项级数11n n α∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，所以当1α>时，级328 数1n n x α∞=∑收敛．2. 证法1 由0()lim0x f x x→=得(0)0,(0)0,()f f f x '==在0x =的邻域内可展开为21()(0)(0)(),01,[,]2f x f f x f x x x θθδδ'''=++<<∈-，故21()(),(01)2f x f x x θθ''=<<．()f x ''在0x =的邻域(,)δδ-内连续，故在闭区间[,](,)ααδδ-⊂-上连续，因而()f x ''有界，即存在0M >，使(),[,]f x M x αα''≤∈-，即2(),[,].2M f x x x αα<∈- 因此对于0,0N α>∃>，当n N >时，有10n α<<，从而可得211()2M f n n <，故1n Nf n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，即11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑绝对收敛．证法2 由0()lim 0x f x x→=可得，(0)0,(0)0f f '==，由于()f x 在0x =的邻域内具有二阶连续导数，所以2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''===，从而20()1lim (0)2x f x f x →''=，由此得21()1lim(0)2n f nf n→+∞''=，因211n n∞=∑收敛，所以11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，即11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑绝对收敛．第十一章A 级自测题一、选择题1.C ．2.B ．3.B ．4.D ． 二、填空题1.1阶．2.()d ()d e (()e d )g x x g x xy f x x C -⎰⎰=+⎰，其中C 为任意常数． 3.2(12)e x y x =+．4.2121e 2x C C x x +--．三、1．1sin y x C=-+，此外还有解0.y =2.222(ln )y x x C =+．3.312x Cy y =+．此外，还有解0y =．4.12ln ||y C x C =+．5.12345()cos ()sin .y C C C x x C C x x =++++6.2121()e sin 28x y C C x x -=++．四、是全微分方程，方程通解为2(1e )C θρ+=．五、(03)y x <<．六、点(,())x f x 处的切线方程为()Y y y X x '-=-，令0X =，得截距Y y y x '=-，由题设得方程1()d x f t t y xy x '=-⎰，即20()d x f t t xy x y '=-⎰，两边对x 求导，得 2()2f x y xy xy x y ''''=+--，即0xy y '''+=，亦即()0xy ''=，1xy C '=，12()ln f x C x C =+即为所求的一般表达式．七、证明 把1211223()(1)()()()y x C C y x C y x C y x =--++代入原方程的右端得：1211223(1)()()()C C y x C y x C y x ''''''--+++1121()[(1)()P x C C y x '--1223()()]C y x C y x ''+++[]21211223()(1)()()()P x C C y x C y x C y x --++329又由于123(),(),()y x y x y x 为原方程的特解，故上式整理后等于()Q x ，因此，1211223()(1)()()()y x C C y x C y x C y x =--++是原方程的解，下面来证明它是原方程的通解，1211223()(1)()()()y x C C y x C y x C y x =--++ 可以写成[][]1212311()()()()()()y x C y x y x C y xy x y x =-+-+，由12(),(),y x y x 3()y x 为原方程的特解，因此, 2131()(),()()y x y x y x y x --便是相应齐次线性方程12()()0y P x y Px y '''++=的两特解，又2131()()()()y x y x y x y x -≠-常数，所以21()()y x y x -与31()()y x y x -线性无关，依据解的结构原理，原非齐次线性方程的通解为[][]1212311()()()()()y C y x y x C y x y x y x =-+-+1211223(1)()()()C C y x C y x C y x =--++ 证毕．八、证明 以21y f x x μ⎛⎫=⎪⎝⎭乘以方程的两边得21d d 0y y y f x f y x x xx ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 记2d y y P f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1d y Q f y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则231P y y y Qf f y x x x x x ∂∂⎛⎫⎛⎫'=--=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭， 从而d d 0x y y x μμ-=为全微分方程， 故μ为原方程的一个积分因子．证毕．B 级自测题一、选择题1．D ． 2．C ． 3．A ． 4．C ． 二、填空题1．0y y x ''--=． 2．331y x x =++．3．11ln 39y x x x =-． 4．12e (cos sin )e x x y C x C x =++．三、1．()22x y x C -+=， 2．322xy x y C --=． 3．25123e e e .x x x y C C C -=++4．2121(1)e 2x y x C x C =-++．5．121cos sin e sin 22x xy C x C x x =+++．6．4411e 4x x C y -=-++．四、()sin cos x x x ϕ=+．五、1e sin 2x y x x -=+．六、曲线()y y x =上点(,)P x y 的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，故它与x 轴的交点为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭，由于()0y x '>，又(0)1y =，所以()0y x >，于是有21122y y S y x x y y ⎛⎫=--= ⎪''⎝⎭ ，又20()d xS y t t =⎰．由关系式1221S S -=，得20()d 1x y y t t y -='⎰，对该方程两边关于x 求导并整理得2()yy y '''=，此方程是不显含x 的可降阶的高阶微分方程，令p y '=，则有d d y y x '''==d d d d d d p y pp y x y=，代入方程2(')yy y ''=得2d d p ypp y =，由于0p y '=>，所以有d d p y p y =，分离变量有d d ,p yp y=两边积分得1p C y =，即有1d ,d y C y x =于是12e ,C x C y +=并注意到(0)1,y =在方程2()d 1x y y t t y -='⎰中令0x =，得另一初值条件(0)1y '=，由此可得330 121,0,C C ==故所求的曲线方程为e x y =．七、6ln3．八、证明 因()(1)f x f x '=-, 求导得：[]()(1)(1)(1)1(1)()f x f x f x f x f x ''''=--=--=---=-, 即()()0f x f x ''+=，解之得其通解为12()cos sin f x C x C x =+，又由于()(1)f x f x '=-，因此，1212sin cos cos(1)sin(1)C x C x C x C x -+=-+-， 令0x =得212cos1sin1C C C =+，则112cos1(1sin1)1sin1cos1C C C +==-， 从而方程()(1)f x f x '=-的解为 11sin1()cos sin cos1f x C x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 证毕．九、证 （1）z f x ∂'=∂，z f y ∂'=∂,()222222zx f f x x y ⎫∂'''=+∂+⎝()2222x f f x y '''=++, 同理()222222zy f f y x y ∂'''=+∂+将22z x ∂∂与22z y ∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂中可得0f ''，即 ()()0f u f u u'''+=． （2）令()f u p '=，则d d p p u u =-，d d p u c p u=-+⎰⎰，ln ln p u c =-+，()c f u p u '== 因为(1)1f '=，1c =，2()ln ||f u u c =+，由(1)0f =得20c =，故()ln f u u =．。
高等数学测试题及答案1-9章全
高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、 选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（ ） Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值； Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值； Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在； Ｄ 如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（ ） .Ａ ln(2)x -； Ｂ 22x -； Ｃ 242x y x -=-； Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（ ）Ａ 2 ； Ｂ 1 ； Ｃ 0 ； Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=． 二、填空题5． 函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、 解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ； （2）221241lim 232x x x x →-+-； （3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解 （1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++； （2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ； （2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ； （2）314x →=； （3）x →∞=0； （4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩； 固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额． 解 （1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章 自测题一、 选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（ ）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（ ）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（ ）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（ ）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（ ）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（ ）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（ ）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（ ） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（ ）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则． 二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为 ． 解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间 上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ． 解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。
完整)高等数学练习题附答案
完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。
+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。
2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。
工科类本科《高等数学》第7-9章自测题参考答案
工科类本科《高等数学》第7,8,9章自测题参考答案一、填空题：1.极限00x y →→12- ；20tan()lim x y xy y →→= 2；0x y →→= -2 .解：利用等价无穷小量替换或根式有理化及重要极限求待定型的极限：00000111lim sin()2x x x y y y xy xy xy →→→→→→-+==-=-或 0000112lim 2x x y y xy xy →→→→-==-；222000tan()limlim lim 2x x x y y y xy xy x y y →→→→→→===；)()))00000111limlim lim 2121xyxyx x x x y y y y xyxyxye xye →→→→→→→→====-----或()000002limlim2112x x x x xy y y y y xy xyxy e →→→→→→→→====---.2.若22(,)22f x y x xy ax y =+++在点)1,1(-处取得极值，则a = -2 . 解：依题意，有(1,1)0,(1,1)0x y f f ''-=-=.而(,)42x f x y x xy a '=++， 于是，有(1,1)420x f a '-=-+=，解得 2.a =-3.函数2sin()z x xy =的全微分dz = 22222sin()cos()2cos()xy xy xy dx x y xy dy ⎡⎤++⎣⎦. 解：z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂，而222222sin()cos()sin()cos(),z xy x xy y xy xy xy x ∂=+⋅=+∂222cos()22cos()z x xy xy x y xy y∂=⋅=∂.故22222sin()cos()2cos()dz xy xy xy dx x y xy dy ⎡⎤=++⎣⎦. 4. 设函数44224z x y x y =+-，则此函数在点(1,1)处的全微分(1,1)dz = ()4dx dy -+ .解：(1,1)(1,1)(1,1)x y dz z dx z dy ''=+，而()3211(1,1)484x x y z x xy=='=-=-，()3211(1,1)484y x y z y x y =='=-=-，故()(1,1)4dz dx dy =-+.5.设22()z f x y =+，且()f u 可导，则z x ∂=∂()222xf x y '+，22z x∂=∂()()2222224f x y x f x y '''+++.解：()()222222zf x y x xf x y x∂''=+⋅=+∂， ()()()()2222222222222224zf x y xf x y x f x y x f x y x∂''''''=+++⋅=+++∂. 6. 设方程1xy xz yz ++=确定隐函数(,)z f x y =, 则z x ∂=∂ y z x y +-+ , z y ∂=∂ x zx y+-+ . 解：令(,,)1F x y z xy xz yz =++-，则(,,)(,,),(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z y z z x zx F x y z x y y F x y z x y''∂+∂+=-=-=-=-''∂+∂+. 二、单项选择题：1.设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020133:z y x z y x L 和平面0224:=-+-∏z y x ,则L 与∏（ D ）A. 垂直B. 平行C.L 在 ∏ 上D. 斜交解：直线L 有方向向量()()33210133271672110i j ks i j k i j k i j k =++⨯--==-+---，平面∏有法向量()4,2,1n =-，因为0,(s n n ks k ⋅≠≠为非零常数）， 所以s n 与既不垂直也不平行，故L 与∏斜交.2.已知k j i b k j i a+-=++=2,32，那么a 与b （ A ）A. 垂直B. 平行C. 夹角为030D. 夹角为060 解：因为()1122310a b ⋅=⨯+⨯-+⨯=，所以a b ⊥. 3. 已知函数22f x+y,x -y =x -y （），则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ C ）. （A ）22x y - (B) 22x y + (C) x y + (D) x y -解：因为()()22f x+y,x -y =x -y x+y x -y =（），所以(,)f x y xy =， 故(,)(,).f x y f x y y x x y∂∂+=+∂∂ 4. 设yz x =, 则dz =( A ).(注意分清对幂函数还是指数函数求导) (A)1ln y y yxdx x xdy -+ (B)11y y yx dx yx dy --+(C)1ln y y x xdx yxdy -+ (D)ln ln y y x xdx x xdy +5.曲线 t a x cos =，t a y sin =，amt z =，在 4π=t 处的切向量是 （ D ）.A ．)2,1,1( B.)2,1,1(- C.)2,1,1(m D.)2,1,1(m -解：曲线在4π=t 处有切向量()())44,,sin ,cos ,t t t t t s x y z a t a t am a a am ππ==⎛⎫'''==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 函数(,,)f x y z xy z =+在点(1,1,1)-处沿方向(2,1,2)l =-的方向导数为（ C ） A. 1； B.23； C. 13； D. 0. 解：所求的方向导数(1,1,1)(1,1,1)cos (1,1,1)cos (1,1,1)cos x y z l f f f f αβγ''''-=-+-+-. 而11(1,1,1)1,(1,1,1)1,(1,1,1) 1.x y z y x f y f x f =='''-==-==-= 又2213l =+=，从而212cos ,cos ,cos 333αβγ===-.故2121(1,1,1)1113333l f ⎛⎫'-=⨯+⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.7.二元函数ln()z xy =的全微分为（ A ）.A.dx dy x y +； B. dx dy xy +； C. dx dy y x+； D. dxdyxy . 解：全微分z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂，而1111,z z y x x xy x y xy y ∂∂=⋅==⋅=∂∂.故dx dydz x y=+ 三、证明题：1.设()F u z xy x =+，y u x =，()F u 为可导函数. 求证：z zx y z xy x y∂∂+=+∂∂. 证 因为2()()()()z y y y F u xF u y F u F u x x x ∂⎛⎫''=++⋅-=+- ⎪∂⎝⎭；1()()z x xF u x F u y x ∂''=+⋅=+∂. 所以 ()()()()()z z y xy x y F u F u y x F u xy xF u xy z xy x y x ∂∂⎛⎫''+=+-++=++=+ ⎪∂∂⎝⎭. 2. 设22()y f x y z -=， ()f u 为可导函数. 求证：211z z zx x y y y ∂∂+=∂∂. 证 因为2222222222222222()()2()()()()x z y y xyf x y f x y xf x y x f x y f x y f x y '∂-''⎡⎤=-⋅-=-⋅-=-⎣⎦∂---， ()222222222222222()()2()2()()()f x y y f x y y z f x y y f x y y f x y f x y '--⋅-⋅-'∂-+-==∂--.故22222222222222221112()1()2()1()()()z z xyf x y f x y y f x y z x x y y x f x y y f x y yf x y y ''∂∂--+-+=-⋅+⋅==∂∂---. 四、计算题：1.设2(,)x z f x y y =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求222,,,z z z z x y x x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 解：22121211(,)(,)22,z x x f x y f x y xy f xyf x y y y y∂''''=⋅+⋅=+∂2222121222(,)(,),z x x x xf x y f x y x f x f y y y y y ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭212122211222f f z z f xyf yf xy x x x x y y xx ''⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫'''==+=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 221112221221112222211112222442f xyf yf xy f xyf f xf x y f yf y y y y⎛⎫⎛⎫''''''''''''''''=++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212122111222f f z z f xyf f xf xy x y y x y y y y y y ''⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫''''==+=-+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2211112221222221122x x f f x f xf xy f x f y y y y ⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231211122223122x xf xf f f x yf y y y''''''''=-+--+.注：因为f 具有连续的二阶偏导数，所以1221f f ''''=.2.设22220x y z z ++-=，求22,z zx y∂∂∂∂.解：令222(,,)2F x y z x y z z =++-，则(,,)2(,,)221x z F x y z z x xx F x y z z z '∂=-=-='∂--，(,,)2(,,)221y z F x y z z y y yF x y z z z '∂=-=-='∂--， 2222223(1)(1)(1)11(1)(1)(1)z y z y z y y z z y z y z y y y y z z z z ⎛⎫∂--⋅- ⎪-+⋅∂⎛⎫∂∂∂∂-+⎛⎫⎝⎭-===== ⎪ ⎪∂∂∂∂----⎝⎭⎝⎭. 注意：z 是关于,x y 的二元函数.3.设方程组22222x y uv xy u v ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩确定隐函数组(,),(,)u u x y v v x y ==，求 u x ∂∂，v x ∂∂.解法一：分别对两方程两边分别对x 求偏导，得20220u v x v u x x u v y u v x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪--=⎪∂∂⎩ 即 222uv v u x x x u v u v yxx ∂∂⎧+=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩当222()022v uJ u v u v==--≠时，有222114(4)22()x u u xv yuxv yu y v x J J u v -∂+==--=∂- ， 222114(4)22()v x v xu yvyv xu u y x J J u v -∂+==+=-∂- . 解法二：令2222(,,,)0(,,,)20F x y u v x y uvG x y u v xy u v ⎧=-+=⎪⎨=---=⎪⎩，则22(,)2()22(,)uv v u F G J u v u v u v ∂===---∂2(,)42(,)xv x u F G J xv yu y v x v ∂===---∂ ， 2(,)42(,)ux v x F G J yv xu u yu x ∂===+-∂ 故2242()xv uv J u xv yu x J u v ∂+=-=∂- ，2242()ux uv J v xu yvx J u v ∂+=-=-∂-. 4.求函数3322(,)339f x y x y x y y =+-+-的极值.解：解方程组223603690f x x xf y y y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=+-=∂⎪⎩，得四个驻点1234(0,3),(0,1),(2,3),(2,1)P P P P --. 又66,0,66xx xy yy f x f f y ''''''=-==+.记(),(),()(1,2,3,4)xx i xy i yy i A f P B f PC f P i ''''''====对21(0,3),6(12)00,P AC B --=-⨯-->且60A =-<,则1(0,3)P-是函数的极大值点，极大值(0,3)27f -=；对22(0,1),61200P AC B -=-⨯-<,则2(0,1)P 不是极值点； 对()23(2,3),61200P AC B --=⨯--<,则3(2,3)P -不是极值点；对24(2,1),61200P AC B -=⨯->,且60A =>,则4(2,1)P 是函数的极小值点，极小值(2,1)9f =-. 5.求曲面222327xy z +-=在点(3,1,1)P 处的切平面方程和法线方程.解：令 222(,,)327F x y z x y z =+--，则曲面在点(3,1,1)P 处的法向量为()(3,1,1)(3,1,1)(,,)(6,2,2)(18,2,2)29,1,1x y z n F F F x y z '''==-=-=-于是，所求的切平面方程为 9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9180x y z +--=.法线方程为311911x y z ---==-. 6.求曲面z=在点(3,4,5)P 处的切平面方程和法线方程.解：曲面在点(3,4,5)P 处的法向量为()(3,4,5)(3,4,5)341(,,1)1),,13,4,5555x y n z z ⎛⎫''=-=-=-=- ⎪⎝⎭. 于是，所求的切平面方程为 3(3)4(4)5(5)0x y z -+---=，即 3450x y z +-=.法线方程为345345x y z ---==-. 7.求函数23(,,)f x y z xy yz =+在点0(1,1,2)P 处沿从0(1,1,2)P 到(3,1,3)P -方向的方向导数0P fl∂∂.解：记()02,2,1l P P ==-，(223l =+=，从而221cos ,cos ,cos 333αβγ==-=.又()23211(1,1,2)2(1,1,2)1,(1,1,2)210,(1,1,2)312.y x y z y z f yf xy z f yz ==='''===+===故所求的方向导数P f l∂∂(1,1,2)cos (1,1,2)cos (1,1,2)cos x y z f f f αβγ'''=++221110122333⎛⎫=⨯+⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭.。
高等数学自测题第13章 自测题2答案
第13章 自测题2答案一、选择题（每小题4分） 1、设OM 是从O （0，0）到M （1，1）的直线段，则与曲线积分⎰+=OMyx s eI d 22不相等的积分是(A)⎰102d 2xex(B) ⎰12d 2yey(C )⎰2d re r(D )⎰1d 2rer2、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2 (a >0)负向一周，则曲线积分答 ( ) 答： (A) 3、设C 为沿x 2+y 2=R 2逆时针方向一周，则用格林公式计算，答( )答：（D ） 4、曲线积分的值(A)与曲线L的形状有关(B)与曲线L的形状无关(C)等于零(D)等于2π答( )答：（A）二、填空题（每小题4分）1、设f(x)有连续导数，L是单连通域上任意简单闭曲线，且则f(x)=_______.答：x2+c2、设是由A(－2，3)沿y=x2－1到点M(1，0)，再沿y=2(x－1)到B(2，2)的路径，则 ________.答：103、设力的模 , 的方向与相同，则在力的作用下，质点沿曲线L：正向绕行一周，力所做的功可用曲线积分表示为________________.答：⎰+++-L yxyxxy22dd4、若是某二元函数的全微分，则m=______.答：1三、解答题（每小题6分）1、求自x=1到x=e之间的一段曲线的弧长。
2、设心脏线L的极坐标方程为r=a(1－cosθ) (0≤θ≤2π)，其线密度为常量μ，求L 的形心坐标( ).3、求质点M (x , y )受作用力 沿路径L 所作的功W . L 是3、3 . 求质点M (x , y )受作用力 沿路径L 所作的功W . L 是沿椭圆4x 2+y 2=4顺时针方程的一周。
4、求半径为R 的均匀半圆周L (线密度为δ=1)对于位于圆心的单位质量的质点的引力。
5、设质线L 的方程为 ，L 上的任意点(x ,y )处的线密度为 求质线L 的质心坐标(ξ,η).解：L 参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 44sincos 0≤t ≤2πtt t t t s d sincossin cos 4d 44+=对L 方程质线的线密度yx xy +=μ而言，变量x 与y 是对等的，故..ηξ=质线L 的质量⎰=Lsm d μ⎰⎰⎰=+⋅⋅+=+=2332444444d cos sin4d sincossin cos 4sincossincos d ππtt t tt t t t tt tt syx xy L31=⎰⎰===237d cos sin 12d 1πμηξtt t sy mL103=故质心坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛103 , 1036、利用曲线积分计算星形线⎪⎩⎪⎨⎧==θθ33sin cos a y a x 所围区域面积。
高等数学：第八章多元函数微分学自测题答案
高等数学：第八章多元函数微分学自测题答案《高等数学》单元自测题答案第八章多元函数微分学一．填空题1.3ln 3xy y ；2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3131+； 6. 3 ； 7.22； 8.k j i 345++.二．选择题1.B ；2.D ；3. C ；4.D ；5.A ；6.B ；7. B ；8.A .三.解答题1. 解 22222222222211)221(1y x yx y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++=+++=??. 2. 解22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2222111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 222222222222)()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-==. 3. 解设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''--=--=-=??z x z x F F x z zx . 4. 证明 rx z y x x x r =++=??22222, 3222211r x r x r r x r x r -=??-=??, 同理 32221r y r y r -==??, 32221r z r z r -=??, 所以 r r r r rz y x r z r y r x r 233323222222222=-=++-=??+??+??.5. 解 '22'1f xy yf x z -=??, )1(1)1(''22''212'22''12''11'12f x xf xy f x f x xf y f y x z +--++= =''223''11'22'11f xy xyf f x f -+-. 6. 解令=+-==-+=,063,09632'2'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又66''+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy ,在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值;在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值;在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值.7. 解设 14),,(222-++=z y x z y x F , 则=n }2,2,2{},,{'''z y x F F F z y x =,}6,4,2{)3,2,1(=n ,切平面方程为0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x , 即 01432=-++z y x , 法线方程为332211-=-=-z y x . 8. 解设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xyV z =,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令=-==-=,02,022'2'y V x S x V y S y x得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 33304 22V V V Vz =?=.。
《高数》下册复习自测题及答案
第八章复习题一、下列情形中的向量终点各构成什么图形？1、把空间中一切单位向量归结到共同的起点；2、把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的起点；3、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的起点；4、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的起点.二、要使下列各式成立，向量,应满足什么条件？1、-=+2、+=+3、-=+4、+=- 5-=-三、试解下列各题．1、化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．2、 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．四、已知向量, , 的分量如下：1、＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，c ＝{1, 2, －1}；2、 ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，c ＝{0, 5, 6}.试判别它们是否共面？能否将表成，b 的线性组合？若能表示，写出表示式.五、证明：1、向量a垂直于向量b c a c b a )()(- ；2、在平面上如 果1m 2m ，且⋅a i m＝b ⋅i m (i=1,2)，则有=b .六、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。
七、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？1、6416222=++z y x ；2、64164222=-+z y x ；3、64164222=--z y x ；4、z y x 16922=+八、求下列各平面的方程：1、通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于向量}2,0,1{-的平面2、通过点)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；3、已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。
求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ∆平面垂直的平面。
高等数学章节练习题及答案第一章
高等数学章节练习题及答案第一章作业1.1.11．求下列函数的定义域.(1)y ；(2) 213y x =- ；(3) πsin ,0,2π,π.2x x y x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩≤≤解 （1）解不等式243x x -+≥0得x ≤1或x ≥3；故函数定义域为(,1][3,)-∞+∞； （2）解不等式2x +≥0得x ≥2，由230x -≠知x ≠；故函数定义域为[2,)+∞； （3）分段函数的定义域为各段取值范围的并集，故定义域为[0,π)．2. 设3()21f x x x =-+，求(0),(1),(2),(1)f f f f x -+．解 (0)0011f =-+=；3(1)12112f -=--⨯-+=（）（）；3(2)22215f =-⨯+=； 33232(1)12113312213f x x x x x x x x x x +=+-++=+++--+=++（）（）3. 设23,1,()4,x x f x x -<⎧=⎨⎩≥1，求(2)f -，(0)f ，(2)f ．解 (2)23(2)8f -=-⨯-=；(0)2f =；(2)4f =．4. 求下列函数的反函数，并在同一个坐标系中作出它们的图像 （1）23y x =-； （2）21y x =-，(0,)x ∈+∞ 解 （1）函数的定义域和值域都是R ，由23y x =-得322y x =+，故其反函数为 322x y =+，x ∈R ． 它们的图像为第4（1）题图（2）函数的定义域为(0,)+∞，值域为(1,)-+∞，由21y x =-得x =为y=(1,)x ∈-+∞．它们的图像为第4（2）题图1．写出下列函数的复合过程.(1) 21x y e -= ； (2) ln(3)y x =- ； (3) y =(4) 2πsin (3)6y x =-． 解 （1）u y e =，21u x =-； （2）ln y u =，3u x=-； （3）y =tan u v =，2xv =； （4）2π,sin ,36y y u v v x ===-．2．写出各函数复合而成的函数并求其定义域 .(1) 5u y =, u = ln v x = ； (2) ln y u = ， 381u x =+.解 （1）y =[,)e +∞‘（2）3ln(81)y x =+，定义域为1(,)2-+∞．作业1.1.31．市场对某种商品的需求量Q 满足：()2002Q P P =-，其中P 为商品价格，而生产商对此商品的供应量S 满足：()3100S P P =-，求该种商品的市场均衡价格P 和均衡数量Q ．解（1）()2002Q P P =-= ()3100S P P =-得 P =60，将P =60代入()2002Q P P =-得Q =80．2．已知某商品的成本函数（单位：万元）为()608C Q Q =+，其中Q 为该商品的产量． （1）该商品的计划售价为12万元/件，那么该商品的盈亏平衡点（保本点）Q 0是多少件？ （2）求生产50件时的成本和平均成本为多少？（3）当该商品以计划售价的五折出售时，能否盈利？ 解（1）Q 0=15（件）；（2）(50)(50)100,(50)250C C C ===（万元）；（3）不会盈利，会造成亏空．3．某商品的销售价格为100元，月销售量为4000件，当销售价格每提高2元，月销售量会减少50件，在不考虑其他因素情况下，（1）求这商品月销售量与价格之间的函数关系； （2）当价格提高到多少元时，这商品会卖不出去？解（1）()650025Q P P =-；（2）260元．作业1.2.11.通过观察对应函数图像，讨论下列极限：（1）1lim1x x →∞+； （2）1lim 4x x →+∞（）；（3）lim 3x x →-∞；（4）1lim(2)x x→∞-；（5）0lim x +→（6）1limln x x →． （7）π3lim sin x x →； （8）设1,()1,x x f x x x -<⎧=⎨+⎩0,≥0，求0lim ()x f x →．解 做出相应的函数图像（略）． （1）观察函数11y x =+的图像知，1lim 01x x →∞=+；第1（1）题图 第1（2）题图（2）观察函数1()4x y =的图像知，1lim 04xx →+∞=（）；（3）观察函数3x y =的图像知，lim 30x x →-∞=；第1（3）题图（4）观察函数12y x =-（5）观察函数y =的图像知，0lim0x →=；第1（5）题图 第1（6）题图 （6）观察函数ln y x =的图像知，1limln ln10x x →==．（7）观察函数sin y x =的图像知，π3πlim sin sin3x x →=；第1（7）题图 第1（8）题图 （8）观察函数的1,()1,x x f x x x -<⎧=⎨+⎩0,≥0图像知，0lim ()x f x →=1；1.计算下列极限：（1）331lim(2)x x x→∞+-；（2）2222lim 341x x x x x →∞+--+；（3）21lim 1x x x →∞--解 （1）333131lim(2)lim2lim lim 2x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞+-=+-=；（2）2222122222lim lim 4133413x x x x x x x x x x→∞→∞+-+-==-+-+； （3）222111lim lim 0111x x x x x x x→∞→∞--==--．2.计算下列极限：（1）324lim()x x x →+； （2）4322lim ()x x x→--；（3）222lim 2x x x →-+.解（1）3322444lim()limlim 8412x x x x x x x →→→+=+=+=；（2）443322222265lim ()lim lim 1684x x x x x x x→-→-→--=-=-=-； （3）222421lim 2222x x x →--==++.3.作出函数21,1,(),11x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩≥ 的图像． (1) 写出1lim ()x f x →-和2lim ()x f x →；(2) 写出1lim ()x f x -→和1lim ()x f x +→；(3) 判断1lim ()x f x →是否存在，若存在求出来．解 函数图像如图下：第3题图（1）观察函数图像知，1lim ()2x f x →-=，2lim ()3x f x →=；（2）11lim ()lim (1)0x x f x x --→→=-=，211lim ()lim (1)0x x f x x ++→→=-=；（3）因为1lim ()x f x →=1lim ()x f x +→=0，所以1lim ()x f x →存在，且1lim ()0x f x →=．4. 已知函数231,1,(),>11x x f x x x -⎧<⎪=⎨+⎪⎩,求1lim ()x f x →． 解 11lim ()lim (31)2x x f x x --→→=-=，211lim ()lim (1)2x x f x x ++→→=+=． 故 1lim ()x f x →=2.5. 利用微软高级计算器计算下列各极限（1）2lim(1)x x x →∞+；（2）0sin5lim 2x x x →；（3）0tan lim x x x →；（4）01lim sin x x x →．解（1）22lim(1)x x e x →∞+=； （2）0sin55lim 22x x x →=；（3）0tan lim1x x x →=； （4）01lim sin 0x x x→=．1.判断下列命题是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”） （1）10000.001是无穷小； （ × ） （2）当x →-∞时，10x 是无穷小； （ × ） （3）当x →-∞时，0是无穷小； （ √ ） （4）当x →-∞时，2x 是无穷小； （ √ ） （5）当x →∞时，2x 是无穷小； （ × ） （6）当2x →时，24x -是无穷小． （ √ ）2.比较下列各组无穷小.（1）当0x →时，4x 与2x ;（2）当2x →时， 2x -与38x -;（3）当x →∞时，318x -与12x -. 解 （1）因为40lim 0x x →=，2lim 0x x →=，且42200lim lim 0x x x x x →→==，所以当0x →时，4x 是比2x 较高阶的无穷小．（2）因为2lim(2)0x x →-=，32lim(8)0x x →-=，且3222222211limlim lim 8(2)(1)17x x x x x x x x x x x →→→--===--++++， 所以，当2x →时， 2x -与38x -是同阶无穷小．（3）因为31lim08x x →∞=-，1lim 02x x →∞=-，且3233311228lim lim lim 018812x x x x x xx x x x→∞→∞→∞---===---， 所以，当2x →时，318x -为比12x -较高阶的无穷小．3.确定函数1()1x f x x +=-为无穷小的条件． 解 由于-1111lim=0111x x x →+-+=---，故函数为无穷小的条件为“ 1x →-”。
《高等数学》测试题和答案自测题一答案 (2)
自测题八一、判断题（每题2分，共10分）． （1）若∑∞=0n nu收敛，∑∞=0n nv发散，则)(0∑∞=+n n nv u收敛（ ）．（2）因2213cos 1n n n ≤π，故∑∞=123cos1n n n π收敛（ ）． （3）若0>n u ，且∑∞=0n n u 收敛，则1lim1<=++∞→l u u nn n 收敛（ ）．（4）级数∑∞=0n nu与∑∞=0n nv满足n n v u ≤，则∑∞=0n nu发散时，∑∞=0n nv未必发散（ ）．（5）如果0lim =∞→n n u ；则∑∞=0n nu收敛（ ）．二、选择题（每题2分，共10分）． （1）若级数∑∞=0n nu收敛，那么下列级数收敛的有（ ）．(A)∑∞=0100n n u ； (B) )100(0+∑∞=n n u ； (C) ∑∞=+0100n n u ； (D) ∑∞=0100n nu （2）级数∑∞=--113)1(n nn 是（ ）． (A) 交错级数； (B)等比级数； (C)条件收敛； (D)绝对收敛 （3）若级数∑∞=0n nu收敛，则（ ）．(A) 数列{}n u 收敛； (B) 数列{}n u 发散； (C) 部分和数列{}n s 发散； (D)以上都不正确（4）设a 为常数，则级数)1sin ()1(211nn n n n --∑∞=-α ( )． (A)绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 发散； (D) 连续且可微. （5）已知幂级数nn n x a ∑∞=0的收敛半径为01>R ，幂级数dt t a n n xn ∑⎰∞=0的收敛半径为2R ，则（ ）．(A) 21R R =； (B) 21R R >； (C) 21R R <； (D) 21,R R 无法比较大小 三、填空题（每空3分，共45分）． （1）正项级数∑∞=0n nu收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{}n s .（2）当 时，几何级数∑∞=0n naq收敛，其中0≠a ．（3）级数∑∞=--121)1(n pn n 的敛散性为：当21>p 时，级数 ；当210≤<p 时，级数 ，当0<p 时，级数 ．（4）幂级数nn n x n 30212∑∞=-的收敛半径=R ，收敛区间为 ． （5）若12012)1()(+∞=∑+-=n n n x n x f ，则=)0(f ，=)0()2(n f ，=+)0()12(n f， ,2,1=n ．（6）级数nn n )11(1∑∞=+是收敛还是发散 . （7）∑∞=1n nu收敛的条件是指 .（8）已知)11(,1112<<-+++-x x x x ，则的幂级数211x+展开式为 ．（9）=+-+-+-- nx x x x nn 132)1(32 ． （10）∑∞=-02!)1(n nn n x 在),(+∞-∞内的和函数=)(x f ．四、判定下列级数的敛散性（每题5分，共10分）．（1） +-+-3322!32!22!121x x x ； （2）∑∞=12)!2()!(n n n ．五、（8分）设0>p ，讨论级数∑∞=+-11)1(n n nnp的敛散性． 六、求下列级数的收敛区间和收敛半径（每题5分，共10分）．（1）nn n n x n ∑∞=+-0)1(2)1( ； （2）∑∞=+13)1(n nn x ． 七、（7分）求幂级数∑∞=1n nnx 的收敛半径和收敛区间，并求其和函数)(x s ．。
高数自测题答案1-4
第一章 函数 自测题一、填空题：1. 3x >2. 13x -≤≤3. 21x +二、解答题 1. 解 因为63ππ<，所以1sin 662ππϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭。
而23π-≥，故有 (2)0ϕ-=。
()x ηϕ=的图形略 2. 解 （1） 1,uy e u x==。
（2） 3,,sin u y e u v v x === （3） arcsin ,ln ,1y u u v v x ===+3. 证 1212,(,0),x x L x x ∀∈-<，我们有1212,(0,),x x L x x --∈->-。
因为()f x 在(0,)L 内单调增加，所以有12()()f x f x ->-，又因为()f x 为定义在(,)L L -上的奇函数，上式可改写为12()(),f x f x ->-即12()()f x f x <所以，()f x 在(,0)L -内单调增加。
4. 解 (1) 1 1(1) 1 1x x f x x -≥⎧-=⎨<⎩； (2) 2 1 1()(1) 1 012 0x x f x f x x x x -≥⎧⎪+-=+≤<⎨⎪<⎩。
5. 解 由题意可列出函数关系如下：04() 5ks s a m ka k s a a s <≤⎧⎪=⎨+-<⎪⎩6. 解 设批量为x 件，每年需要进货800x次，由于均匀销售，库存量由x 件均匀地减少到0件，平均库存量为2x件。
一年的库存费为 0.2121.22xx ⨯⨯=(元)， 订货费为 8004800060x x ⨯=(元)。
综上，我们有480001.2p x x=+。
7. 解 设租金定为每天每套(200)x x >元，由题意，每天可以租出2006010x --套客房，此时，每天的收入为220060800.110x y x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。
当400x =元时，收入最大，最大收入为16000元，此时空出20套客房。
高等数学第二章自测题带解析答案
第二章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭-1.2.设21cos f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x '=3221sin x x .3.设sin (e )xy f =，其中()f x 可导，则d y =sin sin e cos (e )d x x xf x '.4.设y =，则12y ⎛⎫'=⎪⎝⎭-1.5.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为2π1π2πy x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭2π3π22y x =-+或.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在0x =处可导的是D.A.||y x = B.|sin |y x = C.ln y x= D.|cos |y x =2.设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000(2)()lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆=∆A .A.6B.6- C.16D.16-3.设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2|()|f x x ≤，则0x =是()f x 的C .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且(0)0f '=D.可导的点，且(0)0f '≠4.设2sin ,0(),x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则在0x =处()f x 的导数D .A.0B.1C.2D.不存在5.设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)f '=D .A.1- B.0.1C.1D.0.5三、解答题（共70分）1.求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分）(1)(ln e xy =+，求y '.解：(ln e xy '⎡⎤'=+⎢⎥⎣⎦2e x x ⎛⎫=+x=(2)aa xa x a y xa a =++，求y '.解：11ln ln ln a a xaa x a a x y a x a a ax a a a a --'=+⋅+⋅1112ln (ln )aaxa ax a a x a x a x a a a a -+-=++.(3)cos (sin )xy x =，求y '.解：两边取对数得ln cos ln sin y x x =，两边求导数，得1sin ln sin cot cos y x x x x y'=-+，cos (sin )(sin ln sin cot cos )x y x x x x x '=-+.(4)y x=，求d y .解：两边取对数得()()11ln 2ln ln 1ln 122y x x x =+--+；两边求微分得121111d d 2121y x y x x x ⎛⎫=+⋅-⋅ ⎪-+⎝⎭，即2d 2d y x ⎛⎫ = ⎝.2.求下列函数的二阶导数（每小题6分，共12分）(1)2cos ln y x x=解：2cos (sin )ln y x x x '=-2cos x x +2cos sin 2ln xx x x=-+，22sin 22cos (sin )cos cos 22ln x x x x xy x x x x ⋅--''=-⋅-+222sin 2cos 2ln cos 2x xx x x x =---.(2)11xy x-=+解：22(1)(1)2(1)(1)x x y x x ----'==-++，44(1)(1)x y x -+''=-+34(1)x =+.3.设e ,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =可导，试求a 与b .（本题8分）解：首先()11lim ()e x f f x --→==，()11lim ()x f f x a b ++→==+，因为()f x 在1x =处连续，故e a b +=，其次，()1+00(1)(1)e e 1lim lim x x x f x f f x x --∆-∆→∆→+∆--'==∆∆0e 1lim e e x x x-∆∆→-==∆，()00(1)(1)(1)()1lim lim x x f x f a x b a b f a x x+++∆→∆→+∆-+∆+-+'===∆∆，由于()f x 在1x =处可导，故e a =，联立两个方程得e a =，0b =.4.设sin ,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，求'()f x .（本题7分）解：()00()(0)sin 0lim lim 10x x f x f x f x x ---→→-'===-()00()(0)ln(1)0lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+'===-，故(0)1f '=，由于()f x 在0x >，0x <时均可导，故cos ,0()1,01x x f x x x <⎧⎪'=⎨≥⎪+⎩.5.设函数()y y x =由方程22ln 1x xy y-=所确定，求d y .（本题7分）解：方程可变形为22ln ln 1x y xy --=，两边求微分，得221d d d 2d 0x y y x xy y x y ---=，故3222d d 2y xy y x x x y -=+.6.设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩确定，求22d d ,d d y y x x .（本题8分）解：22d ()cos cos cos sin tan 1d ()1sin sin sec sin 2sin 2tan 2y y t a t t t t t t x x t t t t a t t'====='-⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，2242d (tan )sec sec sin 1d ()sin sin y t t t tx x t a a t t '==='⎛⎫- ⎪⎝⎭.7.求曲线3213122t x t y t t +⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩在1t =处的切线方程和法线方程.（本题8分）解：232411133()2232()32t t y t t t y t x t t t--+''===+'+-，故1710t y ='=.当1t =时，2,2x y ==.故曲线在1t =处的切线方程为72(2)10y x -=-，即71060x y -+=，法线方程为102(2)7y x -=--，即107340x y +-=.。
高等数学第三版自测题附答案U7
第7章自测题一、填空题1. 如果函数()f x 是周期为2π，则函数()f x 的傅立叶系数为0a = ，n a = ，n b = .答案：π0π1()d πa f x x -=⎰， ππ1()cos d πn a f x nx x -=⎰()1,2,3,n =，ππ1()sin d πn b f x nx x -=⎰ ()1,2,3,n =.2. 如果函数()f x 是周期为2π的偶函数，则函数()f x 的傅立叶系数为0a = ，n a = ，n b = .答案：0n b =，(1,2,3,)n =，π002()d πa f x x =⎰，π2()cos d πna f x nx x =⎰，(1,2,3,)n = 3. 如果周期函数() (22)2xf x x =-≤<，其傅立叶系数是0a = ，n a = ，n b = .答案：00n a a ==，20πsin d (1,2,3,)22n x n xb x n ==⎰4. 单位阶梯函数的数学表达式为()u t = ，其拉氏变换为()L u t =⎡⎤⎣⎦ . 答案：()0010t u t t <⎧=⎨≥⎩；()1L u t s =⎡⎤⎣⎦.二、解答题5.判别下列级数是否收敛：（1）111()23n n n ∞=+∑； （2）231ln0.6ln0.6ln0.6++++.解 （1）111()23n n n ∞=+∑=111123n n n n ∞∞==+∑∑，这两个级数都是公比1q <，所以级数收敛.（2）该级数是等比级数，且公比ln 0.6q =，所以级数收敛.6.求幂级数1(2)!nn x n ∞=∑的收敛半径和收敛区间.解 因为12!n a n =，111(22)!(22)(21)2!n a n n n n +==+++。
于是 1(2)!limlim 0(22)(21)2!n n n n a n a n n n ρ→∞→∞+===++ 所以，级数收敛半径R =+∞，收敛区间(,)-∞+∞.7.利用拉氏变换性质求下列函数的拉氏变换. (1)()3264f t t t =+-； (2)()2e sin 6t f t t -=.解 (1)()3[][264]L f t L t t =+-=421264s s s +-. (2)()2[][e sin 6]t L f t L t -==26(2)36s ++.8.求下列函数的拉氏逆变换.(1)()23F s s =-；(2)()21416F s s =+；(3)()()251F s s =-； (4) ()22325s F s s s +=-+.解 (1)()112[][]3L F s L s --==-32te . (2)()11122112[][][]41684L F s L L s s ---===++1sin 48t .(3)()()1125[][]1L F s L s --=-=5t e t . (4) ()11122232(1)5[][][]25(1)4s s L F s L L s s s ---+-+==-+-+ 11221522[][](1)42(1)4s L L s s ---=+-+-+=5(2cos2sin 2)2te t t +.9.用拉氏变换求下列微分方程的特解. (1)20y y '+=，()01y =；(2)160y y ''+=，()00y =，()04y '=.解 （1）设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取拉氏变换，有()()[]20L y t y t L '+=⎡⎤⎣⎦，由线性性质， ()()20L y t L y t '+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又由微分性质 ()()()020sY s y Y s -+=， 化简整理 ()()21s Y s +=， 于是 ()12Y s s =+. 所以微分方程的解为()()1y t L Y s -==⎡⎤⎣⎦2te -.（2）设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对方程两边取拉氏变换()()()()200160s Y s sy y Y s '⎡⎤--+=⎣⎦，代入初始条件得 ()()24160s Y s Y s -+=，()2416Y s s =+. 取拉氏逆变换得 ()1sin 4y L Y s t -==⎡⎤⎣⎦，所以方程的解 sin 4y t = (0)t >.10.将下列周期为2π的函数展开成傅里叶级数.,π0,(),0πx x f x x x ππ+-≤<⎧=⎨-≤<⎩；解 因为周期函数()f x 为偶函数，所以它的傅立叶级数是余弦级数ππ00022()d ()d πππa f x x x x π==-=⎰⎰，ππ2002221()cos d sin cos ππ2(cos π1)πn x a x nx x nx nx n n n n π-⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦-=-⎰20,,4,,πn n n ⎧⎪=⎨⎪⎩当为偶数当为奇数 (1,2,3,)n = 0n b =，(1,2,3,)n =.所以()f x 的傅立叶级数为22411()cos cos3cos(21)2π3(21)f x x x n x n π⎛⎫=++++-+⎪-⎝⎭()x -∞<<+∞。
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《高等数学》章节自测题答案第1部分函数、极限与连续（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ A ）（ B ）（ D ）（ D ）（ B ）时有（ D ）二．填空题（共15分）的连续区间是三．判断下列各组极限运算的正误（8分）1．２．；；３．；；；四．求下列极限（20分）答案：2答案：答案：答案：1五．求函数的间断点，并判断类型（10分）答案：为第一类（可去）间断点；为第二类（无穷）间断点六．已知是连续函数，求的值（9分）答案：七．用零点定理证明方程在内有两个实根（20分）答案：两次利用零点定理即可．第2部分导数与微分（单元自测题）一．单项选择题（共10分）（ D ）表示（ B ）（ C ）（ D ）,函数的导数是（ C ）二．填空题（共22分）将适当的函数填入括号内(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)三．求下列函数的导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：四．求下列函数的二阶导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：五．设，求（16分）答案：六．已知曲线的方程是，求曲线在点处的切线方程（10分）答案：七．已知曲线的参数方程是，求曲线在处的切线方程和法线方程．答案：切线方程；法线方程．第3部分导数的应用（单元自测题）一．单项选择题（共10分）在区间（ B ）上满足罗尔定理条件（ D ）（ D ）（ A ）极限（ C ）二．填空题（共15分）,最小值是的单调减少区间是三．求下列极限（20分）答案：答案：答案：答案：答案：四．求函数的极值和单调区间（10分）答案：五．证明曲线总是凹的（10分）答案：六．曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点处的曲率半径．（10分）答案：七．求函数的四阶麦克劳林公式（10分）答案：．八．要做一圆锥形漏斗，其母线长为20cm，问要使得漏斗体积最大，其高应为多少？答案：第4部分不定积分（单元自测题）一．单项选择题（共15分）（ B ）（ B ）（ B ）（ C ）；；不定积分（ D ）二．填空题（共15分），称为的不定积分三．求下列不定积分（55分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．试用三种方法求不定积分（15分）答案：方法一：令；方法二：分子；方法三：令第5部分定积分（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ C ）（ A ）（ C ）（ B ）；；；（ D ）（ B ）二．填空题（共15分）原函数三．计算下列定积分（24分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．下列积分中，使用的变换是否正确?如不正确，请改正，并计算各定积分．（12分）答案：不正确，直接法，答案：正确，答案：不正确，几何意义或者令，五．已知有连续的二阶导数，求（10分）答案：六．判断下列广义积分的收敛性（12分）答案：答案：发散答案：答案：发散七．研究函数的单调性，并求其极值（9分）答案：第6部分定积分的应用（单元自测题）一．单项选择题（共20分）（ A ）而成的立体体积为（ B ）（ A ）4 （ C ）（ D ）二．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：三．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：四．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：五．求曲线所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积（10分）答案：六．半径为10m的半球形水池内充满了水，求把池内水抽干所做的功（15分）答案：七．一水坝中有一直立矩形闸门，宽10m，深6m，求当水面在闸门顶上8m的时闸门所受水的压力（15分）答案：八．抛物线分圆盘为两部分，求这两部分面积的比（10分）答案：第7部分常微分方程（单元自测题）一．解下列可分离变量方程（共12分）答案：答案：答案：二．解下列齐次方程（8分）答案：答案：三．解下列一阶线性方程（25分）答案：答案：答案：答案：答案：四．解下列可降阶的高阶微分方程（15分）答案：答案：答案：五．解下列二阶常系数线性微分方程（30分）答案：答案：答案：答案：．答案：六．已知某厂的纯利润对广告费的变化率为,与常数和纯利润之差成正比，当时，,试求纯利润与广告费之间的函数关系.（1０分）答案：第8部分空间解析几何与向量代数（单元自测题）一．各类计算题（共30分）在坐标面上求与三已知点等距离的点答案：已知向量的方向角且，求答案：求过点且与平面垂直的直线方程答案：求同时垂直于向量和向量的单位向量答案：5．求过直线的平面方程答案：已知垂直，求答案：二．求以为顶点的四边形面积(10分)答案：三．求两平面，的夹角（10分）答案：四．判断下列线与线、线与面之间的位置关系（20分）答案：互相垂直答案：重合答案：平行答案：直线在平面上五．求点到直线的距离（10分）答案：六．求平面曲线绕轴旋转所得曲面的方程（10分）答案：七．求曲线在面上的投影（10分）答案：第9部分多元函数微积分（单元自测题）一．关于一阶偏导数（共16分）若，求答案：若，求答案：若，求答案：若，求答案：二．关于高阶（二阶）偏导数（12分）若，求答案：若，求答案：三．关于复合函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：四．关于隐函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：五．关于极值问题（12分）求的极值答案：设，求在条件下的极小值答案：六．交换下列积分次序（16分）答案：答案：答案：答案：七．计算下列二重积分（24分），答案：答案：，答案：，答案：第10部分无穷级数（单元自测题）一．判断下列级数的敛散性（共30分）答案：收敛答案：发散答案：收敛答案：发散5．答案：条件收敛答案：绝对收敛答案：绝对收敛答案：时绝对收敛；时发散答案：收敛答案：收敛二．证明（6分）答案：利用级数收敛的必要条件三．求下列级数的收敛域（12分）答案：答案：答案：答案：四．求下列幂级数在收敛域内的和函数（12分）答案：答案：五．将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：答案：六．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：七．把下列函数展成傅立叶级数（16分）答案：答案：第11部分概率（单元自测题）一．单项选择题（共24分）（ B ）设为随机事件，,则必有（ A ）设互为对立事件，且,则下列各式中错误的是（ A ）抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是（ C ）设随机变量的分布函数为，下列结论中不一定成立的是（ D ）下列各函数中是随机变量分布函数的是（ B ）如果函数是某连续型随机变量的概率密度，则区间可以是（ C ）设随机变量的概率密度为，令,则的概率密度为（ D ）二．填空题（15分）设与互相独立，则某射手命中率为，他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为设为连续型随机变量，是一个常数，则= 0设∽，则= 0.5设∽，则的概率密度=三．设（8分）答案：0.4四．设为两个随机事件，证明与相互独立（10分）五．已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：（10分）(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率．答案：(1)0.9325；(2)0.9984六．袋中有2个白球，3个红球，现从袋中随机地抽取2个球，以表示取到的红球，求的分布律（10分）答案：0 1 2七．设的概率密度为, 求：（10分）(1) 的分布函数；(2) ．答案：(1) ；(2)0.625，0.625八．已知某种类型电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，它的概率密度为，一台仪器装有4个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子元件损坏与否互相独立。
试求：（13分）(1)一个此种类型电子元件能工作2000小时以上的概率答案：(1)(2)（一台仪器能正常工作2000小时以上的概率答案(2)第12部分线性代数（单元自测题）一、单项选择题(15分)1．如果将阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（ C ）A．不变B．变号C．若为奇数，行列式变号；若为偶数，行列式不变D．若为奇数，行列式不变；若为偶数，行列式变号2．设A，B，C，D均为阶矩阵，E为阶单位方阵，下列命题正确的是（ D ）A．若，则；B．若，则或C．若，且，则；D．若，则3．设A为矩阵，若齐次线性方程组只有零解，则对任意维非零列向量b，非齐次线性方程组（ D ）A．必有唯一解B．必无解；C．必有无穷多解D．可能有解，也可能无解二、填空题(25分)4．5．三阶行列式，则____0______6．设A，B均为阶矩阵，，则=__________7．设A为阶方阵，且，为A的伴随矩阵，则=_________ 8．设矩阵的秩为2，则=____-2_______三、计算题9．计算4阶行列式（10分）答案：10．设，又，求（10分）答案：11．设向量组，，，，求该向量组的秩（10分）答案：12．设，求矩阵B，使（10分）答案：13．当A为2阶方阵，且满足其中，求矩阵A（10分）答案：14．当为何值时，方程组有无穷多解？此时，求方程组的通解．（10分）答案：,或者。