高等数学自测题习题课(2)(2013)
高等数学习题：习题课2
设f ( x , y )与( x , y )均为可微函数,且 y ( x , y ) 0 已知( x0 , y0 )是在约束条件( x , y ) 0下的一个极 值 点,下 列 选 项 正 确 的 是: ( A )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( B )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( C )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( D )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0. ( 2006年考研题)
0
(2) f(z) z2 , z 0
z 0 ,z0
z0
(3) f(z) 3x3 3y3i
(4)f (z)
x2
x y2
i
x2
y
y2
5. 设my3 nx2y i(x3 lxy2)为解析函数，试求l, m, n。
6. 已知u ex (x cosy y sin y),求解析函数f (z) u iv， 并满足f (0) 0.
一、选择题
习题课
1．曲面 2xy4zez 3 在点 (1,2,0) 处的法线与直线
x1 y z2 的夹角（ ） 1 1 2
（A） ； （B） ； （C） ； （D）0.
4
3
2
2． 设函数 f ( x, y) 在点(0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0)3 ， f y (0,0)1 ，则（ ）
（C）（0，2）；
（D）（2，0）。
2. 若函数 f ( x,y) 在点(0,0) 的某个邻域内连续，且满足
高等数学习题课3-2
x3 1 x | ( x2 1)
的渐近线。
第
三 章
解
lim y lim y
x1
x0
中 值
x 1, x 0 是曲线的两条铅直渐近线
定 理 与
lim y 1 lim y 1
f ( x) k 0, 且 f (a) 0, 证明：方程 f ( x) 0 在区间
第 三
[a,) 有且仅有一个根。
章
证 因为当 x a 时，f ( x) k 0, 所以 f ( x) 0
中 值
在区间[a,) 至多有一个根。
定 理
又因为 f (a) 0, 且
与 导
f (a f (a)) f (a) f ( )(a f (a) a)
)(1 1) 或 2
x0 )2
f (2
)
( x0 2
16 (1 2
1) x0
1)
-2-
习题课（二）
例2 证明当 x 1 时,
x2 x3
ln(1 x) x .
第
23
三 章
证 当 x 1 时,
中 值
ln(1
x)
x
x2 x
x3 3
1
4(1 )4
x4
定 理
其中
介于 0与x之间.
第 区间，拐点。
三
章 解 函数的定义域为(,1) (1,1) (1, )
中
值 定 理 与
y
x2( x2 3) ( x2 1)2 ,
y
2 x( x2 (x2
3) 1)3
导 数
y 0,得点x 3, y 0,得点x=0
的
应 用x 3, x 0划分函数的定义域，并在各区间研究
(完整版)高等数学自测题第13章自测题1答案
第13章自测题1答案一、选择题（每小题4分）1、答：(A).2、答：(B).3、设C为分段光滑的任意闭曲线，ϕ(x)及ψ(y)为连续函数，则的值(A)与C有关(B)等于0(C)与ϕ(x)、ψ(x)形式有关(D)2π答( ) 答：（B）4、曲线积分的值(A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关(C)与起点、终点无关(D)等于零答( ) 答：（B）二、填空题（每小题4分）1、L是xoy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L关于ox轴的转动惯量用曲线积分表示为___________. (ρ(x,y)为连续函数)。
答：2、设L是单连通域上任意简单闭曲线，a,b为常数，则 _______.答： 03、力构成力场，(y>0)若已知质点在此力场内运动时场力所做的功与路径无关，则m=________.答：14、设是某二元函数的全微分，则m=______.答：2三、解答题（每小题6分）1、求曲线ρ=a(1+cosθ)的长度(0≤θ≤2π, a>0).2、设曲线L 为摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) (0≤t ≤2π)的一拱，其线密度为1，求L 的形心坐标( ).3、求质点M (x ,y )受作用力沿路径L 所作的功W L 是从A (2，3)沿直线到B (1，1)的直线段. 解：L 的直线方程：12-=x y从2=x 到1=x⎰⋅=LsF w d ϖϖ⎰-++=AByx y x x y d )2(d )3(⎰-=12d )115(xx223-=4、质线L 为 其上任意点(x ,y )处的密度为 ，求此质线对于原点处的单位质点的引力 .5、设质线L 的方程为L 上任意点(x ,y )处的线密度为求质线L 的质量M 及质心坐标(ξ,η).解：L 的极坐标方程为 )cos 1(θ-=a r 0≤θ≤2πθθθd 2sin2d 'd 22a r r s =+=θθθμπ⎰⎰⎰-=+==2022d 2sin)cos 1(2d 1d asy x as M LLa 332=⎰⎰⎰-=-⋅⋅==ππθθθθθθθμξ2022022d 2sin )2sin 21(43d 2sin cos )cos 1(21d a a M Msx La 78-=由于L 关于OX 轴对称，221y x a+=μ关于y 是偶函数，故0=η∴ 质心：)0 , 78(a -6、计算 ，其中D 是由y =0和摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) 0≤t ≤2π 所围成的区域。
2013年高考数学理知识与能力测试题(2)
2013年高考数学理知识与能力测试题(2)DF ，右准线l 与两条渐线交于P 、Q 两点，如果△PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率ｅ＝ 。
（3）函数y =的最大值是 。
三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知)cos ,sin 3(x x m ωω=，)cos ,(cos x x ωω=，0>ω，记函数n m x f •=)(，若函数)(x f 的最小正周期为π。
(1) 求ω； (2) 当30π≤≤x 时，试求)(x f 的值域。
16．（本小题满分13分）设飞机A 有两个发动机，飞机B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，飞机就能安全飞行。
现设各发动机发生故障的概率p 是 t 的函数tep λ--=1，其中t 为发动机启动后所经历的时间，λ为正常数，试论证飞机A 与飞机B 哪一个安全(这里不考虑其他故障)。
17．(本小题满分14分)在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，E是棱BC 、CD 上的点，且 ''B F D E ⊥。
(1) 求证：CF BE =；(2) 当三角形CEF 角'C EF C --的余弦值。
18．（本小题满分14分）在xoy 平面上有一系列的点 ),,(,),,(),,(222111nny x P y x P y x P ，对于正整数n ，点nP 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上，以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切，若11=x ，且nn x x <+1。
(1) 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nx1是等差数列； (2) 设⊙nP 的面积为nS ，nnS S S S T ++++= 321，求证：23π<nT19．(本小题满分12分) 已知函数x ax x x f 3)(23+-=(1)若)(x f 在[)+∞∈,1x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若3=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 在[]a ,1的最小值和最大值。
2013高考数学人教B版阶段性测试题二
阶段性测试题二(函 数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2011～2012·上佛山市质检)下列函数中既是奇函数，又在区间(－1,1)上是增函数的为( )A ．y ＝|x |B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝－x 3[答案] B[解析] y ＝|x |是偶函数，y ＝e x＋e －x为偶函数，y ＝－x 3是减函数，故选B. 122．(2011～2012·江西赣州市期末)若f (x )＝1log 12x －，则f (x )的定义域为( )A ．(12，1)B ．(12，1]C ．(12，＋∞)D ．(1，＋∞)[答案] A[解析] 要使f (x )有意义，应有log 12 (2x －1)>0，∴0<2x －1<1，∴12<x <1，故选A.3．(2011～2012·上学期青岛市期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πxx f x －＋x，则f (43)＋f (－43)的值为( )A.12 B ．－12C ．－1D ．1[答案] D[解析] ∵－43<0，∴f (－43)＝cos(－4π3)＝cos(－2π＋2π3)＝cos 2π3＝－12，又∵43>0，∴f (43)＝f (43－1)＋1＝f (13)＋1＝f (13－1)＋1＋1＝f (－23)＋2＝cos(－2π3)＋2＝－12＋2＝32，∴原式＝－12＋32＝1.4．(文)(2011～2012·黄冈市期末)设n ∈{－1，12，1,2,3}，则使得f (x )＝x n为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] f (x )＝x n为奇函数，则n ＝－1,1或3，又f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴n ＝－1，故选A.(理)(2011～2012·河北衡水中学调研)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：f (x )下列关于函数f (x )的命题： ①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[答案] D[解析] ∵f (x )定义域为[－1,5]，∴f (x )不是周期函数，故①假；当x ∈[0,2]时，f ′(x )≤0，∴f (x )为减函数，故②真；∵f (x )在(－1,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，在(4,5)上单调递减，极大值f (0)＝2，f (4)＝2，极小值f (2)未知，区间端点值f (－1)＝1，f (5)＝1，故在定义域[－1,5]内的最大值为2，∴当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值为2，则t 的最大值应为5，故③假；由于极小值f (2)未知，当1<a <2时，直线y ＝a 与函数f (x )的图象交点个数不一定是4，∴y ＝f (x )－a 不一定有4个零点，故④假，∴真命题有1个．5．(文)(2011～2012·东营市期末)函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )[答案] B[解析] 解法一：在函数y ＝x12－1中，x ＝1时，y ＝0；x ＝0时，y ＝－1，故其关于x轴对称的函数图象过(1,0)，(0,1)点，故选B.解法二：y ＝x 12－1可由y ＝x 的图象向下平移一个单位得到，再将其关于x 轴对称知选B.(理)(2011～2012·重庆市期末)函数y ＝2|log 2x |－|x －1|的图象大致是( )[答案] D[解析] x ≥1时，y ＝2|log 2x |－|x －1|＝2log 2x－(x －1)＝1，排除C ；0<x <1时，y ＝22|log 2x |－|x －1|＝2－log 2x －(1－x )＝1x＋x －1.令x ＝12，则y ＝32，排除A 、B ，故选D.6．实数a ＝0.32，b ＝log20.3，c ＝(2)0.3的大小关系正确的是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] C [解析] a ＝0.32<0.30＝1，∴0<a <1，b ＝log20.3<log 21＝0，c ＝(2)0.3>(2)＝1，∴b <a <c .7．(2011～2012·重庆市期末)把函数y ＝cos x －3sin x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y ＝cos x －3sin x ＝2cos(x ＋π3)的图象向右平移π3个单位得到图象对应函数y＝2cos x 为偶函数，故若左移m 个单位后所得图象关于y 轴对称，则m 最小值为π－π3＝2π3(注意此函数的半个周期为π)．8．(文)(2011～2012·豫南九校联考)函数f (x )＝(13)x－x 的零点所在区间为( )A ．(0，13)B ．(13，12)C ．(12，1)D ．(1,2)[答案] B[解析] f (0)＝1>0，f (13)＝393－33>0，f (12)＝33－22<0，知f (x )的零点所在区间为(13，12)． (理)(2011～2012·河北五校联盟模拟)若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] ∵a 、b ∈Z ，b －a ＝1，∴a 、b 是相邻的两个整数，令f (x )＝ln x ＋x －4，则f (1)＝－3<0，f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0，∴f (x )在(2,3)上存在零点，即方程ln x ＋x －4＝0在(2,3)上有根，又f (x )为增函数，∴方程ln x ＋x －4＝0在(2,3)上有且仅有一根，∴a ＝2.9．(文)(2011～2012·兰州一中期末)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a[答案] C[解析] 由f (x )＝f (2－x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又x <1时，(x －1)f ′(x )<0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，1)上为增函数，f (3)＝f (2－3)＝f (－1)，∵－1<0<12，∴f (－1)<f (0)<f (12)，∴f (3)<f (0)<f (12)，即c <a <b .(理)(2011～2012·泉州五中模拟)定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (3－x )＝f (x )，(x －32)f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2) D ．不确定[答案] A[解析] 由f (3－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝32对称，当x >32时，由(x －32)f ′(x )<0得f ′(x )<0，∴f (x )在(32，＋∞)上单调递减，∵x 1<x 2，x 1＋x 2>3， ∴当x 1>32，x 2>32时，有f (x 1)>f (x 2)，当x 1<32时，必有x 2>32，∴f (x 1)＝f (3－x 1)>f (x 2)．10．(2011～2012·吉林延吉市质检)函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于( )A ．－9B ．9C ．－3D ．0[答案] B[解析] ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∵f (x －1)是奇函数，∴f (－x －1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，在此式中以x ＋1代替x 得f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∴f (8.5)＝f (0.5)＝9.[点评] 令F (x )＝f (x －1)，∵F (x )为奇函数， ∴F (－x )＝－F (x )，∴f (－x －1)＝－f (x －1)．11．(文)若关于x 的方程log 12x ＝m1－m 在区间(0,1)上有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[分析] 要使方程有解，只要m 1－m 在函数y ＝log 12x (0<x <1)的值域内，即m1－m>0. [解析] ∵x ∈(0,1)，∴log 12 x >0，∴m1－m>0，∴0<m <1.(理)(2011～2012·陕西师大附中模拟)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.52[答案] C[解析] 令F (x )＝x 2－ln x ，则F ′(x )＝2x －1x，令F ′(x )＝0，∵x >0，∴x ＝22，当x >22时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，当0<x <22时，F ′(x )<0，F (x )单调递减，∴当x ＝22时，F (x )取到极小值，此时|MN |取到最小值，∴t ＝22. 12．(文)已知函数f (x )＝lne x －e －x2，则f (x )是( )A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减 [答案] A [解析] 由e x －e －x2>0得e x >1ex ，∴x >0，故f (x )为非奇非偶函数， 又e x为增函数，e －x为减函数，∴e x －e －x2为增函数，∴f (x )为增函数，故选A.(理)( 2011～2012·山东苍山县期末)设函数f (x )，对任意的实数x 、y ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，则f (x )在区间[a ，b ]上( )A ．有最大值f (a ＋b2)B ．有最小值f (a ＋b2)C ．有最大值f (a )D ．有最小值f (a ) [答案] C[解析] 令x ＝y ＝0得f (0)＝0，令y ＝－x 得f (0)＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∵x >0时，f (x )<0，设a ≤x 1<x 2≤b ，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在区间[a ，b ]上为减函数，故f (x )在[a ，b ]上有最大值f (a )，选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2011～2012·山东省苍山县期末)若幂函数f (x )的图象经过点A (2,4)，则它在A 点处的切线方程为________．[答案] 4x －y －4＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )的图象过点A (2,4)，∴4＝2α，∴α＝2，∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，故点A 处切线的斜率k ＝4，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.14．(文)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则当x <0时f (x )<0的解集是________． [答案] (－2,0)[解析] 当x ≥0时，由f (x )＝2x－4<0得0<x <2， ∵f (x )为偶函数，∴x <0时，由f (x )<0得－2<x <0.(理)(2011～2012·江苏无锡辅仁中学模拟)函数f (x )＝(|x |－1)(x ＋a )为奇函数，则f (x )的增区间为________．[答案] (－∞，－12]和[12，＋∞)[解析] ∵f (x )是奇函数，x ∈R ，∴f (－2)＝－f (2)， ∴a ＝0，∴f (x )＝x (|x |－1)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －x ≥0－x x ＋x <0，∴f (x )的单调增区间为(－∞，－12]和[12，＋∞)．15．(文)已知f (x )＝log a x ，(a >0且a ≠1)满足f (9)＝2，则f (3a)＝________. [答案] 3[解析] ∵f (9)＝2，∴log a 9＝2，∴a ＝3，∴f (3a)＝log 33a＝a ＝3.(理)定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子：⎝⎛⎭⎪⎫2tan5π4⊗ln e ＋lg100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1的值是________．[答案] 4[解析] 由框图知S ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －1a a ≤ba ＋1b a >b∵2tan5π4＝2，ln e ＝1,2>1， ∴⎝⎛⎭⎪⎫2tan5π4⊗ln e ＝2⊗1＝2＋11＝3， 又∵lg100＝2，⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴lg100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2⊗3＝3－12＝1，∴原式＝3＋1＝4.16．(2011～2012·黄冈市模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x >00 x ＝0－1 x <0，g (x )＝x 2f (x －1)(x ∈R )，则函数g (x )的零点个数有________个．[答案] 2[解析] g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x >10 x ＝1－x 2 x <1，故零点有2个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2011～2012·安徽省六校教育研究会联考)已知函数f (x )＝(x 2－ax )e x(x ∈R )，a 为实数．(1)当a ＝0时，求函数f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在闭区间[－1,1]上为减函数，求a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e xf ′(x )＝2xe x ＋x 2e x ＝(x 2＋2x )e x ，由f ′(x )> 0⇒x >0或x <－2，故f (x )单调增区间为(0，＋∞)和(－∞，－2)． (2)由f (x )＝(x 2－ax )e x，x ∈R 得，f ′(x )＝(2x －a )e x ＋(x 2－ax )e x＝[x 2＋(2－a )x －a ]e x， 记g (x )＝x 2＋(2－a )x －a ， 依题意可得，当x ∈[－1,1]时，g (x )≤0恒成立，结合g (x )的图象特征得⎩⎪⎨⎪⎧g＝3－2a ≤0g －＝－1≤0即a ≥32，∴a 的取值范围是[32，＋∞)．18．(本小题满分12分)(2011～2012·河北衡水中学调研)设函数f (x )＝ax ＋x x －1(x >1)，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从2,3,4,5四个数中任取的一个数，求f (x )>b 恒成立的概率．[解析] 若使f (x )>b 恒成立，只需使ax ＋xx －1－b >0在(1，＋∞)上恒成立． 设g (x )＝ax ＋x x －1－b ，则g ′(x )＝a －1x －2＝a x －2－1x －2令g ′(x )＝0，则a (x －1)2－1＝0 解得：x ＝±a a＋1∴x ∈(1，aa＋1)时，g ′(x )<0 x ∈(aa＋1，＋∞)时，g ′(x )>0 ∴x ＝aa＋1时，函数g (x )取得最小值为 g (aa＋1)＝2a ＋2－b ∴2a ＋2－b >0∴当a ＝1时，b 的值可以是2或3， 当a ＝2时，b 的值可以是2或3或4， 当a ＝3时，b 的值可以是2或3或4或5.∴使f (x )>b 恒成立的取法共有9种，而数对(a ，b )的所有可能取法共有12种， ∴使f (x )>b 恒成立的概率为P ＝912＝34. 19．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·南通市调研)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－ 13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值．[解析] 当1≤t ≤40，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22)＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋25003， 所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝112×223＋12＝25003. 当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52)＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝14912.所以，S (t )的最大值为25003，最小值为8.(理)(2011～2012·黄冈市期末)某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x 表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x 元，又该厂职工工资固定支出12500元．(1)把每件产品的成本费P (x )(元)表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最低成本费；(2)如果该厂生产的这种产品的数量x 不超过3000件，且产品能全部销售．根据市场调查：每件产品的销售价Q (x )与产品件数x 有如下关系：Q (x )＝170－0.05x ，试问生产多少件产品时，总利润最高？(总利润＝总销售额－总的成本)[解析] (1)P (x )＝12500x＋40＋0.05x由基本不等式得P (x )≥212500×0.05＋40＝90 当且仅当12500x＝0.05x ，即x ＝500时，等号成立．答：P (x )＝12500x＋40＋0.05x ，成本的最小值为90元．(2)设总利润为y 元，则y ＝xQ (x )－xP (x )＝－0.1x 2＋130x －12500＝－0.1(x －650)2＋29750 当x ＝650时，y max ＝29750.答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．20．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a 、b ∈[－1,1]，当a ＋b ≠0时，都有f a ＋f ba ＋b>0.(1)若a >b ，比较f (a )与f (b )的大小；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14； (3)记P ＝{x |y ＝f (x －c )}，Q ＝{x |y ＝f (x －c 2)}，且P ∩Q ＝∅，求c 的取值范围． [解析] 设－1≤x 1<x 2≤1，则x 1－x 2≠0， ∴f x 1＋f －x 2x1＋－x 2>0.∵x 1－x 2<0，∴f (x 1)＋f (－x 2)<0. ∴f (x 1)<－f (－x 2)．又f (x )是奇函数，∴f (－x 2)＝－f (x 2)． ∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )是增函数． (1)∵a >b ，∴f (a )>f (b )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －12≤1，－1≤x －14≤1，x －12<x －14，∴－12≤x ≤54.∴不等式的解集为{x |－12≤x ≤54}．(3)由－1≤x －c ≤1，得－1＋c ≤x ≤1＋c ， ∴P ＝{x |－1＋c ≤x ≤1＋c }．由－1≤x －c 2≤1，得－1＋c 2≤x ≤1＋c 2， ∴Q ＝{x |－1＋c 2≤x ≤1＋c 2}． ∵P ∩Q ＝∅，∴1＋c <－1＋c 2或－1＋c >1＋c 2， 解得c >2或c <－1.∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．21．(本小题满分12分)(2011～2012·豫南九校联考)某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数f (x )； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[解析] (1)设商品降价x 元，则多卖出的商品数为kx 2，在一个星期内商品的销售利润为f (x )，由题意得：24＝k ·22，∴k ＝6，所以f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072(0≤x ≤30) (2)f ′(x )＝－18(x －2)(x －12) 令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝12，∴定价为18元时利润最大．22．(本小题满分14分)(2011～2012·江苏无锡市辅仁中学模拟)对于函数f 1(x )，f 2(x )，h (x )，如果存在实数a ，b 使得h (x )＝a ·f 1(x )＋b ·f 2(x )，那么称h (x )为f 1(x )、f 2(x )的生成函数．(1)下面给出两组函数，h (x )是否分别为f 1(x )、f 2(x )的生成函数？并说明理由； 第一组：f 1(x )＝sin x ，f 2(x )＝cos x ，h (x )＝sin(x ＋π3)； 第二组：f 1(x )＝x 2－x ，f 2(x )＝x 2＋x ＋1，h (x )＝x 2－x ＋1.(2)设f 1(x )＝log 2x ，f 2(x )＝log 12 x ，a ＝2，b ＝1，生成函数h (x )．若不等式3h 2(x )＋2h (x )＋t <0在x ∈[2,4]上有解，求实数t 的取值范围．(3)设f 1(x )＝x ，f 2(x )＝1x(1≤x ≤10)，取a ＝1，b >0，生成函数h (x )使h (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．[解析] (1)①设a sin x ＋b cos x ＝sin(x ＋π3)， 即a sin x ＋b cos x ＝12sin x ＋32cos x ，取a ＝12，b ＝32，所以h (x )是f 1(x )，f 2(x )的生成函数．②设a (x 2－x )＋b (x 2＋x ＋1)＝x 2－x ＋1， 即(a ＋b )x 2＋(b －a )x ＋b ＝x 2－x ＋1， 则{ a ＋b ＝b －a ＝－b ＝1，该方程组无解．所以h (x )不是f 1(x )，f 2(x )的生成函数．(2)h (x )＝2f 1(x )＋f 2(x )＝2log 2x ＋log 12 x ＝log 2x ，若不等式3h 2(x )＋2h (x )＋t <0在x ∈[2,4]上有解， 即t <－3h 2(x )－2h (x )＝－3log 22x －2log 2x ，x ∈[2,4]．设s ＝log 2x ，则s ∈[1,2]，y ＝－3log 22x －2log 2x ＝－3s 2－2s ＝－3(s ＋13)2＋13，∴y max ＝－5，∴t <－5.(3)由题意得，h (x )＝x ＋bx(1≤x ≤10，b >0)， 令h ′(x )＝1－b x2＝0，则x ＝b ，1°若b ∈[1,10]，则h (x )在[1，b ]上递减，在[b ，10]上递增， 则h min ＝h (b )＝2b ，所以{ 1≤bb ≥b ，得1≤b ≤4.2°若b ≤1，则h (x )在[1,10]上递增，则h min ＝h (1)＝1＋b ，所以⎩⎨⎧b ≤11＋b ≥b，得0<b ≤1.3°若b ≥10，则h (x )在[1,10]上递减，则h min ＝h (10)＝10＋b10，则⎩⎪⎨⎪⎧b ≥1010＋b 10≥b ，此时无解．综上可知，0<b ≤4.1．(2011～2012·深圳市一调)已知符号函数sgn(x )＝{ 1，x >0，，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由sgn(x )的定义知，sgn(ln x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >10，x ＝1－1，0<x <1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln 2x x >10 x ＝1－1－ln 2x 0<x <1，由⎩⎪⎨⎪⎧x >11－ln 2x ＝0得x ＝e ，又⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1－1－ln 2x ＝0无解，f (1)＝0，∴f (x )的零点有2个．2.(2011～2012·江苏无锡市辅仁中学模拟)如右图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )[答案] C[解析] 解法一：当l 增大时，d 增大，且d 随l 增大的速度先快后慢，到l ＝π时，d 达到最大值，然后d 随l 的增大而减小，减小的速度先慢后快，故选C.解法二：设OA 逆时针旋转到OP 的位置的转角为θ，则0≤θ≤2π，∴l ＝r ·θ＝θ；当θ＝0时，d ＝0，当0<θ<π时，d ＝2sin θ2，当θ＝π时，d ＝2，当π<θ<2π时，d ＝2sin 2π－θ2＝2sin θ2，当θ＝2π时，d ＝0，验证可知，对∀θ∈[0,2π]，有d ＝2sin θ2，∴d ＝2sin l2，故选C.3．已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，若设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2011x 1＋log 2011x 2＋…＋log 2011x 2010的值为( )A ．－log 20112010－2B ．－1C ．log 20112010－1D ．1[答案] B[解析] f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为：y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得，x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，∴x 1×x 2×…×x 2010＝12×23×34×…×20102011＝12011，则log 2011x 1＋log 2011x 2＋…＋log 2011x 2010＝log 2011(x 1×x 2×…×x 2010)＝log 201112011＝－1，故选B. 4．函数f (x )＝2x＋b ，点P (5,2)在函数f (x )的反函数f －1(x )的图象上，则b ＝________. [答案] 1[解析] ∵点P 在函数f (x )的反函数图象上，∴P ′(2,5)在函数f (x )的图象上，∴22＋b ＝5，∴b ＝1.5．(2011～2012·豫南九校联考)奇函数f (x )(x ≠0)在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，那么不等式f (x －1)<0的解集是____________．[答案] {x |x <0或1<x <2}[解析] ∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，f (1)＝0，∴0<x <1时，f (x )<0，又f (x )为奇函数，∴x <－1时，f (x )<0，∴不等式f (x －1)<0化为0<x －1<1或x －1<－1，∴1<x <2或x <0.6．(2011～2012·辽宁本溪一中、庄河高中联考)函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，有下列命题：①f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )的最小值是2；③f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数； ④f (x )没有最大值．其中正确命题的序号是________．(请填上所有正确命题的序号) [答案] ①④[解析] f (x )为偶函数，故①真；∵x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2，∴f (x )≥lg2，故②假；∵f (12)＝lg 52，f (1)＝2，f (2)＝lg 52，∴③假，∵x >0时，f (x )＝lg(x ＋1x)>lg x ，故f (x )无最大值，∴④真．7．工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧16－x ，0<x ≤c23，x >c，(c 为常数，且0<c <6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．(1)将日盈利额y (万元)表示为日产量x (万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)[解析] (1)当x >c 时，p ＝23，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·x ·3－23·x ·32＝0； 当0<x ≤c 时，p ＝16－x，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16－x ·x ·3－16－x ·x ·32＝x －2x 2－x.∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2x 2－x 0<x ≤c 0 x >c(2)由(1)知，当x >c 时，日盈利额为0. 当0<x ≤c 时， ∵y ＝x －2x 2－x，∴y ′＝32·9－4x－x ＋x －2x 2－x 2＝x －x －－x2，令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去)．∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间(0，c ]上单调递增，∴y 最大值＝f (c )＝c －2c 2－c.②当3≤c <6时，在(0,3)上，y ′>0，在(3，c )上y ′<0， ∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减． ∴y 最大值＝f (3)＝92.综上，若0<c <3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大； 若3≤c <6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大．8．(2011～2012·安徽东至县一模)已知函数y ＝－x 2＋ax －a 4＋12在区间[0,1]上的最大值是g (a )．(1)写出g (a )的函数表达式； (2)求g (a )的最小值．[解析] (1)y ＝－(x 2－ax )－a 4＋12＝－(x －a2)2＋a 24－a 4＋12，①a 2∈[0,1]，即a ∈[0,2]时，y max ＝f (a 2)＝a 24－a 4＋12，②a 2∈(－∞，0]时，a ∈(－∞，0]，y max ＝f (0)＝－a 4＋12， ③a 2∈(1，＋∞)时，a ∈(2，＋∞)，y max ＝f (1)＝3a 4－12. ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24－a 4＋12，a－a 4＋12，a3a 4－12，a(2)①当0≤a ≤2时，g (a )＝a 24－a 4＋12＝14(a －12)2＋716， ∴当a ＝12时，g (a )min ＝716，②当a ≤0时，g (a )＝－a 4＋12在(－∞，0]上是单调递减函数，∴当a ＝0时，g (a )min ＝12③当a >2时，g (a )＝3a 4－12在(2，＋∞)上是单调递增函数，∴g (a )>34×2－12＝1， 综上可知：g (a )min ＝716.。
高等数学2-习题集(含答案)
《高等数学2》课程习题集【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。
一、计算题11. 计算 行列式6142302151032121----=D 的值。
2. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
3.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D 的值。
4. 已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ， 计算：333231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。
5.计算行列式 0111101111011110=D 的值。
6. 计算行列式199819981997199619951994199319921991 的值．7. 计算行列式50007061102948023---=D 的值． 8. 计算行列式3214214314324321=D 的值。
9. 已知10333222111=c b a c b a c b a ，求222111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式x a a a xa a ax D n=的值。
11.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。
12.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆．13.设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。
14. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A 的逆。
15. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=461351341A 的逆矩阵。
16. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2300120000230014A 的逆。
17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。
18.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101012211A 的逆．19. 求矩阵112235324-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的逆。
2013年4月份考试高等数学(II-2)第一次作业
2013年4月份考试高等数学(II-2)第一次作业2013年4月份考试高等数学（II-1）第一次作业一、单项选择题（本大题共80分，共 20 小题，每小题 4 分）1. 下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？（）A.B.C.D.2. 下列广义积分收敛的是（）A.B.C.D.3.若是函数的极值，则在处必有( )A. 连续B. 可导C. 不可导D. 有定义4. 在区间上，，则（）A.B.C.D.5.C.D.7.函数在区间（）有界A.B.C.D.8.若均为的原函数，则=（）A.B. 0C.D.9.若，则在x=0处（）A. 有极限B. 极限不存在C. 左右极限都存在D. 不能确定10. 下列等式中，（）是正确的A.B.C.D.11.当时,下列无穷小中,( )是等价无穷小A.B.C.D.12. 下列函数中，（）是偶函数A.B.C.D.13.,则=（）A. 0B. (n-1)aC. (n-1)!D. n!14.若函数在点处可导，则( )是错误的．A.B.C.D.15.设,则=()A.B.C.D.16.设函数存在二阶导数，,则=()A.B.C.D.17.曲线( )A. 有四个极值B. 有两个极值C. 有三个拐点D. 对称原点18.=( ).A. 0B. 1C.1/2D. 219. 设=( )A.B.C.D.20.函数的反函数是（）A.B.C.D.二、判断题（本大题共20分，共 10 小题，每小题 2 分）1.如果当时，为无界函数，则当时，必为无穷大。
2.若函数为偶函数,为奇函数，则一定为奇函数.3.处可导的充分必要条件是在处可微( )4.是无穷小量；5. 周期函数一定有最小正周期.6.设，则7., 则。
8.若在某区间内不连续，则在这个区间内必无原函数.9.设。
10.若函数在处不可导，则在处没有切线。
答案：一、单项选择题（80分，共 20 题，每小题 4 分）1. C2. D3. D4. B5. C6. A7. D8. B9. B 10. D 11. B 12. C 13. D 14.B 15. D 16. B 17. B 18. D 19. D 20. A二、判断题（20分，共 10 题，每小题 2 分）1. ×2. √3. √4. ×5. ×6. ×7. ×8. ×9. × 10. ×。
高等数学第十一章习题课(二)曲面积分
z
B
o
dS
n C
y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3
(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面 问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中 为半球面
的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有 原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D
x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy
( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]
用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S
0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I
1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y
《高等数学》练习题库及答案,DOC
《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=112+x 是（） A.偶函数B.奇函数C 单调函数D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（） A2x 2－2B2－2x 2C1＋x 2D1－x 23A ．C ．4.A C.5A C 6．→lim 1x7．设x 8.当x A.x 2A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y=（）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f （x ）=（1-x ）cotx 要使f （x ）在点：x=0连续，则应补充定义f （0）为（）A 、B 、eC 、-eD 、-e -112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续f(x)=0 14、设1516、函数17AC18、AC、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设26、设27、设28、已知29、已知30A、3132、圆A、-1B、0C、1D、233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）A 、0B 、-dxC 、dxD 、不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（） A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞-∞D 、∞型37、极限012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（） A 、00型38、极限A 39、x x A C 40A C 41、曲线A 42A 、0B 、43A 44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A 、2e x/2B 、4e x/2C 、e x/2+CD 、e x/245、∫xe -x dx=（D ）A 、xe -x -e -x +CB 、-xe -x +e -x +CC 、xe -x +e -x +CD 、-xe -x -e -x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx=（）A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线A50、点（A51A、52、平面A53、方程AC54、方程A55、方程A56AC、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x处连续的（）A、.必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件58函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C 、f(x)=x 2-1D 、f(x)=5x 4-4x+160设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（）A 、-1B 、0C 、1D 、不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（） 2、求极限0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（） 3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（） 456、已知78、已知910、函数11、函数12、函数13、函数14、函数15、点（16、∫xx 17、若18、若∫19、d/dx ∫a b arctantdt =（）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x 在点x=0连续，则a=（） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（）22、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（）23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（）1dx/(4-x2)1/2=（）24、∫25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）9x1/2(1+x1/2)dx=()26、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）27、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49x31、∫9x32、∫43334、设35、函数36、37、383940（）41424344、通过45lim[x/(x+1)]x=（）46求极限∞x→47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）9x1/2(1+x1/2)dx=（）48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
高数下-自测题(含答案)
自测题一参考答案一. 解答下列各题. 1.设2(,)(1)arcsinf x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f .解：2(,1) f x x =，'(,1)2x f x x∴=， '(1,1)2x f ∴=2.已知,, a b c为单位向量,且满足0a b c ++=,计算 a b b c c a ⋅+⋅+⋅.解：0a b c++=，()0a a b c∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅=； 同理，()0b a b c ⋅++= ， 10a b b c ∴+⋅+⋅=； ()c a b c⋅++= ， 10a cbc ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a+⋅+⋅+⋅=，即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f具有二阶连续偏导数, 求2z x y∂∂∂.解：''''12121z x f xf y f f xyf f xy y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦，2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322zx x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y y y y y x x xf f xyf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f具有一阶连续的导数,求z z yxx y∂∂-∂∂.解：'22z x xf z∂=∂-，''22z y f fz y yf z-+∂=∂-，''2xz xf fz z yyxxyf z-∂∂∴-=∂∂-5. 求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y Lx y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.解：直线L 的方向矢量{}1101,1,2111i j k s ==---，所以平面的法矢量为s，故所求的平面方程为(1)(0)2(1)0x y z ----+=，即230x y z ---=6. 求曲面228x yzz +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.解：在点0(2,2,1)M 处，法矢量{}4ln 2,4ln 2,16ln 2n=-//{}1,1,4-，所以切平面方程为：(2)(2)4(1)0x y z -+---=，即 40x y z +-=，法线方程为：221114x y z ---==-二. 设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.解：由线性方程解的结构定理知，该方程的通解为()()212x x y C e x C e x x=-+-+ ()()212'1211x x y C e C e ∴=-+-+，将初始条件(0)1y =, '(0)3y =代入得121131C C C =+⎧⎨=+⎩1212C C =-⎧⇒⎨=⎩ 所以原方程的所求特解为2*2x xy e e =-三. 设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .解：整理方程200()()()x xx f x e x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，两边对x 求导，得 20'()2()xx f x e f t dt=-⎰，再对x 求导，得 2''()4()x f x e f x =-，求解此方程得通解为： 2124()cos sin 5xf x C x C x e =++，由初始条件 (0)1,'(0)f f ==得，1212,55C C ==，所以2124()cos sin 555xf x x x e =++四. +=.解：设0000(,,)M x y z 为曲面上任一点，过0M 切平面的法矢量 n ⎧=⎨⎩，切平面方程为)))0000x x y y z z -+-+-=，即++=该切平面在三个坐标轴的截距为所以2+==五. 在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离. 解：椭球面22221x y z ++=上的点(,,)x y z 到平面26x y z +-=的距离的平方为：()221266d x y z =+--设 ()()22222621F x y z x y z λ=+--+++-由()()()'''222426402262022620210x y z F x y z x F x y z y F x y z z x y z λλλ⎧=+--+=⎪=+--+=⎪⎨=-+--+=⎪⎪++-=⎩得点1111,,222M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2111,,222M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由问题可知，最大值和最小值必定存在，故所求 最近点为1111,,222M ⎛⎫-⎪⎝⎭，最近距离为()1d M =；最远点为2111,,222M ⎛⎫--⎪⎝⎭，最远距离为()2d M =自测题二参考答案六. 解答下列各题. 7. 若L 为曲线1,02yx x x =--≤≤,计算()Lx y ds+⎰.解：1211()(1(1)22Lx y ds x x dx +=-+-=+⎰⎰⎰8. 计算∑, 其中∑是22z x y =+上1z ≤的部分曲面.解：原式D=()2214Dx y dxdy⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰()2120143d d πθρρρπ=+=⎰⎰9. 设()22222()x y t F t fx y dxdy+≤=+⎰⎰, 求'()F t .解：()()2220()2ttF t d fd f d πθρρρπρρρ==⎰⎰⎰，所以 ()2'()2F t t ft π=10. 设L 为椭圆22143x y +=,其周长记为a , 求()22234 Lxyx y ds++⎰.解：原式()212 Lxyds =+⎰212 L Lxyds ds=+⎰⎰01212a a=+=11. 把1()34f x x =+展为形如0(1)nn n a x ∞=-∑的幂级数, 并确定其收敛区间.解：1()34f x x=+174(1)x =+-11471(1)7x =⋅+-014(1)(1)77n nn x ∞=⎡⎤=⋅--⎢⎥⎣⎦∑14(1)(1)7n nn n n x ∞+==--∑由4117x -<得收敛区间为31144x -<<12. 证明()211()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰.证明：交换积分次序，有 左22111100()()y y xxdx e f x dy f x dx e dy ==⎰⎰⎰⎰2110()yx f x e dx =⎰()210()xe ef x dx =-⎰=右，故得证七. 求由曲面22z x y =+及221222z x y =--围成的立体的体积.解：VdV Ω=⎰⎰⎰22221220d d dz πρρθρρ-=⎰⎰⎰()2302123d πρρρ=-⎰24π=八. 计算(s in )(c o s )xx LIey my dx e y m dy =-+-⎰, L 是从点(,0)A a 沿上半圆周22x y ax +=到(0,0)的弧段.解：由格林公式，有sin x Pe y my=-，cos x Q e y m=-，cos x yP e y m=-，cos x xQ e y =，()22(sin )(cos )(sin )(cos )(sin )(cos )0228xx Lx x x x L O AO AxyDDI ey m y dx e y m dy e y m y dx e y m dy e y m y dx e y m dya m a Q P dxdy m dxdym ππ+=-+-=-+---+-⎛⎫=--==⋅⋅=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰九. 求幂级数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域及其和函数.解： 12nna n =⋅， 111(1)2limlim212n n nn n n a n Ra n +→∞→∞++⋅∴==⋅=⋅，所以收敛区间为(2,2)x ∈-当2x=-时，级数为1(1)n n n∞=-∑收敛，当2x=时，级数为11n n ∞=∑发散，故原级数的收敛域为[2,2)x ∈-设1()2nnn x S X n ∞==⋅∑，[2,2)x ∈-，则有111111'()222212n n x S X x x∞-=⎛⎫==⋅=⎪-⎝⎭-∑，所以 012()'()ln22xxS x S t dt dt tx===--⎰⎰，[2,2)x ∈-十. 计算曲面积分3311 y y Ix dydz f y dzdx f dxdy z z y z ∑⎡⎛⎫⎤⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎰⎰, 其中()f u 有连续导数,∑为曲面221z x y =++与平面2z =围成的立体表面外侧.解：利用高斯公式，3Px =，31y Q f y z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1y Rf y z ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()xy z I P Q R dv Ω=++⎰⎰⎰()2233x y dv Ω=+⎰⎰⎰221230132d d dz πρπθρρ+==⎰⎰⎰。
习题课
以这些元素为被积表达式，在闭区域 上 以这些元素为被积表达式，在闭区域D上 积分， 积分，便得
M y = ∫∫ x ( x, y )dσ , M x = ∫∫ y ( x, y )dσ
可以知道薄片的质量为
D
D
D
M = ∫∫ ( x , y )dσ
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高等数学
所以， 所以，薄片的重心的坐标为
R
R 2
2
= ∫ 0 z 2 S Dz d z + ∫ z 2 S Dz d z R
R
2
= ∫ 0 z 2π ( 2 Rz z 2 )d z
5
R 2
1
2
o
1
y
x
59π R5 R + ∫ z 2π ( R 2 z 2 )d z = π R + 47π R = R 480 40 480
5
2
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R R2 ρ 2 ≤ z ≤ R2 ρ 2
I=
o
y
∫
2π
0
dθ ∫
3 R 2
0
ρ dρ ∫
R2 ρ 2
z dz
2
x
R R2 ρ 2
59 π R5 = 480
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高等数学
例6： I = ∫∫∫ z 2d v , ：
2
由 x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 ,
z
及 x 2 + y + z 2 ≤ 2 Rz 所围公共部分
=
∫0
2π
d θ ∫ cos sin d ∫ r dr
b
d v + ∫∫∫
高等数学：习题课二 极限概念与性质(解答)
有ana2 n
ap n1an
。
q an1
an故数q2列an{aan }n收1 敛。
qn
a2
a1
an p an an p an p1 an p1 an p2 an1 an
(qn p2 qn p3 qn1 ) a2 a1
qn1 qn p1
qn1
1q
a2 a1
1q
a2 a1
,证明数列an发散。
5
习题课二 极限的概念与性质
1．
用定义证明：若
xn
0 （ n1,
2, ），且 lim n
xn
a
，
则 lim n
xn
a。
证明：
由 lim n
xn
a
得，
0 ， N N ，使得当 n N 时有| xn a | ，
而|
xn
a | | xn a | | xn a | (a 0时)
xn a
a
a
所以，当 a 0时， lim n
xn
a；
而当 a 0结论显然成立。
6
习题课二 极限的概念与性质
2.设数列{an } 满足： an2 an1 q an1 an (0 q 1, n 1, 2, ) ，
证明数列{an } 收敛。
证明： 若若0aa,11N aa22，，[1则则l由n{a于an(}21为aq一1)]常，数对列，n 显N然,收p敛。N ，
三、Cauchy收敛准则（定理3.3）
数列{an } 收敛 0, N N , 当 m N , n N 时，
有 am an
0, N N , 对 n N ,p N ， 有 an p an
数列{an } 发散
高数 第二章 习题课二
(定数)
10
可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
例6
(a , b) 可导，且a 0, 设 f ( x) 在 [a , b] 连续，
代入上式
1 原式＝－ 6
12
四、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;
证明不等式 ; 研究方程实根等.
13
1、利用函数的单调性证明不等式 例1. 证明
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
5
2x 2 arctan x , 例1：证明 arcsin 2 1 x 2x 证： 令 f x arcsin 2 arctan x 2 1 x , f x 0 f x c
0
e
1 e
在 [ 1 , ) 只有唯一的极大点 x e , 因此在
处
又因 中的最大项 .
也取最大值 .
22
例9 求曲线 x y 2 上点 A(1,1) 处的曲率半径。 解 方程两边对 x 求导
4
4
4 x 4 y y 0
方程两边再对 x 求导
3
3
x y y 0
5、利用泰勒公式证明不等式 例7. 设函数 f ( x) 在 [0 ,1] 上具有三阶连续导数 ,
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷12 (3)
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二一、选择题(36分)1．已知数列{x n }满足x n +1=x n －x n －1(n ≥2)，x 1=a ， x 2=b ， 记S n =x 1+x 2+ +x n ，则下列结论正确的是(A )x 100=-a ，S 100=2b -a (B )x 100=-b ，S 100=2b -a (C )x 100=-b ，S 100=b -a (D )x 100=-a ，S 100=b -a2．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得AE EB =CFFD =λ (0<λ<+∞)，记f (λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则(A ) f (λ)在(0，+∞)单调增加(B ) f (λ)在(0，+∞)单调减少(C ) f (λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D ) f (λ)在(0，+∞)为常数3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个4．在平面直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x －2y +3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为(A )(0，1) (B )(1，+∞) (C )(0，5) (D )(5，+∞)5．设f (x )=x 2－πx ，α = arcsin 13，β=arctan 54，γ=arcos(－13)，δ=arccot(－54)，则 (A )f (α)>f (β)>f (δ)>f (γ) (B ) f (α)> f (δ)>f (β)>f (γ) (C ) f (δ)>f (α)>f (β)>f (γ) (D ) f (δ)>f (α)>f (γ)>f (β)6．如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有 (A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x ，y 为实数，且满足⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3+1997(y －1)=1．则x +y = .2．过双曲线x 2－y 22=1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB | =λ的直线l 恰有3条，则λ= .3．已知复数z 满足⎪⎪⎪⎪2z +1z =1，则z 的幅角主值范围是 ．4．已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．5．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶EFB C D A点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．6．设a =log z +log[x (yz )-1+1]，b =log x -1+log(xyz +1)，c =log y +log[(xyz )-1+1]，记a ，b ，c 中最大数为M ，则M 的最小值为 ． 三、（20分）设x ≥y ≥z ≥π12，且x +y +z =π2，求乘积cos x sin y cos z 的最大值和最小值．四、(20分)设双曲线xy =1的两支为C 1，C 2(如图)，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P 、Q 、R 不能都在双曲线的同一支上；(2)设P (-1，-1)在C 2上， Q 、R 在C 1上，求顶点Q 、R 的坐标．五、(20分)设非零复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5满足⎩⎨⎧a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=4(1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5)=S ．其中S 为实数且|S |≤2．求证：复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{x n }满足x n +1=x n －x n －1(n ≥2)，x 1=a ， x 2=b ， 记S n =x 1+x 2+ +x n ，则下列结论正确的是(A )x 100=-a ，S 100=2b -a (B )x 100=-b ，S 100=2b -a (C )x 100=-b ，S 100=b -a (D )x 100=-a ，S 100=b -a解：x 1=a ，x 2=b ，x 3=b －a ，x 4=－a ，x 5=－b ，x 6=a －b ，x 7=a ，x 8=b ，…．易知此数列循环，x n +6=x n ，于是x 100=x 4=－a ，又x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6=0，故S 100=2b －a ．选A ．2．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得AE EB =CFFD =λ (0<λ<+∞)，记f (λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则(A ) f (λ)在(0，+∞)单调增加 (B ) f (λ)在(0，+∞)单调减少(C ) f (λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D ) f (λ)在(0，+∞)为常数解：作EG ∥AC 交BC 于G ，连GF ，则AE EB =CG GB =CFFD ，故GF ∥BD ．故∠GEF=αλ，∠GFE=βλ，但AC ⊥BD ，故∠EGF=90°．故f (λ)为常数．选D ．3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个解：设首项为a ，公差为d ，项数为n ，则na +12n (n －1)d=972，n [2a +(n －1)d ]=2×972，即n 为2×972的大于3的约数．∴ ⑴ n=972，2a +(972－1)d=2，d=0，a=1；d ≥1时a <0．有一解；⑵n=97，2a +96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解； ⑶n=2×97，n=2×972，无解．n=1，2时n <3.．选C4．在平面直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x －2y +3)2表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为(A )(0，1) (B )(1，+∞) (C )(0，5) (D )(5，+∞)解：看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线x －2y +3=0的距离的比：x 2+(y +1)2|x －2y +3|12+(－2)2=5m <1⇒m >5，选D ．5．设f (x )=x 2－πx ，α = arcsin 13，β=arctan 54，γ=arcos(－13)，δ=arccot(－54)，则 (A )f (α)>f (β)>f (δ)>f (γ) (B ) f (α)> f (δ)>f (β)>f (γ)E FBCDA(C ) f (i )>f (α)>f (β)>f (γ) (D ) f (δ)>f (α)>f (γ)>f (β) 解：f (x )的对称轴为x=π2，易得， 0<α<π6<π4<β<π3<π2<γ<2π3<3π4<δ<5π6．选B ．6．如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有(A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条解：在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A 'D '，作一个平行六面体ABCD —A 'B 'C 'D '，在c 上取线段A 'D '上一点P ，过a 、P 作 一个平面，与DD '交于Q 、与CC '交于R ，则QR ∥a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交．由于可以取无穷多个点P ．故选D ．二．填空题(每小题9分，共54分)1．设x ，y 为实数，且满足⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)=－1，(y －1)3+1997(y －1)=1． 则x +y = .解：原方程组即⎩⎨⎧(x －1)3+1997(x －1)+1=0，(1－y )3+1997(1－y )+1=0．取 f (t )=t 3+1997t +1，f '(t )=3t 2+1987>0．故f (t )单调增，现x －1=1－y ，x +y=2． 2．过双曲线x 2－y 22=1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB | =λ的直线l 恰有3条，则λ= ．解：右支内最短的焦点弦=2b 2a =4．又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2，这样的弦由对称性有两条．故λ=4时设AB 的倾斜角为θ，则右支内的焦点弦λ=2ab 2a 2－c 2cos 2θ=41－3cos 2θ≥4，当θ=90°时，λ=4．与左支相交时，θ=±arccos23时，λ=⎪⎪⎪⎪2ab 2a 2－c 2cos 2θ=⎪⎪⎪⎪41－3cos 2θ=4．故λ=4． 3．已知复数z 满足⎪⎪⎪⎪2z +1z =1，则z 的幅角主值范围是 ．解：⎪⎪⎪⎪2z +1z =1⇔4r 4+(4cos2θ－1)r 2+1=0，这个等式成立等价于关于x 的二次方程4x 2+(4cos2θ－1)x +1=0有正根．△=(4cos2θ－1)2－16≥0，由x 1x 2=14>0，故必须x 1+x 2=－4cos2θ－14>0． ∴cos2θ≤－34．∴ (2k +1)π－arccos 34≤2θ≤(2k +1)π+arccos 34． ∴ kπ+π2－12arccos 34≤θ≤kπ+π2+12arccos 34，(k=0，1)B‘C’D’A‘CDASQ PR acb4．已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．解：SA=SB=SC=2，⇒S 在面ABC 上的射影为AB 中点H ，∴ SH ⊥平面ABC ．∴ SH 上任意一点到A 、B 、C 的距离相等． ∵ SH=3，CH=1，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 与SH 交于O ，则O 为SABC 的外接球球心．SM=1，∴SO=233，∴ OH=33，即为O 与平面ABC 的距离．5．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．解：青蛙跳5次，只可能跳到B 、D 、F 三点(染色可证)． 青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”号：□1□1□1□1□1规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写符号．前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有23－2=6种，后两个□中填号的方法有22种．∴ 共有2+6×4=26种方法．6．设a =log z +log[x (yz )-1+1]，b =log x -1+log(xyz +1)，c =log y +log[(xyz )-1+1]，记a ，b ，c 中最大数为M ，则M 的最小值为 ．解：a=log(x y +z )，b=log(yz +1x )，c=log(1yz +y )．∴ a +c=log(1yz +1x +yz +x )≥2log2．于是a 、c 中必有一个≥log2．即M ≥log2，于是M 的最小值≥log2．但取x=y=z=1，得a=b=c=log2．即此时M=log2．于是M 的最小值≤log2． ∴ 所求值=log2． 三、（本题满分20分）设x ≥y ≥z ≥π12，且x +y +z=π2，求乘积cos x sin y cos z 的最大值和最小值． 解：由于x ≥y ≥z ≥π12，故π6≤x ≤π2 －π12×2=π3．∴ cos x sin y cos z=cos x ×12[sin(y +z )+sin(y －z )]=12cos 2x +12cos x sin(y －z )≥12cos 2π3 =18 ．即最小值．(由于π6 ≤x ≤π3 ，y ≥z ，故cos x sin(y －z )≥0)，当y=z=π12 ，x=π3 时，cos x sin y cos z=18 ． ∵ cos x sin y cos z=cos z ×12[sin(x +y )－sin(x －y )]=12cos 2z －12cos z sin(x －y )．O M2HSA B C 212由于sin(x －y )≥0，cos z >0，故cos x sin y cos z ≤12cos 2z=12cos 2π12 =12(1+cos π6)=2+ 38 ． 当x= y=5π12 ，z=π12 时取得最大值． ∴ 最大值2+38，最小值18．四、(本题满分20分)设双曲线xy =1的两支为C 1，C 2(如图)，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P 、Q 、R 不能都在双曲线的同一支上；(2)设P (-1，-1)在C 2上， Q 、R 在C 1上，求顶点Q 、R 的坐标．解：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上．此三点的坐标为P (x 1，1x 1)，Q (x 2，1x 2)，R (x 3，1x 3)．不妨设0<x 1<x 2<x 3，则1x 1>1x 2>1x 3>0．k PQ =y 2－y 1x 2－x 1=－1x 1x 2；k QR =－1x 2x 3；tan ∠PQR=－1x 1x 2 +1x 2x 31+1x 1x 3x 22<0，从而∠PQR 为钝角．即△PQR 不可能是正三角形．⑵ P (－1，－1)，设Q (x 2，1x 2)，点P 在直线y=x 上．以P 为圆心，|PQ |为半径作圆，此圆与双曲线第一象限内的另一交点R 满足|PQ |=|PR |，由圆与双曲线都是y=x 对称，知Q 与R 关于y=x 对称．且在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数)．于是R (1x 2，x 2)．∴ PQ 与y=x 的夹角=30°，PQ 所在直线的倾斜角=75°．tan75°=1+331－33=2+3．PQ 所在直线方程为y +1=(2+3)(x +1)，代入xy=1，解得Q (2－3，2+3)，于是R (2+3，2－3)．五、(本题满分20分)设非零复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5满足⎩⎨⎧a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=4(1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5)=S ．其中S 为实数且|S |≤2．求证：复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．证明：设a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=a 5a 4=q ，则由下式得a 1(1+q +q 2+q 3+q 4)=4a 1q 4(1+q +q 2+q 3+q 4)．∴ (a 12q 4－4) (1+q +q 2+q 3+q 4)=0，故a 1q 2=±2，或1+q +q 2+q 3+q 4=0．⑴ 若a 1q 2=±2，则得±2(1q 2+1q +1+q +q 2)=S ．⇒S=±2[(q +1q )2+(q +1q )－1]=±2[(q +1q +12)2－54]． ∴ 由已知，有(q +1q +12)2－54∈R ，且|(q +1q +12)2－54|≤1．令q +1q +12=h (cos θ+i sin θ)，(h >0)．则h 2(cos2θ+i sin2θ)－54∈R ．⇒sin2θ=0． －1≤h 2(cos2θ+i sin2θ)－54≤1．⇒14≤h 2(cos2θ+i sin2θ)≤94，⇒cos2θ>0．⇒θ=kπ(k ∈Z ) ∴ q +1q ∈R ．再令q=r (cos α+i sin α)，(r >0)．则q +1q =(r +1r )cos α+i (r －1r )sin α∈R ．⇒sin α=0或r=1．若sin α=0，则q=±r 为实数．此时q +1q ≥2或q +1q ≤－2．此时q +1q +12≥52，或q +1q +12≤－32．此时，由|(q +1q +12)2－54|≤1，知q=－1．此时，|a i |=2．若r=1，仍有|a i |=2，故此五点在同一圆周上．⑵ 若1+q +q 2+q 3+q 4=0．则q 5－1=0，∴ |q |=1．此时|a 1|=|a 2|=|a 3|=|a 4|=|a 5|，即此五点在同一圆上．综上可知，表示复数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．。
2013年山东省专升本高等数学(专业课)专题二检测题答案
2013年山东省本科生入学考试高等数学（专业课）答案专题二：导数与微分检测题标准答案一、单项选择题：每小题2分，共10分.1.C2.A3.C4.D5.B二、填空题：每小题2分，共10分.6.y=0和x=-17.e y/（1-xe y）dx8.π/6+31/29.x=21/2/210.（-1）n-1·[（n-1）！/（1+x）n]三、计算题：每小题5分，共20分.11. 已知f（x）=arcsin[（㏑cosx）1/2]，求dy/dx.解:由题意得，f（x）是由y=arcsinu，u=v1/2，v=㏑w和w=cosx 复合而成，故根据复合函数求导的链式法则得：f＇（x）= dy/dx=（dy/du）·（du/dv）·（dv/dw）·（dw/dx）=1/（1-u2）1/2·1/2（v1/2）·1/w·（-sinx）=1/（1-㏑cosx）1/2·1/2（㏑cosx）1/2·1/cosx·（-sinx）=（-2tanx）/[㏑cosx（1-㏑cosx）]1/2.12. 设由方程y=F（x2+y2）+F（x+y），确定隐函数y=y（x），又F（x）可导，且F＇（2）=1/2，F＇（4）=1，y（0）=2，求dy/dx┃x=0.解：方程两边同时对x求导，得：dy/dx=y＇=F＇（x2+y2）（2x+2yy＇）+F＇（x+y）（1+y＇），整理，得：dy/dx= y＇=[2x F＇（x2+y2）+ F＇（x+y）]/[1-2yF＇（x2+y2）- F＇（x+y）]∴dy/dx┃x=0=F＇（2）/[1-4F＇（4）-F＇（2）]=（1/2）/（1-4-1/2）=（1/2）/（-7/2）=-1/7.13. 已知y=┃㏑┃x┃┃在x=1和x=-1处的连续性与可导性. 解：由题意得，原函数可化为y=f（x）={ ㏑x ，x≥1{ -㏑x ，0＜x＜1{-㏑（-x），-1＜x＜0{ ㏑（-x），x≤-1 （1）.该分段函数在x=1处的连续性：lim x→1-f（x）= lim x→1-（-㏑x）= lim x→1-（-㏑1）=0；lim x→1+f（x）= lim x→1+（㏑x）= lim x→1+（㏑1）=0，∵lim x→1-f（x）= lim x→1+f（x），∴该分段函数在x=1处连续. （2）.该分段函数在x=1处的可导性：f-＇（1）= lim x→1-{[f（x）-f（1）]/（x-1）}= lim x→1-{[（-㏑x）-（㏑1）]/（x-1）}= lim x→1-[（-㏑x）/（x-1）]=- lim x→1-[1/（x-1）·㏑x]=- lim x→1-（㏑x）[1/（x-1）]= - lim x→1-㏑[1+（x-1）] [1/（x-1）]=-1.f+＇（1）= lim x→1+{[f（x）-f（1）]/ （x-1）}= lim x→1+{[（㏑x）-0]/（x-1）}= lim x→1+[㏑x/（x-1）]= lim x→1+㏑[1+（x-1）] [1/（x-1）]=1.∵f-＇（1）≠f+＇（1），∴该分段函数在x=1处不可导. （3）. 该分段函数在x=-1处的连续性：lim x→-1-f（x）= lim x→-1-㏑（-x）= lim x→-1-㏑（1）=0；lim x→-1+ f（x）=- lim x→-1+㏑（-x）=- lim x→-1+㏑（1）=0，∵lim x→-1-f（x）= lim x→-1+ f（x），∴该分段函数在x=-1处连续.（4）. 该分段函数在x=-1处的可导性：f-＇（-1）=lim x→-1-{[f（x）-f（-1）]/（x+1）}= lim x→-1-{[㏑（-x）-0]/（x+1）}= lim x→-1-[㏑（-x）/（x+1）]= lim x→-1-㏑[1-（x+1）][-1/（x+1）]·（-1）=㏑e-1=-1.f+＇（-1）=lim x→-1+{[f（x）-f（-1）]/（x+1）}= lim x→-1+{[-㏑（-x）-0]/（x+1）}=- lim x→-1+ [㏑（-x）/（x+1）]=- lim x→-1+㏑[1-（x+1）][-1/（x+1）]·（-1）=-㏑e-1=1.∵f-＇（-1）≠f+＇（-1），∴该分段函数在x=-1亦处不可导. 综上所述，该函数y=┃㏑┃x┃┃在x=1和x=-1处都连续，在x=1和x=-1处都不可导.14.求曲线x2/3+y2/3=a2/3在点（21/2/4a，21/2/4a）处的切线方程和法线方程.解:方程两边同时对x求导，得：2/3x-1/3+2/3y-1/3·y＇=0，解得：y＇=-（y/x）1/3即dy/dx=-（y/x）1/3∴dy/dx┃（21/2/4a，21/2/4a）=-1，即该点处的切线斜率为-1，故该点处的切线方程为y-（21/2/4）a=-[x-（21/2/4）a]，整理得：x+y-（21/2/2）a=0.该点处的法线斜率为1，故该点处的法线方程为y-21/2/4a= x-（21/2/4）a，整理得：x-y=0.因此该点处的切线方程为x+y-（21/2/2）a=0，该点处的法线方程为x-y=0.四、证明应用题：每小题5分，共10分.15.解：由题意可知该函数的定义域为R，∴y＇=6x-3x2=3x （2-x）=-3x（x-2），y＂=6-6x=-6（x-1）.令y＇=0，得：x1=0，x2=2；令y＂=0，得：x3=1.由y＇＞0，得：0＜x＜2；由y＇＜0，得：x＜0或x＞2；由y＂＞0，得：x＜1；由y＂＜0，得：x＞1.当x变化时，y＇、y＂和y的变化如下表所示：由表格可知：极小值为f（0）=0；极大值为f（2）=4.因此函数在(-∞，0)和(2，+∞)上单调递减；在(0，2)上单调递增；极小值为0，极大值为4；上凸区间（凹区间）为(-∞，1)；下凸区间为（1，+∞)；拐点为（1，2）.16.证明：由题意，可对f（x）在闭区间[a，c]，[c，b]上分别应用拉格朗日中值定理，得:f＇（ζ1）=[f（c）-（a）]/（c-a），ζ1∈（a，c）；f＇（ζ2）=[f（b）-（c）]/（b-c），ζ2∈（b，c）.∵A、B、C三点在同一直线上，∴[f（c）-（a）]/（c-a）=[f（b）-（c）]/（b-c）=[f（b）-（a）]/（b-a）故f＇（ζ1）= f＇（ζ2），因此f＇（x）在[ζ1，ζ2]上满足罗尔定理的条件，于是至少存在一点ζ∈（ζ1，ζ2）∈（a，b），使得f＂（ζ）=0.。
高等数学自测题第13章 自测题2答案
第13章 自测题2答案一、选择题（每小题4分） 1、设OM 是从O （0，0）到M （1，1）的直线段，则与曲线积分⎰+=OMyx s eI d 22不相等的积分是(A)⎰102d 2xex(B) ⎰12d 2yey(C )⎰2d re r(D )⎰1d 2rer2、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2 (a >0)负向一周，则曲线积分答 ( ) 答： (A) 3、设C 为沿x 2+y 2=R 2逆时针方向一周，则用格林公式计算，答( )答：（D ） 4、曲线积分的值(A)与曲线L的形状有关(B)与曲线L的形状无关(C)等于零(D)等于2π答( )答：（A）二、填空题（每小题4分）1、设f(x)有连续导数，L是单连通域上任意简单闭曲线，且则f(x)=_______.答：x2+c2、设是由A(－2，3)沿y=x2－1到点M(1，0)，再沿y=2(x－1)到B(2，2)的路径，则 ________.答：103、设力的模 , 的方向与相同，则在力的作用下，质点沿曲线L：正向绕行一周，力所做的功可用曲线积分表示为________________.答：⎰+++-L yxyxxy22dd4、若是某二元函数的全微分，则m=______.答：1三、解答题（每小题6分）1、求自x=1到x=e之间的一段曲线的弧长。
2、设心脏线L的极坐标方程为r=a(1－cosθ) (0≤θ≤2π)，其线密度为常量μ，求L 的形心坐标( ).3、求质点M (x , y )受作用力 沿路径L 所作的功W . L 是3、3 . 求质点M (x , y )受作用力 沿路径L 所作的功W . L 是沿椭圆4x 2+y 2=4顺时针方程的一周。
4、求半径为R 的均匀半圆周L (线密度为δ=1)对于位于圆心的单位质量的质点的引力。
5、设质线L 的方程为 ，L 上的任意点(x ,y )处的线密度为 求质线L 的质心坐标(ξ,η).解：L 参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 44sincos 0≤t ≤2πtt t t t s d sincossin cos 4d 44+=对L 方程质线的线密度yx xy +=μ而言，变量x 与y 是对等的，故..ηξ=质线L 的质量⎰=Lsm d μ⎰⎰⎰=+⋅⋅+=+=2332444444d cos sin4d sincossin cos 4sincossincos d ππtt t tt t t t tt tt syx xy L31=⎰⎰===237d cos sin 12d 1πμηξtt t sy mL103=故质心坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛103 , 1036、利用曲线积分计算星形线⎪⎩⎪⎨⎧==θθ33sin cos a y a x 所围区域面积。
《高等数学》章节自测题答案
《高等数学》章节自测题答案第1部分函数、极限与连续（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ A ）（ B ）（ D ）（ D ）（ B ）时有（ D ）二．填空题（共15分）的连续区间是三．判断下列各组极限运算的正误（8分）1．２．；；３．；；；四．求下列极限（20分）答案：2答案：答案：答案：1五．求函数的间断点，并判断类型（10分）答案：为第一类（可去）间断点；为第二类（无穷）间断点六．已知是连续函数，求的值（9分）答案：七．用零点定理证明方程在内有两个实根（20分）答案：两次利用零点定理即可．第2部分导数与微分（单元自测题）一．单项选择题（共10分）（ D ）表示（ B ）（ C ）（ D ）,函数的导数是（ C ）二．填空题（共22分）将适当的函数填入括号内(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)三．求下列函数的导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：四．求下列函数的二阶导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：五．设，求（16分）答案：六．已知曲线的方程是，求曲线在点处的切线方程（10分）答案：七．已知曲线的参数方程是，求曲线在处的切线方程和法线方程．答案：切线方程；法线方程．第3部分导数的应用（单元自测题）一．单项选择题（共10分）在区间（ B ）上满足罗尔定理条件（ D ）（ D ）（ A ）极限（ C ）二．填空题（共15分）,最小值是的单调减少区间是三．求下列极限（20分）答案：答案：答案：答案：答案：四．求函数的极值和单调区间（10分）答案：五．证明曲线总是凹的（10分）答案：六．曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点处的曲率半径．（10分）答案：七．求函数的四阶麦克劳林公式（10分）答案：．八．要做一圆锥形漏斗，其母线长为20cm，问要使得漏斗体积最大，其高应为多少？答案：第4部分不定积分（单元自测题）一．单项选择题（共15分）（ B ）（ B ）（ B ）（ C ）；；不定积分（ D ）二．填空题（共15分），称为的不定积分三．求下列不定积分（55分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．试用三种方法求不定积分（15分）答案：方法一：令；方法二：分子；方法三：令第5部分定积分（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ C ）（ A ）（ C ）（ B ）；；；（ D ）（ B ）二．填空题（共15分）原函数三．计算下列定积分（24分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．下列积分中，使用的变换是否正确?如不正确，请改正，并计算各定积分．（12分）答案：不正确，直接法，答案：正确，答案：不正确，几何意义或者令，五．已知有连续的二阶导数，求（10分）答案：六．判断下列广义积分的收敛性（12分）答案：答案：发散答案：答案：发散七．研究函数的单调性，并求其极值（9分）答案：第6部分定积分的应用（单元自测题）一．单项选择题（共20分）（ A ）而成的立体体积为（ B ）（ A ）4 （ C ）（ D ）二．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：三．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：四．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：五．求曲线所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积（10分）答案：六．半径为10m的半球形水池内充满了水，求把池内水抽干所做的功（15分）答案：七．一水坝中有一直立矩形闸门，宽10m，深6m，求当水面在闸门顶上8m的时闸门所受水的压力（15分）答案：八．抛物线分圆盘为两部分，求这两部分面积的比（10分）答案：第7部分常微分方程（单元自测题）一．解下列可分离变量方程（共12分）答案：答案：答案：二．解下列齐次方程（8分）答案：答案：三．解下列一阶线性方程（25分）答案：答案：答案：答案：答案：四．解下列可降阶的高阶微分方程（15分）答案：答案：答案：五．解下列二阶常系数线性微分方程（30分）答案：答案：答案：答案：．答案：六．已知某厂的纯利润对广告费的变化率为,与常数和纯利润之差成正比，当时，,试求纯利润与广告费之间的函数关系.（1０分）答案：第8部分空间解析几何与向量代数（单元自测题）一．各类计算题（共30分）在坐标面上求与三已知点等距离的点答案：已知向量的方向角且，求答案：求过点且与平面垂直的直线方程答案：求同时垂直于向量和向量的单位向量答案：5．求过直线的平面方程答案：已知垂直，求答案：二．求以为顶点的四边形面积(10分)答案：三．求两平面，的夹角（10分）答案：四．判断下列线与线、线与面之间的位置关系（20分）答案：互相垂直答案：重合答案：平行答案：直线在平面上五．求点到直线的距离（10分）答案：六．求平面曲线绕轴旋转所得曲面的方程（10分）答案：七．求曲线在面上的投影（10分）答案：第9部分多元函数微积分（单元自测题）一．关于一阶偏导数（共16分）若，求答案：若，求答案：若，求答案：若，求答案：二．关于高阶（二阶）偏导数（12分）若，求答案：若，求答案：三．关于复合函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：四．关于隐函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：五．关于极值问题（12分）求的极值答案：设，求在条件下的极小值答案：六．交换下列积分次序（16分）答案：答案：答案：答案：七．计算下列二重积分（24分），答案：答案：，答案：，答案：第10部分无穷级数（单元自测题）一．判断下列级数的敛散性（共30分）答案：收敛答案：发散答案：收敛答案：发散5．答案：条件收敛答案：绝对收敛答案：绝对收敛答案：时绝对收敛；时发散答案：收敛答案：收敛二．证明（6分）答案：利用级数收敛的必要条件三．求下列级数的收敛域（12分）答案：答案：答案：答案：四．求下列幂级数在收敛域内的和函数（12分）答案：答案：五．将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：答案：六．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：七．把下列函数展成傅立叶级数（16分）答案：答案：第11部分概率（单元自测题）一．单项选择题（共24分）（ B ）设为随机事件，,则必有（ A ）设互为对立事件，且,则下列各式中错误的是（ A ）抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是（ C ）设随机变量的分布函数为，下列结论中不一定成立的是（ D ）下列各函数中是随机变量分布函数的是（ B ）如果函数是某连续型随机变量的概率密度，则区间可以是（ C ）设随机变量的概率密度为，令,则的概率密度为（ D ）二．填空题（15分）设与互相独立，则某射手命中率为，他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为设为连续型随机变量，是一个常数，则= 0设∽，则= 0.5设∽，则的概率密度=三．设（8分）答案：0.4四．设为两个随机事件，证明与相互独立（10分）五．已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：（10分）(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率．答案：(1)0.9325；(2)0.9984六．袋中有2个白球，3个红球，现从袋中随机地抽取2个球，以表示取到的红球，求的分布律（10分）答案：0 1 2七．设的概率密度为, 求：（10分）(1) 的分布函数；(2) ．答案：(1) ；(2)0.625，0.625八．已知某种类型电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，它的概率密度为，一台仪器装有4个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子元件损坏与否互相独立。
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n1
n1
若 un i vn
un2 vn2 收敛, 则称①绝对收敛.
n1
n1
由于 un un2 vn2 ,
vn un2 vn2 ,故知
(un i vn )绝对收敛
n1
un , vn绝对收敛
n1
n1
( un i vn )收敛.
n1
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
定义: 复变量
的指数函数为
易证它在整个复平面上绝对收敛.
当 y = 0 时,它与实指数函数 e x 的幂级数展开式一致.
当 x = 0 时,
ei y 1 i y 1 (i y)2 1 (i y)3 1 (i y)n
2!
3!
n!
1
1 2!
y2
1 4!
y4
(1)n (2n)!
y2n
s( x) (n 1)( x 1)n . n0
两边逐项积分
x
s( x)dx
x (n 1)( x 1)n dx
1
n0 1
( x 1)n1 n0
x1 x1, 1 ( x 1) 2 x
两边对 x求导，得
s( x)
( x 1 ) 2 x
1 (2 x)2
0 x 2.
例6
求2x
34！x 3
6 5!
x5
8 7!
x7
的收敛域
与和函数.
解
(1)n1 2nx2n1
n1
(2n 1)!
(1)n1 (2n 1) 1 x2n1
n1
(2n 1)!
(1)n1
1
x2n1 (1)n1
1
x 2 n1
n1
(2n 2)!
n1
(2n 1)!
x (1)n1
1
n 1 2e 1.
n1 n!
例6
求2x
34！x 3
6 5!
x5
8 7!
x7
的收敛域
与和函数.
解 令s( x) (1)n1 2nx 2n1 ,
n1
(2n 1)!
两边逐项求积分得
x s( x)dx
x (1)n1 2nx2n1 dx
0
0 n1
(2n 1)!
即
x
s( x)dx
注意 (1) 弄清函数在哪一点展开； (2) 用间接法； (3) 记住常用函数的展开式.
ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn
2! 3
n!
x (,)
sin x x 1 x3 1 x5 1 x7 (1)n1 x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 1 x2 1 x4 1 x6 (1)n x2n
三、函数展开成幂级数
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 ) n!
(x
x0 )n
特别 :当x0 0时,
f ( x) f (0) f (0) x f (0) x 2 f (n) ( x0 ) x n
2!
n!
n1 n
2.
n1
n 2n
x2n;
3.
n1
(1)n1
(
x
2)n n2
.
[ 1 , 1 ); 55
( 2, 2); [1, 3]
二、求幂级数的和函数.
1.
xn ;
n1 n(n 1)
2.
n1
(1)n1
1
1 n(2n
1)
x2n
.
（2005考研）
1.
s( x)
1
(
1 x
1)ln(1 0,
2
12
.
11分
例8 设 an为曲线 y xn与 y xn1(n 1, 2,)所围成区域
的面积，记 s1 an ，s2 a2n1，求 s1 与 s2 的值.
解
曲线
y
x n与
y
n1
x n1
n1
的交点为(0,
0)和(1,1（)，2009考研）
an =
1
(
xn
xn1 )dx
1
1
.
0
n1 n2
ln[1 ( x 1)] (1)n1 ( x 1)n
n1
n
1 x 1 1 即x (0, 2]
而ln[2 (x 1)] ln2 ln(1 x 1)
2
1
x1
ln 2 (1)n1
n1
1 即x (1, 3]
( x 1)n n2n
2
ln x
1
x
ln2
n1
(1)n1(1
1 2n
R 2, (2, 2); R 1, p 1 时 [1, 1];
0 p 1 时 [1, 1).
例2 求级数 (n 1)( x 1)n 收敛域及和函数. n0
解 (n 1)( x 1)n 的收敛半径为 R 1, n0
收敛域为 1 x 1 1, 即 0 x 2,
设此级数的和函数为s( x), 则有
)
(x
1)n n
x (0,2]
例5 求 n 1 xn的和函数，并求 n 1的和.
n1 n!
n1 n!
解
n 1 xn
1
xn
1 xn
n1 n!
n1 (n 1)!
n1 n!
x
1
xn1
1 xn
n1 (n 1)!
n1 n!
xe x e x 1 x (, )
当 x 1时，
4 1 x 2 展开成 x 的幂级数. (2)将函数 ln x 展开成( x 1)的幂级数.
1 x
解(1) f ( x) 1 (ln 1 x ) 1 (arctan x) 1 4 1 x 2
1 4
(1 1
x
1 1
) x
1 2
1 1 x2
1
x4 1 x4
x4n 1 x 1 n1
对上式两边积分得
( A) (1,1] (B) [1,1) (C ) [0,2) (D) (0,2]
（2011考研）
求幂级数 4n2 4n 3 x2n 的收敛域与和函数.
n0 2n 1
2012年数学一
解 由lim an1 1，得R 1.
a x n
当 x 1时,级数
4n2 4n 3 x2n 发散,收敛域为(1,1).
y
1 y3 3!
1 y5 5!
(1)n1 (2n 1)!
y 2 n1
cos y i sin y
ei x cos x i sin x ei x cos x i sin x
（欧拉公式）
则
（也称欧拉公式）
y
利用欧拉公式可得复数的指数形式
z xiy
z x i y r (cos i sin )
x),
1,
x [1,0) (0,1),
x 0, x 1.
2.
s(
x)
2x
arctan
x
ln(1
x2
)
1
x2 x2
,
x
(1,1)
求幂级数
xn 的收敛域与和函数.
n1 n(n 1)
解：收敛域为[1,1] 设s( x)
xn , x [1,1].
n1 n(n 1)
s(x) ( 1
2分
an
2
(1
0
x2 )cos nxdx
4 n2
( 1)n1 ,
n 1,2,
5分
f
(
x
) a0 2
令x
n1
an
cos nx
1
2
3
0,有f (0) 1 2 4
3
n1
(1)n1
4
n1
n2
(1)n1 n2 ,
cos
nx
,
0
x
7分
又f
(0)
1，所以
n1
(1)n1 n2
=
2! 4! 6!
(2n)!
x (, )
ln(1 x ) (1)n1 x n
n1
n
x (1, 1]
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m 2)(m n 1) xn n!
x (1, 1)
欧拉(Euler)公式(P180)
对复数项级数
①
若 un u, vn v, 则称①收敛,且其和为 u i v .
x (1)n1 2nx2n1 dx
0
0 n1
(2n 1)!
(1)n1
x 2nx2n1 dx
n1
0 (2n 1)!
(1)n1
x2n
x (1)n1
x 2n1
n1
(2n 1)! n1
(2n 1)!
x sin x x (,)
故 s( x) ( x sin x)'
sin x x cos x x (,)
e xi y e x (cos y i sin y) e x