高等数学自测题习题课(2)(2013)

y
1 y3 3!
1 y5 5!
(1)n1 (2n 1)!
y 2 n1
cos y i sin y
ei x cos x i sin x ei x cos x i sin x
（欧拉公式）
则
（也称欧拉公式）
y
利用欧拉公式可得复数的指数形式
z xiy
z x i y r (cos i sin )
n1
n1
若 un i vn
un2 vn2 收敛, 则称①绝对收敛.
n1
n1
由于 un un2 vn2 ,
vn un2 vn2 ,故知
(un i vn )绝对收敛
n1
un , vn绝对收敛
n1
n1
( un i vn )收敛.
n1
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
x),
1,
x [1,0) (0,1),
x 0, x 1.
2.
s(
x)
2x
arctan
x
ln(1
x2
)
1
x2 x2
,
x
(1,1)
求幂级数
xn 的收敛域与和函数.
n1 n(n 1)
解：收敛域为[1,1] 设s( x)
xn , x [1,1].
n1 n(n 1)
s(x) ( 1
0 n0
1 x2 (1 x2 )2
2 x
x1 0 1 x2 dx
1 x2 (1 x2 )2
2 x
1 1 ln
2 1
x x
又
s(0)
3， s( x)
1
(1
x2 x2)
1 x
ln 1 1
x x
3
,0 x 1， , x 0.
一、 求下列幂级数的收敛域.
1. 3n 5n xn;
2! 4! 6!
(2n)!
x (, )
ln(1 x ) (1)n1 x n
n1
n
x (1, 1]
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m 2)(m n 1) xn n!
x (1, 1)
欧拉(Euler)公式(P180)
对复数项级数
①
若 un u, vn v, 则称①收敛,且其和为 u i v .
注意 (1) 弄清函数在哪一点展开； (2) 用间接法； (3) 记住常用函数的展开式.
ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn
2! 3
n!
x (,)
sin x x 1 x3 1 x5 1 x7 (1)n1 x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 1 x2 1 x4 1 x6 (1)n x2n
ln[1 ( x 1)] (1)n1 ( x 1)n
n1
n
1 x 1 1 即x (0, 2]
而ln[2 (x 1)] ln2 ln(1 x 1)
2
1
x1
ln 2 (1)n1
n1
1 即x (1, 3]
( x 1)n n2n
2
ln x
1
x
ln2
n1
(1)n1(1
1 2n
ry
r ei
o xx
据此可得
(cos i sin )n cos n i sin n
y z xiy
(德莫弗公式)
ry
利用幂级数的乘法, 不难验证
o xx
e z1 z2 e z1 e z2
特别有
e xi y e x ei y e x (cos y i sin y) ( x, y R)
n1 n
2.
n1
n 2n
x2n;
3.
n1
(1)n1
(
x
2)n n2
.
[ 1 , 1 ); 55
( 2, 2); [1, 3]
二、求幂级数的和函数.
1.
xn ;
n1 n(n 1)
2.
n1
(1)n1
1
1 n(2n
1)
x2n
.
（2005考研）
1.
s( x)
1
(
1 x
1)ln(1 0,
)
(x
1)n n
x (0,2]
例5 求 n 1 xn的和函数，并求 n 1的和.
n1 n!
n1 n!
解
n 1 xn
1
xn
1 xn
n1 n!
n1 (n 1)!
n1 n!
x
1
xn1
1 xn
n1 (n 1)!
n1 n!
xe x e x 1 x (, )
当 x 1时，
1
)xn
xn
xn xn 1 xn1
n1 n n 1
n1 n n1 n 1 n1 n x n1 n 1
xn 1 ( xn x) ln(1 x) 1 ln(1 x) 1 s(0) 0
s( x) (n 1)( x 1)n . n0
两边逐项积分
x
s( x)dx
x (n 1)( x 1)n dx
1
n0 1
( x 1)n1 n0
x1 x1, 1 ( x 1) 2 x
两边对 x求导，得
s( x)
( x 1 ) 2 x
1 (2 x)2
0 x 2.
2分
an
2
(1
0
x2 )cos nxdx
4 n2
( 1)n1 ,
n 1,2,
5分
f
(
x
) a0 2
令x
n1
an
cos nx
1
2
3
0,有f (0) 1 2 4
3
n1
(1)n1
4
n1
n2
(1)n1 n2 ,
cos
nx
,
0
x
7分
又f
(0)
1，所以
n1
(1)n1 n2
=
n0 2n 1
记 s( x) 4n2 4n 3 x2n
n0 2n 1
(2n 1)x2n 2
x2n
n0
n0 2n 1
n0
x
2n1
2 x
n0
x2n1 2n 1
s( x)
n0
x
2
n1
2 x
n0
x2n1 2n 1
x 1 x2
2 x
x
(
x2n )dx
4 1 x 2 展开成 x 的幂级数. (2)将函数 ln x 展开成( x 1)的幂级数.
1 x
解(1) f ( x) 1 (ln 1 x ) 1 (arctan x) 1 4 1 x 2
1 4
(1 1
x
1 1
) x
1 2
1 1 x2
1
x4 1 x4
x4n 1 x 1 n1
对上式两边积分得
第11章 函数项级数
一、幂级数及其收敛域
an ( x x0 )n
n0
(n0 an xn ) (an为幂级数的系数)
定 义
幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域.
收
敛 若lim an1
半
a n n
径
求 (或
limn
n
an
)
法
R
=
1
，
0，
， 0， 0， .
注 意
收敛区间的端点需要单独考虑.
f ( x ) f (0) x f ( x )dx 0
x
(
x4n )dx
x 4n1
0 n1
n1 4n 1
f (0) 0
f (x)
x 4n1
n1 4n 1
(1 x 1)
(1 x 1)
解(2)
ln x ln x ln(1 x) 1 x
ln[1 ( x 1)] ln[2 ( x 1)]
例 证明级数 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +收敛，并求它的和. 2 4 8 16 32
证
lim un1 u n
n
(2n 1) 2n
lim
n
2n1
(
2n
1)
1 2
1,
例3 求极限 解: 令
其中
作幂级数
易知其收敛半径为 1,设其和为
则
例4 (1)将函数f ( x) 1 ln 1 x 1 arctan x x
x (1)n1 2nx2n1 dx
0
0 n1
(2n 1)!
(1)n1
x 2nx2n1 dx
n1
0 (2n 1)!
(1)n1
x2n
x (1)n1
x 2n1
n1
(2n 1)! n1
(2n 1)!
x sin x x (,)
故 s( x) ( x sin x)'
sin x x cos x x (,)
e xi y e x (cos y i sin y) e x
例1 求下列幂级数的收敛域.
(1)
2n xn;
n1
(2)
n1
(1)n1
(
x 3)n n 3n
;
x 2n1
(3) n0 4n ;
xn
(4) n1 n p .
R 1 , ( 1 , 1 ); 2 22
R 3, (0, 6];
二、求和函数 s(x)
求 an xn的和函数的基本思想是 ：
n0
1）记住等比级数的和： aqn
a
( q 1)
n0
1q
利用幂级数的性质(逐项求导或逐项积分)
将所给幂级数化为等比级数求和.
2）记住sinx、ln(1+x)、cosx、ex 等的展开式， 利用幂级数的性质(逐项求导或逐项积分) 将所给幂级数化为这些展开式求和.
( A) (1,1] (B) [1,1) (C ) [0,2) (D) (0,2]
（2011考研）
求幂级数 4n2 4n 3 x2n 的收敛域与和函数.
n0 2n 1
2012年数学一
解 由lim an1 1，得R 1.
a x n
当 x 1时,级数
4n2 4n 3 x2n 发散,收敛域为(1,1).
R 2, (2, 2); R 1, p 1 时 [1, 1];
0 p 1 时 [1, 1).
例2 求级数 (n 1)( x 1)n 收敛域及和函数. n0
解 (n 1)( x 1)n 的收敛半径为 R 1, n0
收敛域为 1 x 1 1, 即 0 x 2,
设此级数的和函数为s( x), 则有
2
12
.
11分
例8 设 an为曲线 y xn与 y xn1(n 1, 2,)所围成区域
的面积，记 s1 an ，s2 a2n1，求 s1 与 s2 的值.
解
曲线
y
x n与
y
n1
x n1
n1
的交点为(0,
0)和(1,1（)，2009考研）
an =
1
(
xn
xn1 )dx
1
1
.
0
n1 n2
定义: 复变量
的指数函数为
易证它在整个复平面上绝对收敛.
当 y = 0 时,它与实指数函数 e x 的幂级数展开式一致.
当 x = 0 时,
ei y 1 i y 1 (i y)2 1 (i y)3 1 (i y)n
2!
3!
n!
来自百度文库
1
1 2!
y2
1 4!
y4
(1)n (2n)!
y2n
9分
求幂级数
n1
(1)n1 2n 1
x2n 的收敛域及和函数（. 2010考研）
(1)n1 x2n x arctan x, x [1,1]
n1 2n 1
n
设数列{an
}单调减少，lim n
an
0, sn
ak
k 1
(n 1,2,)
无界，则幂级数 an( x 1)n 的收敛域为( C ). n1
2分
s1
an
n1
1 (
n1 n 1
1 n
) 2
1. 2
4分
s2
a2n1
n1
1 (
n1 2n
1 )
2n 1
(1)n
n2
1 .
n
6分
(1)n xn 的收敛域为(1,1],和函数为 ln(1 x).
s( x)
n1
n2
n (1)n
n
xn
x
ln(1
x ), 令x
1, 得s2
s(1)
1 ln 2.
例6
求2x
34！x 3
6 5!
x5
8 7!
x7
的收敛域
与和函数.
解
(1)n1 2nx2n1
n1
(2n 1)!
(1)n1 (2n 1) 1 x2n1
n1
(2n 1)!
(1)n1
1
x2n1 (1)n1
1
x 2 n1
n1
(2n 2)!
n1
(2n 1)!
x (1)n1
1
n 1 2e 1.
n1 n!
例6
求2x
34！x 3
6 5!
x5
8 7!
x7
的收敛域
与和函数.
解 令s( x) (1)n1 2nx 2n1 ,
n1
(2n 1)!
两边逐项求积分得
x s( x)dx
x (1)n1 2nx2n1 dx
0
0 n1
(2n 1)!
即
x
s( x)dx
三、函数展开成幂级数
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 ) n!
(x
x0 )n
特别 :当x0 0时,
f ( x) f (0) f (0) x f (0) x 2 f (n) ( x0 ) x n
2!
n!
x2n2 (1)n1
1
x 2 n1
n1
(2n 2)!
n1
(2n 1)!
x cos x sin x x (, )
例7 将 函数 f ( x) 1 x2 (0 x )展开成余弦级数,
并求级数
n1
(1)n1 n2
的和.
解
a0
2
(1 x2 )dx 2 2 2 ,
0
3
（2008考研）