高等数学自测题

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高等数学练习题附答案

第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. ()3limsin tan ln 12x x xx →=-+ .2. 21lim2x x x →=+- . 3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是，铅直渐近线是 . 6. 曲线()121e x y x =-的斜渐近线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 .A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦ .A. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩B. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3. 下列各式中正确的是 .A ．01lim 1e x x x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e x x x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. -11lim 1e xx x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4. 设0→x 时，tan e1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n = .A. 1B. 2C. 3D. 45. 曲线221e 1ex x y --+=- .A. 没有渐近线B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6．下列函数在给定区间上无界的是 . A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1sin ,(0,)x x x ∈+∞ C. 11sin ,(0,1]x x x ∈ D. 1sin ,(0,)x x x∈+∞三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.22x →2．()120lim ex xx x -→+3.()1lim 123n nnn →∞++4．21sinlimx x →+∞5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .6．142e sin lim1exxxxx→⎛⎫+⎪+⎪⎪+⎝⎭7．limx+→四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）1.2212lim22xax x bx x→-+=-+-2．(lim1 xx→-∞+=五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa bxf x a b a bxx⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x=处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）六、设sin sin sin ()lim sin x t xt x t f x x -→⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()f x 的间断点并判定类型. （本题7分）七、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题6分）第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 2.设21cos f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x '=. 3.d x = . 4.设sin (e )x y f =，其中()f x 可导，则d y = . 5.设y =12y ⎛⎫'=⎪⎝⎭. 6.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在0x =处可导的是 .A.||y x =B.|sin |y x =C.ln y x =D.|cos |y x =2.设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000(2)()limx f x x f x x x→+--= .A.6B.6-C.16D.16-3.设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2|()|f x x ≤，则0x =是()f x 的 .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且(0)0f '=D.可导的点，且(0)0f '≠4.设2sin ,0(),x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则在0x =处()f x 的导数 .A.0B.1C.2D.不存在5.设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x =- 时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则(1)f '= .A.1-B.0.1C.1D.0.5三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)(ln e x y =+(2))11y⎫=⎪⎭(3)aaxa x a y x a a =++(4)cos (sin )x y x =2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分） (1)2ln sin y x x x =+ (2)21cot e xy =(3)y x =3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）2cos ln y x x = （2）11xy x-=+4.设e ,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =可导，试求a 与b .（本题6分）5.设sin ,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，求'()f x .（本题6分）6.设函数()y y x =由方程22ln 1x xy y-=所确定，求d y .（本题6分）7.设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，求22d d ,d d y y x x .（本题6分）8.求曲线3213122t x t y t t +⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩在1t =处的切线方程和法线方程.（本题5分）第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.若0,0a b >>均为常数，则30lim 2x xxx a b →⎛+⎫=⎪⎝⎭. 2.2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭. 3.3arctan limln(12)x x xx →-=+ . 4.曲线2e x y -=的凹区间，凸区间为 . 5.若()e xf x x =，则()()n f x 在点x = 处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设,a b 为方程()0f x =的两根，()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则()f x '0=在(,)a b 内 .A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设()f x 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0()()0x x f x '->，则0()f x 是 .A.极小值B.极大值C.0x 为()f x 的驻点D.0x 不是()f x 的极值点 3.设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0()lim1||x f x x →''=，则 . A.(0)f 是()f x 的极大值 B.(0)f 是()f x 的极小值C ．(0,(0))f 是曲线的拐点D ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线的拐点 4.设()f x 连续，且(0)0f '>，则0δ∃>，使 .A.()f x 在(0,)δ内单调增加.B.()f x 在(,0)δ-内单调减少.C.(0,)x δ∀∈，有()(0)f x f >D.(,0)x δ∀∈-，有()(0)f x f >.三、解答题(共73分)1.已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.（本题6分）2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）（1）当0a b <<时，ln b a b b ab a a--<<.（2）当02x π<<时，2sin x x x π<<.3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）（1）0e e 2lim sin x x x xx x-→---（2）21sin 0lim(cos )xx x →（3）10(1)elimxx x x→+-4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）（1）1233()(1)f x x x =-（2）2,0()1,0x x x f x x x ⎧>=⎨+<⎩5.求2ln xy x=的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）6.证明方程1ln0ex x+=只有一个实根.（本题7分）第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. ， 4.5. 水平渐近线是，铅直渐近线是6.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6．C三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1.. 2．.3.，又.4．. 5.. 6．，，所以，原式.7．.四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）解：1.据题意设，则，令得，令得，故．2．左边，右边故，则．五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．六、解：，而，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点．七、证明：设，显然在上连续，而，，，故由零点定理知：一定存在一点，使，即．第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. 4.5. 6.或二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67分）解：1.(1).(2).(3).(4) 两边取对数得，两边求导数得，.2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1) .(2).(3) .3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1），.（2），.4.首先在处连续，故，故，其次，，，由于在处可导，故，故，.5.，，故，由于在，时均可导，故.6.方程可变形为，两边求微分得，故.7.，.8.，故.当时，. 故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1．2．3． 4.， 5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．B 2．A3．B，提示：由题意得，，当时，；即当时，，当时，，从而在取得极小值4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，，即三、解答题(共73分)证明：1.令，则在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，故，即．2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，．解：3.（1）.（2）.（3）.4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.⑵，令得驻点，为不可导点.当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为；，，令得驻点，令得；列表得：拐点6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一个实根．。

(完整版)高等数学自测题第13章自测题1答案

第13章自测题1答案一、选择题（每小题4分）1、答：(A).2、答：(B).3、设C为分段光滑的任意闭曲线，ϕ(x)及ψ(y)为连续函数，则的值(A)与C有关(B)等于0(C)与ϕ(x)、ψ(x)形式有关(D)2π答( ) 答：（B）4、曲线积分的值(A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关(C)与起点、终点无关(D)等于零答( ) 答：（B）二、填空题（每小题4分）1、L是xoy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L关于ox轴的转动惯量用曲线积分表示为___________. (ρ(x,y)为连续函数)。

答：2、设L是单连通域上任意简单闭曲线，a,b为常数，则 _______.答： 03、力构成力场，(y>0)若已知质点在此力场内运动时场力所做的功与路径无关，则m=________.答：14、设是某二元函数的全微分，则m=______.答：2三、解答题（每小题6分）1、求曲线ρ=a(1+cosθ)的长度(0≤θ≤2π, a>0).2、设曲线L 为摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) (0≤t ≤2π)的一拱，其线密度为1，求L 的形心坐标( ).3、求质点M (x ,y )受作用力沿路径L 所作的功W L 是从A (2，3)沿直线到B (1，1)的直线段. 解：L 的直线方程：12-=x y从2=x 到1=x⎰⋅=LsF w d ϖϖ⎰-++=AByx y x x y d )2(d )3(⎰-=12d )115(xx223-=4、质线L 为其上任意点(x ,y )处的密度为，求此质线对于原点处的单位质点的引力 .5、设质线L 的方程为L 上任意点(x ,y )处的线密度为求质线L 的质量M 及质心坐标(ξ,η).解：L 的极坐标方程为 )cos 1(θ-=a r 0≤θ≤2πθθθd 2sin2d 'd 22a r r s =+=θθθμπ⎰⎰⎰-=+==2022d 2sin)cos 1(2d 1d asy x as M LLa 332=⎰⎰⎰-=-⋅⋅==ππθθθθθθθμξ2022022d 2sin )2sin 21(43d 2sin cos )cos 1(21d a a M Msx La 78-=由于L 关于OX 轴对称，221y x a+=μ关于y 是偶函数，故0=η∴ 质心：)0 , 78(a -6、计算，其中D 是由y =0和摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) 0≤t ≤2π 所围成的区域。

高数自测题三套及参考答案

自测题一一、判断题（每小题3分，共30分）1、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4AB =。

（）2、函数()cos f x x =是有界函数。

（）3、函数(1)(2)()(2)x x f x x -+=+，()1g x x =-表示同一函数。

（）4、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件。

（） 5、1sin lim=∞→xxx 。

（）6、)(x f 在0x x =处极限不存在，则)(x f 在0x 处不连续。

（）7、()155xx x -'=⋅ 。

（）8、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}2A B -=。

（） 9、当0x →时，sin ~x x ，则330sin limlim 0sin x x x x x xx x →∞→--==。

（）10、1lim(1)xx x e →∞+=。

（）二、选择题（每小题3分，共15分）1、设集合{}36A x x =<<，集合{}5B x x =>，则A B =（）。

.A {}5x x > .B [5,)+∞ .C {}56x x << .D (3,)+∞2、已知2,1()1,1x e x f x x x ⎧<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，则(0)f =（）。

.A -1 .B 0 .C 1 .D 23、下列数列n x 中，收敛的是（）。

A . 1n x n =B . nn x n n 1)1(--=C. 1(1)n n x +=-D.(1)nn x n =-4、332356lim 87n n n n n →∞--=-（）。

3.8A .0B 1.2C .D ∞ 5、若32()1f x x x x =-++，则(0)f ''=（）。

.0A .1B .2C .2D - 三、填空题（每小题3分，共15分）1、函数()f x =_______________。

大学高等数学导数与微分自测自检题含参考解答

第二章导数与微分自测自检题参考解答一、填空题1、设()(1)(2)()f x x x x x n =+++ ，则()0f '= 解法一：由定义000()(0)(1)(2)()0(0)limlim0lim(1)(2)()!x x x f x f x x x x n f x x x x x n n →→→-+++-'==-=+++= 解法二：由于()(1)(2)()()f x x x x n x '=++++ ，因此()0f '=!n .2、设()01f x '=-，则()()00lim2h hf x h f x h →---=解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0000000000000000000000000200lim21lim 21lim21lim 2(2)212lim(2)lim 212(2)lim lim2h h h h h h h h hf x h f x h f x h f x h hf x h f x f x f x h hf x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h hf x h f x f x h f x h →→→→→→-→-→---=---=--+--=+--+---⋅+--=+--+---⋅+--=+--+---+-()()()000121hf x f x -=''-+=3、设()y y x =由方程cos()0x y e xy +-=所确定，则0d x y==解：对方程两边直接求微分，得到()d cos()0x y e xy +-=，即()()()d d sin d d 0x y e x y xy y x x y +++⋅+=，解出()()sin d d sin x y x ye y xy y x e x xy +++=-+. 在方程cos()0x y e xy +-=中，当0x =时，0y =，因此()()0sin d d d sin x y x y x x y e y xy y x x e x xy ++===+=-=-+.4、曲线arctan y x =在1x =处的切线方程是，法线方程是解：由于(1)4y π=，()21111(1)arctan 12x x y x x ==''===+，因此曲线arctan y x =在1x =处的切线方程为()1142y x π-=-，法线方程为()214y x π-=--，即曲线的切线方程为2420x y π-+-=，法线方程为8480x y π+--=.5、设()f x 在0x 可导，0x x x ∆=-，()()0y f x f x ∆=-，则0lim x y ∆→∆=解：()f x 在0x 可导，则()f x 在0x 连续，由连续的定义，0lim x y ∆→∆=0.二、选择题1、设可导函数()f x 是奇函数，则()f x '是（）A 偶函数B 奇函数C 非奇非偶函数D 不能确定解：因为()f x 是奇函数，因此()()f x f x -=-，即()()f x f x =--，所以()f x '=()()()()()1f x f x f x '''--=---=-，亦即，()()f x f x ''-=，()f x '是偶函数。

自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册.

第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

高等数学测试题及答案1-9章全

高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（）Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值；Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值；Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在；Ｄ如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（） .Ａ ln(2)x -；Ｂ 22x -；Ｃ 242x y x -=-；Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（）Ａ 2 ；Ｂ 1 ；Ｃ 0 ；Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=．二、填空题5．函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ；（2）221241lim 232x x x x →-+-；（3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解（1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++；（2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ；（2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ；（2）314x →=；（3）x →∞=0；（4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩；固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额．解（1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章自测题一、选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则．二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为．解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ．解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。

完整)高等数学练习题附答案

完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。

+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。

2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。

高等数学第三版自测题附答案9-1-1

作业9.1.11．指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？（1）A ＝{下周日福州下雨}；（2）B ＝{某公交车站恰好有5人等候公共汽车}；（3）C ＝{上抛一本书，一段时间后书落地}；（4）D ＝{没有水分，种子仍然发芽}；（5）E ＝{某战士射击一次，至少命中7环}．解（3）是必然事件，（4）是不可能事件，（1）（2）（5）是随机事件．2．盒子中有5个白球，3个红球，从中随机取出三个球观察颜色，若记A ＝{一红二白}、B={三红}、C ={三球同色}、D ={至少一白}，（1）写出三球颜色的样本空间Ω；（2）请分别写出A~D 的随机事件所包含的样本点数；（3）请指出A~D 的随机事件中哪些事件是基本事件，哪些事件是互不相容事件，哪些事件是对立事件.解（1）样本空间Ω＝{三白，一红二白，二红一白，三红}；（2）A~D 的随机事件所包含样本点数分别为1，1，2，3；（3）A ，B 是基本事件，A 与B 、A 与C 是互不相容事件，B 与D 是对立事件．3．设甲、乙、丙三人各向目标射一子弹，用A,B,C 分别表示甲、乙、丙命中目标，试以A,B,C 的运算关系表示下列各事件：（1）{至少一人命中目标}=（2）{恰有一人命中目标}=（3）{三人均未命中目标}=（4）{三人均命中目标}=解（1）{至少一人命中目标}=A ＋B ＋C ；（2）{恰有一人命中目标}=ABC ABC ABC ++；（3）{三人均未命中目标}= ABC ；（4）{三人均命中目标}=ABC ．4．某企业招聘，要求应聘人要全部通过3项考核，才能被录用．若用i A 表示第i 项（1,2,3i =）考核通过，就以下两种应聘程序，请用i A 表示应聘者被淘汰的事件A ．(1)应聘者若全部通过这3项考核，则被录用，否则被淘汰；(2)应聘者只要有一项考核没通过，就没有资格参加下一项的考核，随即被淘汰．解 (1)123A A A A =⋅⋅；(2) 112123A A A A A A A =+⋅+⋅⋅．。

高数下-自测题(含答案)

自测题一参考答案一. 解答下列各题. 1.设2(,)(1)arcsinf x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f .解：2(,1) f x x =，'(,1)2x f x x∴=， '(1,1)2x f ∴=2.已知,, a b c为单位向量,且满足0a b c ++=,计算 a b b c c a ⋅+⋅+⋅.解：0a b c++=，()0a a b c∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅=；同理，()0b a b c ⋅++= ， 10a b b c ∴+⋅+⋅=； ()c a b c⋅++= ， 10a cbc ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a+⋅+⋅+⋅=，即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f具有二阶连续偏导数, 求2z x y∂∂∂.解：''''12121z x f xf y f f xyf f xy y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦，2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322zx x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y y y y y x x xf f xyf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f具有一阶连续的导数,求z z yxx y∂∂-∂∂.解：'22z x xf z∂=∂-，''22z y f fz y yf z-+∂=∂-，''2xz xf fz z yyxxyf z-∂∂∴-=∂∂-5. 求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y Lx y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.解：直线L 的方向矢量{}1101,1,2111i j k s ==---，所以平面的法矢量为s，故所求的平面方程为(1)(0)2(1)0x y z ----+=，即230x y z ---=6. 求曲面228x yzz +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.解：在点0(2,2,1)M 处，法矢量{}4ln 2,4ln 2,16ln 2n=-//{}1,1,4-，所以切平面方程为：(2)(2)4(1)0x y z -+---=，即 40x y z +-=，法线方程为：221114x y z ---==-二. 设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.解：由线性方程解的结构定理知，该方程的通解为()()212x x y C e x C e x x=-+-+ ()()212'1211x x y C e C e ∴=-+-+，将初始条件(0)1y =, '(0)3y =代入得121131C C C =+⎧⎨=+⎩1212C C =-⎧⇒⎨=⎩ 所以原方程的所求特解为2*2x xy e e =-三. 设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .解：整理方程200()()()x xx f x e x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，两边对x 求导，得 20'()2()xx f x e f t dt=-⎰，再对x 求导，得 2''()4()x f x e f x =-，求解此方程得通解为： 2124()cos sin 5xf x C x C x e =++，由初始条件 (0)1,'(0)f f ==得，1212,55C C ==，所以2124()cos sin 555xf x x x e =++四. +=.解：设0000(,,)M x y z 为曲面上任一点，过0M 切平面的法矢量 n ⎧=⎨⎩，切平面方程为)))0000x x y y z z -+-+-=，即++=该切平面在三个坐标轴的截距为所以2+==五. 在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离. 解：椭球面22221x y z ++=上的点(,,)x y z 到平面26x y z +-=的距离的平方为：()221266d x y z =+--设 ()()22222621F x y z x y z λ=+--+++-由()()()'''222426402262022620210x y z F x y z x F x y z y F x y z z x y z λλλ⎧=+--+=⎪=+--+=⎪⎨=-+--+=⎪⎪++-=⎩得点1111,,222M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2111,,222M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由问题可知，最大值和最小值必定存在，故所求最近点为1111,,222M ⎛⎫-⎪⎝⎭，最近距离为()1d M =；最远点为2111,,222M ⎛⎫--⎪⎝⎭，最远距离为()2d M =自测题二参考答案六. 解答下列各题. 7. 若L 为曲线1,02yx x x =--≤≤,计算()Lx y ds+⎰.解：1211()(1(1)22Lx y ds x x dx +=-+-=+⎰⎰⎰8. 计算∑, 其中∑是22z x y =+上1z ≤的部分曲面.解：原式D=()2214Dx y dxdy⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰()2120143d d πθρρρπ=+=⎰⎰9. 设()22222()x y t F t fx y dxdy+≤=+⎰⎰, 求'()F t .解：()()2220()2ttF t d fd f d πθρρρπρρρ==⎰⎰⎰，所以 ()2'()2F t t ft π=10. 设L 为椭圆22143x y +=,其周长记为a , 求()22234 Lxyx y ds++⎰.解：原式()212 Lxyds =+⎰212 L Lxyds ds=+⎰⎰01212a a=+=11. 把1()34f x x =+展为形如0(1)nn n a x ∞=-∑的幂级数, 并确定其收敛区间.解：1()34f x x=+174(1)x =+-11471(1)7x =⋅+-014(1)(1)77n nn x ∞=⎡⎤=⋅--⎢⎥⎣⎦∑14(1)(1)7n nn n n x ∞+==--∑由4117x -<得收敛区间为31144x -<<12. 证明()211()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰.证明：交换积分次序，有左22111100()()y y xxdx e f x dy f x dx e dy ==⎰⎰⎰⎰2110()yx f x e dx =⎰()210()xe ef x dx =-⎰=右，故得证七. 求由曲面22z x y =+及221222z x y =--围成的立体的体积.解：VdV Ω=⎰⎰⎰22221220d d dz πρρθρρ-=⎰⎰⎰()2302123d πρρρ=-⎰24π=八. 计算(s in )(c o s )xx LIey my dx e y m dy =-+-⎰, L 是从点(,0)A a 沿上半圆周22x y ax +=到(0,0)的弧段.解：由格林公式，有sin x Pe y my=-，cos x Q e y m=-，cos x yP e y m=-，cos x xQ e y =，()22(sin )(cos )(sin )(cos )(sin )(cos )0228xx Lx x x x L O AO AxyDDI ey m y dx e y m dy e y m y dx e y m dy e y m y dx e y m dya m a Q P dxdy m dxdym ππ+=-+-=-+---+-⎛⎫=--==⋅⋅=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰九. 求幂级数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域及其和函数.解： 12nna n =⋅， 111(1)2limlim212n n nn n n a n Ra n +→∞→∞++⋅∴==⋅=⋅，所以收敛区间为(2,2)x ∈-当2x=-时，级数为1(1)n n n∞=-∑收敛，当2x=时，级数为11n n ∞=∑发散，故原级数的收敛域为[2,2)x ∈-设1()2nnn x S X n ∞==⋅∑，[2,2)x ∈-，则有111111'()222212n n x S X x x∞-=⎛⎫==⋅=⎪-⎝⎭-∑，所以 012()'()ln22xxS x S t dt dt tx===--⎰⎰，[2,2)x ∈-十. 计算曲面积分3311 y y Ix dydz f y dzdx f dxdy z z y z ∑⎡⎛⎫⎤⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎰⎰, 其中()f u 有连续导数,∑为曲面221z x y =++与平面2z =围成的立体表面外侧.解：利用高斯公式，3Px =，31y Q f y z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1y Rf y z ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()xy z I P Q R dv Ω=++⎰⎰⎰()2233x y dv Ω=+⎰⎰⎰221230132d d dz πρπθρρ+==⎰⎰⎰。

高等数学自我测试题

高等数学自我测试题(41)一、选择题1、函数)4ln()(2x x f -=的定义域是（）（A ）；);22(，- （B ）),2()2,(+∞--∞ ；（C ）),2[]2,(+∞--∞ ；（D ）]2,2[-.2、设x e x f =)(，则))0((f f 的值为（）（A ）-1；（B ）0；（C ）1；（D ）e .3、如果已知k x x e x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim ，则k 的值为（）（A ）21；（B ）1；（C ）2；（D ）无法确定. 4、函数)2)(2()2)(1()(-++-=x x x x x f 在下列那个点上是无穷大量（）（A ）2-=x ；（B ）2=x ；（C ）1=x ；（D ）1=x 或 -2 .5、函数)4sin(x y -=的导数是（）（A ）)4cos(x y -=；（B ）)4cos(x y =；（C ）)4cos(4x y -=；（D ）)4cos(4x y =.6、函数102)(2-+=x x x f 在区间[-2，0]上满足罗尔定理条件的ξ是（）（A ）-2；（B ）-1；（C ）0；（D ）不存在.7、如果⎰+-=⋅C x e dx x f x cos )(2，那么)(x f 为（）（A ）x ex sin 22-⋅ （B ）x e x sin 2+⋅；（C ）x ex sin 2-⋅；（D ）x e x sin 22+⋅. 8、⎰-dx x 2)32(1为（）（A ）C x +-⋅-)32(131；（B ）C x +-⋅-)32(121；（C ）C x +-⋅)32(131；（D ）C x +-⋅)32(121. 9、下列式子中不正确的一个是（）（A ）0sin 112=⋅⎰-xdx x ；（B ）0sin 112=⋅⎰-xdx x （C ）0cos 112=⋅⎰-xdx x ；（D ）0cos 112=⋅⎰-xdx x . 10、如果已知2)12(412=-⎰k dx x ，且，则k 的值为（）（A ）41；（B ）21；（C ）41-；（D ）21-.11、方程23x y =表示的曲面是（）（A ）球面；（B ）旋转面；（C ）柱面；（D ）平面.12、已知二元函数2332y x y x y +=，则=∂∂∂y x z2（）（A ）26xy （B ）y x 26（C ）y x xy 2266+ （D ）2266y x xy +二、计算题13、求1)1tan(lim 21-+-→x x x .14、求函数313y x x =-在)2,2(-的单调区间和极值.15、设函数)(x f y =由方程e xy e y =+所确定，求在点（0，1）处的导数。

高等数学》专升本自测试题1(含答案)

高等数学》专升本自测试题1(含答案)1、若 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上有 $F'(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 为$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的原函数。

2、下列函数中，是 $f(x)=e^{-x}$ 的原函数的是 $B$，即$e^{-x}+1$。

3、$\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}+C$。

4、设 $f(x)=\int e^xdx$，则 $f'(0)=e^0=1$。

5、设 $f(x)=\int \sin^2xdx=\frac{1}{2}\int (1-\cos2x)dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin2x)+C$，所以$f'(\frac{\pi}{2})=0$。

6、若 $\int f(x)dx=2x^2+x+C$，则 $f(x)=4x+1$。

7、若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $a\neq 0$，$b$ 是常数，则 $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$。

8、$\int \frac{2x-3}{x^2-3x-10}dx=\int \frac{2x-3}{(x-5)(x+2)}dx=\int (\frac{3}{x-5}-\frac{1}{x+2})dx=\ln|x-5|-\ln|x+2|+C$。

9、$\int \frac{\sin x}{2-\cos x}dx=-\int \frac{d(2-\cos x)}{2-\cos x}=-\ln|2-\cos x|+C$。

10、$\int \frac{x-3}{x-2}dx=\int (1-\frac{1}{x-2})dx=x-\ln|x-2|+C$。

11、若 $f(x)$ 的原函数为 $F(x)$，则 $\intf[\phi(x)]\phi'(x)dx=F[\phi(x)]+C$。

《高等数学》第八章单元自测题参考答案

第八章单元自测题参考答案一．填空题 1.设 xyz 3=, 则=∂∂xz3ln 3xy y . 2.设 221),(y x y x f +=,则 'y f (1,3)=503-. 3.方程式 1=++zx yz xy 确定z 是y x ,的函数,则=∂∂xzy x z y ++-. 4.设 xe y z sin =,则=∂∂∂yx z2x x e e cos . 5.设 )1ln(2122y x z ++=,则 =)1,1(dz dy dx 3131+. 6.设函数 ),(y x f z =的全微分 dy y ax dx xy dz 2232+=,则常数 =a 3 .7.函数 343y xy x z ++=在点A(1,2)处沿从点A 到B(2,1)方向的方向导数等于8.函数 zx yz xy u ++=在点(1,2,3)处的梯度 =∇)3,2,1(u k j i345++.二．选择题1.设 ,0,0,0,),(222222=+≠+⎪⎩⎪⎨⎧+=y x y x y x xy y x f 则 ).(y x f 在点(0,0)处( B ). (A) 连续，但偏导数不存在; （B ）不连续，但偏导数存在; (C ）连续，且偏导数存在; (D ）不连续，且偏导数不存在.2.设 =z ln ),2(yx e e -则=∂∂)0,0(22x z （D ）.(A) 1; (B) -1; (C ) 2; (D) -2. 3.设方程 0),,(=---x z z y y x F 确定z 是y x ,的函数，则=∂∂xz( C ). (A) ;'3'2'2'1F F F F -- (B ;'3'2'1'2F F F F -- (C) ;'3'2'3'1F F F F -- (D) ;'3'2'1'3F F F F --4.函数 yx yx z -+=的全微分 =dz (D)．（A ）2)()(2y x ydy xdx --；（B ）2)()(2y x xdx ydy --；（C ）2)()(2y x xdy ydx --；（D ）2)()(2y x ydx xdy --. 5．函数 233xy xy x z +-= 在点M （1，2）处沿}3,11{=l方向的方向导数（A ）．（A ）最大；（B ）最小；（C ）等于１；（D ）等于０． 6．在曲线 32,,t z t y t x ===的所有切线中与平面 02=++z y x 平行的切线(B ). (A)只有一条; (B)只有两条; (C)至少有三条; (D)不存在. 7.函数 23242),(y y xy x y x f +--= 有( B )个驻点.(A) 1; (B) 2; (C) 3 ; (D) 4. 8.对于函数 22y x z -=，原点（0，0）（A ）.(A)是驻点但不是极值点; (B)不是驻点;(C)是极大值点; (D)是极小值点.三.解答题 1.设 )ln(22y x x z ++=,求x z ∂∂,yz ∂∂.解22222222222211)221(1yx yx y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=∂∂,22222222221yx x y x yy x y y x x y z +++=+++=∂∂. 2.求 xyz arctan= 的二阶偏导数. 解22222)(11y x y x y x y xz +-=-+=∂∂, 2222111yx xx xy y z +=+=∂∂, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+⋅--=∂∂, 22222222)(2)(2y x xyy x y x y z +-=+⋅-=∂∂, 222222222222)()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+⋅++-=∂∂∂=∂∂∂.3.设方程 04222=-++z z y x 确定z 是y x ,的函数, 求 22xz∂∂. 解设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有2422''--=--=-=∂∂z xz x F F x z zx , 3222222)2()2()2(2)2()2()2(-+--=--⋅+--=-∂∂⋅---=∂∂z x z z z xx z z x z x z x z.4.设 222z y x r ++=,证明当 0≠r 时r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂. 证 rxz y x x x r =++=∂∂22222, 3222211r x r x r r x r x r -=∂∂-=∂∂, 同理 32221r y r yr -==∂∂, 32221r z r z r -=∂∂, 所以 r r r r r z y x r z r y r x r 233323222222222=-=++-=∂∂+∂∂+∂∂. 5.设 ),(x y xy f z =,f 具有连续的二阶偏导数,求 x z ∂∂, yx z∂∂∂2.解'22'1f xy yf x z -=∂∂, )1(1)1(''22''212'22''12''11'12f x xf xy f x f x xf y f y x z +--++=∂∂∂=''223''11'22'11f x y xyf f x f -+-. 6.求函数 x y x y x y x f 933),(2233-++-= 的极值.解令⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=,063,09632'2'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66''+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy ,在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值;在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 7.求球面 14222=++z y x 在点 (1,2 ,3) 处的切平面和法线方程. 解设 14),,(222-++=z y x z y x F , 则 =n}2,2,2{},,{'''z y x F F F z y x =, }6,4,2{)3,2,1(=n, 切平面方程为0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x , 即 01432=-++z y x , 法线方程为332211-=-=-z y x . 8.要做一个容积为3Vm 的无盖长方体水箱，问怎样选取长,宽,高，才能使得用料最省. 解设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xyVz =,水箱的表面积 )11(2)(2),(yx V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=,02,022'2'y V x S x V y S y x得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3330422VVV Vz =⋅=.。

高等数学单元自测题

《高等数学》单元自测题第七章空间解析几何自测题专业班级姓名学号一、填空题：1. 已知a与b垂直，且a=5，b=12，则=+b a，b a-= 。

2．若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直，则k = 。

3．若直线531123-=++=-z k y k x 与22531-+=+=-k z y x 垂直，则k= 。

4．已知)1,3,2(A ，)1,4,5(-B ，)3,2,6(-C ，)1,2,5(-D ，则通过点A 且垂直于B 、C 、D 所确定的平面的直线方程是。

5．母线平行于oz 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++22222214zy x z y x 的柱面方程是。

二、选择题：1．下列命题，正确的是。

（A ）、k j i++是单位向量。

（B ）、j -非单位向量（C ）、2= （D ）、b b a a⋅=⋅2)(1．设},,{},,{z y x z y x b b b b a a a a ==、。

则b a ⊥的充分必要条件是。

（A ）、z z y y x x b a b a b a ===,, （B ）、0=++z z y y x x b a b a b a （C ）、zz yy xx b a b a b a == （D ）、z y x z y x b b b a a a ++=++2．设三向量c b a ,,的模分别为3，6，7；且满足a c c b b a c b a ⋅+⋅+⋅=++则,0= 。

（Ａ）、45 （Ｂ）、－47 （Ｃ）、42 （Ｄ）、－433．设平面方程为Ｂx + Cz +D = 0,且ＢＣＤ≠０，则平面。

（Ａ）、平行于ＯＸ轴（Ｂ）、平行于ＯＹ轴（Ｃ）、经过ＯＹ轴（Ｄ）、垂直于ＯＹ轴 4．曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在ＸＯＹ面上的投影曲线是。

（Ａ）{222ay x z =+=（Ｂ）{cos 0bz a x z ==（Ｃ）{cosbz a y z ==（Ｄ）{cossin b z a x bza y ==三、设单位向量,,满足0=++，试证：23-=⋅+⋅+⋅a c c b b a。

工科类本科《高等数学》第11,12章自测题参考答案

工科类本科《高等数学》第11,12章自测题参考答案1. 若L 是抛物线 x y =2上从点A )1,1(-到点B )1,1(的一段弧，则()Lx y dx +=⎰43；(3)Lx y dy -=⎰ 2 . 解：L 的方程为2,x y y =从-1变到1，而2dx ydy =，于是()1111232211104()222043Lx y dx yy ydy y dy y dy y dy ---+=+⋅=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰.()1111222111(3)33602Lx y dy y y dy y dy ydy y dy ----=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.注意：定积分的积分区间关于原点对称，考虑被积函数的奇偶性可以简化计算. 2.已知L 为圆周 122=+y x 沿逆时针方向，则曲线积分()(sin )xLey dx y x dy -++⎰=2π.解：计算封闭曲线积分，一般考虑用格林公式，这里(),sin ,112x Q P P e y Q y x x y ∂∂=-=+-=--=∂∂.于是()222211(sin )222xLx y x y ey dx y x dy dxdy dxdy π+≤+≤-++===⎰⎰⎰⎰⎰.注意：221x y dxdy +≤⎰⎰等于圆域221x y+≤的面积.3.若曲线积分()3222(cos )1sin 30Laxy y x dx ay x x y dy -+-+=⎰，则a =__2___.解：依题意，有Q P x y∂∂=∂∂，这里3222cos ,1sin 3,P axy y x Q ay x x y =-=-+2232cos ,cos 6.P Q axy y x ay x xy y x ∂∂=-=-+∂∂比较可得2a =. 4.若22xdy aydxx y-+在右半平面0x >内是某个函数的全微分，则a =__1__. 解：依题意，有Q P x y∂∂=∂∂，这里2222,,ay xP Q x y x y -==++ ()()()()()()2222222222222222222222,.a x y ay y x y x x P ax ay Q x y y x x y x y x y x y -++⋅+-⋅∂-+∂-+====∂∂++++ 比较可得1a =. 5.将()1x f x x +＝展开为x 的幂级数1xx=+()1231, 1.n n x x x x x --+-+-+<或1xx=+()111,1n n n x x ∞-=-<∑.解：当1x <时，()()11x x f x x x =+--＝为首项是x 公比为x -的等比级数，所以()()1123111, 1.1n n nn n xx x x x x x x∞--==-+-+-+=-<+∑6. 幂级数∑∞=1n 3n n x n的收敛半径R= 13，收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.解：n n 113311,lim lim 33n n n n n n a n a R n a n +→∞→∞++===⋅=收敛半径，收敛区间是11-33⎛⎫⎪⎝⎭，，而当13x =-时，级数n 1131(1)n n n n x n n ∞∞===-∑∑是条件收敛的交错级数；当13x =时，级数n 1131n n n x n n∞∞===∑∑是发散的调和级数.故收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.7.下列级数发散的是（ A ）.A.11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; B. 211n n∞=∑； C. 115n n ∞=∑； D. 111(1)2n nn ∞-=-∑. 解：A.1ln 1n u n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取1n v n =，由lim 1n n nu v →∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散.B 选项是p 级数，21p =>，故211n n∞=∑收敛.C 选项是公比为15q =的等比级数，由115q =<知115n n ∞=∑收敛.D选项是交错级数，而正项级数11111(1)22n n n n n ∞∞-==-=∑∑115q ⎛⎫=< ⎪⎝⎭是收敛的等比级数，故111(1)2n n n ∞-=-∑绝对收敛.8.下列级数收敛的是（ C ）. A.11sin n n ∞=∑; B. 1n ∞= C. 115n n ∞=∑；D. n ∞=解：A 选项1sin n u n =，取1n v n =，由lim 1n n nu v →∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故11sin n n ∞=∑发散.B选项15nn u -==，由0lim 510n n u →∞==≠知级数n ∞=. C 选项是公比为15q =的等比级数，由115q =<知115n n ∞=∑收敛. D选项1151n n n∞∞===∑是p 级数，115p =<，故n ∞=. 9.计算曲线积分22(3)(3),Lx y dx y x dy +++⎰其中L 是从O(0, 0)沿上半圆224(0)x y x y +=≥到A(4,0)的曲线段.解：已知22(,)3,(,)3P x y x y Q x y y x =+=+，则3,3P Qy x∂∂==∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂，所以曲线积分与路径无关.选取x 轴上直线段OA 路径，此时0,y x =从0 到4，0dy =，于是44222300164(3)(3)33Lx y dx y x dy x dx x +++===⎰⎰. 10.计算曲线积分3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰其中L 是从A(2, 0)沿上半圆222(0)x y x y +=≥到O(0,0)的曲线段.解：已知3(,)(2),(,)2P x y x y Q x y y x =-+=+，则2,2,4P Q Q P y x x y∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂. 为了使用格林公式，添加辅助直线段OA ,记它与L 所围成的区域为D,D 是上半圆域222,0x y x y +≤≥，且边界封闭曲线方向是规定的正向. 而直线段OA 方程为：0,y x =从0到2，此时0dy =.则 3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰33(2)(2)(2)(2)L OAOAy x dy x y dx y x dy x y dx +=+-+-+-+⎰⎰()2342001444D Ddxdy x dx dxdy x =--=+⎰⎰⎰⎰⎰1442 4.2ππ=⋅+=+（注Ddxdy ⎰⎰等于上半圆域D 的面积）11.设dy y xy x dx y xy x du )32()23(2222+--+-=，求原函数),(y x u . 解法一：已知2222(,)32,(,)(23)P x y x xy y Q x y x xy y =-+=--+，而22,22P Q x y x y y x ∂∂=-+=-+∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂，所以曲线积分L Pdx Qdy +⎰与路径无关.取折线路线0AB ：(0,0)(,0)(,)O A x B x y →→.其中直线段OA 方程为：0,y x =从0到x ，此时0dy =；直线段AB 方程为：,x x y =从0到y ，此时0dx =.则原函数 (,)OAB OAABu x y Pdx Qdy C Pdx Qdy Pdx Qdy C =++=++++⎰⎰⎰22203(23)xy x dx x xy y dy C =+--++⎰⎰3223x x y xy y C =-+-+解法二：已知2222(32),(23)u ux xy y x xy y x y∂∂=-+=--+∂∂，两式子分别对,x y 两边积分，有 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰，22223(,)(23)()u x y x xy y dy x y xy y x ψ=--+=-+-+⎰.从而，有 322223()()x x y xy y x y xy y x ϕψ-++=-+-+，比较上式两边，有 33(),()y y C x x C ϕψ=-+=+.故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 解法三：依题意，知2232u x xy y x ∂=-+∂（1）， 22(23)ux xy y y∂=--+∂（2）.（1）式两边对x 积分，得 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰（3）（3）式两边对y 求偏导，得22()ux xy y yϕ∂'=-++∂ （4）. 比较（2）、（4）式，得 2()3y y ϕ'=-，两边对y 积分，得 3()y y C ϕ=-+. 故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 12.判别下列正项级数的敛散性：（1）12sin 3nn n π∞=∑；（2）2121n n n n ∞=+-∑；（3）13!n nn n n ∞=⋅∑；（4）121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑. 解：（1）()22sin2333nnn n nn u n πππ⎛⎫=⋅=→∞ ⎪⎝⎭，取23nn v ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由23lim lim 23nn n n n nu v ππ→∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，又已知等比级数122133n n q ∞=⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑收敛. 因此根据正项级数的比较判别法知级数2sin3n nπ∑收敛.（2）221n n u n n =+-，取1n v n =. 由22lim lim 121n n n nu n v n n →∞→∞==+-，又已知调和级数1n ∑发散.因此根据正项级数的比较判别法知级数221nn n +-∑发散.（3）13!n nn n n∞=⋅∑ 解：3!n n n n u n ⋅=，因为 ()()11131!13lim lim 3lim 3lim 13!1111nn n n n n n n n n n nn u n n u n n e n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+⎛⎫=⋅===> ⎪⋅+⎝⎭+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以根据正项级数的比值判别法知级数3!n nn n ⋅∑发散.（4）21n n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ 解：21nn n u n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，因为1lim 1212n n n n →∞==<+，所以根据正项级数的根值判别法知级数21nn n ⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛.13.求下列幂级数的和函数：（1）111n n x n -∞=+∑；（2）11n n nx ∞-=∑. 解：（1）此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-.设幂级数的和函数为()s x ，则11()1n n x s x n -∞==+∑ （1x <）， 1(0)2s =对121()1n n x x s x n +∞==+∑逐项求导，得()1211()11n n n n x x x s x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑ ()11x -<< 对上式从0到x 积分，得 ()[]2000111()1ln(1).111xx x t t x s x dt dt dt x x t t t --⎛⎫⎛⎫==-=--=-+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 于是当0x ≠时，有 2ln(1)()x x s x x +-=-.从而和函数2ln(1),01;()1,0.2x x x xs x x +-⎧-<<⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.特殊的，当1x =-时，级数()()112111n nn n n n-∞∞==--=+∑∑收敛.所以2ln(1)()x x s x x +-=-在1x =-也成立.（2）此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-.设和函数为()s x ，则11()n n s x nx∞-==∑ （1x <）.对上式从0到x 逐项积分，得111()1x xn n n n xs t dt nt dt x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰ 对上式求导，得22(1)(1)1()1(1)(1)x x x s x x x x '--⋅-⎛⎫=== ⎪---⎝⎭，1x <.。

高等数学函数与极限自测题及答案

第一章函数与极限自测题 A 卷一、单项选择题(3分⨯5=15分).)(x f 的定义域为)0,1(-，则下列函数中，( )的定义域为)1,0(. (A))1(x f - (B))1(-x f (C))1(+x f (D))1(2-x fx x x y sin cos +=是( )(A)偶函数 (B)奇函数 (C)非奇非偶函数 (D)奇偶函数 )]([x f ϕ的是( )(A)u u f y ln )(==, 2sin )(-==x x u ϕ(B)21)(uu u f y -==, 1cos sin )(22-+==x x x u ϕ (C)u u f y ==)(, x x u -==)(ϕ(D)u u f y arccos )(==, 25x u += 0→x 时，与x 等价的无穷小是( )(A)x x sin (B)x x sin 2+ (C)3tan x (D)x 25.=→xxx 0lim ( ) (A)1 (B)-1 (C)0 (D)不存在二、填空(3分⨯5=15分).x x f +=11)(，则=)]1([x f f .2.x xf cos 1)2(cos -=，则=)(x f . 3.212lim 221=--+→x ax x x ，则=a .1. 已知xe xf 1)(=，则=+)00(f ，=-)00(f .2. 已知)1(sin )1()(2--=x x xx x f 在0=x 处是第类间断点.三、(6分) 设132)(2--=x x x g ，(1)试确定c b a ,,的值，使c x b x a x g +-+-=-)1()1()1(2. (2)求)1(+x g 的表达式.四、(6分)设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=010001)(x x x x f ，x x g 1)(=，求)]([x g f 及)]([x f g . 五、求下列极限(5分⨯6=30分).(1)x x x x x sin sin lim 20+-→ (2)xx x x )11(lim +-∞→ (3)a x e e a x a x --→lim(4)nn n n 1)321(lim ++∞→ (5)x x e x x cos lim 0-→ (6))12arcsin()11ln(lim 3231--+→x x x六、(10分) 给定∞→n 时的无穷小如下：n 1cos 1-，11-+n a ，n n 1tan 12，)11ln(4n+，11-na(1,0≠>a a ),按高阶向低阶的次序，将它们排列起来.七、(10分) 讨论xx xee ee xf 111)(--=-的间断点类型.八、(8分)设)(x f 在]1,0[上为非负连续函数，且0)1()0(==f f .试证：对于任一个小于1的正数)10(≤≤L L ，存在)1,0(∈ξ，使得)()(L f f +=ξξ.第一章自测题 A 卷答案一、 1 ( B ) 2 ( B ) 3 ( C ) 4 ( B ) 5 ( D )二、 1.121++x x 2.222x - 3.3 4.∞+ 三、 (1)0,1,2===c b a (2)352)1(2++=+x x x g四、 ⎩⎨⎧<->=0101)]([x x x g f ⎩⎨⎧<->=0101)]([x x x f g五、 1.21- 2.2-e 3.ae4.35.16.3221六、 )11ln(4n+，n n 1tan 12，n 1cos 1-，11-+n a ，11-na七、 0=x 为跳跃间断点，1-=x 为可去间断点.第一章函数与极限自测题 B 卷一、单项选择题(3分⨯5=15分) 1.xex x x f cos sin )(= )(+∞<<-∞x 是( )(A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数 )(lim 0x f x x →和)(lim 0x g x x →都不存在，则( )(A))]()([lim 0x g x f x x +→和)]()([lim 0x g x f x x -→也都不存在(B))]()([lim 0x g x f x x +→和)]()([lim 0x g x f x x -→中至少有一个不存在 (C))]()([lim 0x g x f x x +→和)]()([lim 0x g x f x x -→可能都存在 (D))]()([lim 0x g x f x x +→和)]()([lim 0x g x f x x -→一定都存在0→x 时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小( )(A)2x (B)x cos 1- (C)x x tan - (D))1ln(x +4.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00)(1x ax e x f x ，则( ) (A)当0=a 时，)(x f 在0=x 点左连续； (B)当1=a 时，)(x f 在0=x 点左连续； (C)当0=a 时，)(x f 在0=x 点右连续； (D)当1=a 时，)(x f 在0=x 点右连续。

河南省濮阳市(新版)2024高考数学人教版能力评测(自测卷)完整试卷

河南省濮阳市（新版）2024高考数学人教版能力评测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（）A．B．C．D．第(2)题记的内角的对边分别为，分别以为边长的正三角形的面积依次为，且，则（）A．B．C．D．第(3)题已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，（）A．B．C．D．第(4)题若过点可以作曲线的两条切线，则（）A．B．C．D．第(5)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题在下列集合中，是其真子集的是（）A．B．C．D．第(7)题设全集，集合，，则下图中的阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．第(8)题已知角，满足，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的有（）A．一组数据19，24，25，32，28，36，45，43，45，57的中位数为34B．展开式中项的系数为1120C．相关系数，表明两个变量相关性较弱D．若，则第(2)题已知为等差数列，其前项和，若，，则（）A．公差B．C．D．当且仅当时第(3)题在棱长为1的正方体中，M是线段上的动点，则下列结论中正确的是（）A．存在点M，使得平面B．存在点M，使得三棱锥的体积是C．存在点M，使得平面交正方体的截面为等腰梯形D．若，过点M作正方体的外接球的截面，则截面面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若向量、为单位向量，且则向量与的夹角为________.第(2)题设，若，则______．第(3)题定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，E，M分别为线段AB，PC的中点，连接CE，延长CE并与DA的延长线交于点F，连接PE，PF.(1)求证：平面PFD.(2)求平面APE与平面PEF所成角的正弦值.第(2)题在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M（2，0），直线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；(2)已知过点M的直线n，与曲线C交于P，Q两点，且，求直线n的倾斜角.第(3)题已知椭圆的左、右焦点为，焦距为2，点P是椭圆C上一点满足轴，．(1)求椭圆C的方程；(2)过的直线交椭圆C于A，B（异于点P）两点，直线分别交直线于M，N，记，求的最小值．第(4)题已知椭圆与x轴负半轴交于，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于两点，连接AM,AN并延长交直线x=4于两点，若，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.第(5)题如图，在三棱锥中，底面，，，将绕着逆时针旋转到的位置，得到如图所示的组合体，为的中点.(1)当为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；(2)当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.。

陕西省西安市(新版)2024高考数学统编版(五四制)能力评测(自测卷)完整试卷

陕西省西安市（新版）2024高考数学统编版（五四制）能力评测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若有3个不同的解，，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（）A ．函数为偶函数B．函数在上单调递增C．若，则的最小值为D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象第(3)题执行下面的程序框图，则输出的（）A．9B．10C．11D．12第(4)题已知函数有最小值，则函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．取决于的值第(5)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知函数，，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题奔驰汽车是德国的汽车品牌，奔驰汽车车标的平面图如图（1），图（2）是工业设计中按比例放缩的奔驰汽车车标的图纸．若向图（1）内随机投入一点，则此点取自图中黑色部分的概率约为（）A．0.108B．0.237C．0.251D．0.526第(8)题已知点F为双曲线(，)的左焦点，过原点O的直线与双曲线交于A、B两点(点B在双曲线左支上)，连接BF并延长交双曲线于点C，且，AF⊥BC，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，且，下列说法正确的是（）A．与双曲线的实轴长相等B．C．若在以为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为D．若，则直线的斜率为第(2)题在正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，，，，则（）A．当时，存在点F使得B．当时，三棱锥A-CEF的体积为定值C．当时，存在点使得⊥平面AEFD．当时，直线EF与平面BCD所成角的正切值最大为第(3)题将个数排成行列的一个数阵（其中，），如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则__________.第(2)题已知集合，全集，则_________．第(3)题某学校高一年级共有三个班，按优秀率进行评选：1班30人，优秀率30%，2班35人，优秀率60%，三班35人，优秀率40%，则全年级优秀率为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知直线与圆相切，动点到与两点距离之和等于，两点到直线的距离之和.（1）设动点的轨迹为，求轨迹的方程；（2）对于椭圆，上一点，以为切点的切线方程为.设为上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，，为切点.①求证直线过定点；②求面积的最大值.第(2)题设是公比为正数的等比数列，，.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.第(3)题已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.第(4)题已知函数．(1)当时，曲线在点处的切线方程；(2)若为整数，当时，，求的最小值．第(5)题已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，存在唯一的极小值.。