高等数学自测题

高等数学自测题 （第十章）

一、填空题（共20分）

1．C 为由x 2+y 2=R 2，y =x 及y =0在第一象限所围区域的边界，则⎰+C y x ds e 22 ＝ .

2．∑为z =2-x 2- y 2 （1≤ z ≤ 2）外侧，则

⎰⎰∑

-+-+-dxdy z x dzdx y z dydz x y )()()(222= . 3．L ：| x |+| y |=4的正向，则⎰+-L y x ydx xdy 2

2= . 4．L 是以点)0,1(为中心，R 为半径的圆周，R >1，取逆时针方向，则

⎰+-L y x ydx xdy 224= . 5. L 为2x =πy 2从点)0,0(O 到点)1,2(π

B 的一段弧，则 =+-+-⎰L dy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223 .

二、计算题（共60分）

1．∑为)(2

122y x z +=介于z =0，z =2之间部分的上侧，计算⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2. 2．L 为x 2+y 2=ax 从点)0,(a A 经点)2/,2/(a a M 到点)0,0(O 的上半圆周，计算⎰-+-L x x dy m y e dx my y e )cos ()sin (.

3．L 为平面 x +y+z =2与柱面 | x |+| y |=1的交线，从z 轴正向看去L 为逆时针方向，计算⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )3()2()(222222.

4．设曲线积分

⎰+L dy x yf dx xy )(2与路径无关，其中f 具有连续导数，且

f (0)=0，计算⎰+=)2,2()0,0(2)(dy x yf dx xy I 的值.

5．设L 是不过点)0,2(的分段光滑简单闭曲线，计算⎰+--+=L

y x dy x ydx I 22)2()2(. 6．L 为顺时针方向椭圆14

22

=+y x ，周长为1，计算⎰++L ds y x xy )4(22。 7. 设S 为上半球面222y x a z --=的上侧，计算

⎰⎰+-++-++-S dxdy z x z z z dxd y z y y dydz x y x x )2()2()2(222.

8. L 为球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，计算⎰L

dS x 2. 9. S 是2222a z y x =++外侧，cos α，cos β，cos γ 是外法线方向余弦，计算

dS z y x z y x S ⎰⎰++++23)(cos cos cos 222γβα.

10. S 为球面2

222)()()(R c z b y a x =-+-+-外侧，计算 ⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x 2

22.

11. L 由x +y =1上从点)0,1(A 到点)1,0(B 和x 2+y 2=1上从点)1,0(B 到点)0,1(-C 两段构成，计算

⎰++-L y dy e x dx y )()21(sin .

12. S 为下半球面222y x a z ---=的下侧，计算⎰⎰++S

dxdy y x z dydz z y 2223.

三、证明题（共20分） 1．设在半平面x >0内有力)(3j y i x r

k F +-=构成力场，其中k 为常数，22y x r +=.证明在此力场中力所作的功与路径无关.

2．设u (x ，y )，v (x ，y )在闭区域D 上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L 为D 的正向边界曲线。证明

⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+⋅-=∆L D D ds n

u v

dxdy v grad u grad udxdy v )( 其中n v n u ∂∂∂∂,分别是u ，v 沿L 的外法线向量n 的方向导数，2

222y x ∂∂+∂∂=∆ 为二维拉普拉斯算子. 思考题

1． 两类曲线积分概念产生的实际背景是什么？他们有何联系和区别？

2． 在将曲线积分化为定积分时，两类曲线积分有何不同？

3． 曲线积分与路径无关的四个等价条件是什么？

4． 两类曲面积分概念产生的实际背景是什么？他们有何联系和区别？

5． 在将曲面积分化为二重积分时，两类曲面积分有何不同？

6． 为何要定义曲线的方向和曲面的侧？用什么方法来定义的？

7． 高斯公式的物理意义是什么？什么时候可考虑用高斯公式来计算曲面积分？