北师大版--特殊平行四边形

《第一章 特殊平行四边形》复习

一、菱形

定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形

定理：1、菱形的四条边相等

2、菱形的对角线互相垂直

例1 在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，,660==∠BD BAD o ，则菱形的边长AB 为____________，对角线AC 的为____________.

练习：

1、在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，

已知cm AO cm AB 45==，，则BD=____________.

2、已知：如图，在菱形ABCD 中，是，则ABC B BAD ∆∠=∠2____________三角形.

第2题 第3题 第4题

3、如图，在菱形ABCD 中，的周长为，则菱形，ABCD AC BD 86==____________.

4、已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，，o DAB 80=∠则_____________=∠=∠DBC BAC ，.

判定定理：1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

2、四边相等的四边形是菱形

例2 已知：如图，在 ABCD 中，对角线AC 与BD 相较于点O ，BD AC ⊥.求证：四边形ABCD 是菱形.

例3 已知：如图，在 ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，,25==OA AB ， .1=OB 求证：四边形ABCD 是菱形.

练习：

1、已知：如图，在 ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别于AD ，AC ，BC ，相交于点E ，O ，F 。求证：四边形AFCE 是菱形。

2、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点。求证：四边形EFGH 是菱形.

3、如图，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长10cm 。

求：（1）对角线AC 的长度；（2）菱形ABCD 的面积.

随堂练习：

1、菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线长为10cm 。

（1）求这个菱形的每一个内角度数；（2）求这个菱形另一条对角线的长.

2、如图，在，的中点，为，中，CD AE AB D ACB ABC Rt o

//90=∠∆，AB CE //试判断四边形ADCE 的形状，并证明你的结论.

3、如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，且BE=BF 。

求证：DFE DEF CDF ADE ∠=∠∆≅∆）；（）（21.

4、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=16，BD=12，求菱形ABCD 的高DH 。

5、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点。求证：四边形EGFH 是菱形.

二、矩形

定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形

定理：1、矩形的四个角是直角

2、矩形的对角线相等

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例1 如下图，在矩形ABCD 中，两条对角线相较于点O ，,5.2120==∠AB AOD o

，求这个矩形对角线的长为_____________。

例2 如右图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相较于点O ，

AB=6，OA=4。则BD=__________，AD=_____________。

练习：

1、一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是o 45，求这个矩形的相邻两边长分别为__________。

2、一个矩形的两条对角线的一个夹角为o 60，对角线长为15，此矩形较短边的长为________

3、如下图，CD AD A ABCD 交边的平分线中，矩形∠，，，已知于点34==CE DE E 则

此矩形的周长为___________。

判断定理：1、对角线相等的四边形是矩形

2、有三个角是直角的四边形是矩形

例3 如图，在 ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC=BD 。

求证：四边形ABCD 是矩形

例4 如图，在 ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，,是等边三角形ABO ∆AB=4， 求 ABCD 的面积。

练习：

1、如图，在 ABCD 中，M 是AD 边的中点，且MB=MC 。

求证：四边形ABCD 是矩形。

2、如图，在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，CE 。

（1）试判断四边形ABEC 的形状；

（2）当ABC ∆满足什么条件时，四边形ABEC 是矩形？

3、如图，点B 在MN 上，过AB 的中点O 作MN 的平行线，分别交ABM ∠的平分线和 的ABN ∠平分线于点C ，D 。试判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论。

4、如图，在矩形ABCD 中，AD=6，对角线AC 与BD 相交，

BD AE ⊥，垂足为E ，

BE ED 3=。则AE=___________。

5、如图，在的为的一条角平分线，

是，中，CAM AN ABC AD AC AB ABC ∠∆=∆平分线，。，垂足为E AN CE ⊥ 求证：四边形ADCE 是矩形。

随堂练习：

1、如图，四边形ABCD 由两个全等的等边三角形ABD 和CBD 组成，M 、N 分别是BC 和AD 的中点，求证：是四边形BMDN 是矩形。

2、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，,430==∠BD ACB o

，求矩形ABCD 的面积。