第2章(知识表示方法1-状态空间法)

考虑如何在计算机上加以实现？
2013-8-17
2013-8-17
例：八数码问题
矢量形式的状态表示：
1
2
3
4
6
2 7 5
7
5
3 8 0
8
1,
2, 3, 4, 7, 8, 6, 5, 0
矩阵形式的状态表示：
1 4 6
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算符（操作符）：使问题从一个状态 变换到另一状态的手段。 例如：走步、规则、数学算子、运算 符号等等。
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问题表达
知识表达
数学建模
求解的方法
或者算法
例：求侧面积为150平方米的体积最大的长方体？ y x 侧面积为：2(xy + yz + xz) z 体积为：xyz 数学模型
设长、宽、高分别为 x, y, z
max xyz
s.t.
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2(xy + yz + xz)=150
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可能的求解过程
注：在程序和图示求解过程中，需要规定好操作符
的使用顺序 2013-8-17
要完成某一个具体问题的状态描述，必须完 成三项工作： ①如何描述状态，特别是初始状态
②操作符集合及其对状态描述的作用
③如何描述目标状态 即定义好三元状态（S, F, G）中的三个成分
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ni
c (ni , nj) 表示从节点 ni 指向节点 nj （相邻）的 那一段弧的代价
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nj
（不相邻的）两个节点 间路径的代价等于连接 该路径的各个节点的所
n0 C(n0,n1)
有弧线的代价之和
C(nk-1,nk)
c(n , n
i 0 i
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k 1
i 1
)
人
工
刘 静
智
能
Artificial Intelligence (AI)
liuj@sdutcm.edu.cn
理工学院
2010年春季
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第2章 知识表示方法
2.1 状态空间法 2.2 问题归约法 2.3 谓词逻辑法
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用计算机技术解决实际问题的一般思路:
实际
问题
结果的解释
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例：描述在坐的同学（续） 状态变量可以有 年级 班级 姓名 性别 学号 ……
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操作符
入学 正常升级 毕业
例：八数码问题
1
4
算符：
2
7
3
8
6
5
1、数字的上、下、左、右移动 2、空格的上、下、左、右移动
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问题的状态空间：一个表示问题全部可能状
态及其关系的图，它包含了三个集合：
来表示
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有向图：一对节点用弧线连接起来，并且从一
个节点指向另一个节点
父辈节点或祖先n i
后继节点或后裔nj
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对于某一个节点序列 （ni0, ni2, … nij, …, nik） 如果每一个节点 nij-1 都有一个 后继节点 nij 存在，则将这一
ni0
序列称为从节点 ni0 到 nik 的
图中的一个有向弧对应于某一个算符
注：有向弧的旁边可以标以具体算符
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状态
节点
操作符
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有向弧
问题：寻找从初始状态到目标 状态的某个操作符序列
转 化 为
问题：寻找图中初始节点（对应初
始状态）到目标节点（对应于目标
状态）的一条路径
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在某些情况下，每个操作符作用、成本是不 一样的，需要引入代价的概念
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如果记空格的位置为P，这时空格的移动规则是： 1 2 3 1 2 3 8 5 6 7 4 0 P
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 7
5 4
6
P-3
表示位置
P-1
P
P+1
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P+3
空格移动规则
代码
规则 左移 上移 右移
前提条件
应用结果
P 位置与 P-1 位置上的元素互换 P-3 P+1
状态空间法：
从某一个初始状态开始，每次施加一个操作符，递
增地建立操作符序列，直到达到目标状态为止
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状态空间法的问题：
寻找从初始状态到目标状态的某一个操作符序列
状态空间法的解：
从初始状态变换到目标状态的操作符序列
11 1 7 13 2013-8-17
9 4 3 5 8 2 10
15 12 6 14
状态空间法
问题归约法 谓词逻辑法 样本向量法
2013-8-17wenku.baidu.com
②问题的求解：从问题表示方法出发，找到一个
合理的办法来求解
在人工智能中，常有的方法有： 搜索法 推理法 计算方法
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2.1 状态空间法
在日常的一些智力游戏（八数码、走八卦阵、走 迷宫等）中，我们采用的策略：试着向前走，如
路径。对应于寻找将初始状态变换到目标状态所用
操作符代价之和最小的操作符序列
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2.1.3 例子
例1：八数码问题 八数码的任何一种摆法是一个状态，状态总数
为9！。用一个长度为9的一维数组来描述状态：
（q1, q2, …,q9） 其中，qi 取0, 1, …, 8个数，0表示空格，且取值互 不相同。 算符是空格的上、下、左、右移动
利用最优化技术中的算法，可以得到结果： x = y = z = 5.0
解释：长、宽、高都等于5米时，体积最大
说明：在计算数学的课程中，主要关心求解的
具体算法
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在人工智能中，重点关注两个方面的内容：
①问题的表示（知识的表示）：即要找到问题的一
种合适的表示方法
在人工智能中，我们要涉及到：
2.1.1 问题状态描述
状态：
描述某一类不同事物间的差别而引入的一 组最少变量q0 ,q1 ,…, qn的有序集合
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例：描述在坐的同学 根据要解决的问题、从 变量可以有 年级 班级 姓名 性别 学号 ……
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中选择最少的一组变量 例： 区分哪一个班：年级、 班级 区分哪一位同学：姓 名、性别、学号
矢量形式：
Q=[ q0, q1, …, qn ]
T
其中，元素 qi ( i=0, 1,…, n)为集合的分
量，称为状态变量。 具体状态：给每一个状态变量一个具体的
值（符号、数值等）。
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矩阵形式
q11 ... q 1n Q qm1 ... qmn
T(k)：表示第 k 根柱子上（最上面）的盘的大小。
操作符集合为： O={m( i , j ) | T( i )<T( j )}
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部分状态空间图
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例4：猴子与香蕉问题
a
c
b
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用一个四元组（W，x, Y, z）来表示问题的状态 W：猴子的水平位置 x： 当猴子爬到箱子顶上取1，否则取0 Y： 箱子的水平位置 z： 当猴子摘到香蕉时取1，否则取0
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操作符：
③猴子爬到箱子上：climbbox：
（W, 0, W, z） (W，1, W, z) ④猴子摘到香蕉：grasp： （c, 1, c, 0） (c, 1, c, 1)
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初始状态
(a, 0, b, 0) goto(b) (b, 0, b, 0) climbbox pushbox (c, 0, c, 0) (b, 1, b, 0)
an ... a2 a1
表示问题的一个状态
其中ai = 1, 2, 3 表示第i个盘位于第一、二、 三个柱子上，a1 an中盘的大小从大到小
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初始状态为（1…1），目标状态为（3…3） 操作符m(i, j)：表示一个盘从 i 根柱子搬到第 j 根 柱子。
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例2：迷宫问题
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给图上加一个坐标系，定义每一个分叉路口 为一个状态。
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目标状态为（4，4） 操作符为人的上、
下、左、右走动
初始状态为（1，1）
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部分状态空间图
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例3：梵塔问题（三个盘）
对于 n 个盘的问题，我们用 n 维向量 （a1 a2…an）
初始状态是（a, 0, b, 0），目标状态是（c, 1, c, 1）
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操作符：
①猴子当前位置W走到水平位置U：goto(U)：
（W, 0 , Y, z）(U, 0 , Y, z)
注：猴子必须不在箱子上
② 猴 子 将 箱 子 从 W 位 置 推 到 水 平 位 置 V： pushbox(V)： （W, 0, W, z） (V, 0, V, z) 注：猴子与箱子必须在同一位置
长度为 k 的路径。
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nik
ni
祖先
如果从节点 ni 到 nj 存在 一条路径，则称节点 nj 是
从节点 ni 可到达的节点，
或者称 nj 是 ni 的后裔节 点、称 ni 是 nj 的祖先。
后裔
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nj
当用有向图来表示状态空间法时，对应关系：
图中的一个节点对应于某一个状态
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
13
14
15
2.1.2 状态图示法
状态空间法（求解过程）的表示方法：用图来表 示（借助于图论中某些技术）
图是由节点（不一定是有限个的节点）的集合
构成的
注意：在图论中，图的定义中还包括边的集合
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有向图和无向图：
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无向图：一对节点可能互为后裔，边用线段
1. 所有可能的问题初始状态集合S
2. 操作符集合F
3. 目标状态集合G 状态空间记作三元状态（S, F, G）
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例：十五数码问题
11 1 7 13 9 3 5 2 8 10 4 15 12 6 14 1 2 3 4
5
9 13
6
10 14
7
11 15
8
12
初始状态：左图 目标状态：右图 操作符集合F＝[空格的左移、上移、右移、下移]
climbbox (c, 1, c, 0) grasp (c, 1, c, 1)
2013-8-17
a c b
部分状态空间图
目标状态
例5：四皇后问题
状态：任意一种合法的摆法
操作符：摆下一个皇后，先摆第一行，每一
行从左开始摆，并满足皇后不成线的规则 Q Q
2013-8-17
思考题： 小结用状态空间法表示八数码问题的讲课内容，
果走不通，则往后退，不停地试、试、试，直到
成功
1
5
2
7
4
8
1
4
2
5
3
6
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3
6
7
8
类似地，在人工智能中，一种最基本的求解方法就
是试探搜索法，即，通过在某个可能的解空间（例 如，所有可能的走法）中寻找一个解
这种基于解空间的问题表示和求解方法就是
状态空间法，其基础是状态和算符（算子）
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1 2 3
P≠1,4,7 P≠1,2,3 P≠3,6,9
4
下移
P≠7,8,9
P+3
1 表示位置
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2 5 8
3 6 9
4 7
初始状态：(2，0，3，1，8，4，5，6，7）
部分状态空间图
目标状态:（1，2，3，8，0，4，7，6，5）
2013-8-17
注意：
事先规定操作符的前后顺序，便于编程 不要生成已有的状态（节点），防止进入死循环
nk
引入代价的概念后，我们的问题可能是：
寻找初始节点到目标节点之间的代价最小的
路径 对应的原始问题：寻找从初始状态到目标状 态的操作符代价之和最小的操作符序列
2013-8-17
利用图论的技术，我们要解决两个问题： 第一、找出初始节点到目标节点的一条路径。对应 于寻找初始状态到目标状态的操作符序列 第二、找出初始节点到目标节点的一条代价最小的