准静态电磁场

∂ϕ ∇⋅ A = −µε ∂t
∂t
∇ A = −µJ
2
磁准静态场
∂D ≈0 ∂t
∇ ⋅ B = 0 → B = ∇× A ∇× H = J
∂B ∇× E = − ∂t ∇⋅ D = ρ
2
∇×∇× A = ∇(∇⋅ Α) − ∇ Α = µ J
取库仑规范 ∇⋅ A = 0
上 页
下 页
第 五 章
准静态电磁场
时变电磁场分类总结
电准静态场 准静态电磁场 时变电磁场 磁准静态场 动态电磁场 动态电磁场
∂B 电准静态场 ( = 0) ∂t ∂D ∂D ∇× H = J + ∂t
∂D ( = 0) ∂t
判别式
磁准静态场
∂B ∇× E = − ∂t ∇⋅ D = ρ
∇× H = J
准静态电磁场
结论
MQS中忽略位移电流 磁场完全由传导电流决定。 中忽略位移电流， ① MQS中忽略位移电流，磁场完全由传导电流决定。 磁场分布同静磁场， ② 磁场分布同静磁场，利用静磁场的方法求解出磁 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的电场。 Maxwell方程求解与之共存的电场 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的电场。 工程中准静磁场大多存在于感应设备中。 ③ 工程中准静磁场大多存在于感应设备中。
JC
∂D(r, t ) ∂t
H(r, t )
∇× H = J + ∂D ∂t ∂B ∇× E = − ∂t
D = εE
B = µH
∂B(r, t ) ∂t
上 页 下 页
E(r, t )
ρ
第 五 章
准静态电磁场
ρer E = ∫V′ dV′ 2 4πε r
结论
∂D µ(JC + ) × er ∂t B = ∫V ′ dV′ 4π r
例 证
设 uS (t ) = U cos ωt
εγ
i(t )
uS (t )
不考虑感应场
+ uS (t ) JC = γ d γS εS duS (t ) duS (t ) iC = JC S = u(t ) = Gu(t ) id = Jd S = =C d d dt dt duS (t ) i = iC + id = GuS (t ) + C R dt C
∇⋅ ε (−∇ϕ) = ρ ρ 2 ∇ ⋅ B = 0 → B = ∇× A ∇ ϕ =− ε ∂D ∂(∇ϕ) ∇× H = J + ∇×∇× A = µ J − µε ∂t ∂t ∂ϕ ∇2 A = −µ J + ∇(∇ ⋅ A) + µε∇
∇⋅ D = ρ
取洛仑兹规范
∂t
∇× E ≈ 0 →E = −∇ϕ
准静态电磁场
若外激磁电流源是交流电流
z a
S dHi µ0γ a + Hi = H0 l dt
jωτ Hi + Hi = H0
Hi =
•
•
•
H0
感应电流的 去磁作用
Hi
JC
1 H0 1+ jωτ
当频率很高时
•
Hi << H0
• •
感应电流密度 J C = γ E = − jωτ Hi = jωτ H0 涡流损耗
∂ρ J = γ E ∇⋅ J = − ∂t ∇ ⋅ εE = ρ
其解为
∂ρ γ + ρ =0 ∂t ε
ρ = ρoe
−
t
τe
ε τe = γ
驰豫时间
上 页 下 页
初始电荷密度
第 五 章
准静态电磁场
说明良导体中电荷的弛豫过程非常短暂， 说明良导体中电荷的弛豫过程非常短暂，除有局外电 源作用，一般认为良导体内部无积累的自由电荷， 源作用，一般认为良导体内部无积累的自由电荷，电荷分 布在导体表面。 布在导体表面。 对于电准静态场
∇× E = 0 ∇⋅ D = ρ
∇⋅ B = 0
判别式
磁场不影 响电场
电荷守 恒关系
∂ρ ∇ ⋅ JC = − ∂t
∇⋅ B = 0
∇ ⋅ JC = 0
电场不影 响磁场
上 页
下 页
第 五 章
准静态电磁场
准静态电磁场的特点
属于时变电磁场但却具有一些静态场的性质 电磁场但却具有一些静态场的性质。 ① 属于时变电磁场但却具有一些静态场的性质。 ② 位函数满足泊松方程 电准静态场 ∂B ≈ 0
上 页
下 页
第 五 章
准静态电磁场
磁准静态场（ 磁准静态场（MQS） ） 时变电磁场中各处位移电流密度远小于传导电流 密度时（忽略电场变化对磁场分布的影响） 密度时（忽略电场变化对磁场分布的影响）称为磁准 静态场。 静态场。
∂D ∇× H = JC + ∂t
JC
∂D(r, t ) ∂t
∇ × H ≈ JC
0
i
∂ ∫ E ⋅ dl = El = − ∂t ∫ B ⋅ dS l dHi (Hi − H0 ) = −µ0 S γa dt
Hi = H0 (1− e )
− t τ
JC
S dHi µ0γ a + Hi = H0 l dt
JCa = −H0e τ
− t
S τ = µ0γ a l
上 页
下 页
第 五 章
第 五 章
准静态电磁场
准静态电磁场
重点： 重点：
1. 准静态场概念及准静态条件 2. EQS和MQS的方程 和 的方程 3. 准静态场的计算方法
下 页
第 五 章
准静态电磁场
准静态场概念及准静态条件
1. 准静态电磁场的概念
时变电磁场中电场和磁场相互激励形成循环影响的 情景，构成统一的电磁场，电场和磁场存在滞后效应， 情景，构成统一的电磁场，电场和磁场存在滞后效应， 需联立求解。 需联立求解。 J
H(r, t )
D = εE
∇× H = J +
E(r, t )
∂D ∂t ∂B ∇× E = − ∂t
B = µH
∂B(r, t ) ∂t
ρ
上 页 下 页
第 五 章
µJC × er B = ∫V′ dV′ 4π r
∂B − × er Ei = ∫V ′ ∂t 2 dV′ 4π r ρ ∂B er − × er ∂t E = EC + Ei = ∫V′ ε dV′ 2 4π r
2
∂A ∇× ( E + ) = 0 ∂t ∂A E = −∇ϕ −
∂t
∇ A = −µJ
∂ ρ ∇ ϕ + ∇⋅ A = − ∂t ε
2
∇⋅ D = ρ
∂A ∇⋅ ε (−∇ϕ − ) = ρ ∂t
ρ ∇ ϕ =− ε
2
上 页 下 页
第 五 章
准静态电磁场
问题
满足怎样的条件可以不考虑场的滞后效应， 满足怎样的条件可以不考虑场的滞后效应，把电磁 场可作准静态场？ 场可作准静态场？ 达朗贝尔方程的积分解
uS (t) E= d ε duS (t ) Jd = d dt
上 页
下 页
第 五 章
准静态电磁场
例 解
Hi − H0 = JCa = γ Ea
应用MQS的概念分析轴向磁场向薄壁导体筒内的扩 的概念分析轴向磁场向薄壁导体筒内的扩 应用 散过程。 散过程。 z 设外激磁电流源在t=0 t=0突然建立 设外激磁电流源在t=0突然建立 a 均匀磁场H 均匀磁场 0，导体筒产生感应 电流 H H
EQS中忽略感应电场 场量是时间的函数， 中忽略感应电场， ① EQS中忽略感应电场，场量是时间的函数，电 场是无旋场，可以引入电位概念。 场是无旋场，可以引入电位概念。 电场分布同静电场， ② 电场分布同静电场，利用静电场的方法求解出电 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的磁场。 Maxwell方程求解与之共存的磁场 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的磁场。 ③ 工程中如两线间的电磁场和电容器中的电磁场可 以看作EQS EQS。 以看作EQS。
准静态电磁场
2）高频情况 导电媒质中的磁准静态场（ 导电媒质中的磁准静态场（MQS） ） 导电媒质中的传导电流 导电媒质中的位移电流 若
J =γ E
• •
导电媒质中 的似稳条件
•
Jd = jωε E
•
γ E >> jωε E
•
•
满足
ωε <<1 的媒质为良导体 γ
ωε << 1 忽略位移电流 γ
例 已知蒸馏水的物理参数为 µr = 1, εr = 50, γ = 20s/m
µ J (r′)e−j β r A = ∫V′ dV ′ 4π r
•
•
µ J (r′) A = ∫V′ dV′ 4π r
•
•
ρ(r′)e− jβ r ϕ = ∫V′ dV ′ 4πεr
•
•
ρ(r′) dV ′ ϕ = ∫V ′ 4πεr
•
•
上 页
下 页
第 五 章
准静态电磁场 似稳条件
2. 准静态条件
电磁波的频率为f1=30kHz，f2=15千兆赫，问蒸馏 电磁波的频率为 ， 千兆赫， 千兆赫 水可以看作良导体吗？ 水可以看作良导体吗？
上 页
下 页
第 五 章
准静态电磁场
解
当f1=30kHz
ωε 2π × 30 ×103 × 50 ×8.85 ×10−12 = γ 20
= 4. ×10−6 <<1 17
根据
− J1n∆S + J2n∆S =
∫SJ ⋅ dS = −∂q / ∂t,