高一数学推理与证明PPT教学课件
高中数学第一章推理与证明本章整合课件选修
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
由所给出的两点 P(4,5),Qn(xn,f(xn)),可知直线 PQn 的斜率一定存
在.
故直线 PQn 的方程为 y-5=
令 y=0,可得-5=
4 +3
,
+2
4 +3
xn+1= .
+2
( )-5
(
-4
2 -2 -8
·(x-4),
-4
-5
即
= − 4,
+ 2
所以 x=
故
− 4),
12/9/2021
第十六页，共二十九页。
综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
下面用数学归纳法证明 2≤xn<3.
(1)当 n=1 时,x1=2,满足 2≤x1<3.
(2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,2≤xk<3 成立,
是等差数列.
(2)Tn =(-12 + 22 )+(- 23 + 24 )+…+(- 22-1 +
(2 +2 )
2
2)=2d(a2 +a4 +…+a2n )=2d· 2
=2d2 n(n+1).
1
1 n
1
1 1
1
1
所以 ∑
1
=1 T k
=
2
∑
2d k=1 (+1)
高中数学 推理与证明课件
面面积，那么你类比得到的
结论是
S12
S
2 2
S
2 3
S
2 4
.
如何证明
变式训练2： 在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a， 则△ABC的外接圆的半径 r a2 b2 ，
2
把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。
变式训练3：
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
注：演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论 必然是正确的。
例3:有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,
则平行于平面内所有直线；已知直线l∥平面 ，
直线a 平面, 则直线l / /直线a ,的结论显然是错
误的，这是因为
A.大前提错误 √
C.推理形式错误
B.小前提错误 D.非以上错误
变式训练4：
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为S 1 (a b c)r,r为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为
,r为三角形内
切圆半径
请类比出四面体的有关性质？
2 变式训练1： tan 5 • tan10 tan 5 • tan 75 tan10 • tan 75 1
tan10 • tan 20 tan10 • tan 60 tan 20 • tan 60 1
tan15 • tan 35 tan15 • tan 40 tan 35 • tan 40 1 由以上两式可以推出什么结论，并证明
例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的 一个角，那么截下的一个直角三角形，
人教版高中数学课件-推理与证明
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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2 ． 在 古 希 臘 ， 畢 達 哥 拉 斯 學 派 把 1,3,6,10,15,21,28,36, 45,55，…這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點可以排 成正三角形(如圖所示)，則三角形數的一般運算式f(n)＝( )
[思路點撥]
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第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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歸納推理的步驟 在數列中，常用歸納推理猜測通項公式或前n項和公式， 歸納推理具有由特殊到一般，由具體到抽象的認知功能，歸納 推理的一般步驟： (1)通過觀察個別情況發現某些相同性質． (2)從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題 (猜想)．
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[提示3] 魯班類比草葉的邊緣發明了鋸，平面中的圓與空 間中的球有類似的特徵．
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第二章 推理与证明
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歸納推理
定義
特徵
由某類事物的_部__分__對__象__具有某些特徵， 歸納推理是由
推出該類事物的__全__部__對__象__都具有這些 _部__分__到__整__體___、
[提示2] 是．所有的爬行動物都是用肺呼吸的．
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第二章 推理与证明
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[問題3] 觀察下圖由平面內的圓，我們聯想到空間裏的 球，讓它們來類比．你能找到它們有哪些類似的特徵？
高中数学 第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理课件52高二选修22数学课件
类比的价值；数学的价值
第十二页，共十四页。
同学 们辛苦 (tóng xué)
了
第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
类比推理。仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明(fāmíng)了潜水艇.。科学家 对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征。3)火星上大部分时间的温度适合地球
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
第六页，共十四页。
学会 类比 (xuéhuì) 几何中的类比
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给
出空间中四面体性质(xìngzhì)的猜想．
分析(fēnxī):找出已知的相似性直角三角形
A
和直四面体，寻找对应的相似性
Ｂ
c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃ
b
Ａ
B
由 平 面 到 空 间
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
第七页，共十四页。
小试牛刀(xiǎo shì niú
•
在RtABC
dāo)
中，，两直角边分别为a,b，设h
为斜边上的高，则 1 1 1 ，
h2 a2 b2
由此类比：三棱锥S-ABC中的三条侧棱 SA,SB,SC两两垂直，且长度(chángdù)分别为 a,b,c ,设棱锥底面ABC上的高为h，则（ ）
No 上某些已知生物的生存,等等.。利用平面向量的基本定理类比得到空间向量的基本定理.。
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．。S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC。圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦。同学们辛苦了
高中数学 第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理课件
练习1：正三角形(zhènɡ sān jiǎo xínɡ)内任意一点到三 边距离之和是一个定值。
正四面体内任意(rènyì)一点到四个面的距离之和 是一个定值。
第十八页，共二十五页。
类比推理(lèi bǐ tuī lǐ)的特点： 1.由特殊(tèshū)到特殊(tèshū)的推理； 2.以旧的知识(zhī shi)为基础,推测新的结果，
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
第九页，共二十五页。
例2：若数列an(n N )是等差数列，则数列
bn
a1
a2
a3 n
an ,(nN)也是等差数列。
类比上述性质，相应的：
若数列an(n N )是等比数列，则数列
bn _n_a_1_a_2_a_3 ___a_n _____,(nN)也是等比数列。
No 等的两截面圆面积相等。例5：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜
想．。1.由特殊到特殊的推理(tuīlǐ)。——康德。由特殊到特殊的推理(tuīlǐ)。由部分到整体、特殊到 一般的推理(tuīlǐ)。通俗地说，合情推理(tuīlǐ)是指“合乎情理”的推理(tuīlǐ).。Ａ
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径(bànjìng)
的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
第十三页，共二十五页。
例3.半径为r的圆的面积
，周长
若将r看作
上的变量，则
①，①式
可用语言叙述为：圆的面积函数(hánshù)的导数等于圆的周
长函数(hánshù)。对于半径为R的球，若将R看
第八页，共二十五页。
问题：有学生根据等式的性质(xìngzhì)类比不等式的性质(xìngzhì)。
人教版高中数学课件-推理与证明
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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1．下列几种推理过程是演绎推理的是( ) A．某校高三(1)班有 55 人，(2)班有 54 人，(3)班有 52 人， 由此得高三所有班的人数均超过 50 人 B．两条直线平行，同旁内角互补，若∠A 与∠B 是两条平 行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180° C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12(an－1＋an＋1)(n≥2)，由此 归纳出{an}的通项公式
對演繹推理及三段論的理解 (1)①演繹的前提是一般性的原理，演繹所得的結論是蘊涵 於前提之中的個別、特殊事實，結論完全蘊涵於前提之中； ②演繹推理是一種收斂性的思考方法，少創造性，但具有 條理清晰，令人信服的論證作用，有助於科學的理論化和系統 化． (2)對於“三段論”應注意： 應用三段論解決問題時，應當首先明確什麼是大前提和小 前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略．
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常數)．
(小前提)
通項公式為an＝3n＋2(n≥2)的數列{an}為等差數列．
(結論)
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第二章 推理与证明
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運用三段論時的注意事項 用三段論寫演繹推理的過程，關鍵是明確大前提、小前 提，大前提提供了一個一般性的原理，在演繹推理的過程中往 往省略，而小前提指出了大前提下的一個特殊情況，只有將二 者結合起來才能得到完整的三段論．一般地，在尋找大前提 時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提．
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第二章 推理与证明
高中数学第三章推理与证明2数学证明课件
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
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课后演练提升
1．演绎推理
(1)含义：从一般性的原理出发，推出__某__个__特__殊__情__况__下__的_ 结论的推理．
(2)特点：由__一__般__到__特__殊__的推理． (3)一般模式：__三__段__论__． 大前提：__已__知__的__一__般__原__理__． 小前提：__所__研__究__的__特__殊__情__况__． 结论：___根__据__一__般__的__原__理__，__对__特__殊__情__况__做__出__的__ 推理与证明
课前预习学案
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4．用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)若两角是对顶角，则此两角相等．所以若两角不相等， 则此两角不是对顶角． (2)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝ tan α是周期函数． (3)通项公式an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
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第三章 推理与证明
课前预习学案
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数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
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把演绎推理写成三段论
将下列演绎推理写成三段论的形 式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所 以菱形的对角线互相平分．
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A、∠B是等腰三角形的 两底角，则∠A＝∠B.
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
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§2 数学证明
数学D 选修1-2
高考数学复习15-推理与证明3.ppt
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考点五 归纳、猜想、证明
“归纳——猜想——证明”的模式， 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用 的解题模式．其一般思路是：通过观察 有限个特例，猜想出一般性的结论，然 后用数学归纳法证明．这种方法在解决 探索性问题、存在性问题或与正整数有 关的命题中有着广泛的应用．其关键是 归纳、猜想出公式．
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例3 用数学归纳法证明平面内 有n个圆，其中每两个圆都相交 于两点，且每三个圆都不相交 于同一点．则这n个圆将平面分 成n2－n＋2个部分．
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【思路点拨】 本题中找到第k＋ 1个圆被原来的k个圆分成了2k条弧， 而每一条弧把它所在部分分成了两 块，此时共增加了2k个部分，问题就 得到了解决．
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例1 用数学归纳法证明对于任意 正整数 n，(n2－1)＋2(n2－22)＋… ＋n(n2－n2)＝n2(n－14)(n＋1).
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【思路点拨】 证明等式是数学 归纳法的应用之一，证明时，较为困 难的是第二步，首先要弄清等式两边 的构成规律，然后证明当n＝1时命题 成立，再证如果n＝k时命题成立，那 么n＝k＋1时命题也成立．
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例2 已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈
N*)，用数学归纳法证明f(n)能被 36整除．
【思路点拨】 用数学归纳法 能证明整除问题，在由k过渡到k＋1 时常用“配凑”的办法，要有目的地 去“配凑”36的倍数式子和假设n＝k 时的式子．
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【证明】 (1)当n＝1时，f(1)＝36， 能被36整除．
第3课时 数学归纳法
基础知识梳理
证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立；
高中数学第一章推理与证明1.1.1归纳推理课件1北师大版
【想一想，辨一辩】
既然利用归纳推理的结论不一定正确，那我们还有
必要进行归纳推理吗？
【情景2】永动机
历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望，
希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止地
为人类服务.人们提出过
许多永动机的设计方案.最早
永动机的设计方案是13世纪 的法国人亨内考提出的，后 来人们又提出了各种永动机 的设计方案.
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4 8 5 5
顶点数（V）
8 4 6 6 5
棱数（E）
12 6 12 9 8 16 四棱锥
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
9
9
尖顶塔
思考:面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
可以归纳出面数F、顶点数V和棱数E之间的关系 F ＋V －E ＝2 这就是著名的欧拉公式. 以上推理都是归纳推理，虽然归纳推理的结论 不一定正确，但是，在数学，科学，经济和社会的历 史发展中，归纳推理有非常重要的价值，它是科学发
于是，他归纳出一个猜想:
“所有形如 2 1(n 1, 2,3,...) 的数都是素数.” 对于大一点的n,验证这个猜想是很难的事情.直至近百年 后的1732年，瑞士数学家欧拉发现 225 1 641 6700417 不是素数，从而否定了这个猜想.的结论不一定正确。
“是不是所有不小于6的偶数，都可以表示为两个素数的和呢？” 6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7
14＝7＋7
…… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863 …… 归纳出：偶数（不小于6）＝素数＋素数
17
【情景4】 欧拉公式 探求凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
推理与证明ppt完美课件 人教课标版
• 可先由P87的问题及例5、例6让学生归纳三段论， 体会大前提、小结题、结论，然后举例让学生练习书 写演绎推理的三段论模式。
• 最后要说明演绎推理是一种必然性推理，只要大前 提是正确的，小前提在大前提中，则小前提的结论必 定是正确的。
• 引起错误的主要有二种情况：①是大前提错误可能 导致错误的的结论；②是小前提不在大前提中，可举 二个反例说明。
选修2—2第二章 推理与证明
特级教师 省新课程教学指导组成员 正高级教师 硕士生导师 许钦彪
• 一 教育价值
• “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习
和生活中经常使用的思维方式。 • 有助于学生体会数学与其他学科以及实际生活的联系。 • 有助于学生理解数学的本质，形式对数学较为完整的认
识。 • 有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。 • 有助于发展学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。 • 有助于发展学生的创新意识和创新能力。 • 因而，它是选修1—2与选修2—2中共有的内容。 • 以往的高中数学课程中，忽视了合情推理，新课标中增 加了合情推理，单独提出了“推理与证明”这一章节，应予充
• 2、类比推理：利用教材P80火星和地球、圆和球的 类比性质，介绍类比推理的本质是在两类不同的对象 之间进行对比，找出若干相同点之后，推测在其他方 面也可能存在相同点的一种推理模式。换句话说类比 推理是由特殊到特殊的推理。再用P82例2：实数的加 法和乘法的运算性质；例3：平面三角形和空间四面 体的类比，让学生练习体会类比推理。
高中数学：第二章《推理与证明》课件(新人教A选修22)
三:反证法
求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法
2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.
问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.
∴ 1+1+1 =bc+ca+ab a bc
=bc+ca+ca+ab+ab+bc
2
2
2
>a b c 2+a 2 b c+a b 2 c= a+ b+ c.
∴a+ b+c<a 1+1 b+c 1成 立 .
例 .已 知 a、 b、 c为不 相 等 正 数 ， 且 abc=1，
证求： a+ b+ c<a 1+1 b+1 c.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.
练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+___n_-_1____.
这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.
根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成 立.
高中数学 第一章 推理与证明 1.2.2 分析法课件
动手做一做
1.已知：
都是正实数，且a bb cca1，
求证：abc 3
2. △ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，A、B、C 的对
边分别为 a、b、c.求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
第十页，共十二页。
小结(xiǎojié)
1、分析法，又叫执果索因法。
果 特点 ： (tèdiǎn)
在证明数学(shùxué)命题的时候，也可以从命题的结论 入手，寻求保证结论成立的条件，直到归结为命题 给定的条件或定义、公理、定理等。
第三页，共十二页。
例题(lìtí)讲解
例1 已知：a , b 是不相等的正数，
求证：a3b3a2ba2b 果
证明：要证 a3b3a2ba2b
只需证 (a b )a ( 2 a b 2 ) a(a b b )
果
只需证 ( 87)2( 51)0 2
只需证 15 256 15 250
因
只需证 56 50
由于 5650显然成立，所以命题成立。
第五页，共十二页。
例3 求证：函数 f(x)2x21x21在6区间
(3,) 上是递增的。
证明：要证 f(x)2x21x216在 (3,) 上递增，果
只需证 对于任意 x1,x2(3, ) 且 x1 x2 时，有
第六页，共十二页。
由条件知，x1 x2 ，且 x13,x23， 则有 x1x2 0，且 x1x2 6 ， 它们保证了 f(x1)f(x2)0
所以(sufǒy(ǐ)x)2x21x216在(3,) 上是递增的。
不难看出，这几例都是从结论出发，寻找其成立 的充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)而进行证明的。
高中数学 第二章 推理与证明本章整合课件 新人教A版选修1-2
网络构建 专题 一 专题 二
专题归纳
解 :(1)∵f(x)=ax3+bx+c, ∴f'(x)=3ax2+b. 由已知 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, ������'(2) = 0, 得 ������(2) = ������-16, 12������ + ������ = 0, 即 8������ + 2������ + ������ = ������-16, 12������ + ������ = 0, ������ = 1, 即 解得 4������ + ������ = -8. ������ = -12.
网络构建 专题 一 专题 二
专题归纳
证法一:(分析法)①当 ac+bd ≤0 时 ,显然成立. ②当 ac+bd>0 时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd )2≤(a 2+b2)(c2+d2). 即证 a 2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a 2d2+b2c2+b 2d2. 即证 2abcd≤b2c2+a2d2. 即证 0≤(bc-ad )2. ∵a ,b ,c,d ∈R,∴上式恒成立, 故原不等式成立.综合①②知,命题得证. 证法二:(综合法)∵(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a 2d2+b2c2+b2d 2 =(a 2c2+2abcd+b2d2)+(b 2c2-2bcad+a 2d2) =(ac+bd )2+(bc-ad )2≥(ac+bd)2, ∴ (������ 2 + ������ 2)(������ 2 + ������ 2)≥|ac+bd|≥ac+bd.
19：推理与证明
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号：年级：辅导科目：数学课时数：课题推理与证明教学目的教学内容一、知识网络二、命题分析1．推理与证明是新课程中非常重要的内容，在2012年高考中有可能成为考查的重点，三种题型都有可能．若以选择题和填空题出现，则主要考查归纳和类比推理的运用以及推理的有关概念问题等；而对常用的证明方法的考查主要以解答题的形式出现，可能是某个解答题中的一问，单独考查的可能性不大．题目的难度会以中档题为主．2．探索性命题是近几年高考中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，通过归纳推理得到一个般性的结论，然后再要求给出证明．归纳、猜想、证明是数学中发现新规律的一种主要方法，是归纳推理的一种重要体现，此类题型可能成为2012年高考的重点题型．三、复习建议2．在推理证明的复习中，要准确把握概念，把握好各种证法的特点和步骤，注意灵活运用．(1)对于合情推理，主要是掌握相关概念，会进行类比推理，能判断推理的类型．(2)直接证明与间接证明主要渗透到其他知识板块中，要注意在复习相应的板块时，培养选择合理证明方法的能力．四、知识讲解第一节 归纳与类比（一）高考目标1．了解归纳与类比的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解归纳与类比在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 考向预测1．考查的重点是对合情推理和演绎推理的理解及应用．2．主要是以选择题和填空题的形式出现，难度不大，多以中低档题为主．（二）课前自主预习知识梳理1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该事物中每一个都有这种属性，这种推理方式称为2．根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为 3．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；类比推理是两类事物特征之间的推理． 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理． （三）、基础自测1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2n ＋12B.2nn ＋1 C.22n －1 D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝nn ＋2a n (a ≥2)， 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2n n ＋1，故选B.2．利用归纳推理推断，当n 是自然数时，18(n 2－1)[1－(－1)n]的值( )A ．一定是零B ．不一定是整数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数 [答案] C[解析] 当n ＝1时，值为0；当n ＝2时，值为0；当n ＝3时，值为2；当n ＝4时，值为0；当n ＝5时，值为6. 3．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的( ) A ．一条中线上的点，但不是中心 B ．一条垂线上的点，但不是垂心 C ．一条角平分线上的点，但不是内心 D ．中心[答案] D[解析] 边的中点对应于面的中心．4．(文)下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )A．2 B．4 C．6 D．8[答案] C[解析] 因为其规律是a为肩上两数之和，故a＝3＋3＝6.(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等；④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．A．① B．①② C．①②③ D．③[答案] B[解析] 类比的原则是“类比前后保持类比的一致性，”而③④违背了这一原则．5．在平面几何中，若三角形内切圆的半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝12r(a＋b＋c)成立，类比上述结论，相应地，在立体几何中，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则这个四面体的体积V＝________成立．[答案]13R(S1＋S2＋S3＋S4)[解析] 通过类比，可把四面体分割为四部分．6．(2010·陕西理)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________．[答案] 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212[解析] 由13＋23＋33＋…＋n3＝[n n＋12]2知n＝6时为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.7．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n(n∈N*)，试猜想这个数列的通项公式．[解析] ∵a1＝1＝22，∴a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝432＋23＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝12＋12＝25，…，猜想：a n＝2n＋1. （四）典型例题1.命题方向：归纳推理[例1] 通过归纳推理完成下列各题： (1)观察下表 1＝1 3＋5＝87＋9＋11＝2713＋15＋17＋19＝64 ……据此你可归纳猜想出的结论是________． (2)观察下式： 1＋3＝221＋3＋5＝231＋3＋5＋7＝241＋3＋5＋7＋9＝25……据此你可归纳猜想出的一般结论为________．(3)设数列{an }的前n 项和为Sn ，Sn ＝2n －an (n ∈N*)，计算前4项，归纳出an ＝________.(4)平面上两条直线最多有一个交点，三条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，则n 条直线(n ∈N*，n ≥2)最多有________个交点．[答案] (1)[n (n －1)＋1]＋[n (n －1)＋3]＋…＋[n (n －1)＋(2n －1)]＝n 3 (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(3)2n－12n －1(4)12n (n －1)[点评] 由特殊结果，归纳总结出一般结论，是一种很重要的题型、结论正确，可以给出一般性的证明．归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可靠． 跟踪练习1当正三角形的边长为n (n ∈N *)时，图(1)中点的个数为f 3(n )＝1＋2＋3＋…＋(n ＋1)＝12(n ＋1)(n ＋2)；当正方形的边长为n 时，图(2)中点的个数为f 4(n )＝(n ＋1)2；在计算图(3)中边长为n 的正五边形中点的个数f 5(n )时，观察图(4)可得f 5(n )＝f 4(n )＋f 3(n －1)＝(n ＋1)2＋n n ＋12＝12(n ＋1)(3n ＋2)；….则边长为n 的正k 边形(k ≥3，k ∈N)中点的个数f k (n )＝____________。
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• [解析] 全称命题的否定形式为特称命题， 而“至少有两个”的否定形式为“至多有 一个”．故该命题的否定为“存在一个三 角形，其外角最多有一个钝角”．
• C．至少有一个正数
• D．两个都是负数
• [答案] C
• [解析] 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
• 二、填空题
• 4．“任何三角形的外角都至少有两个钝 角”的否定应是 ______________________________．
• 2．对于否定性命题或结论中出现“至 多”、“至少”、“不可能”等字样时， 常用反证法．
• 3．原常结用的至“少原结论至词多”与至“反少设词至”多归纳 如论下词表：有一个 有一个 有n个 有n个
一个也 反设 没有 至少有 至多有 至少有
词 (不存在 两个 n－1个 n＋1个
)
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋2π，b＝y2－2z＋π3， c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c 至少有一个大于 0.
，从而证明了
，这
种证明方法叫做反证法．
• 2．反证法常见矛盾类型
• 在反证法中已，知经条件过正确的推数理学后公理“得定出理矛
公盾式”，定所义 得矛已盾被主证明要了是的指结论与
矛盾，
与公认的简单、事实 ຫໍສະໝຸດ 、 或矛盾，
与
矛盾．
[例 2] 设 f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2
• A．两个内角是直角 • B．有三个内角是直角 • C．至少有两个内角是直角 • D．没有一个内角是直角 • [答案] C • [解析] “最多只有一个”即为“至多一
个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.
• 3．如果两个实数之和为正数，则这两个 数( )
• A．一个是正数，一个是负数
• B．两个都是正数
• [点评] 1.运用反证法证题时，一定要处 理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核 心就是从求证的结论的反面出发，导出矛 盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关 键所在，对于三个步骤，绝不可死记，而 要具有全面、扎实的基础知识，再灵活运 用．
• 2．证明“有且只有一个”的问题，需要 证明两个命题，即存在性和唯一性．当证 明结论以“有且只有”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题时，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证
• 一、选择题
• 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中， 要把下列哪些作为条件使用
()
• ①结论相反判断，即假设 ②原命题的结 论
• ③公理、定理、定义等 件
④原命题的条
• A．①④
B．①②③
• C．①③④
D．②③
• [答案] C
• 2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ()
• 2．2.2 反证法
• 理解反证法的概念，掌握反证法证题的步 骤．
• 本节重点：反证法概念的理解以及反证法 的证题步骤．
• 本节难点：应用反证法解决问题．
• 1．反证法
• 假设原命题 不成立(即在原命题的条件下，
结论不成立)，经过正确的推理，最后得出
假矛设错误 盾 ， 原因命题成立此 说 明
时，在其定义域范围内至少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立．
• [分析] 本题中，含有“至少存在一个” 词，可考虑使用反证法．
假设不成立，因此当 b<－2 时在其定义域范围内至
少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立．
• [点评] 1.反证法是利用原命题的否命题 不成立则原命题一定成立来进行证明的， 在使用反证法时，必须在假设中罗列出与 原命题相异的结论，缺少任何一种可能， 反证法都是不完全的．