最新新人教版初一下册数学实际问题与二元一次方程组经典例题
新人教版初一下册数学实际问题与二元一次方程组经典例题
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经典例题透析
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类型一：列二元一次方程组解决——行程问题
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1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而6
行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速7
返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？8
总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程9
问题的常用的解决策略。
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【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出15
发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
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【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求21
船在静水中的速度和水流速度。
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分析：船顺流速度＝静水中的速度＋水速
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船逆流速度＝静水中的速度－水速
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类型二：列二元一次方程组解决——工程问题
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2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需
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付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费
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用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12
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天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
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思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同
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时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再
请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。设甲组单独做一天商店应付x元，乙34
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组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方
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程6x+12y=3480.
举一反三：
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【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万
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元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只
选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理
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由.
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类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
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3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利
46元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两
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件商品的进价分别是多少元？
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思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率
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举一反三：
【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000
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元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬56
菜各种植了多少亩？
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【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价
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如下表：
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（注：获利 = 售价—进价）
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求该商场购进A、B两种商品各多少件；
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类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
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4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存69
了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存70
款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，71
教育储蓄没有利息所得税）
总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容
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易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的74
相等关系随之浮现出来.
举一反三：
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【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百
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分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）
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思路点拨：扣税的情况：本金×年利率×(1-20%)×年数=利息（其中，利息所得税=利息金额×20%）.不扣税时：利息=本金×年利率×年数.
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类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
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5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多
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少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第
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二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2
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倍(注意：别把2倍的关系写反了).
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总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌
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腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它
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们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关
键.
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举一反三：
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【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒
底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整102
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的盒子？
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思路点拨：两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数，两个相等关系是：①制盒身铁皮张数
+制盒底铁皮张数=190；②制盒身个数的2倍=制盒底个数.
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【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生
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产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓
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和螺母刚好配套。
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类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题
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6. 某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加116
了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多117
少万元？
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思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总产值（万元）总支出（万元）利润（万元）
去年x y200
今年120%x90%y780
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根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。
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举一反三：
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【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
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【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，132
这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
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思路点拨：由题意得两个等式关系，两个相等关系为：
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（1）城镇人口+农村人口=42万；
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（2）城镇人口×(1+0.8%)+农村人口×（1+1.1%）=42×（1+1%）
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类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题
7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计142
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划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批144
帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分145
别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱146
心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？
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思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划148
前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。
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七年级数学下册实际问题与二元一次方程组
实际问题与二元一次方程组 1、灾后重建，某村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包。这次采购排男村民和女村民各多少人？ 2、在早餐店里，王伯伯买5个馒头，3个包子，老板少拿2元，只要50元。李太太买了11个馒头，5个包子，老板给予售价的九折优惠，只要90元。求馒头和包子各多少钱？ 3、张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5h后到达县城。他骑车的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程全长20km。他骑车与步行各用多少时间？ 4、小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程。两人的平均速度各是多少？ 5、从甲地到乙地有一段上坡与一段平路。如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km。下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min。甲地到乙地全程是多少？ 6、甲、乙两人在400m的环形跑道上练习赛跑。如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过250秒甲第一次追上乙，求甲、乙的平均速度。 7、甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔2min 相遇一次；如果同向而行，每隔6min相遇一次。已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分各跑多少圈？
8、某人沿公路匀速前进，每隔4分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6分钟就有一辆公共汽车从背后超过他。假定汽车速度不变，而且迎面开来相邻两车的距离和从背后开来相邻两车的距离都是1200米，求某人前进的速度和公共汽车的速度，那么汽车每隔几分钟开出一辆？ 9、一辆汽车从A 地驶往B 地，前3 1路段为普通公路，其余路段为高速公路。已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h ，在高速公路上行驶的速度为100km/h ，汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2h 。请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程。 10、为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务有A ，B 两个工程队先后接力完成。A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天。 （1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组： 甲：???=+=+y x y x 1812 乙：?????=+=+18 12y x y x 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x,y 表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x 表示???????????????????????????，y 表示???????????????????????????； 乙：x 表示???????????????????????????，y 表示???????????????????????????； （2）求A ，B 两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程） 11、某电脑公司有A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其中A 型每台6000元，B 型每台4000元、C 型每台2500元。某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑。请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由。
初一上数学线段动点问题
数学的动点问题 1. 已知数轴上两点A、B对应的数分别为一1, 3,点P为数轴上一动点，其对应的数为x. (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；(1) (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5?若存在，请求出x的值。若不存在, 请说明理由？ ( -1.5,3.5 ) (3)当点P以每分钟一个单位长度的速度从0点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？ (2/23) 2. 数轴上点A对应的数是一1，B对应的数是1, 一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4 个单位长度的速度爬行至C点，再立即返回到A点，共用了4秒。 (1)求点C对应的数；(8) (2)若小虫甲返回到A点后作如下运动：第1次向右爬行2个单位长度，第2次向左爬行4个单位长 度，第3次向右爬行6个单位长度，第4次向左爬行8个单位长度，…依次规律爬下去，求它第10次所停在点所对应的数.(-11 ) (3)若小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位长度的速度爬行，这时另一只小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒7个单位长度的速度爬行，设小虫甲爬行后对应的点为E，小虫乙爬行后对应的点为F.设点A、E、F、B所对应的数分别是X A、X E、X F、X B,当运动时间t不超过1 时，|x A-x E|-|X E-X F|+|X F-X B|的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值。 3. 如图，点0为直线AB上一点，过点0作射线0C使/ BOC=120 ?将直角三角板的直角顶点放在点0处，一边0M在射线0B上，另一边ON在直线AB的下方. (1)将图1中的三角板绕点0逆时针旋转至图2,使一边0M在/ BOC的内部，且恰好平分/ BOC 问：此时直线ON是否平分/ AOC请说明理由. (2) 将图1中的三角板绕点0以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON恰好平分锐角/ AOC求t的值. (3)将图1中的三角板绕点0顺时针旋转至图3,使ON在/ AOC的内部，求/ AOM/ NOC勺度数. AT
七年级下册数学实际问题与二元一次方程组典型例题
七年级下册数学实际问题与二元一次方程组典型例题 例1. 养牛场原有30只母牛和15只小牛,一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛,这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18~20 kg,每只小牛1天约需用饲料7~8 kg.你能否通过计算检验他的估计? 分析:一、先假设李大叔的估计正确,再根据问题中给定的数量关系来检验. 二、根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量,再来判断李大叔的估计是否正确. 技巧:根据等量关系列方程即可. 例2. 据以往的统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5,现要在一块长200m ,宽100m 的长方形土地上种植这两种作物,怎样把这块地分为两个长方形,使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4(结果取整数? 分析:一种种植方案为:甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD 和BCFE.设AE=x m ,BE=y m ,根据问题中涉及长度、产量的数量关系,列方程组 ? ??=?=+431005.1:100200:y x y x 解这个方程组,得
. 过长方形土地的长边上离一端约106m 处,把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲作物,较小一块地种乙作物. 规律:(1设未知数.(2找相等关系.(3列方程组.(4检验并作答. 例3:如图,长青化工厂与A ,B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B 地.公路运价为1. 5元(吨·千米,铁路运价为1.2元(吨·千米,这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?(见教材图8.3-2 分析:列表分析 ((???=+?=+?97200 1201102.11500010205.1y x y x 解这个方程组,得 ???==400 300y x 因为毛利润-销售款-原料费-运输费 所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800元. 规律:由实际问题,设未知数,找等量关系,列二元一次方程组.
人教版七年级下册数学动点问题教学内容
动点问题 1、如图6－7，已知A 、B 两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车在x 轴上行驶，从原点O 出发． （1）汽车行驶到什么位置时离A 村最近？写出此点的坐标． （2）汽车行驶到什么位置时离B 村最近？写出此点的坐标． （3）请在图中画出汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？ 2.如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴 和y 轴建立平面直角坐标系，点A (0，a )，C (b ，0) 20b -=． (1) 则A 点的坐标为___________，C 点的坐标为__________； (2) 已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是(1，2)，设运动时间为t (t ＞0)秒．问：是否存在这样的t ，使S △ODP ＝ S △ODQ ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由； (3) 点F 是线段AC 上一点，满足∠FOC ＝∠FCO ，点G 是第二象限中一点，连OG ，使得∠AOG ＝∠AOF ．点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACE OEC ∠+∠∠的值是否会发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 3.如图1，在平面直角坐标系中，第一象限内长方形ABCD , AB ∥y 轴,点A （1，1），点C （a , b ）,
满足035=-+-b a . （1）求长方形ABCD 的面积. （2）如图2，长方形ABCD 以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点E 从原点O 出发沿x 轴以每秒2 个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t 秒. ①当t=4时，直接写出三角形OAC 的面积为 ； ② 若AC ∥ED ,求t 的值; （3）在平面直角坐标系中，对于点()P x y ，，我们把点(11)P y x '-++，叫做点P 的伴随点， 已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A . ①若点1A 的坐标为（3，1），则点3A 的坐标为 ，点2014A 的坐标为 ； ②若点1A 的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 . 4、如图，在平面直角坐标中，A (0，1)，B (2，0)，C （2，1.5）． （1）求△ABC 的面积； （2）如果在第二象限内有一点P （a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． y x P O C B A 5、如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C （－3，0）． （1）求△ABC 的面积； （2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C '''，请你在图中画出△A B C '''； （3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使 2ACP ABC S S =V V ； （4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使 D C B A E O y x 24题图2 24题图1 D C B A O y x
初一下册数学经典题型
1. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如：方程260x =- 的解为3x= ，不等式组205x x ->????-??-+<-? ， 的关联方程是 ；（填序号） （2）若不等式组1144275 x x x ? -?? ?++?＜， ＞-的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写 出一个即可） （3）若方程21+2x x -=， 1322x x ? ?+=+ ???都是关于x 的不等式组22x x m x m -?? -?＜，≤的关联方程，求m 的取值范围.
2. 对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m∥x轴，过点B作直线n∥y轴，直线m，n相交于点C.当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形ABC的面积为点A的 等距面积. 例如：如图，点A（2，1），点B（5，4），因为AC= BC=3，所以B 为点A的等距点，此时点A的等距面积为9 2. （1）点A的坐标是（0，1），在点B1（-1，0），B2（2，3），B3（-1，-1）中，点A的等距点为. （2）点A的坐标是（-3，1），点A的等距点B在第三象限， ①若点B的坐标是 ? ? ? ? ? 2 1 2 9 ，－ － ，求此时点A的等距面积； ② ②若点A的等距面积不小于9 8，求此时点B的横坐标t的取值范围. 备用图
七年级下册数学实际问题应用题
1.学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车.若租用1辆 大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元. （1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？ （2）若每辆车上至少 ．．．2300元，求最省钱的租车．．要有一名教师，且总的租车费用不超过 方案. 2.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元 (1) 若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，问甲、乙各有多少台？ (2) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案 (3) 若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，哪种获利最多？ 3.某学校计划在总费用不超过2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要一名教师．现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车乙种客车 载客量（人/辆）45 30 租金（元/辆）400 280 （1）若设租甲种客车x（辆），根据题意，求出x的取值． （2）有几种租车方案？最少的租车费用是多少？
4.2台大收割机和5台小收割机均工作2天共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5天，共收割小麦8公顷． （1）1台大收割机和1台收割机每天各收割小麦多少公顷？ （2）设大收割机每台租金600元/天，小收割机每台租金120元/天，某农场准备租用两种收割机共15台，要求大收割机的数量不少于小收割机的一半，若每天总租金不超过5000元，若设大收割机要a台，①共有几种租赁方案？写出解答过程；②那种租赁方案每天收割小麦最多？ 5.在“五?一”期间，某公司组织318名员工到雷山西江千户苗寨旅游，旅行社承诺每辆车安排有一名随团导游，并为此次旅行安排8名导游，现打算同时租甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人． （1）请帮助旅行社设计租车方案． （2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？ （3）旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游随团导游，为保证所租的每辆车安排有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？ 6.列方程组（或不等式组）解应用题． 某文具店老板购甲、乙两种练习本，第一次购甲种练习本50本和乙种练习本50本，共花费750元，第二次购甲种练习本30本和乙种练习本60本共花费750元． （1）甲种练习本和乙种练习本的进价各是多少元？ （2）现在文具店老板用500元去购买甲、乙两种练习本，根据平时销售量发现，两种练习本销售量的和超过60本，销售甲种练习本的利润率是20%，乙种练习本的利润率是30%，若要求销售这批练习本至少获利135元，求可购买乙种练习本的数量？
七年级数学上册期末复习典型例题讲析(人教版)
七年级数学上册典型例题 例1. 已知方程2x m－3+3x=5是一元一次方程，则m= . 解：由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3 所以m=4或m=3 警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）. 例2. 已知2 x=-是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值. 解：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解 ∴将x=－2代入方程， 得a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0 化简，得4a+4a－6+5=0 ∴ a=8 1 点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a的一元一次方程就可以了. 例3. 解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）. 解：去括号，得2x+2－12x+9=9－9x， 移项，得2+9－9=12x－2x－9x. 合并同类项，得2=x，即x=2. 点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成x=a的形式. 例4. 解方程 1 7 5 3 2 1 4 1 6 1 8 1 = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? + - x . 解析：方程两边乘以8，再移项合并同类项，得111 351 642 x ?-? ?? ++= ? ?? ?? ?? 同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得11 31 42 x- ?? += ? ??
七年级下册动点问题及压轴题
七年级下册动点问题及压轴题 1.如图①，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D 路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1cm，a秒时点P改变速度，变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后△APD的面积S（cm2）与x（秒）的关系图象， （1）参照图②，求a、b及图②中的c值； （2）设点P离开点A的路程为y（cm），请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达DC中点时x的值．（3）当点P出发多少秒 后，△APD的面积是矩形ABCD面积的． 2.
4. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，CD ∥AB ，CD ＝AB ＝4cm ，点P 是边AB 上一动点，从点A 出发，以1cm/s 的速度从点A 向终点B 运动，连接PD 交AC 于点F ，过点P 作PE ⊥PD ，交BC 于点E ，连接PC ，设点P 运动的时间为)(s x （1）若△PBC 的面积为)(2cm y ，写出y 关于x 的关系式； （2）在点P 运动的过程中，何时图中会出现全等三角形？直接写出x 的值以及相应全等三角形的对数。
5.如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点E以2cm/秒的速度从点A向点C运动（与点A，C不重合），过点E作EF∥AB交BC于F点． （1）求AB的长； （2）设点E出发x秒后，线段EF的长为ycm． ①求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②试问在AB上是否存在P，使得△EFP为等腰直角三角形？若存在，请说出共有几个，并求出相应的x的值；若不存在，请简要说明理由． 6．在直角三角形ABC中，BC=6，AC=8，点D在线段AC上从C向A运动．若设CD=x，△ABD的面积为y． （1）请写出y与x的关系式； （2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？此时点D在什么位置？ （3）当△ABD的面积是△ABC的面积的一半时，点D在什么位置？ 7.如图，在△ABC中，∠B＜∠C＜∠A，∠BAC和∠ABC的外角平分线AE、BD分别与BC、CA的延长线交于E、D．若∠ABC=∠AEB，∠D=∠BAD．求∠BAC的度数． 8.一游泳池长90米，甲乙两人分别从两对边同时向所对的另一边游去，到达对边后，再返回，这样往复数次．图中的实线和虚线分别表示甲、乙与游泳池固定一边的距离随游泳时间变化的情况，请根据图形回答：
七年级经典数学题型
七年级经典数学题型 一、填空题 １、已知 m —3 ＋（n ＋２）2＝０，则n m 的值为 。 ２、若a ＝— 2006 2005 b ＝— 2005 2004 c ＝— 2004 2003 ，则a ，b ，c 的大小关系是 (用＜号连接。 ３、已知整数a 、b 、c 、d 满足abcd ＝25,且a ＞b ＞c ＞d ，则 a ＋b ＋ c ＋d 等于 。 4、已知0||=--a a ，则a 是__________数；已知 ()01| |<-=b ab ab ，那么a 是_________数。 5、计算： ()()()200021111-+-+-Λ=_________。 6、已知()02|4|2=-+ +b a a ，则b a 2+=_________。 7、由书中知识，+5的相反数是–5，–5的相反数是5，那么数x 的相反数是______，数 –x 的相反数是________；数b a 12+-的相反数是_________；数n m 2 1 +的相反数是____________。 8、因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系()622 1 4+=，那么到点100和到点999距离相等的数是_____________；到 点7 6 ,54-距离相等的点表示的数是____________；到点m 和点–n 距离相等的点表示的数是________。 9、已知点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系495-=，那么点10和点2.3-之间的距离是____________；点m 和点n （数n 比m 大）之间的距离是_____________。 10、数5的绝对值是5，是它的本身；数–5的绝对值是5，是它的相反数；以上由定理非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数而来。由这句话，正数–a 的绝对值为__________；负数–b 的绝对值为________；负数1+a 的绝对值为________，正数 –a+1的绝对值___________。 11、如果 362=x ，则x = 12、 ()2007 2008 8125.0-?———— 14、多项式123 12 -+y y x ，它由 、 、 三项之和构成。 15、计算：1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100＝____ _ 。 16、a 2 表示的生活实际意义是： 。 17、若代数2x 2 －3x ＋2的值为5，则代数式6x 2 －9x －5的值是 。 18、若 3-a 与2)(b a +互为相反数,则代数式b a 22-的值为______ __。 19、已知 234a b c ==,则代数式 23a b c a b c +--+的值为_____ __。 20、若m 、n 、p 、为互不相等的整数，且49=mnpq ，则=+++q p n m 。 21、用科学记数法表示：一天24小时有_______________________秒, 一年365天有________________________秒. 22、（3分），观察规律，填空，再补一个有同样特点的式子： 1 ×（-9）- 1= 12 ×（-9）- 2= 123×（-9）- 3= 。 23.观察下列单项式：x 2，2 5x ，310x ，4 17x ，……。根据你发现的规律，写出第11个式子是____________ 24.若规定a*b 为一种新运算，且a*b ＝ab －（a+b ），则（－3）*2＝______________
人教版初一数学下册《实际问题与二元一次方程组》第三课时教学设计
《实际问题与二元一次方程组》第三课时教学设计 教学目标: 能分析“探究3”中的数量关系，会设间接未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想. 教学重难点： 重点：用列表的方式分析题目中的各个量的关系。 难点：借助列表分问题中所蕴含的数量关系。 教学过程： 一、问题引入，揭示目标 上节课我们利用了二元一次方程组解决了养牛的实际问题，初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，感受到方程建模的思想。其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决，本节我们继续探究。 1、回顾、（1）在列方程组之前我们先做了哪些工作? （2 ）列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ 2、请探究下面问题： 如图，长青化工厂与A, B两地有公路、铁路相 连?这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成 每吨8 000元的产品运到B地.公路运价为1. 5元/ （t -km）,铁 路运价为1.2元/ （t - km）, 这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费 97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 、问题启发，探究新知 问题1、如何设未知数？ 销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关.因此设产品重x吨，原料重y吨. 问题2、如何确定题中数量关系？ 产品x吨原料y吨合计 公路运费（元） 1.5 X 20x 1.5 X 10y 1.5(20 x+10y); 1500 元 铁路运费（元） 1.2 X 110x 1.2 X 120y 1.2(110 x+120y); 97200 元 价值（元）8 000 x 1 000 y
人教版数学七年级下册-《实数》典型例题
《实数》典型例题 例1 下列各数哪些是有理数，哪些是无理数？ 6，－5，39，0，.2 2,4,32,3,7,4,7233-+-π 解 有理数有：－5，0， 4,4,723-． 无理数有：.22,32,3 ,7,9,633+-π 说明：有理数包括整数与分数，只要是分数就是有理数，而无理数是无限不循环小数，被开方数开不尽方的数都是无理数，在本题中 22是无理数，不是分数． 例2 比较下列各组数的大小： （1）3和35， （2）32-和3-， （3）326和11， （4）0和7-． 解 （1）710.15,732.133≈≈Θ，而710.1732.1>，∴.533> （2）732.13,260.123-≈--≈-Θ，而732.1260.1->-，∴.323->- （3）317.311,962.2263≈≈Θ，而317.3962.2<，∴11263<． （4）.70-> 例3 计算： （1）7472+，（2）55156?，（3）5 1125÷?，（4）.)13()32(22-+ 解 （1）.767)42(7472=+=+ （2）.655 165551655156=??=??=? （3）.3103253455512551 125=??=???=??=÷ ? （4）.5251312)13()32(22==+=-+ 说明：有关无理数的计算问题要按运算法则及运算律进行计算．
例4 计算（精确到0.1）： （1）652-，（2）322+π ， （3）3234-，（4）.5233? 解 （1）.0.245.248.445.224.22652≈-=-?≈- （2）.0.546.357.173.122 14.3322≈+=?+≈+π （3）.7.526.192.626.173.142343≈-=-?≈- （4）.3.2324.2273.135233≈???≈? 例5 下面命题中，正确的是（ ） A ．不带根号的数一定是有理数 B ．有绝对值最大的数，也有绝对值最小的数 C ．任何实数的绝对值都是正数 D ．无理数一定是无限小数 分析 圆周率π是不带根号的数，但它是无限不循环小数，所以它是无理数，可见命题A 不正确. 实际上，可以写出很多不带根号的无理数，如0.101001000100001……就是一个无理数；不存在最大的正数（对任何正数a ，都不如1+a 大），导致不存在绝对值最大的数，所以B 是假命题；实数0的绝对值不是正数，可见命题C 也不正确. 解答 D 说明 考查实数的意义. 例6 下列说法中正确的是（ ） A ．无理数是开方开不尽的数 B ．无限小数不能化成分数 C ．无限不循环小数是无理数 D ．一个负数的立方根是无理数 分析 实数可分为无理数和有理数. 有限小数和无限循环小数统称为有理数，无限不循环小数称为无理数. 开方开不尽的数一定是无理数，但无理数还包含了其他数，如π，任何有理数都能化成分数形成. 所以A 、B 、D 都是错的. C 正确. 解答 C
(完整版)新人教版初一下册数学实际问题与二元一次方程组经典例题
新人教版初一下册数学实际问题与二元一次方程组经典例题 经典例题透析 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。 分析：船顺流速度＝静水中的速度＋水速
船逆流速度＝静水中的速度－水速 类型二：列二元一次方程组解决——工程问题 2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工， 8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再 请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、 乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单 独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第 二层含义可得方程6x+12y=3480. 举一反三： 【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从 节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.
(完整版)中考数学必考经典题型
中考数学必考经典题型 题型一 先化简再求值 命题趋势 由河南近几年的中考题型可知，分式的化简求值是每年的考查重点，几乎都以解答题的形式出现，其中以除法和减法形式为主，要求对分式化简的运算法则及分式有意义的条件熟练掌握。 例：先化简，再求值：,1 2)1111( 22+--÷-++x x x x x x 其中.12-=x 分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x 的值带入计算即可求值。 题型二 阴影部分面积的相关计算 命题趋势 近年来的中考有关阴影面积的题目几乎每年都会考查到，而且不断翻新，精彩纷呈．这类问题往往与变换、函数、相似等知识结合，涉及到转化、整体等数学思想方法，具有很强的综合性。 例 如图17，记抛物线y ＝－x 2＋1的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份．设分点分别为P 1，P 2，…，P n －1，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点Q 1，Q 2，…，Q n －1，再记直角三角形OP 1Q 1，P 1P 2Q 2，…的面积分别为 S 1，S 2，…，这样就有S 1＝2312n n -，S 2＝23 4 2n n -…；记Ｗ＝S 1＋S 2＋…＋S n －1，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是( ) (A)23 (B)12 (C)13 (D)14 分析 如图17，抛物线y ＝－x 2＋1的图象与x 正半轴的交点为 A(1，0)，与y 轴的交点为8(0，1)． 设抛物线与y 轴及x 正半轴所围成的面积为S ，M(x ，y )在图示 抛物线上，则 222OM x y =+
七年级下册数学动点问题及压轴题(带答案)
七年级下册动点问题及压轴题 1．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，b），且（a﹣3）2+|b+4|=0，S四边形AOBC=16． （1）求C点坐标； （2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE 的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数． （3）如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 【解答】解：（1）∵（a﹣3）2+|b+4|=0，∴a﹣3=0，b+4=0， ∴a=3，b=﹣4，∴A（3，0），B（0，﹣4），∴OA=3，OB=4，∵S四边形AOBC=16． ∴（OA+BC）×OB=16，∴（3+BC）×4=16，∴BC=5， ∵C是第四象限一点，CB⊥y轴，∴C（5，﹣4） （2）如图， 延长CA，∵AF是∠CAE的角平分线，∴∠CAF=∠CAE，∵∠CAE=∠OAG，∴∠CAF=∠OAG，∵AD⊥AC，∴∠DAO+∠OAG=∠PAD+∠PAG=90°，∵∠AOD=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°， ∴∠ADO=∠OAG，∴∠CAF=∠ADO，∵DP是∠ODA的角平分线∴∠ADO=2∠ADP，∴∠CAF=
∠ADP，∵∠CAF=∠PAG，∴∠PAG=∠ADP，∴∠APD=180°﹣（∠ADP+∠PAD）=180°﹣（∠PAG+∠PAD）=180°﹣90°=90°即：∠APD=90° （3）不变，∠ANM=45° 理由：如图， ∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∵DM⊥AD，∴∠ADO+∠BDM=90°，∴∠DAO=∠BDM，∵NA是∠OAD的平分线，∴∠DAN=∠DAO=∠BDM，∵CB⊥y轴，∴∠BDM+∠BMD=90°，∴∠DAN=（90°﹣∠BMD），∵MN是∠BMD的角平分线，∴∠DMN=∠BMD， ∴∠DAN+∠DMN=（90°﹣∠BMD）+∠BMD=45°在△DAM中，∠ADM=90°，∴∠DAM+∠DMA=90°，在△AMN中，∠ANM=180°﹣（∠NAM+∠NMA）=180°﹣（∠DAN+∠DAM+∠DMN+∠DMA）=180°﹣[（∠DAN+DMN）+（∠DAM+∠DMA）]=180°﹣（45°+90°）=45°， ∴D点在运动过程中，∠N的大小不变，求出其值为45° 2．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由； （2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
人教版初一数学下册实际问题与二元一次方程组 和差倍分
8．3 实际问题与二元一次方程组 和差倍分问题 专题练习题 1． 已知∠1与∠2互补，并且∠1比∠2的3倍还大20°，若设∠1＝x °，∠2＝y °，则x ，y 满足的方程组为( ) A .???x ＋y ＝90x ＝3y ＋20 B .???x ＋y ＝90y ＝3x ＋20 C .???x ＋y ＝180x ＝3y ＋20 D .? ??x ＋y ＝180y ＝3x ＋20 2．一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x 瓶，小盒装y 瓶，则可列方程组( ) A .???5x ＋4y ＝1482x ＋5y ＝100 B .???4x ＋5y ＝1482x ＋5y ＝100 C .???5x ＋4y ＝1485x ＋2y ＝100 D .???4x ＋5y ＝1485x ＋2y ＝100 3．一篮水果分给一群小孩，若每人分8个，则差3个水果；若每人分7个，则多4个水果，在这个问题中，有小孩____人，水果____个． 4．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了____张． 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x ，十位数字为y ，下面所列方程组正确的是( ) A .???x ＋y ＝8xy ＋18＝yx B .? ??x ＋y ＝810（x ＋y ）＋18＝yx C .???x ＋y ＝810x ＋y ＋18＝yx D .???x ＋y ＝8x ＋10y ＋18＝10x ＋y 6．一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数． 7．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x 名工人生产镜片，y 名工人生产镜架，则可列方程组( ) A .???x ＋y ＝602×200x ＝50y B .???x ＋y ＝60200x ＝50y C .???x ＋y ＝60200x ＝2×50y D .???x ＋y ＝5050x ＝200y 8．家具厂生产方桌，按设计1立方米木材可制作50个桌面或300个桌腿，现有10立方米木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，并指出共可生产多少张方桌？(一张方桌按1个桌面4条桌腿配置) 9．有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46人，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人，则1艘大船和1艘小船一次可以载乘客的人数分别是( ) A ．18人，7人 B ．17人，8人 C ．15人，7人 D ．16人，8人 10．某校举行安全知识竞赛，其评分规则如下：答对一题得5分，答错一题得－5分，不作答得0分．已知试题共20道，满分100分，凡优秀(得分80分或以上)者才有资格参加决赛．小明同学在这次竞赛中有2道题未答，但刚好获得决赛资格，则小明答对____道题，答错____道题．
(word完整版)初一数学经典题型解析
初一数学经典题型解析 1、如图，将一个含30°角的三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=115°， 那么∠2的度数是（） A。95°B。85°C。75°D。65° 考点：平行线的性质；三角形的外角性质． 专题：计算题． 分析：根据题画出图形，由直尺的两对边AB与CD平行，利用两直线平 行，同位角相等可得∠1=∠3，由∠1的度数得出∠3的度数，又∠3为三角形 EFG的外角，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和得到 ∠3=∠E+∠2，把∠3和∠E的度数代入即可求出∠2的度数． 解答：已知：AB∥CD，∠1=115°，∠E=30°， 求：∠2的度数？ 解：∵AB∥CD（已知），且∠1=115°， ∴∠3=∠1=115°（两直线平行，同位角相等）， 又∠3为△EFG的外角，且∠E=30°， ∴∠3=∠2+∠E， 则∠2=∠3﹣∠E=115°﹣30°=85°． 故选B． 点评：此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，利用了转化的数学思想，其中平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握性质是解本题的关键． 2、如图，AB∥CD，DE交AB于点F，且CF⊥DE于点F，若∠EFB=125°， 则∠C=35°． 考点：平行线的性质． 专题：计算题 分析：根据对顶角相等，得出∠AFD=∠EFB，由∠EFB的度数求出∠AFD的 度数，再根据垂直的定义得到∠CFD=90°，利用∠AFD﹣∠CFD得出∠AFC的度数，最后由两直线平行内错角相等，即可得到所求的角的度数． 解答： 解：∵∠EFB=125°（已知）， ∴∠AFD=∠EFB=125°（对顶角相等）， 又∵CF⊥DE（已知）， ∴∠CFD=90°（垂直定义）， ∴∠AFC=∠AFD﹣∠CFD=125°﹣90°=35°， ∵AB∥CD（已知）， ∴∠C=∠AFC=35°（两直线平行内错角相等）． 故答案为：35
人教版数学七年级下册平行线的判定和性质练习题__非常经典的题型_值得给学生测试
（第1页，共3页） 一、填空 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ． 3．如图２，写出一个能判定直线l 1∥l 2的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。 6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由： （1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ） 8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ． 9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空： （1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ） 二、解答下列各题 11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF． 12．如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并 说明理由． 13．如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。求证：AB∥CD，MP∥NQ． [二]、平行线的性质 1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 = ，∠3 = ，∠4 = ． 2．如图2，直线AB 、CD 被EF 所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = ． 3．如图3所示 （1）若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（ ）． （2）若∠2 =∠ ，则AE∥BF． （3）若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF． 4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ． 5．如图5，AB∥CD，EG⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠E = ． 6．如图6，直线l 1∥l 2，AB⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ． 7．如图7，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB 互余的角有 ． 8．如图8，AB∥EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有 个． A C B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B C E D 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图８ E B A F D C 图９ 1 3 2 A E C D B F 图10 F 2 A B C D Q E 1 P M N 图11 A D C B O 图５ 图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B 图1 2 4 3 1 A B C D E 1 2 A B D C E F 图2 1 2 3 4 5 A B C D F E 图3 1 2 A B C D E F 图4 图5 1 A B C D E F G H 图7 1 2 D A C B l 1 l 2 图8 1 A F C D E G 图6 C D F E B A