数学人教版七年级下册实际问题与二元一次方程组典型例题

实际问题与二元一次方程组经典例题

一、教学目标

1．能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用；

2．进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性；3．体会列方程组比列一元一次方程容易；

4．进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力；

5．掌握列方程组解应用题的一般步骤。

二、教学重/难点

重点：

1．经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。

2．进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。

难点：正确找出问题中的两个等量关系。

三、教学过程

（一）引入

悟空顺风探妖踪，

千里只行四分钟，

归时四分行六百，

风速多少才称雄?

（二）知识要点梳理

知识点一：列方程组解实际问题的方法和步骤

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。

列方程解决实际问题的一般步骤：

（1）审：审题，理清题意；

（2）设：合理设未知数；

（3）列：根据等量关系列方程（组）；

（4）解：解方程（组）；

（5）答：验证解是否符合实际，并作答。

知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题

2.工程问题

3.商品销售利润问题

4.配套问题

5.增长率问题

6.优化方案问题

7.储蓄问题

8.和差倍分问题

9.数字问题

10.浓度问题

11.几何问题

12.年龄问题

（三）分类讨论，典型例题讲解（第1课时/共4课时）

1、行程问题

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的

路程；；；

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

例1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

思路点拨：画直线型示意图理解题意：

(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.

(2)有两个等量关系：

①相向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;

②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.

解：(学生自主完成，板书)设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.

根据题意，列方程组

解这个方程组，得:

.

答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.

总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

举一反三：

【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

解：设甲、乙两人每小时分别行走千米、千米。根据题意可得：

解得：

答：甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米。

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

分析：船顺流速度＝静水中的速度＋水速

船逆流速度＝静水中的速度－水速

解：设船在静水中的速度为x千米/时，水速为y千米/时，

则，解得：

答：船在静水中的速度为17千米/时，水速3千米/时。

（四）小结

1、列方程组解实际问题的方法和步骤？

2、行程问题的一般思路：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

（五）布置作业

1、某跑道一圈长400米，若甲、乙两运动员从起点同时出发，相背而行，25秒之后相遇；若甲从起点先跑2秒，乙从该点同向出发追甲，再过3秒之后乙追上甲，求甲、乙两人的速度。

2、练习册B组题。