新人教版初一下册数学实际问题与二元一次方程组经典例题
新人教版初一下册数学实际问题与二元一次方程组经典例题
２０1４年5月1日经典例题透析
类型一：列二元一次方程组解决——行程问题
1.甲、乙两地相距16０千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机．这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。?
?【变式１】甲、乙两人相距３6千米，相向而行,如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2．5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米??
【变式2】两地相距２80千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时，逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。?分析：船顺流速度=静水中的速度＋水速
船逆流速度＝静水中的速度-水速?
类型二：列二元一次方程组解决——工程问题?２.一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共34８0元,问:（1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元?(2)已知甲组单独做需１2天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？?思路点拨：本题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含义:若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3５２0元；第二层含义:若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做１２天可完成,需付两组费用共３４8０元。设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付ｙ元，由第一层含义可得方程8(ｘ+ｙ)=3５20,由第二层含义可得方程6x+12ｙ=３480.
举一反三:?【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱５.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做,还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.
类型三:列二元一次方程组解决——商品销售利润问题? 3.有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后,甲商品的利润率为４%,乙商品的利润率为5％,共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元? ?思路点拨:做此题的关键要知道:利润＝进价×利润率
举一反三:
【变式1】(20１１湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利1８000元,其中甲种蔬菜每亩获利20００元,乙种蔬菜每亩获利150０元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩??
【变式２
A B
进价(元/件) 1２0０1000
售价(元/件）1３80 120０
(注:获利 = 售价—进价)
求该商场购进A、B两种商品各多少件；
类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了200０元钱,一种是年利率为2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为2．25%的一年定期存款,一年后可取出2０42.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税=利息金额×２0%，教育储蓄没有利息所得税）
总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮现出来.
举一反三：?【变式1】李明以两种形式分别储蓄了２00０元和100０元，一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息43．９2元.已知两种储蓄年利率的和为3．24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几？(注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%)
思路点拨:扣税的情况:本金×年利率×(1-20%）×年数=利息（其中,利息所得税=利息
金额×20%).不扣税时:利息＝本金×年利率×年数.
类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题? 5.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖５只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？?思路点拨:本题的第一个相等关系比较容易得出:衣身、衣袖所用布料的和为１３２米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把２倍的关系写反了)．
总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例,依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.?
举一反三:?【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或２2个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子？
思路点拨:两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数，两个相等关系是:①制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=1９0；②制盒身个数的2倍=制盒底个数.
【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓１4个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题? 6. 某工厂去年的利润（总产值—总支出)为２0０万元，今年总产值比去年增加了2０%,总支出比去年减少了1０%，今年的利润为7８０万元,去年的
总产值(万元）总支出(万元）利润（万元）
去年x y 20０
今年1２0%x 9０%y 780
根据题意知道去年的利润和今年的利润,由利润＝总产值—总支出和表格里的已知量和未知量,可以列出两个等式。?
举一反三：
【变式１】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元??
【变式２】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0．8%,农村人口增加１.1％，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
思路点拨：由题意得两个等式关系，两个相等关系为：
(1）城镇人口+农村人口=４2万;
（2)城镇人口×(1＋0.8%)+农村人口×（１+1.１％）=42×(１＋１％)
类型七:列二元一次方程组解决——和差倍分问题
７.（２011年北京丰台区中考一摸试题)“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此，全体职工加班加点,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.６倍、1.５倍,恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶?
思路点拨:找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后,倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。?
举一反三:
【变式1】（2011年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在200７年提出的一项倡议.号召个人、社区、企业和政府在每年３月最后一个星期六２０时３0分—2１时３0分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的３倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.
【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍,你知道男孩与女孩各有多少人吗？?思路点拨:本题关键之一是：小孩子看游泳帽时只看到别人的,没看到自己的帽子。关键之二是：两个等式,列等式要看到重点语句，第一句:每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；第二句:每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍。找到已知量和未知量根据这两句话列两个方程。
类型八:列二元一次方程组解决——数字问题?8. 两个两位数的和是6８,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。?思路点拨:设较大的两位数为x，较小的两位数为y。
问题１:在较大的两位数的右边写上较小的两位数,所写的数可表示为:100ｘ+y?问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为: 100y+x
举一反三：
【变式1】一个两位数,减去它的各位数字之和的３倍,结果是２3;这个两位数除以它的各位数字之和,商是5，余数是1,这个两位数是多少？
【变式２】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大５，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？
类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题?9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少? ?思路点拨:本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数,然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：(1)甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和=5０;(２）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和=混合后的溶液所含纯酒精的质量;（3)混合前两种溶液所含水的质量之和=混合后溶液所含水的质量;（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比=混合后溶液所含纯酒精与水的比。?总结升华:此题的第(１)个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。用它们来联系各量之间的关系,列方程组时就显得容易多了。列方程组解应用题，首先要设未知数,多数题目可以直接设未知数,但并不是千篇一律的，问什么就设什么。有时候需要设间接未知数,有时候需要设辅助未知数。
举一反三:
【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10％的盐水与85％的盐水,这两种盐水各需多少?
思路点拨:做此题的关键是找到配制溶液前后保持不变的量，即相等的量。本题主要有两个等量关系,等量关系一:配制盐水前后盐的含量相等；等量关系二:配制盐水前后盐水的总重量相等。?
【变式２】一种３５%的新农药，如稀释到1．7５％时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克,才能配成１.75%的农药800千克??
类型十:列二元一次方程组解决——几何问题
１０．如图,用８块相同的长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的长和宽分别是多少?
?思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系,但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等,我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元一次方程组。
总结升华:几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点,找出图形的位置关系和数量关系,再列出方程求解。?
举一反三：
【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形,若将此矩形的长边剪掉3厘米,补到较短边上去,则得到一个正方形,求正方形的面积比矩形面积大多少?
思路点拨:此题隐含两个可用的等量关系，其一长方形的周长为铁丝的长4８厘米,第二个等量关系是长方形的长剪掉３厘米补到短边去，得到正方形，即长边截掉3厘米等于短边加上3厘米。
【变式２】一块矩形草坪的长比宽的２倍多10m，它的周长是１32m,则长和宽分别为多少??
类型十一:列二元一次方程组解决——年龄问题?11.今年父亲的年龄是儿子的５倍,6年后父亲的年龄是儿子的3倍,求现在父亲和儿子的年龄各是多少？?思路点拨:解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义,即６年后父子俩都长了6岁。今年父亲的年龄是儿子的5倍,6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程。?总结升华：解决年龄问题,要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小)的岁数是相同的（相同的时间内)。?
举一反三：
【变式１】今年,小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现,1２年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一．试求出今年小李的年龄.?思路点拨：本题的关键是两句话,第一句:小李的年龄是他爷爷的五分之一;第二句:他的年龄变成爷爷的三分之一。把未知数设出来，已知量和未知量根据这两句话列两个方程。
类型十二:列二元一次方程组解决——优化方案问题：
12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元;经粗加工后销售，每吨利润可达4500元;经精加工后销售，每吨利润涨至75０0元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工16吨;如果进行细加工,每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行．受季节条件的限制,公司必须在１5天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种加工方案
方案一：将蔬菜全部进行粗加工;?方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；?方案三:将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成?你认为选择哪种方案获利最多？为什么??思路点拨：如何对蔬菜进行加工，获利最大,是生产经营者一直思考的问题. 本题正是基于这一点,对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索,互相交流,尝试解决，并在探索和解决问题的过程中,体会应用数学知识解决实际问题的乐趣．?
举一反三：
【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为:甲种每台15０0元,乙种每台2100元,丙种每台25０0元。
(1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案;?(２）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、２00元、250元,在以上的方案中，为使获利最多,你选择哪种进货方案?
高考数学百大经典例题 曲线和方程(新课标)
典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三
例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线． 典型例题四 例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21<
七年级数学下册实际问题与二元一次方程组
实际问题与二元一次方程组 1、灾后重建，某村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包。这次采购排男村民和女村民各多少人？ 2、在早餐店里，王伯伯买5个馒头，3个包子，老板少拿2元，只要50元。李太太买了11个馒头，5个包子，老板给予售价的九折优惠，只要90元。求馒头和包子各多少钱？ 3、张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5h后到达县城。他骑车的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程全长20km。他骑车与步行各用多少时间？ 4、小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程。两人的平均速度各是多少？ 5、从甲地到乙地有一段上坡与一段平路。如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km。下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min。甲地到乙地全程是多少？ 6、甲、乙两人在400m的环形跑道上练习赛跑。如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过250秒甲第一次追上乙，求甲、乙的平均速度。 7、甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔2min 相遇一次；如果同向而行，每隔6min相遇一次。已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分各跑多少圈？
8、某人沿公路匀速前进，每隔4分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6分钟就有一辆公共汽车从背后超过他。假定汽车速度不变，而且迎面开来相邻两车的距离和从背后开来相邻两车的距离都是1200米，求某人前进的速度和公共汽车的速度，那么汽车每隔几分钟开出一辆？ 9、一辆汽车从A 地驶往B 地，前3 1路段为普通公路，其余路段为高速公路。已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h ，在高速公路上行驶的速度为100km/h ，汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2h 。请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程。 10、为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务有A ，B 两个工程队先后接力完成。A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天。 （1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组： 甲：???=+=+y x y x 1812 乙：?????=+=+18 12y x y x 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x,y 表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x 表示???????????????????????????，y 表示???????????????????????????； 乙：x 表示???????????????????????????，y 表示???????????????????????????； （2）求A ，B 两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程） 11、某电脑公司有A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其中A 型每台6000元，B 型每台4000元、C 型每台2500元。某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑。请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由。
初一上数学线段动点问题
数学的动点问题 1. 已知数轴上两点A、B对应的数分别为一1, 3,点P为数轴上一动点，其对应的数为x. (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；(1) (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5?若存在，请求出x的值。若不存在, 请说明理由？ ( -1.5,3.5 ) (3)当点P以每分钟一个单位长度的速度从0点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？ (2/23) 2. 数轴上点A对应的数是一1，B对应的数是1, 一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4 个单位长度的速度爬行至C点，再立即返回到A点，共用了4秒。 (1)求点C对应的数；(8) (2)若小虫甲返回到A点后作如下运动：第1次向右爬行2个单位长度，第2次向左爬行4个单位长 度，第3次向右爬行6个单位长度，第4次向左爬行8个单位长度，…依次规律爬下去，求它第10次所停在点所对应的数.(-11 ) (3)若小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位长度的速度爬行，这时另一只小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒7个单位长度的速度爬行，设小虫甲爬行后对应的点为E，小虫乙爬行后对应的点为F.设点A、E、F、B所对应的数分别是X A、X E、X F、X B,当运动时间t不超过1 时，|x A-x E|-|X E-X F|+|X F-X B|的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值。 3. 如图，点0为直线AB上一点，过点0作射线0C使/ BOC=120 ?将直角三角板的直角顶点放在点0处，一边0M在射线0B上，另一边ON在直线AB的下方. (1)将图1中的三角板绕点0逆时针旋转至图2,使一边0M在/ BOC的内部，且恰好平分/ BOC 问：此时直线ON是否平分/ AOC请说明理由. (2) 将图1中的三角板绕点0以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON恰好平分锐角/ AOC求t的值. (3)将图1中的三角板绕点0顺时针旋转至图3,使ON在/ AOC的内部，求/ AOM/ NOC勺度数. AT
七年级下册数学实际问题与二元一次方程组典型例题
七年级下册数学实际问题与二元一次方程组典型例题 例1. 养牛场原有30只母牛和15只小牛,一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛,这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18~20 kg,每只小牛1天约需用饲料7~8 kg.你能否通过计算检验他的估计? 分析:一、先假设李大叔的估计正确,再根据问题中给定的数量关系来检验. 二、根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量,再来判断李大叔的估计是否正确. 技巧:根据等量关系列方程即可. 例2. 据以往的统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5,现要在一块长200m ,宽100m 的长方形土地上种植这两种作物,怎样把这块地分为两个长方形,使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4(结果取整数? 分析:一种种植方案为:甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD 和BCFE.设AE=x m ,BE=y m ,根据问题中涉及长度、产量的数量关系,列方程组 ? ??=?=+431005.1:100200:y x y x 解这个方程组,得
. 过长方形土地的长边上离一端约106m 处,把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲作物,较小一块地种乙作物. 规律:(1设未知数.(2找相等关系.(3列方程组.(4检验并作答. 例3:如图,长青化工厂与A ,B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B 地.公路运价为1. 5元(吨·千米,铁路运价为1.2元(吨·千米,这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?(见教材图8.3-2 分析:列表分析 ((???=+?=+?97200 1201102.11500010205.1y x y x 解这个方程组,得 ???==400 300y x 因为毛利润-销售款-原料费-运输费 所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800元. 规律:由实际问题,设未知数,找等量关系,列二元一次方程组.
直线与方程(经典例题)
直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 动点问题 1、如图6－7，已知A 、B 两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车在x 轴上行驶，从原点O 出发． （1）汽车行驶到什么位置时离A 村最近？写出此点的坐标． （2）汽车行驶到什么位置时离B 村最近？写出此点的坐标． （3）请在图中画出汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？ 2.如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴 和y 轴建立平面直角坐标系，点A (0，a )，C (b ，0) 20b -=． (1) 则A 点的坐标为___________，C 点的坐标为__________； (2) 已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是(1，2)，设运动时间为t (t ＞0)秒．问：是否存在这样的t ，使S △ODP ＝ S △ODQ ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由； (3) 点F 是线段AC 上一点，满足∠FOC ＝∠FCO ，点G 是第二象限中一点，连OG ，使得∠AOG ＝∠AOF ．点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACE OEC ∠+∠∠的值是否会发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 3.如图1，在平面直角坐标系中，第一象限内长方形ABCD , AB ∥y 轴,点A （1，1），点C （a , b ）, 满足035=-+-b a . （1）求长方形ABCD 的面积. （2）如图2，长方形ABCD 以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点E 从原点O 出发沿x 轴以每秒2 个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t 秒. ①当t=4时，直接写出三角形OAC 的面积为 ； ② 若AC ∥ED ,求t 的值; （3）在平面直角坐标系中，对于点()P x y ，，我们把点(11)P y x '-++，叫做点P 的伴随点， 已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A . ①若点1A 的坐标为（3，1），则点3A 的坐标为 ，点2014A 的坐标为 ； ②若点1A 的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 . 4、如图，在平面直角坐标中，A (0，1)，B (2，0)，C （2，1.5）． （1）求△ABC 的面积； （2）如果在第二象限内有一点P （a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． y x P O C B A 5、如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C （－3，0）． （1）求△ABC 的面积； （2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C '''，请你在图中画出△A B C '''； （3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使 2ACP ABC S S =V V ； （4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使 D C B A E O y x 24题图2 24题图1 D C B A O y x 1. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如：方程260x =- 的解为3x= ，不等式组205x x ->????-??-+<-? ， 的关联方程是 ；（填序号） （2）若不等式组1144275 x x x ? -?? ?++?＜， ＞-的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写 出一个即可） （3）若方程21+2x x -=， 1322x x ? ?+=+ ???都是关于x 的不等式组22x x m x m -?? -?＜，≤的关联方程，求m 的取值范围. 2. 对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m∥x轴，过点B作直线n∥y轴，直线m，n相交于点C.当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形ABC的面积为点A的 等距面积. 例如：如图，点A（2，1），点B（5，4），因为AC= BC=3，所以B 为点A的等距点，此时点A的等距面积为9 2. （1）点A的坐标是（0，1），在点B1（-1，0），B2（2，3），B3（-1，-1）中，点A的等距点为. （2）点A的坐标是（-3，1），点A的等距点B在第三象限， ①若点B的坐标是 ? ? ? ? ? 2 1 2 9 ，－ － ，求此时点A的等距面积； ② ②若点A的等距面积不小于9 8，求此时点B的横坐标t的取值范围. 备用图 高一数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为 222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． 1.学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车.若租用1辆 大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元. （1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？ （2）若每辆车上至少 ．．．2300元，求最省钱的租车．．要有一名教师，且总的租车费用不超过 方案. 2.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元 (1) 若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，问甲、乙各有多少台？ (2) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案 (3) 若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，哪种获利最多？ 3.某学校计划在总费用不超过2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要一名教师．现有甲，乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车乙种客车 载客量（人/辆）45 30 租金（元/辆）400 280 （1）若设租甲种客车x（辆），根据题意，求出x的取值． （2）有几种租车方案？最少的租车费用是多少？ 4.2台大收割机和5台小收割机均工作2天共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5天，共收割小麦8公顷． （1）1台大收割机和1台收割机每天各收割小麦多少公顷？ （2）设大收割机每台租金600元/天，小收割机每台租金120元/天，某农场准备租用两种收割机共15台，要求大收割机的数量不少于小收割机的一半，若每天总租金不超过5000元，若设大收割机要a台，①共有几种租赁方案？写出解答过程；②那种租赁方案每天收割小麦最多？ 5.在“五?一”期间，某公司组织318名员工到雷山西江千户苗寨旅游，旅行社承诺每辆车安排有一名随团导游，并为此次旅行安排8名导游，现打算同时租甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人． （1）请帮助旅行社设计租车方案． （2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？ （3）旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游随团导游，为保证所租的每辆车安排有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？ 6.列方程组（或不等式组）解应用题． 某文具店老板购甲、乙两种练习本，第一次购甲种练习本50本和乙种练习本50本，共花费750元，第二次购甲种练习本30本和乙种练习本60本共花费750元． （1）甲种练习本和乙种练习本的进价各是多少元？ （2）现在文具店老板用500元去购买甲、乙两种练习本，根据平时销售量发现，两种练习本销售量的和超过60本，销售甲种练习本的利润率是20%，乙种练习本的利润率是30%，若要求销售这批练习本至少获利135元，求可购买乙种练习本的数量？ 七年级下册动点问题及压轴题 1.如图①，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D 路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1cm，a秒时点P改变速度，变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后△APD的面积S（cm2）与x（秒）的关系图象， （1）参照图②，求a、b及图②中的c值； （2）设点P离开点A的路程为y（cm），请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达DC中点时x的值．（3）当点P出发多少秒 后，△APD的面积是矩形ABCD面积的． 2. 4. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，CD ∥AB ，CD ＝AB ＝4cm ，点P 是边AB 上一动点，从点A 出发，以1cm/s 的速度从点A 向终点B 运动，连接PD 交AC 于点F ，过点P 作PE ⊥PD ，交BC 于点E ，连接PC ，设点P 运动的时间为)(s x （1）若△PBC 的面积为)(2cm y ，写出y 关于x 的关系式； （2）在点P 运动的过程中，何时图中会出现全等三角形？直接写出x 的值以及相应全等三角形的对数。 5.如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点E以2cm/秒的速度从点A向点C运动（与点A，C不重合），过点E作EF∥AB交BC于F点． （1）求AB的长； （2）设点E出发x秒后，线段EF的长为ycm． ①求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②试问在AB上是否存在P，使得△EFP为等腰直角三角形？若存在，请说出共有几个，并求出相应的x的值；若不存在，请简要说明理由． 6．在直角三角形ABC中，BC=6，AC=8，点D在线段AC上从C向A运动．若设CD=x，△ABD的面积为y． （1）请写出y与x的关系式； （2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？此时点D在什么位置？ （3）当△ABD的面积是△ABC的面积的一半时，点D在什么位置？ 7.如图，在△ABC中，∠B＜∠C＜∠A，∠BAC和∠ABC的外角平分线AE、BD分别与BC、CA的延长线交于E、D．若∠ABC=∠AEB，∠D=∠BAD．求∠BAC的度数． 8.一游泳池长90米，甲乙两人分别从两对边同时向所对的另一边游去，到达对边后，再返回，这样往复数次．图中的实线和虚线分别表示甲、乙与游泳池固定一边的距离随游泳时间变化的情况，请根据图形回答： 七年级经典数学题型 一、填空题 １、已知 m —3 ＋（n ＋２）2＝０，则n m 的值为 。 ２、若a ＝— 2006 2005 b ＝— 2005 2004 c ＝— 2004 2003 ，则a ，b ，c 的大小关系是 (用＜号连接。 ３、已知整数a 、b 、c 、d 满足abcd ＝25,且a ＞b ＞c ＞d ，则 a ＋b ＋ c ＋d 等于 。 4、已知0||=--a a ，则a 是__________数；已知 ()01| |<-=b ab ab ，那么a 是_________数。 5、计算： ()()()200021111-+-+-Λ=_________。 6、已知()02|4|2=-+ +b a a ，则b a 2+=_________。 7、由书中知识，+5的相反数是–5，–5的相反数是5，那么数x 的相反数是______，数 –x 的相反数是________；数b a 12+-的相反数是_________；数n m 2 1 +的相反数是____________。 8、因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系()622 1 4+=，那么到点100和到点999距离相等的数是_____________；到 点7 6 ,54-距离相等的点表示的数是____________；到点m 和点–n 距离相等的点表示的数是________。 9、已知点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系495-=，那么点10和点2.3-之间的距离是____________；点m 和点n （数n 比m 大）之间的距离是_____________。 10、数5的绝对值是5，是它的本身；数–5的绝对值是5，是它的相反数；以上由定理非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数而来。由这句话，正数–a 的绝对值为__________；负数–b 的绝对值为________；负数1+a 的绝对值为________，正数 –a+1的绝对值___________。 11、如果 362=x ，则x = 12、 ()2007 2008 8125.0-?———— 14、多项式123 12 -+y y x ，它由 、 、 三项之和构成。 15、计算：1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100＝____ _ 。 16、a 2 表示的生活实际意义是： 。 17、若代数2x 2 －3x ＋2的值为5，则代数式6x 2 －9x －5的值是 。 18、若 3-a 与2)(b a +互为相反数,则代数式b a 22-的值为______ __。 19、已知 234a b c ==,则代数式 23a b c a b c +--+的值为_____ __。 20、若m 、n 、p 、为互不相等的整数，且49=mnpq ，则=+++q p n m 。 21、用科学记数法表示：一天24小时有_______________________秒, 一年365天有________________________秒. 22、（3分），观察规律，填空，再补一个有同样特点的式子： 1 ×（-9）- 1= 12 ×（-9）- 2= 123×（-9）- 3= 。 23.观察下列单项式：x 2，2 5x ，310x ，4 17x ，……。根据你发现的规律，写出第11个式子是____________ 24.若规定a*b 为一种新运算，且a*b ＝ab －（a+b ），则（－3）*2＝______________ 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 2224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ． ∴ 所 求 圆 方 程 为 2 224)4()1022(=-+--y x ，或 2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2 2 2 7)14()2(=--+-a ，或2 2 2 1)14()2(=--+-a (无解)，故 622±=a ． ∴ 所 求 圆 的 方 程 为 2 224)4()622(=++--y x ，或 2224)4()622(=+++-y x ． 说明：对本题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如 2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其 圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2 2 2 7)14()2(=-+-a ，解 《实际问题与二元一次方程组》第三课时教学设计 教学目标: 能分析“探究3”中的数量关系，会设间接未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想. 教学重难点： 重点：用列表的方式分析题目中的各个量的关系。 难点：借助列表分问题中所蕴含的数量关系。 教学过程： 一、问题引入，揭示目标 上节课我们利用了二元一次方程组解决了养牛的实际问题，初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，感受到方程建模的思想。其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决，本节我们继续探究。 1、回顾、（1）在列方程组之前我们先做了哪些工作? （2 ）列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ 2、请探究下面问题： 如图，长青化工厂与A, B两地有公路、铁路相 连?这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成 每吨8 000元的产品运到B地.公路运价为1. 5元/ （t -km）,铁 路运价为1.2元/ （t - km）, 这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费 97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 、问题启发，探究新知 问题1、如何设未知数？ 销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关.因此设产品重x吨，原料重y吨. 问题2、如何确定题中数量关系？ 产品x吨原料y吨合计 公路运费（元） 1.5 X 20x 1.5 X 10y 1.5(20 x+10y); 1500 元 铁路运费（元） 1.2 X 110x 1.2 X 120y 1.2(110 x+120y); 97200 元 价值（元）8 000 x 1 000 y 《实数》典型例题 例1 下列各数哪些是有理数，哪些是无理数？ 6，－5，39，0，.2 2,4,32,3,7,4,7233-+-π 解 有理数有：－5，0， 4,4,723-． 无理数有：.22,32,3 ,7,9,633+-π 说明：有理数包括整数与分数，只要是分数就是有理数，而无理数是无限不循环小数，被开方数开不尽方的数都是无理数，在本题中 22是无理数，不是分数． 例2 比较下列各组数的大小： （1）3和35， （2）32-和3-， （3）326和11， （4）0和7-． 解 （1）710.15,732.133≈≈Θ，而710.1732.1>，∴.533> （2）732.13,260.123-≈--≈-Θ，而732.1260.1->-，∴.323->- （3）317.311,962.2263≈≈Θ，而317.3962.2<，∴11263<． （4）.70-> 例3 计算： （1）7472+，（2）55156?，（3）5 1125÷?，（4）.)13()32(22-+ 解 （1）.767)42(7472=+=+ （2）.655 165551655156=??=??=? （3）.3103253455512551 125=??=???=??=÷ ? （4）.5251312)13()32(22==+=-+ 说明：有关无理数的计算问题要按运算法则及运算律进行计算． 例4 计算（精确到0.1）： （1）652-，（2）322+π ， （3）3234-，（4）.5233? 解 （1）.0.245.248.445.224.22652≈-=-?≈- （2）.0.546.357.173.122 14.3322≈+=?+≈+π （3）.7.526.192.626.173.142343≈-=-?≈- （4）.3.2324.2273.135233≈???≈? 例5 下面命题中，正确的是（ ） A ．不带根号的数一定是有理数 B ．有绝对值最大的数，也有绝对值最小的数 C ．任何实数的绝对值都是正数 D ．无理数一定是无限小数 分析 圆周率π是不带根号的数，但它是无限不循环小数，所以它是无理数，可见命题A 不正确. 实际上，可以写出很多不带根号的无理数，如0.101001000100001……就是一个无理数；不存在最大的正数（对任何正数a ，都不如1+a 大），导致不存在绝对值最大的数，所以B 是假命题；实数0的绝对值不是正数，可见命题C 也不正确. 解答 D 说明 考查实数的意义. 例6 下列说法中正确的是（ ） A ．无理数是开方开不尽的数 B ．无限小数不能化成分数 C ．无限不循环小数是无理数 D ．一个负数的立方根是无理数 分析 实数可分为无理数和有理数. 有限小数和无限循环小数统称为有理数，无限不循环小数称为无理数. 开方开不尽的数一定是无理数，但无理数还包含了其他数，如π，任何有理数都能化成分数形成. 所以A 、B 、D 都是错的. C 正确. 解答 C 新人教版初一下册数学实际问题与二元一次方程组经典例题 经典例题透析 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。 分析：船顺流速度＝静水中的速度＋水速 船逆流速度＝静水中的速度－水速 类型二：列二元一次方程组解决——工程问题 2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工， 8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再 请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、 乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单 独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第 二层含义可得方程6x+12y=3480. 举一反三： 【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从 节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.人教版七年级下册数学动点问题教学内容
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