结构力学5力法

超静定刚架如图所示, 荷载是作用在刚性结点C上的 集中力矩M 。
MB
MB
C
C
X 2
E I= 常 数
X 1
l l
A
l/2
原结构
（1）力法基本未知量X1 与X2
A
l/2
基本体系
§5-4 力法的典型方程
△ C ' B ' △ 1 1C ' B ' △ 12
CB X 1
C BX 2
M C
C '
B
△ 1P
B '
§5-7 温度变化和支座移动时超静定结构的计算
第五章 力法
§5-1 超静定结构概述 §5-2 超静定次数的确定 §5-3 力法的基本概念 §5-4 力法的典型方程 §5-5 力法的计算步骤和示例 §5-6 * 对称性的利用 §5-7* 温度变化和支座移动时的计算
§5-1 超静定结构概述
一、超静定结构的静力特征和几何特征
结构
(√)
瞬变体系不 能作为基本
结构
(×)
一个超静定结构可能有多种形式的基本体系，不同基本体系带来不同的计算工作量。
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§5-3 力法的基本概念
力法基本思路小结:
根据结构组成分析，正确判断多余约束个数— —超静定次数。
2)、沿多余未知力方向建立位移协调方程，解方 程就可以求出多余未知力X1 。
位移协调条件：基本结构在原有荷载 q 和多余力 X1共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结 构相应的位移相等。
原结构的B是刚性支座, 该点的竖向位移是零。 即原结构在的X1位移为：
1 0
变形条件
在变形条件成立条件下,基本体系的内力和 位移与原结构等价.
q
q
A
B
A
B
C
l
A
B
q l2 8
超静定结构的优点为:
0 .5 l
A
ql 2 64
0 .5 l
q l2
32
B
C ql 2
64
1. 内力分布均匀 2. 抵抗破坏的能力强
§5-1 超静定结构概述
二、超静定结构的类型
超静定梁 超静定刚架 超静定拱
两铰拱
无铰拱
§5-1 超静定结构概述
超静定桁架
超静定组合结构
超静定结构：具有多余约束的结构。
静力特征：反力和内力不能仅由平衡条件全部解出。
几何特征：具有多余约束的几何不变体系。
A FxA
FyA
F B
FyB
C
FxA
F yc
外部一次超静定结构
F
A
C
B
F yA
D
F yB
内部一次超静定结构
§5-1 超静定结构概述
思考：多余约束是多余的吗？
从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。
切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。
§5-2 超静定次数的确定
（4）在梁式杆上加上一个单铰，等于拆掉一个约束。
三次超静定刚架
静定悬臂刚架
静定三铰刚架
（5）只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。
注意：同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方 式，但解除约束的个数是相同的, 解除约束后的体系 必须是几何不变的。
A
l/2
有无简单方法
§5-4 力法的典型方程
3 /Ml 5
l
6 /Ml5 l
作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的 剪力便可求出轴力。
C
B
6M /5l
6M/ 5l
C
FNCB
3M/ 5l
CB
3M / 5l
F S
A
l/2
FNCA
F N
A l/2
取刚结点C 为隔离体，由投影平衡条件解得
FNCA
6M 5l
（拉），
FNCB
3M 5l
（压）
§5-4 力法的典型方程
二、力法典型方程
n 次超静定定结构，力法典型方程为
11X1 12X2 1nXn Δ1p 0
21X1
22X2
1n Xn
Δ2p
0（7-1百度文库）
n1X1 n2X2 nnXn Δnp 0
柔度系数ij—— 表示当单位未知力Xj=1作用下, 引
（b）
§5-4 力法的典型方程
将 Δ11，11X1 Δ2，121X1 Δ12 12X2
Δ2222X2 代入（b）式，
得两次超静定的力法基本方程
11X112X2 Δ1p 0 21X122X2Δ2p 0
（c）
§5-4 力法的典型方程
（3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单位 力 与荷载单独作用下的弯矩图。
§5-2 超静定次数的确定
3）框格法
一个封闭无铰框格
n3
m个封闭
无铰框格
n3515
§5-2 超静定次数的确定
若有铰
—h单铰数，则
n3mh
n3596
§5-2 超静定次数的确定
通常用解除多余约束的办法确定超静定结构的超静 定次数，应注意以下几点： （1）去掉一根链杆，等于拆掉一个约束。
A
B
两铰拱，一次超静定结构。
起基本体系中Xi 的作用点沿Xi方向的位移。
思考：柔度系数由什么的特点？
答：ij ， ji 。ii 0
A
B
一次超静定桁架
A
B
曲梁，静定结构。
A
B
静定桁架
§5-2 超静定次数的确定
去掉几个约束后成为静 定结构,则为几次超静定
X1 X2 X3 X1 X2 X3
X1 X2 X3
去掉一个链杆或切断一个链杆相 当于去掉一个约束
§5-2 超静定次数的确定
（2）去掉一个铰支座或一个单铰，等于拆掉两个约束。
（3）去掉一个固定支座或切断一个梁式杆，等于拆掉 三个约束。
2112
Δ 1 pM E 1 M Pd IxE 1 I m l2 l2 m E 2 lI
Δ 2pM E 2M PI d xE 1 Im l2 l2 m E 2 lI
§5-4 力法的典型方程
（4）求出基本未知力。
将计算出来的系数与自由项代入典型方程
得
7l3 24EI
X1
l3 4E
I
X2
Ml2 2EI
将未知问题转化为已知问题，通过消除已知 问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。 这是科学研究的基本方法之一。
§5-3 力法的基本概念
选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变 的。通常取静定的基本体系。
思考：力法的基本体系是否唯一？
答：不唯一。解除不同的多余约束可得不同的基本体 系。
§5-3 力法的基本概念
§5-3 力法的基本概念
q
A
B
A
△ 1P
△ 11
B
X1
在荷载作用下B 点产生向下的位移为⊿1P, 未知力 的作用将使B点产生的向上的位移为⊿1X 。
要使体系的受力情况与原结构一样, 则必须B 的位移 也与原结构一样，要求：
位移协调条件Δ1=Δ1X+Δ1P=0 (a) Δ1P ——基本结构由荷载引起的竖向位移, Δ1X ——基本结构由知力引起的竖向位移。
将δ11、Δ1P 入力法典型方程，解得:
X1
Δ1P
11
3 ql
8
3)、将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加
法即可求出超静定结构的内力。ql 2
A
B
l
M 1 X1= 1
2
A
B
MP
ql 2
由M ： X1M 1M P
8 A
B
M图
§5-3 力法的基本概念
2. 几个概念
力法的基本未知数:超静定结构多余约束的未知约束 力, 即超静定次数。
0
l3
4EI
X1
l3 3EI
X2
Ml2 2EI
0
6M
解方程得
X1
，() 5l
X2
3M 5l
()
求得的X1、X2为正，表明与原假定的方向一致。
§7-4 力法的典型方程
(5) 作内力图。
先作弯矩图（ M M 1X 1M 2X 2M P ），把 弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧。再作剪力图，最后作
轴力图。
由前面所得结果
X1
6M，() 5l
X2
3M 5l
()
l/2
B
C
C
X 1 = 1
M 1
A l/2 l/2
A
B
X 2= 1
M 2
l l/2
M B2M /5C
C
B
M M P
A
l/2
3M /5
M
AM /5
l/2
由刚结点C 的平衡可知 M 图正确。
M C
3M/5
2M/5
l
l
l
l
§5-4 力法的典型方程
作剪力图的原则是, 截取每一杆为隔离体，由平衡条
§5-1 超静定结构概述
三、超静定结构求解方法概述
Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures
遵循同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问 题的思想，可有不同的出发点：
1. 力法----以多余约束力作为基本未知量
以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础 上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分 析方法称为力法（force method）。
解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约 束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用 下的位移，建立位移协调条件——力法典型方程。
从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结 构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得 了解决。
§5-4 力法的典型方程
一、多次超静定的计算
§5-3 力法的基本概念
❖ 力法的特点
➢以多余约束力作为基本未知量。故，该方法称为力法。 ➢以内力和位移计算方法已知的结构（通常是静定结构）作为基本结构。 ➢根据多余约束力作用点沿多余约束力作用方向的位移（或变形）条件，
建立关于多余约束力的方程——力法方程。 ➢求出多余约束力后，化超静定问题为静定问题。
2 1
△ 22
△ 2P
l
l
l
A
l/2
A
l/2
A
l/2
（2）位移协调条件：基本结构在原有荷载M 和多余 力X1、X2共同作用下，在去掉多余联系处的位移应 与原结构相应的位移相等。
} 基本体系在X1方向的位移为零，Δ1=0
基本体系在X2方向的位移为零, Δ2=0
（a）
Δ1 Δ11Δ12Δ1p 0 Δ2 Δ21Δ22Δ2p 0
❖ 注意的问题
➢超静定结构解除多余约束的方法有多种，对应的静定结构有多种形式， 但作为力法基本体系的静定结构必须几何不变。 X1 X2 X3
原结构 3次超静定
单体悬臂刚 架作为基本
结构
(√) X3 X1
X2 X3
X1
简支刚架作 为基本结构
(√)
X3 X1
三铰刚架作
为基本结构 X2
(√)
X2
多体悬臂刚 架作为基本
ql 2
A
B
2
l
M 1 X1= 1
互乘 A
B
自
MP
乘
11 — 单位载荷位移 1P — 广义荷载位移
1 1 M E 1 M 1 d I x A E C y IE 1(1 2 I l l 3 2 l) 3 E 1l3I
§5-3 力法的基本概念
Δ 1 P M E 1 M P d x I A E C y I E 1(1 3 I1 2 q 2 l 4 3 l) 8 q E 4lI
§5-3 力法的基本概念
1. 力法基本思路
q
A
B
待解的未知问题
原（一次超静定）结构
1)、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化
一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构(基本体
系)。
q
去掉余约束代之以多余未
A
B 知力，得到基本体系。
X1
基本体系
关键X： 1?
力法基本未知量
§5-3 力法的基本概念
l
l
l
l/2 C
B
X 1 = 1
C
B
X 2= 1
M 1
A l/2 l/2
M 2
A l
l/2
MB C
M M P
A
l/2
§5-4 力法的典型方程
1 1 M E 1 2 d x I E 1[1 2 I2 l 2 l (3 2 2 l) l 2 l 2 l] 2 7 lE 34I
22 M E 2 2d IxE 1 I1 2ll3 2l3 lE 3 I 12 M E 1M 2IdxE 1 I2 lll2 l4 lE 3 I
件杆便AC可: 求F出SC剪A力FS。AC25MlM 5 35M l
3M
杆CB:
3M /5
FS CB
F
S
B
C
FSCB
FSBC
5 l
6M 5l
C
B
2 M /5
2
2M /5C
C F S C A
B
C
B
3M /5
6M /5l
l
3 /Ml 5
l
M
A F S A C A M /5
l/2 M /5
F S
§5-3 力法的基本概念
对于线弹性体系，位移和力 成正比，有
1X 11X1
其中， 11 表示基本结构只承 受 X1 1 单独作用时，X 1 作 用点沿X 1 作用方向的位移。
从而 11 X11P0
上式称为力法方程（ The Compatibility Equation of Force Method），其中 11 和 1P 可按静定结构位移计算 方法计算。
力法的基本结构:把原超静定结构的多余约束去掉, 所 得到的静定结构就称为原结构的基本结构。
力法的基本体系:在基本结构上加上外荷载及多余约 束力，就得到了基本体系。
力法的基本方程:根据原结构已知变形条件建立的力法 方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件写 成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。
基本未知量：当它确定后，其它力学量即可完全 确定。--关键量
§5-2 超静定次数的确定
一、概念
超静定次数：多余约束（联系）或基本未知力的个数。
二、确定方法
1）由计算自由度 W确定
nW ？
n W ( 3 m 2 h r ) ( 3 4 2 5 3 ) 1 2）去约束法 将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构。