第三章 多元正态分布

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i1

➢ 此性质表明，独立的多元正态变量（维数相同）的 任意线性组合仍为多元正态变量。
❖ （6）设x~N p (μ, Σ)，对x, μ, Σ(>0)作如下的剖分：
x


x1 x2

k p
k
,
μ


μ1 μ2

k p
k
,
Σ


Σ11 Σ 21
第三章 多元正态分布
❖ §3.1 多元正态分布的定义 ❖ §3.2 多元正态分布的性质 ❖ §3.3 复相关系数和偏相关系数 ❖ §3.4 极大似然估计及估计量的性质 ❖ §3.5 x 和(n − 1) S的抽样分布 ❖ *§3.6 二次型分布
§3.1 多元正态分布的定义
❖ 一元正态分布N(μ,σ2)的概率密度函数为
1

xi

μ

2 p
Σ


n
2
exp


1 2
n
xi
i1

μ Σ 1 xi

μ
二、μ和Σ的极大似然估计
❖ 一元正态情形：
L ˆ,ˆ 2 max L , 2 , 2
ˆ x,
❖ 多元正态情形：
ˆ 2 1 n
ijgk 1,L , p
ijgk 1,L , p
,
iigk 1,L , p jjgk 1,L , p
1 i, j k
其中Σ11g2 ijgk1,L , p 。
❖ ρij∙k+1,⋯,p度量了剔除xk+1, ⋯,xp的（线性）影响之后， xi和xj间相关关系的强弱。
, 1
Σ

11

σ21
1
σ21 1
Σ
22

p

1
p 1
❖ x1和x2的线性函数 lx2间的最大相关系数称为 x1和x2 间的复(或多重)相关系数(multiple correlation
coefficient)，记作ρ1∙2,⋯,p, 它度量了一个变量x1与一 组变量x2, ⋯,xp间的相关程度。
❖令
x1 x11 x12 L x1p
X


x2



x21
x22
L
x2
p

M M M
M
ຫໍສະໝຸດ Baidu
xn


xn1
xn 2
L
xnp

称之为（样本）数据矩阵或观测值矩阵。
一、样本x1,x2, ⋯,xn的联合概率密度
❖ 极大似然估计是通过似然函数来求得的，似然函数
❖ 对于多元正态变量x，由于Σ11∙2也是条件协方差矩阵 ，故此时偏相关系数与条件相关系数是同一个值，
从而ρij∙k+1,⋯,p同时也度量了在xk+1, ⋯,xp值给定的条件 下xi和xj间相关关系的强弱。
§3.4 极大似然估计及估计量的性质
❖ 本课程第二章和第三章前三节的内容属概率论的范 畴。
❖ 从第三章§3.4 开始的内容属数理统计的范畴，特点 是推断和分析从样本出发。
F, a1x1 L
apxp
F,l1x1 L lpxp 1
F g1,L , p 1
二、偏相关系数
❖ 将x, Σ(>0)剖分如下：
x


x1 x2

k p

k
,
Σ


Σ11 Σ 21
Σ12 k
Σ
2
2

p

k
k pk
称Σ11g2 Σ11 Σ12 Σ221Σ21为给定x2时x1的偏协方差矩
可以是样本联合概率密度 f (x1,x2,⋯,xn)的任意正常 数倍，我们不妨取成相等，记为L(μ, Σ)。可具体表 达为：
n
L μ, Σ f x1, x2,L , xn f xi i1

n
2 p 2
i1
Σ
1
2
exp

1 2

xi

μ
Σ
➢ 这一性质表明，对于多元正态变量，其子向量的条 件分布仍是（多元）正态的。
❖ 例3.2.7 设x~N3(μ, Σ)，其中
1
16 4 2
μ


0 2
,
Σ


4 2
4 1
41
试求给定x1+2x3时

x2
x1
x3

的条件分布。
§3.3 复相关系数和偏相关系数
则
y : Nr Cμ b,CΣC
➢ 该性质表明，（多元）正态变量的任何线性变换仍 为（多元）正态变量。
❖ 例3.2.2 设x~Np (μ, Σ)，a为p维常数向量，则由上 述性质（2）或（3）知，
ax : N aμ,aΣa
❖ （4）设x~Np (μ, Σ)，则x的任何子向量也服从（多 元）正态分布，其均值为μ的相应子向量，协方差 矩阵为Σ的相应子矩阵。
阵。记 Σ11g2 ijgk1,L , p ，称 ijgk1,L , p 为偏协方差， 它是剔除了x2 xk1,L , xp 的（线性）影响之后，
xi和xj之间的协方差。
❖ 给定x2时xi 和xj的偏相关系数（partial correlation coefficient）定义为
❖ 一、复相关系数 ❖ 二、偏相关系数
一、复相关系数
❖ （简单）相关系数度量了一个随机变量x1与另一个 随机变量x2之间线性关系的强弱。
❖ 复相关系数度量了一个随机变量x1与一组随机变量 x2, ⋯,xp之间线性关系的强弱。
❖ 将x, Σ(>0)剖分如下：
x


x1 x2

1 p

➢ 该性质说明了多元正态分布的任何边缘分布仍为 （多元）正态分布。
➢ 需注意，随机向量的任何边缘分布皆为（多元）正 态分布未必表明该随机向量就服从多元正态分布。 例2.2.2就是这样的一个反例。
❖ 还需注意，正态变量的线性组合未必就是正态变量。
➢ 这是因为：
x1,x2, ⋯,xn均为一元正态变量 ⟸(⇏)x1,x2, ⋯,xn的联合分布为多元正态分布 ⟺x1,x2, ⋯,xn的一切线性组合是一元正态变量 ❖ 例3.2.4 设x~N4(μ, Σ)，这里
f x
1
x 2

e 2 2
2
2 1 2
2
1
2
exp


1 2

x



2
1 x ,
x
❖ 若随机向量 x (x1, x2,L , xp )的概率密度函数为
f
x 2 p
2
Σ
k
,
Σ


Σ11 Σ 21
Σ12 k
Σ
2
2

p

k
k pk
则给定x2时x1的条件分布为 Nk μ1g2 , Σ11g2 ，其中
μ1g2

μ1

Σ12
Σ
1 22
x2 μ2
Σ11g2

Σ11

Σ12
Σ
1 22
Σ
21
➢ μ1·2和Σ11·2分别是条件数学期望和条件协方差矩阵， Σ11·2通常称为偏协方差矩阵。
Σ12 k
Σ
22

p

k
k pk
则子向量x1和x2相互独立，当且仅当Σ12=0。
➢ 该性质指出，对于多元正态变量而言，其子向量之 间互不相关和相互独立是等价的。
❖ （7）设x~N p (μ, Σ), Σ>0，则
x μ Σ 1 x μ : 2 p
❖ 例3.2.5 设x~N3(μ,Σ)，其中
12 1 2


1 2

2 2


易见，ρ是x1和 x2的相关系数。当|ρ|<1时，可得x的 概率密度函数为
f

x1,
x2


1
21 2
1
2
exp 2
1
1 2

x1 1 1
2

2

x1 1 1
❖ 可推导出
1g2,L
,p

max l0
x1, lx2


σ
21
Σ
σ 1
22 21
11
1

2
❖ 例3.3.1 随机变量x1,⋯,xp的任一线性函数F=l1x1+⋯+
lp xp与x1,⋯,xp的复相关系数为1。
➢ 证明
Q
F g1,L
,p

max a0
1.简单相关系数
❖ 相关系数ρij的极大似然估计为
n
rij
ˆij

ˆii ˆ jj
sij

sii s jj
(xki xi )(xkj x j )
k 1
n
n
(xki xi )2
(xkj x j )2
k 1
k 1
其中 Σˆ
ˆij
,x
（ii）

x1 x4

:
N
2


1 4

,

11 41
14 44


；
x4
4 44 41 43
（iii）

x1 x3

:
N
3


1 3


x2 2 2



x2 2 2
2



二元正态分布的密度曲面图
❖
下图是当
12


2 2
,


0.75
时二元正态分布的钟形
密度曲面图。
二元正态分布等高线
❖ 等高（椭圆）线：

x1 1 1
2

2

x1 1 1

x2 2 2



x2 2 2
2

c2
❖ 上述等高线上的密度值
f
x1, x2

1
21 2
1
2
exp

2
c2
1 2

二元正态分布的密度等高线族
（使用SAS/INSIGHT，由10000个二维随机数生成）
1
2
exp

1 2

x

μ

Σ
1

x

μ
则称x服从p元正态分布，记作x~Np (μ, Σ)，其中，参数μ和Σ 分别为x的均值和协差阵。
例3.1.1（二元正态分布 ）
❖ 设x~N2(μ, Σ)，这里
x


x1 x2

,

μ


1 2

,
Σ


,

14 34
11 31

13 33

。
§3.2 多元正态分布的性质
❖ （5）设x1,x2, ⋯,xn相互独立，且xi~N p (μi, Σi) ， i=1,2,⋯,n，则对任意n个常数，有
n
ki xi :
N
p

n
ki μi ,
n
ki2
Σi
n i1
xi x 2
L μˆ, Σˆ max L μ, Σ μ,Σ
μˆ x, Σˆ 1 A n
其中x 称为样本均值向量（简称为样本均值），
n
A xi x xi x 称为样本离差矩阵。 i 1
三、相关系数的极大似然估计
❖ 1. ❖ 2. ❖ 3.偏相关系数
❖ 一、样本x1,x2, ⋯,xn的联合概率密度 ❖ 二、 μ和Σ的极大似然估计 ❖ 三、相关系数的极大似然估计 ❖ 四、估计量的性质
❖ 设x~Np(μ, Σ) , Σ>0，x1,x2, ⋯,xn是从总体x中抽取的 一个简单随机样本（今后简称为样本），即满足：
x1,x2, ⋯,xn独立，且与总体分布相同。
x1, x2,L
, xp
,S

1 A n 1
sij
。
称S为样本协方差矩阵、rij为样本相关系数、Rˆ rij
为样本相关矩阵。
2.复相关系数
❖ 将x, Σ(>0),S剖分如下：
x


x1
1
11 12 13 14
x


x2
,
μ


2
,
Σ



21
22
23

24

x3
3
31 32 33 34

x4


4



41
42
43

44

则
（i） xi : N i ,ii , i 1,2,3,4；
y
0
0
-2
0
2
-2
0
2
4
x
x
§3.2 多元正态分布的性质
❖ *（1）略。 ❖ （2）设x是一个p维随机向量，则x服从多元正态分
布，当且仅当它的任何线性函数ax 均服从一元正态 分布。
➢ 性质（2）常可用来证明随机向量服从多元正态分布。 ❖ （3）设x~N p (μ, Σ)，y=Cx+b其中C为r×p 常数矩阵，
3 0 0
Σ


0 0
5 1
11
则x2和x3不独立，x1和(x2,x3)独立。
❖ *（8）略
❖ *（9）略
❖ *（10）略
❖ （11）设x~N p (μ, Σ), Σ>0，作如下剖分
x


x1 x2

k p
, k
μ


μ1 μ2

k p