第三章 正态分布

u
u指单侧U界值，也称
随机变量U的上侧α 分 位数。其意义为：从u 到+∞这一侧的面积为 α。
u/2
u/2 指双侧U界值，也
称随机变量U的双侧α 分位数。其意义为：从 u/2 到+∞这一侧的面 积为α /2,从-∞到-u/2 这一侧的面积也为α /2, 两侧面积之和为α 。
1.3 正态分布曲线及其面积分布
图3-8 两尾概率
图 正态分布两尾概率
对于标准正态分布，其两尾概率为： P（∣u∣≥1.96）＝0.05 P（∣u∣≥2.58）＝0.01
图 标准正态分布两尾概率
图 标准正态分布两尾概率
标准正态分布，其单尾概率为
图 标准正态分布单尾概率
图 标准正态分布单尾概率
图 正态分布与标准分布的概率
例如 x在（μ -1.96σ ，μ +1.96σ ）之外取值的两尾概率 为0.05，而一尾概率为0.025。即： P（x＜μ -1.96σ ）＝P（x＞μ +1.96σ ）＝0.025
图
正态分布两尾概率
同理，x在（μ-2.58σ，μ+2.58σ）之外取值的两尾概率为0.01， 而一尾概率为0.01。即： P（x＜μ-2.58σ）＝P（x＞μ+2.58σ）＝0.01。
第三章 正态分布
正态分布的概念 • 正态分布的通俗概念： 如果把数值变量资料编 制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用 矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直 条的宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率 ）大小，直条与直条之间不留空隙。），若频数 分布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠 近中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成 一个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称 的分布，那我们一般认为该数值变量服从或近似 服从数学上的正态分布。
N（μ1 ，σ2）、N（μ2 ，σ2）
max
f(x)
0
µ1 µ2
在μ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大 时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变 小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故 称σ为形态参数或变异度参数。
N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）
σ =0.5
f(x)
σ =1 σ =2
0
µ
（4）正态分布概率密度曲线与横轴围成
的区域的总面积等于1。
1.2 标准正态分布
参数μ=0，σ2 =1时的正态分布称为 标准正态分布。一般地，若随机变量 X～N(μ，σ2)，则都可以通过标准化 转换：u=(x-μ)/σ，将X 转化为标准 正态变量U（U的取值为u ），记为 U ～N(0，1)。
标准正态分布的概率密度函数为
(u )
1
1 2
e
u2 2
（－≦＜ｕ＜＋≦）
标准正态分布的概率分布函数为：
(u )
2

u

e
u2 2
du
（－∞＜ｕ＜＋∞）
图 正态分布与标准正态分布的面积与纵高
标准正态分布曲线 的纵坐标与面积关 系图
即纵坐标从－∞移到u所对应区域的面积为上图红色区域 面积的大小，这样一个区域的面积我们用Ф(u)表示，可通 过查标准正态分布曲线面积分布表得到Ф(u)的大小。 u值查表所对应的面积是区间(-∞，u)所对应的面积，即 Ф(u)。 若u=-1.96，那么Ф(-1.96)则表示从－∞移到－1.96所对应 区域的面积，通过查标准正态分布曲线面积分布表得到 Ф(-1.96)=0.025。
正态分布密度曲线和横轴围成的整个区域面积为1，随机 变量x在（－∞，＋∞）之间取值，是一个必然事件，其 概率为1。若随机变量x服从正态分布N(μ ，σ 2)，则x的 取值落在任意区间[x1，x2)的概率，记作：P（x1≤x＜
x2），等于下图中阴影部分的面积。
图 正态分布的概率
• 在正态曲线下，μ±1σ、μ±1.96σ和 μ±2.58σ所对应的面积分别为0.6827、 0.9500和0.9900。
以某地13岁女孩118人的身高(cm)资料，来说明身高变量服从正态 分布。 • 频数分布表：
某地 13 岁女孩 118 人的身高(cm)资料频数分布 身高组段 （1） 129～ 132～ 135～ 138～ 141～ 144～ 147～ 150～ 153～ 156～ 159～162 合计 频数 （2） 2 2 8 20 26 25 20 9 3 2 1 118 组中值 (3) 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5 154.5 157.5 160.5 —
160.5
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
频数分布图二
20
频数
10
0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
频数分布图三
14 12
10
8
频数
6
4
2 0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高(cm)频数分布图
1 正态分布
1.1 正态分布的定义及其特征 正态分布的定义：若连续型随机变量X的概 率密度函数为
关于正态分布，有几个概率应记住：
一般正态分布：
P（μ-σ≤x＜μ+σ）＝0.6826
P（μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ）＝0.95 P（μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ）＝0.99
标准正态分布：
P（－1≤u＜1）＝0.6826
P（－1.96≤u＜1.96）＝0.95 P（－2.58≤u＜2.58）＝0.99
1

2
x

e

(t ) 2
2
2
dt
正态分布的特征
（1）正态分布曲线 位于横轴上方，呈钟 形。
f(x)
max
（2）正态分布曲线 以均数所在处最高， 且以均数为中心左右
0
µ
对称。
（3）正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数μ 和总体标准差σ。 在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大 时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。故称μ为位置参数。
f x

1 2
e

1 2
2 x 2
x
则该随机变量服从正态分布。 其中，σ＞0，μ、σ均为常数，则称随机 变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，记作 X ～N （μ，σ2 ）。
图
正态分布密度函数曲线
其正态分布的概率分布函数为：
F ( x)
频数分布图一（又称直方图 ）
30
20
从频数表及频数分布图上可得 知： 该数值变量资料频数分 布呈现中间频数多，左右两侧 基本对称的分布。所以我们通 俗地认为该资料服从正态分布 。
频数
10 0 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5
154.5
157.5