第二章 1 交变电流

1交变电流[学习目标] 1.理解交变电流和直流电的概念.2.了解正弦交变电流的产生过程，电动势和电流方向的变化规律.3.明确正弦交变电流的变化规律及表示方法.4.知道中性面的特点．一、交变电流1．交变电流：大小和方向随时间作周期性变化的电流叫交变电流，简称交流电．2．直流：方向不随时间变化的电流称为直流电．3．正弦交变电流：按正弦函数规律变化的交变电流叫正弦交变电流，简称正弦交流电．二、正弦交变电流的产生闭合线圈置于匀强磁场中，并绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．三、正弦交变电流的变化规律1．中性面(1)中性面：与磁感线垂直的平面．(2)当线圈平面位于中性面时，线圈中的磁通量最大，线圈中的电流为零，且线圈平面经过中性面时，电流方向发生改变，故线圈转动一周电流方向改变两次．2．从中性面开始计时，线圈中产生的电动势的瞬时值表达式：e＝E m sin ωt，E m叫电动势的峰值．1．判断下列说法的正误．(1)如图1所示的电流为交流电．(×)图1(2)只要线圈在磁场中转动，就可以产生交变电流．(×)(3)线圈通过中性面时磁通量最大，电流也最大．(×)(4)线圈通过中性面时电流的方向发生改变．(√)2.有一个正方形线圈的匝数为10匝，边长为20 cm，线圈总电阻为1 Ω，线圈绕垂直磁场方向的OO′轴以10π rad/s的角速度匀速转动，如图2所示，匀强磁场的磁感应强度为0.5 T，该线圈产生的感应电动势的峰值为__________，感应电流的峰值为________，在图示位置时感应电动势为________，从图示位置转过90°时感应电动势为________．图2答案 6.28 V 6.28 A 6.28 V0解析感应电动势的峰值为E m＝nBSω＝10×0.5×0.22×10π V≈6.28 V＝6.28 A感应电流的峰值为I m＝E mR题图所示位置线圈中产生的感应电动势最大，为6.28 V从题图所示位置转过90°时，线圈位于中性面，切割磁感线的两边的速度与磁感线平行，感应电动势为0.一、交变电流的产生线圈绕OO′轴沿逆时针方向匀速转动，如图3甲至丁所示，则：图3(1)线圈转动一周的过程中，线圈中的电流方向的变化情况．(2)线圈转动过程中，当产生的感应电流有最大值和最小值时线圈分别在什么位置？ 答案 (1)转动过程 电流方向 甲→乙 B →A →D →C 乙→丙 B →A →D →C 丙→丁 A →B →C →D 丁→甲A →B →C →D(2)线圈转到乙或丁位置时线圈中的电流最大．线圈转到甲或丙位置时线圈中电流最小，为零，线圈此时所处的平面称为中性面．两个特殊位置1．中性面位置(S ⊥B ，如图3中的甲、丙)线圈平面与磁场垂直的位置，此时Φ最大，ΔΦΔt 为0，e 为0，i 为0.线圈经过中性面时，电流方向发生改变，线圈转一圈电流方向改变两次． 2．垂直中性面位置(S ∥B ，如图3中的乙、丁) 此时Φ为0，ΔΦΔt最大，e 最大，i 最大．例1 (多选)矩形线框绕垂直于匀强磁场且在线框平面内的轴匀速转动时产生了交变电流，下列说法正确的是 ( )A ．当线框位于中性面时，线框中感应电动势最大B ．当穿过线框的磁通量为零时，线框中的感应电动势也为零C ．每当线框经过中性面时，感应电动势及感应电流的方向就改变一次D ．线框经过中性面时，各边切割磁感线的速度为零 答案 CD解析 线框位于中性面时，线框平面与磁感线垂直，穿过线框的磁通量最大，但此时切割磁感线的两边的速度与磁感线平行，即不切割磁感线，所以感应电动势等于零，此时穿过线框的磁通量的变化率也等于零，感应电动势及感应电流的方向在此时刻发生变化；线框垂直于中性面时，穿过线框的磁通量为零，但切割磁感线的两边都垂直切割磁感线，有效切割速度最大，所以感应电动势最大，即此时穿过线框的磁通量的变化率最大，故C 、D 选项正确．二、交变电流的变化规律如图4所示，单匝矩形线圈绕bc 边的中点从中性面开始转动，角速度为ω.经过时间t ，线圈转过的角度是ωt ，ab 边的线速度v 的方向跟磁感线方向间的夹角也等于ωt . 设ab 边长为L 1，bc 边长为L 2，线圈面积S ＝L 1L 2，磁感应强度为B ，则：图4(1)ab 边产生的感应电动势为多大？ (2)整个线圈中的感应电动势为多大？(3)若线圈有n 匝，则整个线圈的感应电动势为多大？ 答案 (1)e ab ＝BL 1v sin ωt ＝BL 1L 2ω2sin ωt＝12BL 1L 2ωsin ωt ＝12BSωsin ωt . (2)整个线圈中的感应电动势等于ab 和cd 两边产生的感应电动势组之和，且e ab ＝e cd ，所以 e 总＝e ab ＋e cd ＝BSωsin ωt .(3)若线圈有n 匝，则相当于n 个完全相同的电源串联，所以e ＝nBSωsin ωt .1．峰值表达式 E m ＝nBSω，I m ＝E m R ＋r ＝nBSωR ＋r ，U m ＝I m R ＝nBSωRR ＋r说明：电动势峰值E m ＝nBSω由线圈匝数n 、磁感应强度B 、转动角速度ω和线圈面积S 决定，与线圈的形状无关，与转轴的位置无关．如图5所示的几种情况中，如果n 、B 、ω、S 均相同，则感应电动势的峰值均相同．图52．正弦交变电流的瞬时值表达式(1)从中性面位置开始计时e ＝E m sin ωt ，i ＝I m sin ωt ，u ＝U m sin ωt (2)从与中性面垂直的位置开始计时 e ＝E m cos ωt ，i ＝I m cos ωt ，u ＝U m cos ωt .例2 一矩形线圈，面积是0.05 m 2，共100匝，线圈总电阻r ＝2 Ω，外接电阻R ＝8 Ω，线圈在磁感应强度B ＝1π T 的匀强磁场中以n ＝300 r/min 的转速绕垂直于磁感线的轴匀速转动，如图6所示，若从中性面开始计时，求：图6(1)线圈中感应电动势的瞬时值表达式；(2)从开始计时经130 s 时线圈中的感应电流的瞬时值；(3)外电路R 两端电压瞬时值的表达式． 答案 (1)e ＝50sin 10πt (V) (2)532 A(3)u ＝40sin 10πt (V)解析 (1)线圈转速n ＝300 r /min ＝5 r/s ， 角速度ω＝2πn ＝10π rad/s ，线圈产生的感应电动势最大值E m ＝NBSω＝50 V ， 由此得到的感应电动势瞬时值表达式为 e ＝E m sin ωt ＝50sin 10πt (V)．(2)将t ＝130 s 代入感应电动势瞬时值表达式中，得e ′＝50sin (10π×130) V ＝25 3 V ，对应的感应电流i ′＝e ′R ＋r＝532 A.(3)由闭合电路欧姆定律得u ＝eR ＋rR ＝40sin 10πt (V)．确定正弦交变电流电动势瞬时值表达式的基本方法(1)确定从线圈转动到哪个位置开始计时，以确定瞬时值表达式是按正弦规律变化还是按余弦规律变化.(2)确定线圈转动的角速度.(3)确定感应电动势的峰值E m ＝nBSω.,(4)写出瞬时值表达式e ＝E m sin ωt 或e ＝E m cos ωt . 三、交变电流的图像如图7甲、乙所示，从图像中可以得到以下信息：图7(1)交变电流的峰值E m 、I m 和周期T . (2)两个特殊值对应的位置①e ＝0(或i ＝0)时：线圈位于中性面，此时ΔΦΔt ＝0，Φ最大．②e 最大(或i 最大)时：线圈平行于磁感线，此时ΔΦΔt 最大，Φ＝0.(3)e 、i 大小和方向随时间的变化规律．例3 如图8所示，一矩形线圈abcd 放置在匀强磁场中，并绕过ab 、cd 中点的轴OO ′以角速度ω逆时针匀速转动．若以线圈平面与磁场夹角θ＝45°时为计时起点，并规定当电流自a 流向b 时电流方向为正，则下列四幅图像中可能正确的是( )图8答案 C解析以线圈平面与磁场夹角θ＝45°时为计时起点，由楞次定律可判断，初始时刻电流方向为b到a，且线圈远离中性面，Φ减小，电流增大，故选项C正确．1．(交变电流的产生)(多选)下图中哪些情况线圈中产生了交变电流()答案BCD解析由交变电流的产生条件可知，轴必须垂直于磁感线，但对线圈的形状及转轴的位置没有特殊要求，故选项B、C、D正确．2．(交变电流的产生及图像)如图9甲为风速仪的结构示意图．在恒定风力作用下风杯带动与其固定在一起的永磁铁转动，线圈产生的电流随时间变化的关系如图乙所示．若风速减小到原来的一半，则电流随时间变化的关系图可能是()图9答案 C解析由题图乙可知产生的电流为正弦式交变电流，当风速减小时，转速减小，ω减小，周期变大，由E m＝nBSω可知，电动势峰值减小，I m减小，故选项C正确．3．(交变电流的图像及变化规律)(2019·重庆巴蜀中学月考)一个矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量随时间变化的图像如图10甲所示，则下列说法中正确的是()图10A．t＝0时刻，线圈平面与中性面垂直B．t＝0.01 s时刻，磁通量的变化率最大C．t＝0.02 s时刻，感应电动势达到最大D．该线圈产生的相应感应电动势的图像如图乙所示答案 B解析由题图甲可知，t＝0时刻，穿过线圈的磁通量最大，线圈处于中性面，t＝0.01 s时刻，穿过线圈的磁通量为零，但磁通量的变化率最大，故A项错误，B项正确；t＝0.02 s时刻，感应电动势应为零，故C、D项错误．4．(交变电流的变化规律)如图11所示，匀强磁场的磁感应强度B＝2πT，边长L＝10 cm的正方形线圈abcd共100匝，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的轴OO′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s，外电路电阻R＝4 Ω.求：图11(1)转动过程中线圈中感应电动势的最大值．(2)从图示位置(线圈平面与磁感线平行)开始计时，感应电动势的瞬时值表达式． (3)由图示位置转过30°角时电路中电流的瞬时值． 答案 (1)2 2 V (2)e ＝22cos 2πt (V) (3)65A 解析 (1)设转动过程中线圈中感应电动势的最大值为E m ，则E m ＝nBL 2ω＝100×2π×0.12×2π V ＝2 2 V.(2)从图示位置开始计时，感应电动势的瞬时值表达式为e ＝E m cos ωt ＝22cos 2πt (V)．(3)从图示位置转过30°角时感应电动势的瞬时值e ′＝22cos 30° V ＝ 6 V ，则电路中电流的瞬时值为i ＝e ′R ＋r ＝65A.考点一 交变电流及产生1．如图所示，属于交流电的是( )答案 C解析 方向随时间做周期性变化是交变电流最重要的特征之一．A 、B 、D 三项所示的电流大小随时间做周期性变化，但其方向不变，不是交变电流，它们是直流电，故A 、B 、D 错误；C 选项中电流符合交变电流的特征，故C 正确．2．(2019·山东枣庄八中期中)如图1所示为演示交变电流产生的装置图，关于这个实验，正确的说法是( )图1A．线圈每转动一周，线圈中感应电流的方向改变1次B．图示位置为中性面，线圈中无感应电流C．图示位置ab边的感应电流方向为a→bD．线圈平面与磁场方向平行时，磁通量变化率为零答案 C解析线圈每转动一周，线圈中感应电流的方向改变2次，故A项错误；图示位置线圈与磁场平行，垂直于中性面，线圈中感应电流出现最大值，故B项错误；根据线圈转动方向，可知图示位置ab边向右运动切割磁感线，由右手定则可知，图示位置ab边的感应电流方向为a→b，故C项正确；线圈平面与磁场方向平行时，磁通量为零，磁通量变化率最大，故D项错误．3．一个矩形线圈，在匀强磁场中绕一个垂直磁场方向的固定轴匀速转动，当线圈处于如图2所示位置时(线圈平面与磁感线平行)，它的()图2A．磁通量最大，磁通量变化率最大，感应电动势最大B．磁通量最小，磁通量变化率最大，感应电动势最大C．磁通量最大，磁通量变化率最小，感应电动势最小D．磁通量最小，磁通量变化率最小，感应电动势最小答案 B解析线圈处于题图所示位置时，它与磁感线平行，磁通量为零，磁通量变化率最大，感应电动势最大，故选项A、C、D错误，B正确．考点二交变电流的变化规律及图像的描述4．(2019·聊城市高二下期末)如图所示，面积均为S的单匝线圈绕轴在磁感应强度为B的匀强磁场中以角速度ω匀速转动，从图中所示位置开始计时，下图中能产生正弦交变电动势e ＝BSωsin ωt的是()答案 A解析由题图知，只有A、B图中线圈在切割磁感线，导致磁通量变化，从而产生感应电流，但B中在t＝0时产生的感应电动势最大，不是按e＝BSωsin ωt规律变化，故只有A中产生正弦交变电动势e＝BSωsin ωt，A正确．5．(2019·烟台市高二下期末)一矩形线圈绕垂直于匀强磁场并位于线圈平面内的固定转轴匀速转动，线圈中产生的感应电动势e随时间t的变化规律如图3所示．下列说法中正确的是()图3A．t1时刻通过线圈的磁通量最大B．t2时刻通过线圈的磁通量为0C．t3时刻通过线圈的磁通量变化率的绝对值最大D．每当电流方向变化时，线圈平面就会与中性面垂直答案 C解析t1时刻，感应电动势为最大值，通过线圈的磁通量为零，故A错误；t2时刻感应电动势为零，线圈处于中性面位置，通过线圈的磁通量最大，故B错误；t3时刻感应电动势最大，由法拉第电磁感应定律知感应电动势E＝nΔΦΔt，可知此时通过线圈的磁通量变化率的绝对值最大，故C正确；每当电流方向改变时，线圈平面与磁场垂直，处于中性面位置，故D错误．6．交流发电机工作时电动势为e＝E m sin ωt，若将发电机的转速提高一倍，同时将电枢所围面积减小一半，其他条件不变，则其电动势e′变为()A．E m sin ωt2B．2E m sinωt2C ．E m sin 2ωtD.E m 2sin 2ωt 答案 C 解析 感应电动势的瞬时值表达式e ＝E m sin ωt ，而E m ＝nBωS ，当ω加倍而S 减半时，E m 不变，故C 正确．7．矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的转轴匀速转动时，产生的感应电动势最大值为50 V ，那么该线圈由图4所示位置(线圈平面与磁场方向平行)转过30°时，线圈中的感应电动势大小为( )图4A ．50 VB ．25 VC ．25 3 VD ．10 V答案 C解析 线圈绕垂直于磁感线的转轴匀速转动，从垂直中性面的位置开始计时，感应电动势的瞬时值为e ＝E m cos θ，当θ＝30°时，感应电动势的瞬时值为e ＝E m cos 30°＝25 3 V ，故选C.8．(多选)如图5甲所示，一个矩形线圈abcd 在匀强磁场中绕垂直于磁场方向且与线圈共面的轴OO ′匀速转动，从某个时刻开始计时，穿过线圈的磁通量Φ随时间t 的变化如图乙所示，则下列说法中正确的是( )图5A ．t ＝0时刻线圈处于中性面位置B ．t 1、t 3时刻线圈中的感应电流最大且方向相同C ．t 2、t 4时刻穿过矩形线圈的磁通量最大，但感应电流为零D ．t 5时刻穿过线圈的磁通量为零，磁通量的变化率也为零答案 AC解析 t ＝0时刻穿过线圈的磁通量最大，所以线圈平面处在中性面位置，故A 正确；t 1、t 3时刻穿过线圈的磁通量为零，线圈与磁场平行，磁通量的变化率最大，感应电流最大，但方向相反，故B 错误；t 2、t 4时刻穿过矩形线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，所以感应电流为零，故C 正确；t 5时刻穿过线圈的磁通量为零，磁通量的变化率最大，故D 错误．9．如图6甲所示，一矩形闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴OO ′以恒定的角速度ω转动．当从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈中产生的交变电流按照图乙所示的余弦规律变化，则在t ＝π2ω时刻( )图6A ．线圈中的电流最大B ．穿过线圈的磁通量为零C ．线圈所受的安培力最大D ．线圈中的电流为零答案 D解析 由题图乙知，t ＝π2ω＝T 4＝t 1，此时i ＝0，则F 安＝0，线圈在中性面位置，Φ最大，故D 正确．10. (2019·重庆市巴蜀中学高二上期末)如图7所示，一个N 匝矩形闭合线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴OO ′以恒定的角速度ω转动，线圈产生的电动势的最大值为E m ，从线圈平面与磁感线平行时开始计时，则( )图7A ．线圈电动势的表达式为e ＝E m sin ωt (V)B ．在0～π2ω这段时间内，线圈中的感应电流先减小后增大 C ．穿过线圈的磁通量的最大值为E m NωD ．在0～π2ω这段时间内，穿过线圈的磁通量一直减小 答案 C解析 从线圈平面与磁感线平行时开始计时，线圈电动势的表达式为e ＝E m cos ωt (V)，故A错误；在0～π2ω时间内，即0～T 4时间内，线圈从线圈平面与磁感线平行转动到线圈平面与磁感线垂直，这段时间内线圈中的感应电流逐渐减小，穿过线圈的磁通量一直增大，故B 、D 错误；线圈产生的电动势的最大值E m ＝NBSω，则穿过线圈的磁通量的最大值为Φm ＝BS ＝E m Nω，故C 正确．11.在垂直纸面向里的有界匀强磁场中放置了矩形线圈abcd .线圈cd 边沿竖直方向且与磁场的右边界重合．线圈平面与磁场方向垂直．从t ＝0时刻起，线圈以恒定角速度ω＝2πT绕cd 边沿如图8所示方向转动，规定线圈中电流沿abcda 方向为正方向，则从t ＝0到t ＝T 时间内，线圈中的电流i 随时间t 变化的图像为( )图8答案 B解析 在0～T 4内，线圈在匀强磁场中匀速转动，故产生正弦式交流电，由楞次定律知，电流为负；在T 4～34T 内，线圈中无感应电流；在34T 时，ab 边垂直切割磁感线，感应电流最大，且电流为正，故B 项正确．12．(多选)(2019·湖南岳阳一中高二期末)单匝闭合线框在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，在转动的过程中，穿过线框的最大磁通量为Φm，最大感应电动势为E m，下列说法中正确的是()A．当穿过线框的磁通量为0时，线框中的感应电动势也为0B．当穿过线框的磁通量减小时，线框中的感应电动势在增大C．当穿过线框的磁通量等于Φm2时，线框中的感应电动势为E m2D．线框转动的角速度为E mΦm答案BD解析当穿过线框的磁通量为零时，磁场与线框平面平行，磁通量的变化率最大，所以感应电动势最大，故A错误；假设磁通量的表达式为Φ＝Φm sin ωt，则感应电动势的表达式为e ＝E m cos ωt，当穿过线框的磁通量减小时，线框的感应电动势在增大，故B正确；根据磁通量与感应电动势的表达式可知，当穿过线框的磁通量等于0.5Φm时，感应电动势不等于0.5E m，故C错误；最大感应电动势为E m＝BSω，最大磁通量Φm＝BS，所以E m＝Φmω，则线框转动的角速度为ω＝E mΦm，故D正确．13．(多选)(2019·浙江金华一中期末)如图9所示，一单匝闭合线框在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，转动过程线框中产生的感应电动势的瞬时值表达式为e＝0.5sin (20t) V，由该表达式可推知以下哪些物理量()图9A．匀强磁场的磁感应强度B．线框的面积C．穿过线框的磁通量的最大值D．线框转动的角速度答案CD解析根据正弦交变电流的感应电动势的瞬时值表达式：e＝BSωsin ωt，可得ω＝20 rad/s，而穿过线框的磁通量的最大值为Φm＝BS，根据BSω＝0.5 V可知磁通量的最大值Φm＝0.025 Wb ，无法求出匀强磁场的磁感应强度和线框的面积，故C 、D 正确．14．一矩形线圈有100匝，面积为50 cm 2，线圈内阻r ＝2 Ω，在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，从线圈平面与磁场平行时开始计时，已知磁感应强度B ＝0.5 T ，线圈的转速n ＝1 200 r/min ，外接一纯电阻用电器，电阻为R ＝18 Ω，试写出R 两端电压的瞬时值表达式． 答案 u ＝9πcos (40πt ) V解析 n ＝1 200 r/min ＝20 r /s ，角速度ω＝2πn ＝40π rad/s ，线圈产生的感应电动势的最大值E m ＝NBSω＝100×0.5×50×10－4×40π V ＝10π V ， 线圈产生的感应电动势e ＝E m cos ωt ＝10πcos (40πt ) V ，由闭合电路欧姆定律得：i ＝e R ＋r， 故R 两端电压的瞬时值表达式u ＝Ri ＝9πcos (40πt ) V .15.(2020·泉州市泉港区第一中学月考)如图10所示，矩形线圈匝数N ＝100，ab ＝30 cm ，ad ＝20 cm ，匀强磁场磁感应强度B ＝0.8 T ，绕轴OO ′从图示位置(线圈平面与磁感线平行)开始匀速转动，角速度ω＝100π rad/s ，则：图10(1)穿过线圈的磁通量最大值Φm 为多大？(2)线圈产生的感应电动势最大值E m 为多大？(3)写出感应电动势e 随时间t 变化的表达式；(从图示位置开始计时)(4)从图示位置开始匀速转动60°时，线圈中产生的感应电动势为多少？答案 (1)0.048 Wb (2)480π V(3)e ＝480πcos 100πt (V) (4)240π V解析 (1)当线圈转至与磁感线垂直时，磁通量有最大值Φm ＝BS ＝0.8×0.3×0.2 Wb ＝ 0.048 Wb(2)线圈与磁感线平行时，感应电动势有最大值E m ＝NBSω＝480π V ；(3)从题图所示位置开始计时，感应电动势的瞬时值表达式为e ＝E m cos ωt ＝480πcos 100πt (V)；(4)从图示位置开始匀速转动60°，即ωt ＝π3，则此时线圈中产生的感应电动势为E ＝480π×cos 60° V＝240π V。