高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第六章课后答案
同济大学《高等数学》[上册]的答案解析
![同济大学《高等数学》[上册]的答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/e852866ba5e9856a561260bf.png)
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式
练习 2-5
专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式
>>>
专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式
总习题四
专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式
练习 3-3
专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式
练习 3-4
专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
练习 4-3
专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
完美 WORD 格式
练习 4-4
专业整理 知识分享
完美 WORD 格式 专业整理 知识分享
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第三章 微分中值定理与导数的应用【圣才出
有且仅有三个实根，它们分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）
3 / 91
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
6．证明恒等式： 证：取函数 f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈[－1，1]．因
所以 f(x)≡C．取 x＝0，得
．因此
7．若方程 正根 x＝x0，证明方程
即
，所以
（2）取函数
，因为函数 f(t)在[1，x]上连续，在（1，x）内可导，则由
拉格朗日中值定理知，至少存在一点 ξ∈（1，x），使
6 / 91
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
即
．又 1＜ξ＜x，所以 eξ＞e，因此
即
ex＞x·e．
12．证明方程 x5＋x－1＝0 只有一个正根． 证：取函数 f(x)＝x5＋x－1，f(x)在[0，1]上连续，
的正根． 证：取函
有一个 必有一个小于 x0
数
．f(x)在[0，x0]
上连续，在（0，x0）内可导，且 f(0)＝f（x0）＝0，由罗尔定理知至少存在一点
ξ∈（0，x0），使
，即方程
正根．
必有一个小于 x0 的
8．若函数 f(x)在（a，b）内具有二阶导数，且 f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中
4 / 91
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
a＜x1＜x2＜x3＜b．证明：在（x1，x3）内至少有一点 ξ，使得
．
证：根据题意知函数 f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]上连续，在（x1，x2），（x2，x3）内可导
且
，所以由罗尔定理知至少存在点 ξ1∈（x1，x2），
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第二章 导数与微分【圣才出品】
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 函数与极限(圣才出品
（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
同济大学数学系《高等数学》(上册)配套题库-考研真题精选-微分方程【圣才出品】
f (x)dx
f (x)dx a
f (x)dx f (x) af (x) am n
0
0
0
0
0
2．微分方程 2yy′－y2－2＝0 满足条件 y（0）＝1 的特解 y＝______。[数一 2019 研]
【答案】 y 3ex 2
【解析】分离变量，将题中微分方程转化为[2y/（2＋y2）]dy＝dx，求解后有 ln（2＋ y2）＝x＋C，代入 y（0）＝1 得 C＝ln3。
x
ydt
0
x
由题意知，
ydt
0
y2
3 2
，即
2 y
x 0
ydt
3y2 4
，两边对
x
求导，得
y
3 4
2
yy2 y2
y2
y
，
整理得 2yy′2＝3y2y″（1）。
由已知，得 y（0）＝0，y′（x）＞0，故 x＞0 时，y（x）＞0，则（1）式可化为 y′2
＝3yy″/2（2），此方程为可降阶的微分方程，令 P＝y′，则（2）式可化为 P2＝（3y/2）·PdP/dy，
面积比为 3:2，求曲线方程。[数二 2020 研]
解：设点 M 的坐标为（x，y），则曲线 y＝f（x）经过点 M（x，y）处的切线方程为 Y
－y＝y′（X－x），从而点 T 的坐标为（x－y/y′，0），故 S△MTP＝｜MP｜｜PT｜/2＝y（· y/y′） /2＝y2/2y′。
S 曲边三角形OMP
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 7 章 微分方程
一、选择题 已知微分方程 y″＋ay′＋by＝cex 的通解为 y＝（C1＋C2x）e－x＋ex，则 a，b，c 依次 为（ ）。[数二 2019 研] A．1，0，1 B．1，0，2 C．2，1，3 D．2，1，4 【答案】D 【解析】由微分方程的通解可知，－1 是其特征方程λ2＋aλ＋b＝0 的二重根，ex 是其 中一个特解，因此λ2＋aλ＋b＝（λ＋1）2，所以 a＝2，b＝1，将特解 ex 代入微分方程， 得到 c＝4，故选 D 选项。
《高等数学》 详细上册答案(一--七)
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第五章 定积分【圣才出品】
5.2 课后习题详解习题5-1 定积分的概念与性质1．利用定积分定义计算由抛物线y ＝x 2＋1，两直线x ＝a 、x ＝b （b ＞a ）及x 轴所围成的图形的面积．解：因为函数f(x)＝x 2＋1在区间[a ，b]上连续，所以函数可积，为计算方便，不妨把[a ，b]分成n 等份，则分点为每个小区间长度为取ξi 为小区间的右端点x i ，则当n→∞时，上式极限为即为所求图形的面积．2．利用定积分定义计算下列积分：解：因为被积函数在积分区间上连续，所以把积分区间分成n等份，并取ξi为小区间的右端点，得到（1）（2）3．利用定积分的几何意义，证明下列等式：证：（1）根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y＝2x、x＝1及x轴围成的图形的面积，该图形是底边长为1、高为2的三角形，因此面积为1，即（2）根据定积分的几何意义，定积分表示的是由曲线以及x轴、y轴围成的在第I象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有（3）因为函数y＝sinx在区间[0，π]上非负，在区间[－π，0]上非正．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y＝sinx（x∈[－π，0]）与x轴所围成的图形D2的面积，显然图形D1与D2的面积是相等的，所以有（4）因为函数y＝cosx在区间上非负．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线与x轴和y轴所围成的图形D1的面积加上曲线与x轴和y轴所围成的图形D2的面积，而图形D1的面积和图形D2的面积显然相等，所以有4．利用定积分的几何意义，求下列积分：解：（1）根据定积分的几何意义，表示的是由直线y＝x，x＝t以及x轴所围成的直角三角形面积，该直角三角形的两条直角边的长均为t，因此面积为因此有（2）根据定积分的几何意义，表示的是由直线x＝－2，x＝4以及x轴所围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为梯形的高为4－（－2）＝6，因此面积为21．因此有（3）根据定积分的几何意义，表示的是由折线y＝|x|和直线x＝－1，x＝2以及x轴所围成的图形的面积．该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y＝－x，x＝－1和x轴所围成，其直角边长为1，面积为另一个由直线y＝x，x＝2和x轴所围成，其直角边长为2，面积为2．因此（4）根据定积分的几何意义，表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积，因此有5．设a＜b，问a、b取什么值时，积分取得最大值？解：根据定积分几何意义，表示的是由y＝x－x2，x＝a，x＝b，以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积．因此如果下方部分面积为0，上方部分面积为最大时，的值最大，即当a＝0，b＝1时，积分取得最大值．6．已知试用抛物线法公式求出ln2的近似值（取n＝10，计算时取4位小数）．解：计算y i并列表表5-2-1按抛物线法公式，求得7．设求解：（1）（2）（3）（4）8．水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力．已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p＝9.8h（kN／m2）．若闸门高H＝3m，宽L＝2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P．解：在区间[0，3]上插入n－1个分点，取ξi∈[h i－1，h i]，并记Δh i＝h i－h i－1，得到闸门所受水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为因为被积函数连续，而连续函数是可积的，因此积分值与积分区间的分法和ξi的取法无关．为方便计算，对区间[0，3]进行n等分，并取ξi为小区间的端点所以。
余弦级数Σ∞n=1 cosπnk n的敛散性
余弦级数ðɕｎ＝１ｃｏｓπｎｋｎ的敛散性杜先云１㊀任秋道２(１.四川省成都信息工程学院数学学院㊀６１０２２５ꎻ２.四川省绵阳师范学院数理学院㊀６２１０００)摘㊀要:本文给出一种任意项级数收敛判定方法:如果级数ðɕｎ＝１ａｎ的项添加括号后所成的级数收敛ꎬ且ｌｉｍｎңɕａｎ＝０ꎬ则该级数收敛.由此获得:级数ðɕｎ＝１ｃｏｓπｎｋｎ收敛ꎬ其中ｋɪＮ＋.关键词:数列ꎻ数列收敛ꎻ级数收敛ꎻ三角函数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３３－０００２－０２收稿日期:２０２０－０８－２５作者简介:杜先云(１９６４－)ꎬ男ꎬ四川省三台人ꎬ博士ꎬ教授ꎬ从事应用数学方面的研究.任秋道(１９６５－)ꎬ男ꎬ四川省盐亭人ꎬ硕士ꎬ教授ꎬ从事应用数学方面的研究.基金项目:四川省教育厅基金资助(１６ＺＢ０３１４).㊀㊀一㊁引入目前«高等数学»与«数学分析»教材中ꎬ对任意项级数收敛的内容涉及少ꎬ而大量级数的敛散需要确定.我们通过数列收敛方法来判定级数收敛.从新的角度去认识收敛数列的渐进性:当ｎ无限增大时ꎬ可以认为收敛数列ｙｎ{}相邻两项的差所构成的数列{ｙｎ－ｙｎ－１}(ｎ>２)ꎬ无限接近一个公差为０的等差数列ꎬ从而给出了利用ｙｎ－ｙｎ－１趋于０来判断数列收敛的方法.这说明了收敛数列各项变化的微小性.本文给出了任意项级数收敛的一个判定定理ꎬ讨论了一些余弦级数的敛散性.㊀㊀二㊁任意项级数收敛的判定引理㊀设ｙｎ{}为一个有界数列.∀ε>０ꎬ∃ＮɪＺ＋ꎬ当ｎ>Ｎ时ꎬ不等式｜ｙｎ－ｙｎ－１｜<ε恒成立ꎬ则数列ｙｎ{}收敛.推论㊀若级数ðɕｎ＝１ａｎ有界ꎬ且ｌｉｍｎңɕａｎ＝０ꎬ则该级数收敛.一个收敛级数任意加括号后所成级数仍然收敛ꎬ其逆命题不成立.但是有下面的定理:定理１㊀若级数ðɕｎ＝１ａｎ的项添加括号后所成的级数收敛ꎬ且ｌｉｍｎңɕａｎ＝０ꎬ则该级数收敛.证明㊀在级数ðɕｎ＝１ａｎ的项添加括号过程中ꎬ如果存在一个括号里面有无穷多项ꎬ显然它是级数添加的最后一个括号ꎬ根据级数的性质ꎬ去掉该括号前面所有的项ꎬ它的敛散性不改变ꎬ从而结论成立.现在假设添加的每一个括号里面只有有限项.设ðɕｎ＝１ａｎ的项添加括号后所成的级数为:(ａ１＋ａ２＋ ＋ａｎ)＋(ａｎ＋１＋ａｎ＋２＋ ＋ａｎ)＋ ＋(ａｎ＋１＋ａｎ＋２＋ ＋ａｎ)＋ ꎬ其和为ｔꎬ记作ðɕｋ＝１ｂｎ＝ｔ.从而∃ＫɪＺ＋ꎬ其余项满足ðɕｋ＝Ｋｂｎ｜<１.令Ｍ＝ｍａｘ{ｎｋ＋１－ｎｋ｜ｋ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ }<ɕ.又因为ｌｉｍｎңɕａｎ＝０ꎬ对于ε＝１Ｍꎬ∃Ｎ１ɪＺ＋ꎬ使得当ｎ>Ｎ１时ꎬ有｜ａｎ｜<１Ｍ.取Ｎ＝ｍａｘ{ｎＫꎬＮ１}.对于充分大的自然数ｎꎬ∃ｋ０ɪＺ＋ꎬ使得Ｎ<ｎｋɤｎɤｎｋ＋１ꎬ则ðɕｎ＝１ａｎ的部分和Ｓｎ＝ðｎｉ＝１ａｉ满足｜Ｓｎ｜＝｜ｂｎ＋ｂｎ＋ ＋ｂｎ＋(ａｎ＋１＋ａｎ＋２＋ ＋ａｎ)｜ɤ｜ðɕｋ＝１ｂｎ－ðɕｋ＝ｋ＋１ｂｎ｜＋｜ａｎ＋１｜＋｜ａｎ＋２｜＋ ＋｜ａｎ｜ɤ｜ðɕｋ＝１ｂｎ｜＋｜ðɕｋ＝ｋ＋１ｂｎ｜＋｜ａｎ＋１｜＋｜ａｎ＋２｜＋ ＋｜ａｎ｜ɤ｜ｔ｜＋１＋ｎ－ｎｋＭɤ｜ｔ｜＋２.从而该级数有界.利用引理的推论可得结论.证毕.这个定理推广了交错级数收敛的莱布尼兹定理ꎬ可以说给出了判定级数的一个简便方法.定理２㊀余弦级数ðɕｎ＝１ｃｏｓπｎｋｎ收敛ꎬ其中ｋɪＺ＋.证明㊀当ｋ＝１时ꎬ容易知道结论成立.设Ｚ[０]＝{２ｉ｜ｉɪＺ}ꎬＺ[１]＝{２ｉ＋１｜ｉɪＺ}.当ｋ＝２ｓꎬｓȡ１时ꎬ根据二项式定理可得(ｎ＋１)２ｓ＝ｎ２ｓ＋Ｃ１２ｓ(ｎ２ｓ－１＋ｎ)＋Ｃ２２ｓ(ｎ２ｓ－２＋ｎ２)＋ ＋Ｃｓ－１２ｓ(ｎｓ＋１＋ｎｓ－１)＋Ｃｓ２ｓｎｓ＋１＝ｎ２ｓ＋２ｓｎ(ｎ２ｓ－２＋１)＋１２(２ｓ)(２ｓ－１)ｎ２(ｎ２ｓ－４＋１)＋ ＋１(ｓ－１)!(２ｓ)(２ｓ－１)２(ｓ＋２)ｎｓ－１(ｎ２＋１)＋１ｓ!(２ｓ)(２ｓ－１) (ｓ＋１)ｎｓ＋１.对于ｎ２ｓ－ｒ＋１利用二项式定理可得Ｃｒ２ｓｎｒ(ｎ２ｓ－ｒ＋１)ɪＺ[０]ꎬ１ɤｒɤｓ－１ꎻ由Ｃｓ２ｓɪＺ[０]得Ｃｓ２ｓｎｓɪＺ[０].由此可得ꎬ㊀(ｎ＋１)２ｓ－ｎ２ｓ－１ɪＺ[０]ꎬ[ｎｋ＋(ｎ＋１)ｋ]ɪＺ[１].同理可得[ｎｋ－(ｎ＋１)ｋ]ɪＺ[１].当ｋ＝２ｓ＋１ꎬｓȡ１时ꎬ有同样的结论.因此ꎬｃｏｓπｎｋｎ＋ｃｏｓπ(ｎ＋１)ｋｎ＋１＝ｃｏｓπｎｋｎ(ｎ＋１)＋ｃｏｓπｎｋ＋ｃｏｓπ(ｎ＋１)ｋｎ＋１＝ｃｏｓπｎｋｎ(ｎ＋１)＋ｃｏｓπ２[ｎｋ＋(ｎ＋１)ｋ]ｃｏｓπ２[ｎｋ－(ｎ＋１)ｋ]ｎ＋１＝ｃｏｓπｎｋｎ(ｎ＋１).从而ðɕｍ＝１ｃｏｓπ(２ｍ－１)ｋ２ｍ－１＋ｃｏｓπ(２ｍ)ｋ２ｍæèçöø÷＝ðɕｍ＝１ｃｏｓπ(２ｍ－１)ｋ２ｍ(２ｍ－１).该级数绝对收敛.且ｌｉｍｎңɕｃｏｓπｎｋｎ＝０ꎬ根据定理１ꎬ级数ðɕｎ＝１ｃｏｓπｎｋｎ收敛.证毕.利用定理２可得ꎬ级数ðɕｎ＝１ｃｏｓａπｎｋｎ收敛ꎬ其中ａ＝２ｒ＋１ꎬｒɪＺꎬｋɪＺ＋.㊀㊀参考文献:[１]同济大学数学系.高等数学(第七版)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１６.[２]华东师范大学数学科学学院.数学分析[Ｍ].北京:高等教育版社ꎬ２００４.[３]杜先云ꎬ任秋道ꎬ王敏.单调有界准则的推广与级数ðɕｎ＝１ｓｉｎｍｎｎα的敛散性[Ｊ].四川理工学院学报(自然科学版)ꎬ２０１７ꎬ６(３２):１２６－１３０.[４]杜先云ꎬ任秋道.如何利用构造法培养学生的创新思维[Ｊ].绵阳师范学院学报(自然科学版)ꎬ２０１５ꎬ１１(３４):１２６－１３０.[责任编辑:李㊀璟]转化思想在高中数学函数解题中的应用李玉珊(安徽省宣城中学㊀２４２０００)摘㊀要:本文将重点探讨转化思想在函数解题中的应用ꎬ以供参考.关键词:转化思想ꎻ换元ꎻ结合ꎻ构造中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３３－０００３－０２收稿日期:２０２０－０８－２５作者简介:李玉珊(１９９３.１－)ꎬ女ꎬ安徽省黄山市祁门人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁通过换元进行转化通过换元对要求解的问题进行转化ꎬ可使得一些参数之间的关系直观地呈现出来ꎬ从而找到解题思路.为使学生掌握这一转化方法ꎬ平时就要注重为学生讲解相关的理论ꎬ使学生把握进行换元转化的一些细节.同时ꎬ为使学生感受换元转化在解题中的妙用ꎬ应注重为学生讲解相关的例题ꎬ要求学生认真听讲ꎬ仔细揣摩解题过程ꎬ把握换元转化的精髓ꎬ以实现灵活应用.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)为Ｒ上的单调函数ꎬ且对任意实数ｘꎬ均有ｆ[ｆ(ｘ)＋２２ｘ＋１]＝１３ꎬ则ｆ(ｌｏｇ２３)的值为(㊀㊀).Ａ.－１㊀㊀㊀Ｂ.１㊀㊀㊀Ｃ.１２㊀㊀㊀Ｄ.－１２该道题目以复合函数为背景出题ꎬ难度较大ꎬ很多学生看到题目后不知如何打开解题思路.课堂上应注重要求学生认真观察给出的等式ꎬ并与学生一起分析ꎬ通过转化思想化陌生为熟悉.由已知可设ｆ(ｘ)＋２２ｘ＋１＝ｔꎬ则ｆ(ｘ)＝ｔ－２２ｘ＋１.又ȵｆ[ｆ(ｘ)＋２２ｘ＋１]＝１３ꎬ则ｆ(ｔ)＝１３ꎬʑｔ－２２ｔ＋１＝１３.令ｇ(ｘ)＝ｘ－２２ｘ＋１ꎬȵｇ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎬ且ｇ(１)＝１－２２＋１＝１３ꎬʑｔ＝１ꎬ则ｆ(ｘ)＝１－２２ｘ＋１ꎬʑｆ(ｌｏｇ２３)＝１－３。
同济大学高等数学第七版上下册答案详解
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
( 2)
2
(2 1)
1
(1 1)
1
(1 )
y
0
+
+
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(0 1)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
( 1)
-1
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(定积分的应用)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第六章定积分的应用习题6-1定积分的元素法本部分无课后习题．习题6-2定积分在几何学上的应用1．求图6-1中各阴影部分的面积：图6-1解：（1）解方程组，得到交点坐标为（0，0）和（1，1）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则y的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[y，y ＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为y－y2的窄矩形的面积，因此有（2）取x为积分变量，则易知x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为e－e x、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则易知y的变化范围为[1，e]，相应于[1，e]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为lny的窄矩形的面积，因此有（3）解方程组，得到交点坐标为（－3，－6）和（1，2）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[－3，1]，相应于[－3，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果用y为积分变量，则y的变化范围为[－6，3]，但是在[－6，2]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、宽为的窄矩形的面积，因此有由此可知以x为积分变量较易，因为图形边界曲线若分为上下两段，分别为y＝2x和y＝3－x2；若分为左右两段，分别为和，其中右段曲线的表示相对比较复杂，也就会导致计算形式复杂．（4）解方程组，得到交点坐标为（－1，1）和（3，9），同上，以x为积分变量计算较易．取x为积分变量，则x的变化范围为[－1，3]，相应于[－1，3]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为2x＋3－x2、底为dx的窄矩形的面积，则有2．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）与（两部分都要计算）；（2）与直线y＝x及x＝2；（3）与直线x＝1；（4）y＝lnx，y轴与直线y＝lna，y＝lnb（b＞a＞0）．解：（1）图6-2中，可先计算图形D1（阴影部分）的面积，易求得与x2＋y2＝8的交点为（－2，2）和（2，2）．取x为积分变量，则x的变化范围为[－2，2]，相应于[－2，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图形D2的面积为图6-2（2）图6-3中，取x为积分变量，则x的变化范围为[1，2]，相应于[1，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-3（3）图6-4中，取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-4（4）图6-5中，取y为积分变量，则y的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lnb]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为e y的窄矩形的面积，因此有图6-53．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点（0，－3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积．解：首先求得导数，因此抛物线在点（0，－3），（3，0）处的切线分别为y＝4x－3，y＝－2x＋6，容易求得这两条切线交点为（见图6-6）．因此所求面积为图6-64．求抛物线y2＝2px及其在点处的法线所围成的图形的面积．解：利用隐函数求导方法，抛物线方程y2＝2px两端分别对x求导，2yy′＝2p．即得，因此法线斜率为k＝－1，从而得到法线方程为（如图6-7），因此所求面积为图6-75．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）ρ＝2acosθ；（2）x＝acos3t，y＝asin3t；（3）ρ＝2a（2＋cosθ）．解：（1）（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线上的点为（x，y），因此（3）。
同济大学数学系《高等数学》第7版上册配套题库【课后习题(4-6章)】【圣才出品】
第四章不定积分习题4-1不定积分的概念与性质1．利用导数验证下列等式：解：2．求下列不定积分：（g是常数）；解：3．含有未知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程，其中为未知函数的导数，f（x）为已知函数．如果将函数y＝φ（x）代入微分方程，使微分方程成为恒等式，那么函数y＝φ（x）就称为这个微分方程的解．求下列微分方程满足所给条件的解：解：（1）因为，得C＝0，所以所求的解为，因为，得C1＝2，因此因为，得C2＝－2，所以所求的解为4．汽车以20m／s的速度行驶，刹车后匀减速行驶了50m停住，求刹车加速度．可执行下列步骤：（1）求微分方程满足条件及的解；（2）求使的t值；（3）求使s＝50的k值．解：（1），因为，得C1＝20，因此因为，得C2＝0，所以所求的解为（2）令，解得（3）根据题意，当时，s＝50，即解得k＝4，即得刹车加速度为－4m／s2．5．一曲线通过点（e2，3），且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．解：设曲线方程为y＝f（x），则点（x，y）处的切线斜率为f＇（x），由条件得因此f（x）为的一个原函数，得又根据条件曲线过点（e2，3），有f（e2）＝3解得C＝1，即得所求曲线方程为y＝lnx＋16．一物体因为静止开始运动，经t秒后的速度是3t2（m／s），问（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完360m需要多少时间？解：（1）设此物体自原点沿横轴正向由静止开始运动，位移函数为s＝s（t），则由假设可知s（0）＝0，因此s（t）＝t3，所以所求距离为s（3）＝27（m）．（2）因为t3＝360，得7．证明函数arcsin（2x－1），arccos（1－2x）和都是的原函数．证：因此结论成立．习题4-2换元积分法1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（例如：。
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(微分方程)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第七章微分方程习题7-1微分方程的基本概念1．试说出下列各微分方程的阶数：解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：解：（1）根据y＝5x2，得y′＝10x，xy′＝10x2＝2y，所以y＝5x2是所给微分方程的解．（2）根据y＝3sinx－4cosx，得y′＝3cosx＋4sinx，进而得y″＝－3sinx＋4cosx则所以y＝3sinx－4cosx是所给微分方程的解．（3）根据y＝x2e x，得进而得则所以y＝x2e x不是所给微分方程的解．（4）根据，得，进而得则所以是所给微分方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：解：（1）在方程x2－xy＋y2＝C两端对x求导，得即所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．（2）在方程y＝ln（xy）两端对x求导，得即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对x求导，得即．所以所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：解：（1）根据y|x＝0＝5，将x＝0，y＝5代入函数关系中，得C＝－25，即x2－y2＝－25（2）根据，得将x＝0，y＝0及y′＝1代入以上两式，得所以C1＝0，C2＝1，y＝xe2x．（3）根据y＝C1sin（x－C2），得将x＝π，y＝1及y′＝0代入以上两式，得根据①2＋②2得，不妨取C1＝1，根据①式得，所以5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分．解：（1）假设曲线方程为y＝y（x），它在点（x，y）处的切线斜率为y′，依条件有y′＝x2此为曲线方程所满足的微分方程．（2）假设曲线方程为y＝y（x），因它在点P（x，y）处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为.由条件知PQ之中点位于y轴上，所以点Q的坐标是（－x，0），则有即微分方程为yy′＋2x＝0．6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比．解：因为与P成正比，与T2成反比，如果比例系数为k，则有7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的；问雪堆全部融化需要多少时间？解：假设雪堆在时刻t的体积为，侧面积S＝2πr2．根据题设知则积分得r＝－kt＋C根据r|t＝0＝r0，得C＝r0，r＝r0－kt．又，即得，从而因雪堆全部融化时，r＝0，所以得t＝6，即雪堆全部融化需6小时．习题7-2可分离变量的微分方程1．求下列微分方程的通解：解：（1）原方程为，分离变量得两端积分得即lny＝±C1x，所以通解为lny＝Cx，即y＝e Cx．（2）原方程可写成5y′＝3x2＋5x，积分得,即通解为（3）原方程为，分离变量得两端积分得arcsiny＝arcsinx＋C，即为原方程的通解．（4）原方程可写成，分离变量得两端积分得即是原方程的通解．（5）原方程分离变量，得两端积分得可写成，即tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为tany·tanx＝C（6）原方程分离变量，得10－y dy＝10x dx，两端积分得可写成.（7）原方程为分离变量得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答：当地球运行到月球和太：定积分的应用课后习题答案
在铁制品表面涂上油漆或菜油，用完铁制品后擦干放在干燥的地方等。
一、填空：1、人们把放大镜叫作凸透镜（边沿薄、中间厚、透明），它能把物体的图像放大，早在一千多年前，人们就发明了放大镜。放大镜在我们的生活、工作、学习中被广泛使用。
一、填空：
一、填空：
17、近年来，我国积极推广“无车日”活动，以节约能源和保护环境。科学家也正在研制太阳能汽车和燃料电池汽车，减少对空气的污染。