递推算法

递推算法典型例题

一、教学目标

1、由浅入深，了解递推算法

2、掌握递推算法的经典例题

二、重点难点分析

1、重点：递推关系的建立

2、难点：如何将所求问题转化为数学模型

三、教具或课件

微机

四、主要教学过程

(一)引入新课

客观世界中的各个事物之间或者一个事物的内部各元素之间，往往存在(隐藏)着很多本质上的关联。我们设计程序前．应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理．尽可能先归纳总结出其内在规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。递推关系和递归关系都是一种简洁高效的常见数学模型，我们今天先来深入研究一下递推算法如何实现。

(二)教学过程设计

递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，这样的问题可以采用递推法来解决。从已知条件出发，逐步推出要解决的问题，叫顺推；从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。

递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。递推算法避开了通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。一般说来可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。（在解题时往往还把递推问题表现为迭代形式，用循环处理。所谓“迭代”，就是在程序中用同一个变量来存放每一次推算出来的值，每一次循环都执行同一个语句，给同一变量赋以新的值，即用一个新值代替旧值，

这种方法称为迭代。）

1．递推关系的定义和求解递推关系的方法

有一类试题，每相邻两项数之间的变化有一定的规律性，我们可将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：

f n=g(f n-1)或者f n-1=g'(f n)

这样就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系。然后从初始条件(或最终结果)入手，一步步地按递推关系式递推，直至求出最终结果(或初始值)。很多程序就是按这样的方法逐步求解的。如果对一个试题，我们要是能找到后一项数与前一项数的关系并清楚其起始条件(或最终结果)，问题就比较容易解决，让计算机一步步计算就是了。让高速的计算机从事这种重复运算，可真正起到“物尽其用”的效果。递推分倒推法和顺推法两种形式。一般分析思路：

If 求解初始条件f1

then begin {倒推}

由题意(或递推关系)确定最终结果fn；

求出倒推关系式f i-1=g'(f i)；

for i←n downto 2 do f i-1←g(f i)；{从最终结果fn出发进行倒推}

输出倒推结果fl；

end{then}

else begin {顺推}

由题意(或递推关系)确定初始值f1(边界条件)；

求出顺推关系式f i=g(f i-1)：

for i←2 to n do f i←g(f i-1)；{由边界条件f1出发进行顺推}

输出顺推结果fn；

end；{else}

由此可见，递推算法的时间复杂度一般为W(n)。我们之所以将递推法划入归纳策略，是因为初始条件(或最终结果)除试题已明确给定外，都是通过对问题的整理与化简而确定的，其递推式也是对实际问题的分析与归纳而得到的，因此递推本质上属于归纳。2．递推关系的建立

递推关系中存在着三大基本问题：如何建立递推关系，已给出的递推关系有何性质，以及如何求解递推关系。其中核心问题是如何建立递推关系。

建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面(或后面)几项的关系式，以及初始项的值(或最终结果值)。它不是一种抽象的概念，而是针对某一具体题目或一类题目而言的。

3、问题举例

【例 1】有 2×n的一个长方形方格，用一个1×2的骨牌铺满方格。例如n=3时，为2×3方格。此时用一个1×2的骨牌铺满方格，共有3种铺法：

编写一个程序，试对给出的任意一个 n(n>0), 输出铺法总数。

【问题分析】

（1）面对上述问题，如果思考方法不恰当，要想获得问题的解答是相当困难的。可以用递推方法归纳出问题解的一般规律。

（2）当n=1时，只能是一种铺法

如左图，铺法总数表示为X1=1；

（3）当N=2时：骨牌可以两个并列竖排，也可以并列横排，再无其他方法，如下左图所示，因此，铺法总数表示为X2=2；

（4）当N=3时：骨牌可以全部竖排，也可以认为在方格中已经有一个竖排骨牌，则需要在方格中排列两个横排骨牌（无重复方法），若已经在方格中排列两个横排骨牌，则必须在方格中排列一个竖排骨牌。如题图，再无其他排列方法，因此铺法总数表示为x3=3. 由此可以看出，当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的和。

（5）推出一般规律：对一般的n，要求X n可以这样来考虑，若第一个骨牌是竖排列放置，剩下有n-1个骨牌需要排列，这时排列方法数为X n -1；若第一个骨牌是横排列，整个方格至少有2个骨牌是横排列（1*2骨牌），因此剩下n-2个骨牌需要排列，这是骨牌排列方法数为X n -2。从第一骨牌排列方法考虑，只有这两种可能，所以有：

X n=X n -1+X n -2（N>2）

X1=1

X2=2

以上就是问题求解的递推公式。任给N都可以从中获得解答。例如 N=5，

X3=X2+X1=3

X4=X3+X2=5

X5=X4+X3=8

下面是输入 N，输出X1 ~ X n的Pascal程序：

program p12_20;

var x,y,z:longint;

i,n:integer;