2019年中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题两天全
历届东南数学奥林匹克试题
目录2004年东南数学奥林匹克 (2)2005年东南数学奥林匹克 (4)2006年东南数学奥林匹克 (6)2007年东南数学奥林匹克 (9)2008年东南数学奥林匹克 (11)2009年东南数学奥林匹克 (14)2010年东南数学奥林匹克 (16)2011年东南数学奥林匹克 (18)2012年东南数学奥林匹克 (20)2004年东南数学奥林匹克1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3−a+9−b+27−c≥1.2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN.3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立，求a的取值范围.6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，球n的值.注：A、B两队在A方场地矩形的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛.8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.2005年东南数学奥林匹克1.(1)设a∈R.求证：抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点，且顶点都落在一条抛物线上.(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝供题）2.⊙O与直线l相离，作OO⊥l，P为垂足.设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作⊙O的两条切线QA、QB，A、B为切点，AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB，ON⊥QA，M、N为垂足.求证：直线MN平分线段KP.（裘宗沪供题）3.设n(n≥3)是正整数，集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.（张鹏程供题）4.试求满足a2+b2+c2=2005，且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).（陶平生供题）5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P，点A与⊙O在直线l的，且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2)，从点A作⊙O的两条切线，分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.（冷岗松司林供题）6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集，且P(B)=P(A)，则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.（陶平生供题）7.(1) 讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数；(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列，且|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.求项数n的最大值.（林常供题）8.设0<α、β、γ<π2，且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.（李胜宏供题）2006年东南数学奥林匹克1. 设a >b >0，f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .证明：存在唯一的正数x ，使得f (x )=�a 13+b 132�3. （李胜宏 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 、G 是边CA 上的亮点，连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎，垂足分别为E 、F ，连结CF .若BE =EE ，求证：∠ABG =∠DEC .图13. 一副纸牌共52张，其中，“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张，标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌，并且A 与2也算同花顺牌（即A 可以当成1使用）.试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含同花顺取牌方法数.（陶平生 供题）4. 对任意正整数n ，设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证： (1) a n+1>a n ;(2) ∑1(s+1)a i n s=1<a n .（李胜宏 供题）5. 如图2，在△ABC 中，∠A =60°，△ABC 的内切圆⊙I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G .证明：EG =12BC .图2 6. 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a 、b 、c ，都有m (a 3+b 3+c 3)≥6(a 2+c 2+c 2)+1. （熊 斌 供题）7. (1) 求不定方程mn +nn +mn =2(m +n +n )的正整数解(m ,n ,n )的组数； (2) 对于给定的整数k (k >1)，证明：不定方程mn +nn +mn =k (m +n +n )至少有3k +1组正整数解(m ,n ,n ). （吴伟朝 供题） 8. 对于周长为n (n ∈N +)的圆，称满足如下条件的最小的正整数p n 个点A 1,A 2,⋯,A p n ，对于1,2,⋯,n −1中的每一个整数m ，都存在两个点A s 、A j (1≤s 、j ≤p n ).以A s 和A j 为端点的一条弧长等于m ，圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列T n =�a 1,a 2,⋯,a p n �称为“圆剖分序列”.列入，当n =13，圆剖分数为p 13=4，图3中所标数字为相B邻两点之间的弧长，圆剖分序列为T 13=(1,3,2,7), (1,2,6,4)，求p 21和p 31，并给出一个相应的圆剖分序列.图3（陶平生 供题）73112007年东南数学奥林匹克1. 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程x 3=ax +a +1都有满足|x |<1000的偶数根.2. 如图1所示，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意两点，过点B 作⊙O 的切线交直线CD 于P ，直线PO 于直线CA ，AD 分别交于点E 、F .证明：OE =OF .图13. 设a s =msn �k +s k �k ∈N ∗�，试求S n 2=[a 1]+[a 2]+⋯+[a n 2]的值.4. 试求最小的正整数n ，使得对于满足条件∑a s n s=1=2007的任一个具有n 项的正整数数列a 1,a 2,⋯,a n ，其中必有连续若干项之和等于30. 5. 设函数f (x )满足：f (x +1)−f (x )=2x +1(x ∈R )，且当x ∈[0,1]时有|f (x )|≤1，证明：当x ∈R 时，有|f (x )|≤2+x 2.6. 如图，在直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，PB ⊥AB ，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E .证明：∠DBN =∠BCE .7. 试求满足下列条件的三元数组(a ,b ,c )：E(1) a<b<c，且当a,b,c为质数；(2) a+1,b+1,c+1构成等比数列.8.设正实数a,b,c满足：abc=1，求证：对于整数k≥2，有a k a+b+b k b+c+c k c+a≥32.2008年东南数学奥林匹克1.已知集合S={1,2,⋯,3n}，n是正整数，T是S的子集，满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同），都有x+y+z∉T.求所有这种集合T的元素个数的最大值.（李胜宏供题）2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n(1+2n)(n=1,2,⋯).试求通项a n的表达式.（吴伟朝供题）3.在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于点D，AQ⊥BO，垂足为Q，M是边AC的中点，E是边BC的中点.若△PQM的外接圆⊙O与AC的另一个交点为H.求证：O、H、E、M四点共圆.（郑仲义供题）4.设正整数m、n≥2，对于任一个n元整数集A=�a1,a2,⋯,a n�，取每一对不同的数a s、a j(j>s)，作差a j−a s.由这C n2个差按从小到大.衍生数列顺序排成的一个数列，称为集合A的“衍生数列”，记为A生A生中能被m整除的数的个数记为A生(m).5.证明：对于任一正整数m(m≥2)，n圆整数集A=�a1,a2,⋯,a n�及B={1,2,⋯,n}所对应的A生及B生，满足不等式A生(m)≥B生(m)（陶平生供题）6.求出最大的正数λ，使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x、y、z成立不等式|λxy+yz|≤√52. （张正杰供题）7. 如图1，△ABC 的内切圆⊙I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是针线EF 于BI 的交点.证明：M 、N 、D 三点共线.图1（张鹏程 供题） 8. 杰克(Jack )船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6，其中A s (s =1,2,⋯,6)内有金币a s 枚（诸a s 互不相等）.海盗们设计了一种箱子的布局图（如图2），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜.问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜?图2 （孙文先 供题）9. 设n 为正整数，f (n )表示满足以下条件的n 位数（称为波形数）a 1a 2⋯a n �������������的个数：a 1a 2 a 3 a 4a 6 a 5i.每一位数码a s∈{1,2,3,4}，且a s≠a s+1(s=1,2,⋯);ii.当n≥3时，a s−a s+1与a s+1−a s+2(s=1,2,⋯)的符号相反.(1)求f(10)的值；(2)确定f(2008)被13除得的余数.（陶平生供题）2009年东南数学奥林匹克1.试求满足方程x2−2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).（张鹏程供题）2.在凸五边形ABCDE中，已知AB=DE，BC=EA，AB≠EA，且B、C、D、E四点共圆.证明：A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD.（熊斌供题）3.设x,y,z∈R+，√a=x(y−z)2，√b=y(z−x)2,√c=z(x−y)2；求证：a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). （唐立华供题）4.在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为顶点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边.（陶平生供题）5.设1,2,⋯,9的所有排列X=�x1,x2,⋯,x9�的集合为A；∀X∈A,记f(X)=x1+2x2+3x3+⋯+9x9，P={f(X)|X∈A}；求|P|. （其中|P|表示集合M的元素个数）.6.已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆；证明：过⊙O上的任意一点D，都可作一个△DEF，使得⊙O、⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.（陶平生供题）7.设f(x,y,z)=x(2y−z)1+x+3y+y(2z−x)1+y+3z+z(2x−y)1+z+3x，其中x,y,z≥0，且x+y+z=1.求f(x,y,z)的最大值和最小值.（李胜宏供题）8.在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T型五方连块？（孙文先供题）2010年东南数学奥林匹克1. 设a 、b 、c ∈{0,1,⋯9}.若二次方程ax 2+bx +c =0有有理根，证明：三位数abc�����不是质数. （张鹏程 供题）2. 对于集合A ={a 1,a 2,⋯,a m }，记O (A )=a 1a 2⋯a m .设A 1,A 2,⋯A n (n =C 201099)是集合{1,2,⋯,2010}的所有99元子集.求证：2011|∑O (A s )n s=1. （叶永南 供题）3. 如图1，已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边AB 、BC 切于点F 、D ，之心啊AD 、CF 分别于⊙I 交于另一点H 、K.求证：FD⋅HK FH⋅DK =3.图1 （熊 斌 供题）4. 设正整数a 、b 满足1≤a <b ≤100.若存在正整数k ，使得ab |a k +b k ，则称数对(a ,b )是“好数对”.求所有好数对的个数.（熊 斌 供题）5. 如图2，△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，M 1、M 2为△ABC 内任意两点，M 为线段M 1M 2的中点，直线BM 1、BM 2、BM 与AC 分别交于点N 1、N 2、N.求证：M 1N 1BM 1M 2N 2BM 22MN BM .图2 （裘宗沪 供题）6. 设Z +为正整数集合，定义：a 1=2,a n+1=msn �λ�∑1a i n s=1+1λ<1,λ∈Z +�(n =1,2,⋯). 求证：a n+1=a n 2−a n +1. （李胜宏 供题）7. 设n 是一个正整数，实数a 1,a 2,⋯,a n 和n 1,n 2,⋯,n n 满足：a 1≤a 2≤⋯≤a n 和n 1≤r 2≤⋯≤n n .求证：∑∑==≥n i nj j i j i r r a a 110),min(（朱华伟 供题）8. 在一个圆周上给定8个点A 1,A 2,⋯,A 8.求最小的正整数n ，使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形.（陶平生 供题）21B2011年东南数学奥林匹克1.已知min x∈R ax2+b√x2+1=3.（1）求b的取值范围；（2）对给定的b，求a.2.已知a、b、c为两两互质的正整数，且a2|(b3+c3),b2|(a3+ c3),c2|(a3+b3)求a、b、c的值.3.设集合P={1,2,3,⋯,50}，正整数n满足：M的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素a,b,使a+b=n或a−b=n.求出所有这样的n.4.如图1，过△ABC的外心O任作一直线，分别与边AB,AC相交于M,N，E,F分别是BN,CM的中点.证明：∠EOE=∠A.图15. 如图2，设AA0,BB0,CC0是△ABC的三条角平分线，自A0作A0A1∥BB0,A0A2∥CC0,A1,A2分别在AC,AB上，直线A1A2∩BC=A3;类似得到点B3,C3．证明：A3,B3,C3三点共线．图26．设O 1,O 2,⋯,O n 为平面上n 个定点，M 是该平面内线段AB 上任一点，记|O s P |为点O s 与M 的距离，s =1,2,3,⋯,n ，证明：≤∑∑∑===ni i ni i n i i B P A P M P 111,max . 7．设数列{a n }满足：a 1=a 2=1,a n =7a n−1−a n−2,n >3．证明：对于每个n ∈N ∗,a n +a n+1+2皆为完全平方数．8．将时钟盘面上标有数字1,2,⋯,12的十二个点，分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点，现以这些点为顶点构造n 个凸四边形，使其满足：(1) 每个四边形的四个顶点四色都有；(2) 任何三个四边形，都存在某一色，该色的三个顶点所标数字各不相同．求n 的最大值．32012年东南数学奥林匹克1. 求一个三元整数组(l ,m ,n )(1<l <m <n )，使得∑k l k=1，∑k m k=l+1，∑k n k=m+1依次成等比数列.2. 如图1，△ABC 的内切圆I 在边AB ，BC ，CA 上的切点分别是D ，E ，F ，直线EF 与直线AI ，BI ，DI 分别相交于点M ，N ，K .证明：DP ⋅KE =DN ⋅KE .图1 3. 对于合数n ,记f (n )为其最小的三个正约数之和，g (n )为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数n ，使得g (n )等于f (n )的某个正整数次幂.4. 已知实数a ，b ，c ，d 满足：对任意实数x ，均有acccx +bccc 2x +cccc 3x +dccc 4x ≤1， 求a +b -c +d 的最大值.当a +b -c +d 取最大值时，求实数a ，b ，c ，d 的值.5. 如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数，则称m 为“六合数”.求小于2012的非负整数中“六合数”的个数.6. 求正整数n 的最小值，使得A东南数学奥林匹克�n−20112012−�n−20122011<�n−201320113−�n−201120133.7.如图2，△ABC中，D为边AC上一点且∠ABD=∠C，点E在边AB上且BE=DE，设M为CD重点，AA⊥DE于点H.已知AA=2−√3，AB=1，求∠APE的度数.图2设m是正整数，n=2m−1，O n={1,2,⋯,n}为数轴上n个点所成的集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点.求m的最大值，使对任意x,y∈O n，从点x跳2012步到点y的跳法种数为偶数（允许中途经过点x，y）.。
2019年小学数学奥林匹克竞赛试题及答案三年级
2019年小学数学奥林匹克竞赛试题及答案三年级(红色为正确答案)1、根据下列数中的规律在括号里填入合适的数：17、2、14、2、11、2、（ ）、（ ）。
A 2、8B 8、2C 5、4D 2、22、甲乙丙三个数平均数是150，甲数48，乙数与丙数相同，那么乙数是（ ）。
A 201B 402C 51D 1023、同学们做操,排成一个正方形的队伍,从前,后,左右数,小红都是第5 个,问一共有( )人.A 81 B25 C 32 D1204、在“A 9=B …..C ”算式里,其中B 、C 都是一位数，那么A 最大是多少？A 90B 91C 89D 875、妈妈从蛋糕店买来一块方形蛋糕，（如图），让小红动手分成8块，最小要切（ ）刀。
A 2B 4C 3D 56、在所有四位数中，各位数字之和等于35的数共有（ ）个。
A 4B 5C 3D 67、如图，在小方格里最多放入一个,要想使得同一行、同一列或对角连线上的三个小方格最多不出现三个，那么在这九个小方格里最多能放入（ ）个。
（）A 4 B7 C 6 D 58、甲乙二人买同一种杂志，甲买一本差2角8分，乙买一本差2角6分，而他俩的钱合起来买一本还剩2角6分，那么这种杂志每本价钱是（ ）。
A 1元B 7角C 8角D 9角9、从1—9中选出6个数填在算式：（+）（-），使结果最大。
那么这个结果是（ ）。
A 190B 702C 630D 89010、夏令营基地小买部规定：每三个空汽水瓶可一瓶汽水。
李明如果买6瓶汽水，那么他最多可以让（ ）位小伙伴喝到汽水。
A 11B 8C 10D 9个11、图中阴影部分是一个正方形，那么最大长方形的周长是（ A 26 B 28 C 24 D 25在这串数中，从第三个数开始，每个都前两个数相乘后积的尾数（个位数字），1991991…….，那么把这串数写到第40位时的总和是（）。
A 290B 248C 250D 210附送：2019年小学数学奥林匹克网上竞赛试题及答案(四年级上)宁波5.现有1分,2分和5分的硬币各四枚,用其中的一些硬币支付2角3分钱,一共有多少种不同的支付方法？(1)4 (2) 56.右图中,7.用0--4五个数字组成的最大的五位数与最小的五位数相差( ). (1)30870 (2)32900 (3)32976 (4)10000 8.用0、5、8、7这四个数字，可以组成（）个不同的四位数？(1)10 (2)18 (3)11 (4)99.学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了21场比赛，有多少人参加了选拔赛？(1)7 (2)8 (3)11 (4)910 一个长方形的纸对折成三等份后变成了一个正方形，正方形的周长是40厘米，那么原来长方形的周长是多少？(1)70 (2)80 (3)100 (4)9611.小明每分钟走50米,小红每分钟走60 米,两人从相距660米的两村同时沿一条公路相对出发,8分钟后两人相距( )米.(1)75 (2)200 (3)220 (4)9012甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
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a
单独考虑左边, 左边可以看成是一个 a 的函数, b 为参数, 那么关于 a 取最
小值的时候有
Å
ã
Ç…
å
ab + (1 + b2) + b (b + 1) ≥ 2 ab · b + (1 + b2) (b + 1) = (b + 1)3
a
a
于是我们只需要取 k ≤ (b + 1)3b−2 即可.
设
值得一说的是, 在这个题目中, 对于任何整数 n, 我们可以定义一个新的 函数 fn(a) = f (an), 那么 fn(ab) = f (abn) 要整除 max{ f (an), b} = max{ fn(a), b}. 也就是说 fn 也是一个满足相同性质的函数, 那么实际上, 我们可以证明对任 意一个 k 满足 f (k) = 1, 那么 {mk}∞m=1 中有无限多个 m 满足 f (mk) = 1. 更复 杂的话, 有兴趣的同学可以自行尝试推导一下这个 f (k) = 1 的解的密度.
评析 3. 欧几里德证明素数无限的方法是数论里面很典范的一种证明方式, 在证明某一类数字有无限多个的时候, 通过反证假设这一类数字只有有限 个, 不妨设为 k1 < k2 < . . . < kn, 套路上我们可以考虑 kn, kn + 1, k1k2 . . . kn, k1k2 . . . kn + 1, [k1, k2, . . . , kn] 等数字来找到矛盾, 本题也是如此.
22 2 2
22
Å
b b ã1/3
Å ab ab
ã1/3
Å bb
ã1/3
≥3 a· ·
2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析
2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）A. MB. NC. PD.P M 2.函数()142-+=xx x x f 是（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 56．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B CBAC Acos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于 。
个个9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题与答案a
中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题A学校： 姓名： 营员证号：____一.在ABC D 中，a+c=3b ,内心为I ，内切圆在AB ，BC 边上的切点分别为D ，E 。
设K 是D 关于点I 的对称点，L 是E 关于点I 的对称点.求证：A ，C ，K ，L 四点共圆。
二.设,a b N +Î，且对任意,n N +Î都有()n a n +│()n b n +证明：a b =三．求函数:,f R R ®满足：()()()()1,x f x f x f x x R +-="?以及│()()f x f y -│£│x y -│，,x y R "?四.设1000n =！，能否把1到n 的正整数摆在一个圆周上，使得我们沿着顺时针方向移动时，每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17，或者加上28，如果必要的话，它可以减去n ？BC中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题A 解答学校： 姓名： 营员证号：____一. 在ABC ∆中，a+c=3b ,内心为I ，内切圆在AB ，BC 边上的切点分别为D ，E , 设K 是D 关于点I 的对称点，L 是E 关于点I 的对称点.求证：A ，C ，K ，L 四点共圆.证：设直线BI 交ABC ∆的外接圆点P ，易知P 是AC 的中点。
记AC 的中为M ，则PM ⊥AC 。
设P 在直线DI 的射影为N 由于3,a c b +=则半周长22a b cp b ++==， 则2BD BE p b b AC CM ==-=== 又0,90ABP ACP BDI CMP ∠=∠∠=∠=所以DBI ∆∽MCP ∆，且相似比为2 熟知；PI PC PA ==。
又DBI ∆∽NPI ∆， 所以2DI IN =，即N 是IK 的中点 进而. PK PI PL PI ==同理，所以A C K I L ，，，，都在以P 为圆心的同一个圆周上 二. 设,a b N +∈，且对任意,n N +∈都有()nan +│()n b n +证明：a b =证：假设a b ≠，则b a >取素数p b >，又取()()111n a p =+-+由费马小定理()mod n a a p ≡，从而()0mod n a n a n p +≡+≡P进而()00mod n b n b n b a p ≡+≡+≡-，即p b a - 但0b a b p <-<<，矛盾 三．求函数:,f R R →满足：()()()()1,x f x f x f x x R +-=∀∈ 以及 │()()f x f y -│≤│x y -│，,x y R ∀∈ 解：取0x =得()00f =0,1x ≠-时，可改写为：()()11f x f x x x+=+ 特别地，对任意0x >，及n N +∈，有()()f x n f x x n x+=+： 则()()()()x n y n x y f x n f y n f x f y x y++-≥+-+=- ()()()()f x f y f x f y n xy ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭从而()()()()x y f x f y f x f y nn x y --⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭令n →+∞，得()() , ,0f x f y x y x y=∀> 即() , 0f x k x x =>四. 设1000n =！，能否把1到n 的正整数摆在一个圆周上，使得我们沿着顺时针方向移动时，每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17，或者加上28，如果必要的话，它可以减去n ？解：不能！假设存在合乎要求的摆法。
2019年中国数学奥林匹克完整试题及解析
(因为
C325
≥
max L(x, y)).
(x,y)∈X
下面构造例子说明 C325 是可以取到的最好的常数:
设 S = {1, 2, · · · , 35}, 考虑置换 f = (12 · · · 35), 即:
f (1) = 2, f (2) = 3, · · · , f (34) = 35, f (35) = 1,
极值可以在满足一些对称性的序列 (ai) 上取到. 毋庸置疑，满足题目条件的数列集合是闭集，因此两个
小题中的目标函数（都是连续的）确实能取到最大值.
（1）设序列
(ai)
使
a+b+c+d
取到最大，令
ci
=
ai
+
ai+10
+ ai+20 4
+ ai+30 ，下标模
40
理解.
根
据上一段，ci 满足题目条件，而且（1）中目标函数在序列 (ai) 和 (ci) 上取值相同，因此可以只对具有
2019 年中国数学奥林匹克试题解析
6
注意到: L(x, y) ≤ L(f1(x), f1(y)) + 1, 从而
L(x, y) ≤ L (fk−1(· · · (f1(x))), fk−1(· · · (f1(y)))) + (k − 1) = k ≤ |X| = C325,
所以
m
≥
C325
时总是可以办到的
（解题 ： ）
题 2. 已知：△ABC 中，AD 为角平分线，E 为 AD 上一点，EF 、EG 为 △ABD、△ACD 外接圆 切线，F 、G 分别为切点，CF 交 BG 于 J. 过 J 的 BC 平行线交 DF 、DG、DE 于 H、I、K.
2019年全国数学竞赛试题详细参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会《数学周报》杯” 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案题号-一一 _ 二 _ 三总分1〜56〜1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答2•解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为 A , B , C , D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 .请将正确选项的代号填入题后的括号 里.不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x , y 满足 刍二=3, y 4 - y^3，则-44 y 4的值为().XXx(A ) 7 (B )(C ) 7 "3(D )52 2【答】(A ) 解：因为x 20，y 2 > 0,由已知条件得-1,13244 y 4 乡 3 3-y 2£ -y 2 6 =7.X XX程为t 2 +t-3=0，所以(一W )+ y 2 =-1, (―寸=-3X X2.把一枚六个面编号分别为1, 2, 3, 4, 5, 6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为 m , n ,则二次函数y = x 2 • mx • n 的图象与X 轴 有两个不同交点的概率是().(D)所以另解：由已知得: 2 2 2」(一P )2+(—P )—3=0 X X Q 2) + y 2-3 = 0显然 2 2 2 2 2 -y 2，以- 2 ,y 2为根的一元二次方 XX42故 4y 4 二[(- 2)y 2]2 -2XX2 2 22)y =(T) -2 (-3)=7 X12.4 4 4 3［答］（ C ）解：基本事件总数有60 = 36,即可以得到36个二次函数.由题意知；_ =_4n >0,即卩 m 2 >4n .通过枚举知，满足条件的 m, n 有 17 对.363.有两个同心圆，大圆周上有 4个不同的点，小圆周上有 可以确定的不同直线最少有（）.2个不同的点，则这6个点 (A ) 6条 (B ) 8 条(C ) 10 条(D ) 12 条【答］（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线 可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点 E ，F 中，至少有一 个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ， D 的连线中，至少有两条不同于 A ，B ，C ，D 的两两连线.从而这 6个点可以确定的直线不少于 8条.当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定 8条直线. 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.4 .已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且 AB 二a ：：：1 .以AB 为一边在圆O 内作正△ ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB 二AB 二a ， AE 的长为（）.(B) 1（C ）乎【答］（B ）解:女口图，连接 OE ，OA ，OB .设.D =:，贝UECA=120- EAC .11又因为 ABO ABD 60180 -2：-120 -:22所以△ ACE 也△ ABO ，于是AE = OA = 1 .另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 为半径 作。
2019年中国数学奥林匹克完整试题及解析
题 5. 数列 {an } 定义如下: 正整数 a1 > 1, an+1 = an + P (an ), n ≥ 1, 其中, P (x) 表示正整数 x 的最 大素因子. 证明: 数列 {an } 中有完全平方数.
题 6. 是否存在正实数 a1 , a2 , · · · , a19 ，使得多项式 P (x) = x20 + a19 x19 + · · · + a1 x + a0 无实数根， 但是任意调换两个系数 ai , aj 形成的新多项式都有实根.
（1）设序列 (ai ) 使 a + b + c + d 取到最大， 令 ci = 根
，下标模 40 理解.
据上一段， ci 满足题目条件， 而且（1） 中目标函数在序列 (ai ) 和 (ci ) 上取值相同， 因此可以只对具有
周期 10 的序列考虑这个最大值. 此时 a = b = c = d.
a20+k = − k (0 ≤ k ≤ 10), a30+k = a40 − k = − − k (0 ≤ k ≤ 5)
时取等.
（解题人：龚 固）
题 2. 已知： △ABC 中， AD 为角平分线， E 为 AD 上一点， EF 、EG 为 △ABD 、△ACD 外接圆 切线， F 、G 分别为切点， CF 交 BG 于 J . 过 J 的 BC 平行线交 DF 、DG 、DE 于 H 、I 、K .
(a29+k + a41 − k ) + (a15 + a35 )
≥ (x − 2k) + (x − 2k) + (x − 18 − 2k) + (x − 20)
东南数奥试题1—5届
首届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）1、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥2、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。
如果DE=DF ，求证：DM=DN3、（1）是否存在正整数的无穷数列{}na ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n aa a ++≥。
（2）是否存在正无理数的无穷数列{}na ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
4、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。
如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。
求棋盘中“优格”个数的最大值。
B首届中国东南地区数学奥林匹克第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 5、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。
6、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。
求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅7、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。
2019年小学数学奥林匹克竞赛试题及答案三年级
2019年⼩学数学奥林匹克竞赛试题及答案三年级2019年⼩学数学奥林匹克竞赛试题及答案三年级(红⾊为正确答案)1、根据下列数中的规律在括号⾥填⼊合适的数：17、2、14、2、11、2、（）、（）。
A 2、8B 8、2C 5、4D 2、22、甲⼄丙三个数平均数是150，甲数48，⼄数与丙数相同，那么⼄数是（）。
A 201B 402C 51D 1023、同学们做操,排成⼀个正⽅形的队伍,从前,后,左右数,⼩红都是第5 个,问⼀共有( )⼈.A 81 B25 C 32 D1204、在“A 9=B …..C ”算式⾥,其中B 、C 都是⼀位数，那么A 最⼤是多少？A 90B 91C 89D 875、妈妈从蛋糕店买来⼀块⽅形蛋糕，（如图），让⼩红动⼿分成8块，最⼩要切（）⼑。
A 2B 4C 3D 56、在所有四位数中，各位数字之和等于35的数共有（）个。
A 4B 5C 3D 67、如图，在⼩⽅格⾥最多放⼊⼀个,要想使得同⼀⾏、同⼀列或对⾓连线上的三个⼩⽅格最多不出现三个，那么在这九个⼩⽅格⾥最多能放⼊（）个。
（）A 4 B7 C 6 D 58、甲⼄⼆⼈买同⼀种杂志，甲买⼀本差2⾓8分，⼄买⼀本差2⾓6分，⽽他俩的钱合起来买⼀本还剩2⾓6分，那么这种杂志每本价钱是（）。
A 1元B 7⾓C 8⾓D 9⾓9、从1—9中选出6个数填在算式：（+）（-），使结果最⼤。
那么这个结果是（）。
A 190B 702C 630D 89010、夏令营基地⼩买部规定：每三个空汽⽔瓶可⼀瓶汽⽔。
李明如果买6瓶汽⽔，那么他最多可以让（）位⼩伙伴喝到汽⽔。
A 11B 8C 10D 9个11、图中阴影部分是⼀个正⽅形，那么最⼤长⽅形的周长是（ A 26 B 28 C 24 D 25在这串数中，从第三个数开始，每个都前两个数相乘后积的尾数（个位数字），1991991…….，那么把这串数写到第40位时的总和是（）。
A 290B 248C 250D 210附送：2019年⼩学数学奥林匹克⽹上竞赛试题及答案(四年级上)宁波5.现有1分,2分和5分的硬币各四枚,⽤其中的⼀些硬币⽀付2⾓3分钱,⼀共有多少种不同的⽀付⽅法？(1)4 (2) 56.右图中,7.⽤0--4五个数字组成的最⼤的五位数与最⼩的五位数相差( ). (1)30870 (2)32900 (3)32976 (4)10000 8.⽤0、5、8、7这四个数字，可以组成（）个不同的四位数？(1)10 (2)18 (3)11 (4)99.学校进⾏乒乓球选拔赛，每个参赛选⼿都要和其他所有选⼿各赛⼀场，⼀共进⾏了21场⽐赛，有多少⼈参加了选拔赛？(1)7 (2)8 (3)11 (4)910 ⼀个长⽅形的纸对折成三等份后变成了⼀个正⽅形，正⽅形的周长是40厘⽶，那么原来长⽅形的周长是多少？(1)70 (2)80 (3)100 (4)9611.⼩明每分钟⾛50⽶,⼩红每分钟⾛60 ⽶,两⼈从相距660⽶的两村同时沿⼀条公路相对出发,8分钟后两⼈相距( )⽶.(1)75 (2)200 (3)220 (4)9012甲、⼄、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
2019年高中数学竞赛试题及答案及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一试题
第十六届中国东南地区数学奥林匹克1. 求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有()()()211a b ab b kab +++≥. 2. 如图，两圆1P ，2P 交于A ，B 两点，C ，D 为1P 上两点，E ，F 为2P 上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交.设CF 与1P ，2P 分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1P ，2P 分别交于点()M D ≠，()N E ≠.证明：若ALM ∆的外接圆与BKN ∆的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等.3. 函数:f N N **→满足：对任意正整数a ，b 均有()f ab 整除(){}max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论.4. 将一个25⨯方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示.现有一个固定放置的918⨯方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由.第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西吉安高二年级 第一天2019年7月30日 上午8:00-12:001. 对任意实数a ，用[]a 表示不超过a 的最大整数，记{}[]a a a =−.是否存在正整数m ，n 及1n +个实数0x ，1x ，…，n x ，使得0428x =，1928n x =，110105k k k x x x m +⎡⎤⎧⎫=++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(0k =，1，…，1n −)成立？证明你的结论. 2. 如图，在平行四边形中ABCD ，90BAD ∠≠︒，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E ，F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD ，CD 的延长线分别相交于点M ，N ，直线EN ，FM 相交于点G ，直线AG ，ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点()P N ≠，直线MF 与圆B 相交于点()Q F ≠.证明：G ，P ，T ，Q 四点共圆.3. 今有n 人排成一行，自左至右按1，2，…，n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再次按1，2，3，…的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出.用()f n 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求()f n 的表达式(用n 表示)；特别地，给出()2019f 的值.4. 在55⨯矩阵X 中，每个元素为0或1.用,i j x 表示中第行第列的元素(，，…，).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组)：（,1i x ，,2i x ，...，,5i x ），（,5i x ，,4i x ，...，,1i x ，）（1i =，2， (5)（1,j x ，2,j x ，...，5,j x ），（5,j x ，4,j x ，...，1,j x ）（1j =，2， (5)（1,1x ，2,2x ，…，5,5x ，），（5,5x ，4,4x ，…，1,1x ），（1,5x ，2,4x ，…，5,1x ），（5,1x ，4,2x ，…，1,5x ）.若这些数组两两不同，求矩阵X 中所有元素之和的可能值.第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西吉安高一年级 第二天2019年7月31日 上午8:00-12:005. 称集合{}1928192919301949S =⋯，，，，的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除.用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数.试比较x ，y 的大小，并说明理由.6. 设a ，b ，c 为给定的三角形的三边形.若正实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值.7. 设ABCD 为平面内给定的凸四边形.证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形''''A B C D ，使得点P 在直线AB 与''A B 上，点Q 在直线BC 与''B C 上，点R 在直线CD 与''C D 上，点S 在直线DA 与''D A 上.8.对于正整数1x >，定义集合()(){}=v mod 2x p S P P x P x x αααα=为的素因子，为非负整数，，且 其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和.约定()11f =.今给定正整数m .设正整数数列1a ，2a ，…，n a ，…满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,...,n n n n m a f a f a f a m +−−=++.（1）证明：存在常数A ，B ()01A <<，使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有n N *∈，n a Q <. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克江西吉安高二年级 第二天5. 对任意正整数n ，用n a 表示三边长均为整数且最长边的长为2n 的三角形的个数.（1）求n a 关于的表达式；（2）设数列{}n b 满足：()()11n n k k n k n k C b a n N −*=−=∈∑.求使2019n n b a ≤成立的正整数n 的个数.6. 在ABC ∆中，AB AC >，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，ACB ∠的平分线交AB 于点E ，过A 作ABC ∆的外接圆的切线，交ED 的延长线于点P .已知AP BC =.证明：//BD CP .7. 甲、乙两人从0，1，2，…，81中轮流挑选互不重复的数，甲先选，每次每人从剩下的数中选1个数.当这82个数被选定完之后，记A 为甲选择的所有数之和，B 为乙选择的所有数之和.在挑选数的过程中，甲希望A ，B 的最大公约数越大越好，而乙希望A ，B 的最大公约数越小越好.在甲、乙各自的最佳策略下，求挑选完毕之后A ，B 的最大公约数.8. 对于正整数1x >，定义集合()(){}=v mod 2x p S P P x P x x αααα=为的素因子，为非负整数，，且其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和.约定()11f =.今给定正整数m .设正整数数列1a ，2a ，…，n a ，…满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,...,n n n n m a f a f a f a m +−−=++.（1）证明：存在常数A ，B ()01A <<，使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数N ，l ，使得对所有n N ≥，1n n a a +=成立.。
第六届中国东南地区数学奥林匹克试题
实用文档第六届中国东南地区数学奥林匹克试题一、解答题1、在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．2、设,,x y z R +∈222(),(),()x y z y z x z x y =-=-=-；求证： 2222()a b c ab bc ca ++≥++．3、在凸五边形ABCDE 中，已知,,AB DE BC EA AB EA ==≠，且,,,B C D E四点共圆．证明：,,,A B C D 四点共圆的充分必要条件是AC AD =．4、试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y ．以下是答案实用文档一、解答题1、解：设红点集为：{}1212,,,A A A A =，过点1A 的弦有11条，而任一个含顶点1A 的三角形，恰含两条过点1A 的弦，故这11条过点1A 的弦，至少要分布于6个含顶点1A 的三角形中；同理知，过点(2,3,,12)i A i =的弦，也各要分布于6个含顶点i A 的三角形中，这样就需要12672⨯=个三角形，而每个三角形有三个顶点，故都被重复计算了三次，因此至少需要72243=个三角形． 再说明，下界24可以被取到．不失一般性，考虑周长为12的圆周，其十二等分点为红点，以红点为端点的弦共有21266C =条．若某弦所对的劣弧长为k ，就称该弦的刻度为k ；于是红端点的弦只有6种刻度，其中，刻度为1,2,,5的弦各12条，刻度为6的弦共6条；如果刻度为,,a b c （a b c ≤≤）的弦构成三角形的三条边，则必满足以下两条件之一：或者a b c +=；或者12a b c ++=；于是红点三角形边长的刻度组(),,a b c 只有如下12种可能：()()()1,1,2,2,2,4,3,3,6,()()()()()()()()()2,5,5,1,2,3,1,3,4,1,4,5,1,5,6,2,3,5,2,4,6,3,4,5,4,4,4；下面是刻度组的一种搭配：取()()()1,2,3,1,5,6,2,3,5型各六个，()4,4,4型四个；这时恰好得到66条弦，且其中含刻度为1,2,,5的弦各12条，刻度为6的弦共6条；实用文档今构造如下：先作()()()1,2,3,1,5,6,2,3,5型的三角形各六个，()4,4,4型的三角形三个，再用三个()2,4,6型的三角形来补充．()1,2,3型六个：其顶点标号为：{}{}{}{}{}{}2,3,5,4,5,7,6,7,9,8,9,11,10,11,1,12,1,3； ()1,5,6型六个：其顶点标号为：{}{}{}{}{}{}1,2,7,3,4,9,5,6,11,7,8,1,9,10,3,11,12,5； ()2,3,5型六个：其顶点标号为：{}{}{}{}{}{}2,4,11,4,6,1,6,8,3,8,10,5,10,12,7,12,2,9； ()4,4,4型三个：其顶点标号为：{}{}{}1,5,9,2,6,10,3,7,11；()2,4,6型三个：其顶点标号为：{}{}{}4,6,12,8,10,4,12,2,8．（每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得）．这样共得到24个三角形，且满足本题条件，因此，n 的最小值为24．2不能构成三角形的三边．因为()()(),y z z x x y =-+--()()()z x x y y z =-+--，()()()x y y z z x =-+--．所以 -[]2()()()()()()0y z z x x y y z z x x y =-+++---≤, 于是 2222()()ab bc ca a b c ++-++=)0≤,故 2222()a b c ab bc ca ++≥++．3、证明：必要性：若,,,A B C D 共圆，则由,AB DE BC EA ==，得BAC EDA ∠=∠，ACB DAE ∠=∠，所以ABC DEA ∠=∠，故得AC AD =； 充分性：记BCDE 所共的圆为O ，若AC AD =，则圆心O 在CD 的中垂线AH 上，设点B 关于AH 的对称点为F ，则F 在O 上，且因AB EA ≠，即DE DF ≠，所以,E F 不共点，且AFD ∆≌ABC ∆，又由,AB DE BC EA ==，知AED ∆≌CBA ∆，因此，AED ∆≌DFA ∆，故由AED DFA ∠=∠，得AEFD 共圆，即点A 在DEF 上，也即点A 在O 上，从而,,,A B C D 共圆．实用文档4、解： 设整数对(,)x y 满足方程22212620090x xy y -+-= …（1），将其看作 关于x 的一元二次方程，其判别式()2222441262009500(4)36y y y ∆=-⨯-=-+的值 应为一完全平方数；若224y >，则0∆<；若224y <，则2y 可取2220,1,2,3，相应的∆值分别为8036,7536,6036和3536 ，它们皆不为平方数；因此，仅当224y =时，()2225004366y ∆=-+=为完全平方数．若4=y ，方程（1）化为2870x x -+=， 解得1=x 或7x =；若4-=y ，方程（1）化为 2870x x ++=，解得1-=x 或7x =-．综上可知，满足原方程的全部整数对为：()()()()(),1,4,7,4,1,4,7,4x y =----．。