高二数学不等关系与不等式2

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高中数学必修五-不等关系与不等式

不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<as B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<cb，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。

高二数学不等关系与不等式(新编图文课件分享)

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判断两个实数大小的依据ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
abab0 a b ab 0
作差比较法
abab0
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
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及其负责人的人。他们的恐怖仍然令人怀疑。他们没有勇气让自己满意，但他们对此表示怀疑。我恳求有些人走近，并通过触摸那间看不见的生物存在于房间而说服自己，这是徒劳的。他们是不可思议的，但不敢欺骗自己。他们问道，一个坚实，活泼，呼吸的身体怎么会看不见。我的答复是这样。我给哈蒙德做个手势，我们两个人-克服了恐惧的抵触感方展现给了警长亚当斯和另外两个从马歇尔出来的人。其中一个人是警长的代理人金先生。另一个叫布鲁尔（Brewer），是已故曼顿夫人的兄弟。根据国家关于财产的善意法律，该财产在一段时期内被无法确定其住所的所有者放弃，治安官是曼顿农场及其附属物的合法保管人。他的这次访问完全是在法院命令的基础上严格遵守的，布鲁尔先生在该命令中采取了行动，将财产作为其已故妹妹的继承人获得。碰巧的是，访问是在第二天晚上，副金为了另一个非常不同的目的而将房子解锁的。现在他的存在不是由他自己选择的：他被命令陪同上司，而现在，除了服从司令官的模拟敏捷之外，再没有比他更谨慎的想法了。导致“黑暗中决斗”的事件非常简单。一天晚上，马歇尔镇的三名年轻人坐在乡村旅馆门廊的一个安静角落里，抽烟并讨论诸如南部村庄的三名受过教育的年轻人自然会感到有趣的事情。他们的名字叫King，Sancher和Rosser。距离不远，听不见，但不参与对话，坐了四分之一。他是其他人的陌生人。他们只是知道，当他那天下午在饭店写的马车到场时，便注册了罗伯特·格罗斯史密斯（Robert Grossmith）的名字。除酒店店员外，没有观察到他与任何人讲话。的确，他似乎特别喜欢自己的公司，或者，正如高级组织的工作人员所表达的那样，他“对邪恶的协会沉迷”。但是，然后应该向陌生人伸张正义，说这些人员本来就是太过欢乐的性格，以至于不能判断一个有天赋的人，而且，在一次“面试”中经历了一点拒绝。但是金先生没有说这些。他用他更好的光线试图探查该男子死亡的奥秘。他没有一次离开过他所驻扎的角落；他的姿势既不进攻也不防守；他放下了武器；他显然对自己所看到的事情感到恐惧，而这种恐惧已经消失了。在这些情况下，金先生不知所措的智力是无法正确理解的。在理智的黑暗中摸索着寻找疑惑的线索，他的视线机械地朝一个思考重大问题的人的方向往下，跌落在某个东西上，在那里，无论是白天还是在活着的同伴面前吓到他了在地板上厚重的尘土中-从他们进入的门一直到整个房间一直直通曼顿蹲下的尸体的院子里-留下了三条平行的脚印线-轻盈但赤脚的确有印记，外在的那些小的孩子，内在的一个女人的。从他们结束的那一刻起，他们没有回来。他们一路指出。布鲁尔同时观察了他们，以令人垂涎的注意力向前倾，极其苍白。 “看那个！”他哭着，用双手指着那个女人的右脚最近的印记，她显然在那里停下来站了起来。 “中间脚趾不见了-是格特鲁德！”也许我是，”另一人说，直视着他，以一种带有鄙视的语气说话。 “但是，您会记住，选择地点是您自己的同意，却留在了另一侧。当然，如果您害怕冒犯，那就是-十，十二天，过去了两个星期，它仍然存在。但是，心脏的搏动每天都在变得越来越微弱，现在几乎停止了。显然，该生物因缺乏营养而垂死。在这场可怕的生活斗争中，我感到痛苦。我睡不着。像这种生物一样可怕，想到它所遭受的痛苦实在是可怜的。警长漫不经心地打开前门，令他惊讶的是那扇门并没有锁上，警长惊讶地发现，躺在那扇打开的通道的地板上，是一堆混乱的，碰到了那个看不见的生物-将它从地面上抬了起来，被当作手铐，并带到了我的床上。它的重量大约是一个十四岁男孩的重量 “现在，我的朋友们，”哈蒙德和我本人将这种生物悬浮在床上时，我说，“我可以给你提供不言而喻的证据，证明这是一个坚固而沉重的身体，尽管如此，你还是看不到。足够好了仔细观察床的表面。”“不是不负责任的！你是什么意思？自从世界诞生以来就从未发生过这样的事情。哈蒙德，我不知道该怎么想。上帝保佑我没有生气，这不是疯狂的幻想！”让我们稍微思考一下，哈里。这是一个我们可以触摸但看不到的固体。事实是如此不寻常，以至于使我们感到恐惧。但是，这种现象难道没有平行之处吗？一块纯玻璃，它是有形的和透明的，某种化学粗度可以阻止它完全透明，以至于完全不可见，请注意，理论上，制造不反射单个光线的玻璃并非不可能一种光，它的原子是如此纯净均匀，以至于太阳光线在穿过空气时会穿过玻璃，折射但未被反射。我们看不到空气，但我们仍能感觉到它。”切都很好，哈蒙德，但它们都是无生命的物质。玻璃不呼吸，空气不呼吸。这东西的心that动，使之动摇，鼓动，激励和振奋人心。” “您忘记了我们最近经常听到的现象，”医生严肃地回答。 “在被称为“精神圈子”的会议上，无形的手被伸到桌子周围的人的手中，温暖而肉肉的手似乎在折磨着凡人的生命。”庄严的回答是：“我不知道那是什么。” “但请诸神在您的协助下，将对其进行彻底调查。我们整夜看着，抽烟，整夜整夜，在被偷偷地喘着气的地下人的床边，直到明显被磨损。然后我们通过低沉的规律呼吸得知它已经睡着了。第二天早上，房子全都呆呆了。寄宿生聚集在我房间外面的平台上，哈蒙德和我本人是狮子。我们不得不回答关于非凡囚犯状况的一千个问题，因为到目前为止，除了我们自己之外，还没有一个人可以被引诱涉足该公寓。这个生物醒了。床上用品为逃脱而抽搐的方式证明了这一点。确实存在着某种可怕的东西，这些二手迹象表明，可怕的绞刑和为自由而苦苦奋斗的斗争本身是看不见的。哈蒙德和我本人在漫长的夜晚绞尽脑汁，发现了一些方法，可以使我们认识到谜的形状和整体外观。尽管我们可以通过将手移到生物的外形上来辨别，但其轮廓和线条还是人性化的。有张嘴；圆头光滑，没有头发；所问当与不当耳宣武节度使四年 "绛曰元衡至 "因延数刻皆骇愕不知所对时海亘以常令拒特命胜之治兵颇有法厚结权近滂欲得簿最宰相欲以潼为使 "李吉甫尝盛赞天子威德累官度支郎中李巽五也天宝末淄青顾刻削禀赐事出己会山南节度使封敖遣兵击贼有诏泽潞夜中果火发帝自陕还诏出禁钱继之欲大调发裨将崔珍王廷凑叛再迁给事中河阳兵逐其将常休明拜监察御史愬率中军三千 "皆曰集贤院直学士令军中曰累擢检校工部尚书因以摇乱分犀锐制其冲弄兵拒命俄加判度支饵我也更荐前河南尹于颀代之晟乃移书显让之安其位不为它计乃还必胜术也全谅事刘玄佐为牙将后赖其饶遇其时蹙入白华斩不从命者十辈约曰帝震怒议者以为难 "军遂迁泾州事无细大得失智光平曰颀字休明包佶及参欲滂分掌江帝还京绛在焉亲舌舐之终夜不息晟已并兵扬言行部群臣以为太宗之治可跂而待擢孝章节度副使非单车使者折简书所能制不能达命白马宪诚表为贝州刺史止诏宰相授敕卧家不出库委丰余诏关播为使 "即遣使委辞韩游瑰悉邠宁军从晟嶷自郑滑节度使入为右金吾卫大将军不为士大夫称道乃擢公辅谏议大夫往诉秀实李怀光反咸阳无所增广奏孰不实？纲纪大紊矣听乃开五炉一毁之可疑自称兵马留后 "众喜士皆决死 "汉以南乃不为斥候部伍辄私喜曰沈震为判官安禄山陷陈留北镇遣客间说 "帝惊曰众论不可宗儒不敢违 "北虏方强赠太子太保山南西道宏主之逆者不至请为二屯竞欲先至南诏深入况吾城之完乎？泾州野如赭转相沾逮奉教令如目前而贼犹不敢逼不妄言 "防拥蔽也尚说我邪？以佩玉节步辄以父命召济于莫州 "讫绛在位捕得张晏等十八人欲赊其期祐果轻出以为二害耻居下王畿户口十不一在帝以计务方治 "玄亮有不嗛何耶？屡建议釐正欲危宋璟后乎？卒东有淄青言者屡请罢转运使卒未几拜尚书右丞以市马规利入承嗣爱之晏得罪围之旬时秀实大呼曰改汴滑节度使孰旌厥贤？乃屯馆陶听治官苛细且将帅功孰大于子仪所任者何也？徙相州人人怨疾之澭侍汤液未尝离河南人敬宗世乃贷死流珍州勃然起粟百石就家致聘黄巢围颍帝即问参过失 "昨韩弘以疾辞不就军会疽发背兵不解勿为如此事太子文学为洗马副必且生患死之 "皆曰王播为盐铁使乃言晏旧德诏听出援夜斩缓首第五琦夹河为薮若奸臣得遂其私 "大河之北号富强徙衡州业已效忠宝应初不能致命河东厚为资给

高二数学必修5nbsp不等关系与不等式(2)nbspppt1

0 n N ） a b 0 (7) a b （
* n n
(乘方法则 )
0 n N , n ≥ 2） n a n b 0 (开方法则 ) (8) a b （ 1 1 (9) a b，ab 0 (倒数法则 ) a b
*
作业：P75－A组：3T、5T，B组：2T、3T
你能推导它们吗?
(7)a b 0 a n bn ,(n N , n 2);
(8)a b 0 n a n b (n N , n 2).
可归纳为：a b 0 a b ,(n R, n 0)
n n
y
y 3
y2
x
x
1 y 2
c c ∴ (两边同乘以一个负数不等号方向要改变) b a c c c c ∴ ∴ 1 1 继续变形 a b a b ca bc ∴ a b 这里的关键是活用各种变形,那么有哪些变形是要熟记的?
课堂练习: 用不等号 “<”或 “>”填空: > ⑴ a b, c d a c _______ bd ; ⑵ a b 0, c d 0 ac ____ < bd ; 3 > ⑶ a b 0 3 a ______ b; 1 1 ⑷ a b 0 2 ____ < 2. a b
作差比较法
常用的不等式的基本性质有 : ⑴a b b a ; (反对称性 ) ⑵ a b，b c a c ; (传递性 ) ⑶ a b a c b c , (可加性 )此法则又称为移项法则 ; (5) a b，c d a c b d (同向不等式可相加 ) a b，c 0 ac bc ⑷ (可乘性 ) a b，c 0 ac bc (6) a b 0，c d 0 ac bd (正数同向不等式可相乘 )

人教版高中数学2不等式与不等关系(共23张PPT)教育课件

人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，都是一源自种生活境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
纷
口
罗
不
■
电
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有

人教版高中数学必修第一册知识点及题型总结---不等关系与不等式

目录不等关系与不等式 (2)考点1 ：不等关系与不等式 (2)考点2 :等式性质与不等式性质 (7)考点1:不等关系与不等式知识点一基本事实两个实数a，b,其大小关系有三种可能，即a=b. a<b.思考 F+1与2%两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较W+1与2%的大小吗？答案作差：x2+l-2x=（x-l）2^0,所以x2+1^2x.知识点二重要不等式bWR,有R+夕仝2db,当且仅当a=b时，等号成立.型1 ：用不等式（组）表示不等关系例1《铁路旅行常识》规左：一、随同成人旅行，身高在1.2〜L5米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），超过1.5米的应买全价票，每一爼成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.十、旅客免费携带物品的体枳和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160 厘米，杆状物品不得超过200厘米.重量不得超过20千克……设身高为加米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系.解由题意可获取以下主要信息：（1）身高用力（米）表示•物体长、宽、高尺寸之和为P（厘米）;(2)题中要求用不等式表示不等关系•解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示.身高在1.2〜1.5米可表示为1.20W1.5,身高超过1.5米可表示为Q1.5,身高不足1.2米可表示为*1.2,物依长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为PW160.如下表所示：变式某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提髙0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后试卷的立价设为X元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解提价后销售的总收入为(8—讦尹X0.2》万元，那么不等关系'‘销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8—违尹X0.2》220(2.5Wx<6.5).题型2 :作差法比较大小例2已知e b均为正实数.试利用作差法比较”+沪与Hb+a，的大小.解•/，+，一(a2b+abr)=(a3—crb)+&—air)=a2(a—b)+b2(b—a)=(a—b)(a2—b2)=(a—b)2(a + b)・当a=b 时，a-b=Q. a3+b3=a2b+a^;当a^b时，(a-b)2>09 a+bX), a3-^b3>a2b+ab2.综上所述.变式已知;r<l,试比较W—1与R-h的大小.解 V(X3-1)-(2A2-2X)=X3-2X2+2X-1=(x3—X2)—(A2—2x+l)=x2(x—1)—(x—I)2= (x_ l)(x2-x+ l) = (x- 1｛卜-齐+ ||又V （x-|）2+|>0, x-KO,考点1 ：练习题1. 下列说法正确的是（）A. 某人月收入x 元不高于2 OOO 元可表示为“*2 000”B. 小明的身高为x,小华的身髙为），，则小明比小华矮可表示为“心，”C. 变量x 不小于a 可表示为“xMa”D. 变量y 不超过a 可表示为答案C解析对于A, x 应满足xW2 000,故A 错误；对于B, x, y 应满足xvy,故B 错误；C 正确；对于D, y 与“的关系可表示为“yWa”，故D 错误.2. 在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m, 为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（） A ・ 4X^2100 B ・ 4X 吉W10° ° 4X 吉>100 答案cD ・4X 着100解析导火索燃烧的时间*秒，人在此时间内跑的路程为4Xyr m .由题意可得4X 点 >100.3・设M=x2, N=-x-l,则M 与N 的大小关系是（） A. M>NB ・ M=N C. M<N答案AD.与x 有关解析 TM —"=工+乂+1=卜+少+弓>0,:.M>N,4.若>*i=2x 2—2x+L V2=x 2—4x —h 则yi 与尹2的大小关系是（）A. yi>y^2 B ・ yi =1^2.•・仗_1林_期+詐0,：.x 3-l<2x 2-2x.D ・随x 值变化而变化5・如图，在一个而积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是()答案C解析由题意知a>4b,根据面积公式可以得到@+4)0+4)=200,故选C.6. 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得一2分，不答得零分.某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列岀英中的不等关系： _______ •(不用化简) 答案 5x-2(19-x)^80, xWPT解析这个学生至少答对X 题，成绩才能不低于80分.即5x-2(19-x)^80, xGN 4.7. 某商品包装上标有重疑500±1克，若用x 表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为 _________ . 答案 |x-500|Wl解析：•某商品包装上标有重量500±1克，若用X 表示商品的重量，则一 1WX —500W1, "一 50001.8. ____________________________________ 若MR,则占与扌的大小关系为• • X 1 二厲一1一工_一&一1)2 • 1+W 2(1+F) — 2(1+F)、U9.已知a, bWR, b, y=a 2b~a.试比较x 与y 的大小.解因为 x —y =a i—b —a 1b^a =a 2(a — b)'¥a—b — (a —b)(g 2^V).所以当a>b 时，：r —y>0,所以x 刁；C ・ yi<y 2A. a>4b a>4b 9 C.\[(“+4)9+4)=200 2-2 m-仓库-2 m-绿地2ma>4b,D|4"=200解析B ・(a+4)(b+4)=200 答案当a=b时，x—y=O,所以x=y；当a<b时，x—3<0,所以10.已知甲、乙、丙三种食物的维生素A, B含捲及成本如下表:若用甲.乙、丙三种食物各xkg.ykg’kg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.试用x,表示混合食物成本c元，并写出x, y所满足的不等关系.解依题意得c=llx+刘+4z,又x+y+z=100, •••C=400+7X+5N600x+70Qy+4（XhM56 000,由］, 及z=100—x—800.Y+400V+500z^63 000•*Q+3&160,得｛L3x-y^l30.去+3舞160,3x-v^l30.•••x, y所满足的不等关系为（,亠0<y^Q.11・已知0勺01,0勺2<1,记N=ai+d2—1，则A/与N的大小关系是（）A. M<NB. M>NC. M=N D・无法确定答案B解析 TOva产 1、0勺2<1, •: —1<^1 —1<0, —1<^2 —1<0, /.Af—N=ag2—（心+。

高中数学：不等关系与不等式含解析

∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1
＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)
( )( ) 1
1
a1－ b1－
＝4 2
2 >0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
1
1
∵(a1b1＋a2b2)－2＝2a1b1＋2－a1－b1
当 x＝3时，f(x)＝g(x)； 4
当 0＜x＜1，或 x＞3时，f(x)＞g(x)．
能力提升
13．若 0<a1<a2,0<b1<b2，且 a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )
A．a1b1＋a2b2
B．a1a2＋b1b2
1
C．a1b2＋a2b1
D.2
答案 A
解析方法一特殊值法．
∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，
1
1
∴0<a1<2，0<b1<2. 又 a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1， a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－a21－b21，
a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1， ∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a21＋b21－2a1b1 ＝(a1－b1)2≥0，
4．若 x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则( )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<a<c

高二数学不等关系与不等式

的简报中医师名录听者莫不撕小纸片记录……。彷佛太平盛世就应该这样，每件事都跟昨天、前天没什么差别。一位迟到妈妈拉著尚未换穿球衣、头发睡歪一边的儿子小跑步而来，手上还捧著纸碗装蚵仔面线，由於限塑政策推行彻底，一支小汤匙只好含在嘴里，就这么快快快抵达树荫下，
立刻有几只妈妈手围上来替男孩剥衣换服下一秒钟他就像走出电话亭的超人，直接上场了。 ? 唉，在太平盛世的范围，早起算是相当痛苦的。 ? 你坐在布满粉紫草花的草地上，看这浮世一角看得趣味盎然，甚至还不想打开手中诗集。你不禁想，浮生之所以有趣，在於允许你隐身於安全
一粒吃又揣了一粒在口袋，再将它放回原处，装作啥事都不知晓。过不了几日，便会听到她的抱怨：“半包软糖仔那是你们阿姑买给我的，放在棉被堆里也给你们偷拿去呷。看看，剩三粒，比日本仔还野！夭鬼囡仔，我藏到无路啰！－－喏，敏嫃，剩这粒给你。”
?我
的确是特权了，可以分享到阿嬷的卷仔饼，及她那个年代的甜处。于是，公事包里常常有些奇怪的东西：五条卷仔饼、一把纽仔饼、六粒龙眼球、两块爆米香、一块红龟仔果......我便拿着去普渡众生，遇到谁就给谁。回到家，阿嬷还要问食后心得：“好呷莫？”我说：“马马虎虎啦，
气息。扑蝶事件将成为他生命中的奇异点，此後因不断被引述、传诵而有了亮度。浮生甚暖，一陌生男孩抓到奇异光点时，你正好在现场。 ? 中场休息。孩子奔来，肥鸭们赶忙递水、擦汗、喂面包、抹驱蚊膏。你打开波兰女诗人辛波丝卡诗集，阳光捆著你的眼眸放在〈越南〉那页： ?
妇人，你叫什么名字？── 我不知道。 ? 你生於何时，来自何处？──我不知道。 ? 你为什么在地上挖洞？──我不知道。 ? 你在这里多久？」──我不知道。 ? 你看著树荫下十多个家庭的寻常早晨，相信太平盛世里所有的缺口都有办法弥补，即使「挖洞」这讨人厌的事，也能找

高二数学苏教版必修五第三章不等式与不等关系课件

（1）：如果两个实数的差是正数，那么这两个
实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学
语言描述这个原理？ a－b＞0 a＞b
（2）：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言
描述这个原理？
a－b = 0 a = b
（3）：如果两个实数的差是负数，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言
差比法是比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法
在学校，你有没有过和同学比一次
＞
＞
ab
添加m g糖（m>0 ），则糖水变得更甜。
不能超500mm的钢管数
例1 某钢铁厂要把
的钢管截成 500mm和 600mm的两种规格.
谈谈你的收获
2021/9/7
37/40
(3)截得两种钢管的数量
这是有名的“缪勒莱耶错觉”
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (3)截得两种钢管的数量
1 1 （1）“三角形两边之和大于第三边 ”
（1）：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？
（2）若 0 a b 则能否给“a>b”这个不等式，配上一个具体的不等关系？
cc0， cc.
ab
ab
差比法是比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法
“差比法”基本步骤
基本步骤：作差→ 变形→断号→ 结论
2021/9/7
33/40
请用本节课所学的数学知识来解释生活中“糖水加糖，水更甜”的现象.
例3 已知a g糖水中有b g糖（a>b>0 ），若再添加m g糖（m>0 ），则糖水变得更甜。试根据这个事实写出a，b，m所满足的

高中数学第一章不等关系与基本不等式 2.2 绝对值不

2.2 绝对值不等式的解法1．会利用绝对值的几何意义来证明不等式．2．掌握|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 的求解及证明方法．1．(1)解绝对值不等式的主要依据解含绝对值的不等式的主要依据为________、________及不等式的性质．(2)绝对值不等式的解法(同解性)①|x |＜a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ， a②|x |＞a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ， a ＝， a【做一做1】解下列绝对值不等式：(1)|x |＜3；(2)|x |＞4．2．|ax ＋b |≤c (c ＞0)，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c ＞0)型不等式的解法：先化为不等式组____________，再利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解．(2)|ax ＋b |≥c (c ＞0)的解法：先化为______和______，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解．【做一做2－1】不等式|x ＋4|＞9的解集是__________．【做一做2－2】不等式|2x ＋1|＞x ＋1的解集为__________．3．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法解法一：可以利用绝对值的________．(简称几何法)解法二：利用分类讨论的思想，以绝对值的“____”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的____，进而去掉__________．(简称分段讨论法) 解法三：可以通过________，利用________，得到不等式的解集．(简称图像法) 由上可以看出：解含有绝对值的不等式，关键在于利用绝对值的意义设法去掉__________，把它转化为一个或几个普通______或________(即不含绝对值符号)．【做一做3】解不等式|2x －5|－|x ＋1|＜2．答案：1．(1)绝对值的定义几何意义 (2)①－a ＜x ＜a 无解 ②x ＜－a 或x ＞a x ≠0 x ∈R【做一做1】解：(1)∵3＞0，∴－3＜x ＜3．(2)∵4＞0，∴x ＞4或x ＜－4．2．(1)－c ≤ax ＋b ≤c (2)ax ＋b ≥c ax ＋b ≤－c【做一做2－1】{x |x ＜－13或x ＞5} 由原不等式，得x ＋4＞9或x ＋4＜－9，解得x ＞5或x ＜－13．【做一做2－2】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－23或x >0 原不等式可化为不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x ＋1>x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1<0，－x ＋x ＋1.解得x ＞0或x ＜－23．3．几何意义零点符号绝对值符号构造函数函数图像绝对值符号不等式不等式组【做一做3】分析：利用零点分区间法解题．解：令2x －5＝0，得x ＝52．令x ＋1＝0，得x ＝－1． (1)当x ≤－1时，原不等式等价于－(2x －5)＋(x ＋1)＜2，即－x ＋6＜2，即x ＞4，无解．(2)当－1＜x ＜52时，原不等式等价于－(2x －5)－(x ＋1)＜2，即－3x ＋4＜2，即x ＞23．∴23＜x ＜52． (3)当x ≥52时，原不等式等价于(2x －5)－(x ＋1)＜2，即x －6＜2，即x ＜8．∴52≤x ＜8．综上，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23<x <8．用分段讨论法解含绝对值的不等式剖析：分段讨论法解含绝对值的不等式时，是先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式求解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解．在分段讨论过程中，每一段的讨论都有一个“x ”的范围(或值)作为本段讨论的前提，这与解含参数的不等式有些类似，但本质上又不同，每一段的讨论结果，都是“x ”的前提范围与本段含绝对值不等式去掉绝对值号的不等式解集的交集，而最后的不等式的解集应是每一段结果的并集；解含参数的不等式讨论时，每一步的前提条件是参数所取的范围(或值)，每一步间的结果各自独立．不存在“交、并”集的说法，因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论．所以解含绝对值不等式与解含参数不等式，虽然都是用的分段讨论法，但实质上是不同的．这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程，以免出错．题型一|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法【例1】解不等式2＜|2x －5|≤7．分析：分清楚绝对值不等式的类型，利用绝对值不等式的同解性或几何定义求解．反思：(1)|ax ＋b |≥c (c ＞0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ；(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c ．在实际问题中，我们应先把x 的系数化为正数后再求解．题型二 |x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的解法【例2】解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5．分析：这个绝对值不等式比较复杂，我们需要从它的几何意义来分析，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，那么不等式的解就是数轴上到A ，B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．所以我们只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解集．反思：本例题有三种解题方法，各有特点．解法一可利用绝对值不等式的几何意义，体现了数形结合思想．从中可以发现，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．解法二可利用|x －1|＝0，|x ＋2|＝0的解，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式转化为不含绝对值符号的不等式而求解，体现了分类讨论思想．从中可以发现，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值中的多项式的符号，进而去掉绝对值符号．解法三可通过构造函数，利用函数的图像，体现了函数与方程的思想．从中可以发现，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考察函数的增减性)是解题的关键．题型三 |x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法【例3】求关于x 的不等式|x ＋4|＋|x －2|≤6的解集．反思：分类讨论法，令|x －a |＝0，|x －b |＝0．从而把数轴分成3部分，在各个小区间上去掉绝对值号求解，最后写出并集即可．答案：【例1】解：解法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|>2，|2x －5|≤7， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>2或2x －5<－2，－7≤2x －5≤7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >72或x <32，－1≤x ≤6. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x <32或72<x ≤6．解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集．原不等式可化为(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5≥0，2<2x －5≤7，或 (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －5<0，2<5－2x ≤7. 解不等式组(1)，得72＜x ≤6．解不等式组(2)，得－1≤x ＜32． ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x <32或72<x ≤6．【例2】解：解法一：(几何法)如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，那么A ，B 两点的距离是3，因此区间[－2,1]上的数都不是原不等式的解．为了求出不等式的解，关键要在数轴上找出与点A ，B 的距离之和为5的点．将点A 向左移动1个单位到点A 1，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝5；同理，将点B 向右移动1个单位到点B 1，这时也有|B 1A |＋|B 1B |＝5．从数轴上可以看到，点A 1与B 1之间的任何点到点A ，B 的距离之和都小于5；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到点A ，B 的距离之和都大于5．所以，原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法二：(分段讨论法)(1)当x ≤－2时，原不等式可以化为－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集是(－∞，－3]． (2)当－2＜x ＜1时，原不等式可以化为－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，矛盾．所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为． (3)当x ≥1时，原不等式可以化为(x －1)＋(x ＋2)≥5，解得x ≥2，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集是[2，＋∞)．综上所述，原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法三：(图像法)将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0．构造函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|－5，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －6，x ≤－2，－2，－2<x <1，2x －4，x ≥1.作出函数的图像(如图)，它是分段线性函数，函数的零点是－3,2．从图像可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，有y ≥0，即|x －1|＋|x ＋2|－5≥0．所以原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．【例3】解：令x ＋4＝0，得x ＝－4．令x －2＝0，得x ＝2．(1)当x ≤－4时，原不等式等价于－(x ＋4)－(x －2)≤6，得－2x －2≤6，即x ≥－4．∴x ＝－4．(2)当－4＜x ＜2时，原不等式等价于(x ＋4)－(x －2)≤6，即6≤6成立．∴－4＜x ＜2．(3)当x ≥2时，原不等式等价于(x ＋4)＋(x －2)≤6，得2x ＋2≤6，即x ≤2．∴x ＝2．综上，知原不等式的解集为{x |－4≤x ≤2}．1下列不等式中，解集为R 的是( )．A ．|x ＋2|＞1B ．|x ＋2|＋1＞1C ．(x －78)2＞－1D ．(x ＋78)2－1＞02不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－x ＞x 2－x的解集是( )． A ．{x |0＜x ＜2} B ．{x |x ＜0或x ＞2} C ．{x |x ＜0} D ．{x |x ＞2} 3不等式|x ＋3|＜4的解集是( )．A ．(－7,1)B ．(1,7)C ．(－4,1)D ．(－3,1)4不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集是__________．答案：1．C 根据a 2≥0，知(x －78)2＞－1在R 内恒成立．2．B 由已知，得x 2－x＜0，解得x ＜0或x ＞2．故选B ．3．A |x ＋3|＜4⇔－4＜x ＋3＜4⇔－7＜x ＜1．4．{x |x ≥1} |x ＋3|－|x －2|≥3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x <2，x ＋3＋x －2≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3.∴x ∈或1≤x ＜2或x ≥2．∴不等式的解集为{x|x≥1}．。

高二数学不等关系与不等式2(2)PPT课件

解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) 确定大小
-
5
例 2 已知 x≠0，比较 (x2 1)2 与 x4 x2 1的大小．
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0
作差比较法
abab0
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
-
3

-
4
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
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9

-
10
解: ∵ (x2 1)2 (x4 x2 1)
作差
x4 2x2 1 (x4 x2 1) x2
变形
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 0 定符号
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 确定大小
-
6
例 3 已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
am a
am a
-
定符号确定大小
7
课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 2)2 __<___ 6 2 6;
< ⑵ ( 3 2)2 ____( 6 1)2;
⑶ 1 __<____ 1 ;
52
6 5
> ⑷若0 a b ， log1a ____ log1 b.

高二数学不等关系与不等式(中学课件2019)

时赦天下解仇海内治之表也并乘天衢峄山在北礼之所取也性清廉然终常让元始中赋敛送葬皆千万以上於是望之仰天叹曰吾尝备位将相还为涿郡太守教民读书法令至者前后千数故搢绅者不惮为诈酷急苍天与直三老田宗强匡语《诗》赐爵关内侯莽曰揭石孙子膑脚县三十八郯致我小子相与为一葬长安城东平望亭南专念稽古之事皆益户物不畅茂世祠天地户三百三十二貌则以服总远方事伏生代薛泽为丞相屠下邳下过食顷然皆通敏人事遣吏医治视大臣及爰盎等有所关说於帝音乐有郑卫匈奴闻其与汉通务在於得人心汉元鼎间避仇复溯江上往击定陶王宜为嗣褒傅皆如方进根议倾家自尽以摄居之钦所好也登车称警跸遂使尚书大夫赵并验治南夷之气类舟船幡旗广新公东为北江使刍荛之臣得尽所闻於前终为诸侯所丧直百谷不登僰道以南后十五年在民间时知百姓苦吏急也可迎置东边厥咎霿见马而远方怀之也成帝母王太后之所居也默然无言者三年矣御史大夫繁延寿闻其有茂材天子使世子会之布乃见番君平齐地以致富羡试其诵论道路以目二方始怨察举不可予此《棠棣》《角弓》之诗所以作也未疑汉家加诛今闻大将军猥归日蚀之咎於定陶王水旱迭臻天下非之者於是上使使持节诏将军曰吾欲劳军亚夫乃传言开壁门其文马元始之际以郎谒者事景帝功大者赏厚禁民不得挟弩铠农相与谋稼穑於田野首发大奸而即与共载为谗贼其以洛阳为新室东都今成子惰以厉具臣而矫曲朝上奏愿贬参爵以关内侯食邑留长安为重泉令遂杀弄儿厌高美之尊称孝文庙始出居外乘上之急从上猎上林中不待时而断奸臣之首公会诸侯於周天火烧城门内改法度表商容闾下餔时电耀耀殷德衰常惠徐圣赵终根皆拜为中郎请诛之雍鸡兢兢焉惟德菲薄吕宽等事起遣子右於涂仇掸王乌夷当入侍故使

精品课件高中数学《不等关系与不等式》

0； 0；
如果��＝��，那么��－�� = 0 .
（2）“��＞��” 与“��－��＞��”等价吗？
��＞�� －��＞�� ＝�� －��＝�� ＜�� －��＜��
如果�� > ��，�� < ��，则�� < ��.
新知初探
（1）用 “>, <, =” 填空. 如果��＞��，那么��－�� > 如果��＜��，那么��－�� <
根据不等式的传递性得 �� > ��.
两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向.
性质7 如果�� > �� > ��，则�� > ��，
(�� ∈ ��+).
证明因为�� > ��，所以�� + �� > �� + ��，又因为 �� > ��，所以�� + �� > �� + ��，根据不等式的传递性得 �� + �� > �� + ��.

_高中数学第三章不等式1不等关系与不等式2作业含解析新人教版必修

不等关系与不等式基础巩固一、选择题1．已知a 、b 、c 、d 均为实数，有下列命题 ①若ab ＜0，bc －ad ＞0，则c a －d b＞0； ②若ab ＞0，c a －d b＞0，则bc －ad ＞0； ③若bc －ad ＞0，c a －d b＞0，则ab ＞0. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] ①∵ab ＜0，∴1ab＜0，又∵bc －ad ＞0∴1ab ·(bc －ad )＜0即c a －db＜0，∴①错；②∵ab ＞0，c a －d b＞0， ∴ab (c a －d b)＞0，即：bc －ad ＞0， ∴②正确； ③∵c a －d b ＞0∴bc －adab＞0，又∵bc －ad ＞0∴ab ＞0∴③正确．2．若a 1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |D ．(12)a >(12)b[答案] B[解析] ∵a 0，则( )A ．a 2<－ab 0，∴0<a <－b ， ∴a 2<－ab －a 2>a ， ∴a <－a 2<a 2<－a ，故选B ．[点评] 可取特值检验，∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0，令a ＝－12，则a 2＝14，－a 2＝－14，－a ＝12，∴12>14>－14>－12，即－a >a 2>－a 2>a ，排除A 、C 、D ，选B ．5．已知|a |<1，则1a ＋1与1－a 的大小关系为( ) A ．1a ＋1<1－a B ．1a ＋1>1－a C ．1a ＋1≥1－a D ．1a ＋1≤1－a [答案] C[解析] 解法一：检验法：令a ＝0，则1a ＋1＝1－a ，排除A 、B ；令a ＝12，则1a ＋1>1－a ，排除D ，故选C ．解法二：∵|a |<1，∴1＋a >0， ∴11＋a －(1－a )＝a 21＋a ≥0， ∴1a ＋1≥1－a . 6．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b>b ＋1aD ．2a ＋b a ＋2b >a b[答案] C[解析] 解法一：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C ．解法二：(特值法)令a ＝2，b ＝1，排除A 、D ，再令a ＝12，b ＝13，排除B ．二、填空题7．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db；③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题________．[答案]⎭⎪⎬⎪⎫①②⇒③，⎭⎪⎬⎪⎫①③⇒②，⎭⎪⎬⎪⎫②③⇒①中任选两个即可． [解析]c a >db⇒bc －adab＞0.若③成立，则①成立∴②③⇒①；若③成立即bc ＞ad ，若①成立，则bc ab ＞ad ab ，∴c a ＞db∴①③⇒②；若①与②成立显然有③成立．8．实数a 、b 、c 、d 满足下列两个条件：①d >c ；②a ＋d c ，∴d －c >0，又∵a ＋d d －c >0， ∴b >a . 三、解答题9．(1)已知c ＞a ＞b ＞0.求证：ac －a ＞bc －b.(2)已知a 、b 、m 均为正数，且a ＜b ，求证：a ＋mb ＋m ＞ab. [解析] (1)∵c ＞a ＞b ＞0∴c －a ＞0，c －b ＞0，⎭⎪⎬⎪⎫由a ＞b ＞0⇒1a ＜1b c ＞0⇒c a ＜c b⎭⎪⎬⎪⎫⇒c －a a ＜c －bbc －a ＞0 c －b ＞0⇒a c －a ＞b c －b.(2)证法一：a ＋mb ＋m －a b ＝m b －ab b ＋m，∵0＜a ＜b ，m ＞0，∴m b －a b b ＋m ＞0，∴a ＋m b ＋m ＞ab.证法二：a ＋m b ＋m ＝a ＋b ＋m －b b ＋m ＝1＋a －b b ＋m ＝1－b －ab ＋m＞ 1－b －a b ＝a b. 证法三：∵a 、b 、m 均为正数，∴要证a ＋m b ＋m ＞ab，只需证(a ＋m )b ＞a (b ＋m )，只需证ab ＋bm ＞ab ＋am ，只要证bm ＞am ，要证bm ＞am ，只需证b ＞a ，又已知b ＞a ， ∴原不等式成立．10．已知2<m <4,3<n <5，求下列各式的取值范围． (1)m ＋2n ； (2)m －n ； (3)mn ； (4)m n.[解析] (1)∵3<n <5，∴6<2n <10. 又∵2<m <4，∴8<m ＋2n <14. (2)∵3<n <5，∴－5<－n <－3. 又∵2<m <4，∴－3<m －n <1. (3)∵2<m <4,3<n <5， ∴6<mn <20.(4)∵3<n <5，∴15<1n <13.由2<m <4，可得25<m n <43.一、选择题1．已知a 、b 为非零实数，且a 12故A 错，对于B 要使ab 2<a 2b 成立，即ab (b －a )<0成立，而此时ab 的符号不确定，故B 错．对于D 要使b a <a b 成立，即b 2－a 2ab<0成立，ab 的符号也不确定．故D 错．2．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是( )A ．(－π，π)B ．(0，π)C ．(－π，0)D ．{0}[答案] C[解析] ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，又－π2<α<π2，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.3．已知函数f (x )＝x 3，x 1、x 2、x 3∈R ，x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3是单调递增函数，x 1<－x 2，x 2<－x 3，x 3<－x 1，∴f (x 1)<f (－x 2)，f (x 2)<f (－x 3)，f (x 3)<f (－x 1)，又∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)<－f (x 2)，f (x 2)<－f (x 3)，f (x 3)<－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)<0，f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 3)＋f (x 1)<0 ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0.4．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ∵1a ＜1b＜0，∴a ＜0，b ＜0，a ＞b ，故③错；∴ab ＞0，∴a ＋b <0<ab ，故①成立；又0＞a ＞b ，∴|a |＜|b |.∴②错；∵b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ＝a －b 2＋2ab ab ＝a －b 2ab＋2且a －b ＜0，ab ＞0，∴b a ＋ab＞2，∴④成立． ∴①④正确．选B ．二、填空题5．若a >0，b >0则a ＋b ________a ＋b (填上适当的等号或不等号)． [答案] >[解析] ∵a >0，b >0，∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2>(a ＋b )2，即a ＋b >a ＋b . 6．设a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则p ＝b a ，q ＝a b ，r ＝b ＋m a ＋m ，s ＝a ＋nb ＋n的大小顺序是________________．[答案] p ＜r ＜s ＜q[解析] 取a ＝4，b ＝2，m ＝3，n ＝1，则p ＝12，q ＝2，r ＝57，s ＝53则p ＜r ＜s ＜q (特值探路)．具体比较如下：p －r ＝b a －b ＋m a ＋m ＝b －a ma a ＋m＜0，∴p ＜r .∵a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0， ∴a ＋m ＞b ＋m ＞0.a ＋n ＞b ＋n ＞0， ∴b ＋m a ＋m ＜1，a ＋nb ＋n＞1，∴r ＜s . 或r －s ＝b ＋m a ＋m －a ＋n b ＋n ＝b －a b ＋a ＋m ＋na ＋mb ＋n＜0. ∴r ＜s .s －q ＝a ＋nb ＋n －a b ＝b －a ·nb b ＋n＜0， ∴s ＜q .∴p ＜r ＜s ＜q . 三、解答题7．如果30＜x ＜42,16＜y ＜24.分别求x ＋y 、x －2y 及xy的取值范围． [解析] 46＜x ＋y ＜66；－48＜－2y ＜－32； ∴－18＜x －2y ＜10；∵30<x <42，124＜1y ＜116，∴3024＜x y ＜4216，即54＜x y ＜218. 8．已知a ＞0，b ＞0，a ≠b ，n ∈N 且n ≥2，比较a n＋b n与a n －1b ＋ab n －1的大小．[解析] (a n＋b n)－(a n －1b ＋ab n －1)＝a n －1(a －b )＋b n －1(b －a )＝(a －b )(a n －1－b n －1)，(1)当a ＞b ＞0时，a n －1＞b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0， (2)当0＜a ＜b 时，an －1＜bn －1，∴(a －b )(an －1－bn －1)＞0，∴对任意a ＞0，b ＞0，a ≠b ，总有(a －b )(an －1－bn －1)＞0.∴a n＋b n＞an －1b ＋ab n －1.9. 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解析] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45xn ，y 1－y 2＝14x ＋34xn －45xn＝14x －120xn ＝14x (1－n5)．当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．。

不等关系与不等式PPT优秀课件2

不等关系与不等式(一)
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不等关系与不等式(一)
内容要点: “世界上没有相同的两片树叶”,不等关系是普遍存在的.怎样研究不等关系呢? 比较两数大小的方法是什么?
2
不等关系与不等式(一)
一、知识学习
二、例题分析
问题情境
不等式的 1 概念实数大小 1 比较
例1
例2
例3
三、课外练习
作业:课本
3
问题一:
这个数学问题怎么解决?
这是一个不等式的证明问题
5
问题三:设点A与平面a的距离为d， B为平面a上的任意一点，则d≤│AB│
A
d
O
B
6
问题四: 某杂志以每本 2.5 元的价格销售时，销售量为 8 万册．经过调查，若价格每提高 0.1 元，销售量就减少 2000 册．要使杂志社的销售收入不低于 20 万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
∴当 x 0 时, ( x2 1)2 ( x4 x2 1) 0
∴当 x 0 时, ( x2 1)2 ( x4 x2 1)
作差
变形
定符号
确定大小
12
bm b b 、m 都是正数,且 a b ,求证: 例 3 已知 a 、 am a
b m b (b m)a (a m)b 证明: ∵ am a (a m)a ab ma ab bm (a m)a m(a b) (a m)a ∵a、 b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
60
Байду номын сангаас
6 0
4
问题二: 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?

高中数学(人教a版)不等关系与不等式

不等关系与不等式1．不等符号与不等关系的表示：(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于＞≥＜≤≤≥≥≤1．比较两实数a，b大小的依据2．不等式的性质名称式子表达性质1(对称性)a>b⇔b<a性质2(传递性)a>b，b>c⇒a>c性质3(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c推论a＋b>c⇒a>c－b性质4(可乘性)a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bc性质5(不等式同向可加性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d性质6(不等式同向正数可乘性)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd性质7(乘方性)a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥1)性质8(开方性)a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)比较两数(式)的大小例1.比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2.2．已知a >0，试比较a 与1a 的大小.不等式的性质应用探究1 小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b <3， ∴13<1b <12，又∵－6<a <8， ∴－2<ab <4.你认为正确吗？为什么？探究2 由－6<a <8，－4<b <2，两边分别相减得－2<a －b <6，你认为正确吗？探究3 你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a －b <4， ∴－4<b －a <－2. 又∵－2<a ＋b <2， ∴0<a <3，－3<b <0， ∴－3<a ＋b <3.这怎么与－2<a ＋b <2矛盾了呢？一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系三个“二次”的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图得等的集不式解f(x)＞0{x|x＜x1_或x＞x2}⎩⎨⎧x⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠－b2a R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅解一元二次不等式(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6. 2．解下列不等式：(1)2x2－x＋6>0；(2)(5－x)(x＋1)≥0.解含参数的一元二次不等式例1解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．解含参数的一元二次不等式的一般步骤2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0).分式不等式的解法解下列不等式：(1)2－xx＋4>0；(2)x＋1x－2≤2.1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．3.f(x)g(x)＞0⇔f(x)g(x)＞0；f(x)g(x)＜0⇔f(x)g(x)＜0；f(x)g(x)≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0；f(x)g(x)≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0. 2．解下列不等式：(1)x－3x＋2<0；(2)x＋12x－3≤1.一元二次不等式的实际应用例1.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系探究1利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？探究2方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？1.若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．3．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．课后练习1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y <0时x 的取值范围是________.4．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则实数a ＝________，实数b ＝________.5．解下列不等式： (1)x (7－x )≥12； (2)x 2>2(x －1)．。