第7章误差椭圆

ˆ0 2.0cm 。 (同例1） 并求得
试求 150 时的位差。
1) 注意方向； 2）如知道E、F值又如何求？（即利用例1的计算结果）
7.2
误差曲线与误差椭圆
2 2 2 2 2 =E cos F sin 可以看出： 由公式
以不同的ψ和σψ为极坐标的点的轨迹为一闭合曲线；
4）根据投影再求该方向的位差。
由下图可得：
pp pp cos x sin y x cos sin y
X ∆Y υ ∆X υ P’’ P ∆P P’
方位角=υ P’’’ 方位角=υ
∆υ
O
Y
pp pp
② 点位中误差的计算方法 1）按纵、横坐标方差来求：

2 P 2 x
2 y
回顾条件平差、间接平差计算纵、横坐标方差的过程。
2）按纵向、横向上的位差来求
X ∆P
P″
∆u P′
∆S
P A
显然，有：
P S u
2 2
2
Y
由中误差的定义可得：

2 P 2 s
7.2.2 误差椭圆
误差曲线优点： 能直观地反映点位在任意方向上的位差； 能够图解出点位在各个方向上的位差。
误差曲线缺点： 它不是一种典型曲线，故作图不方便!降低了实用 价值。 因为：它形状与以E、F为长、短半轴的椭圆很相 似，故常用该椭圆来近似代替误差曲线。
误差椭圆与误差曲线的关系如下图； 任意方向的点位误差：M OD 。 P为切点，D为垂 点。
2 2 2 2 2 2
2 x 2 y
E (P 2 ) E (x 2 y 2 )
P2 x 2 y 2E (x 2 ) E (y 2 )
2 2 x y 2 P

2 P 测量上把 P 定义为“点位方差”，并把 差，简称“点位误差” 。
叫做点位中误
1 QEE (Qxx Qyy K ) 2 1 QFF (Qxx Qyy K ) 2
2 K (Qxx Qyy ) 2 4Qxy
(公式4）
则极大、极小值为：
1 2 2 E2 0 QEE 0 (Qxx Qyy K ) 2 1 2 2 F2 0 QFF 0 (Qxx Qyy K ) 2
了解条件平差法误差椭圆的计算方法
第五章
点位误差分析方法
本章学习的重点和难点
误差曲线与误差椭圆的联系与区别； 误差椭圆、相对误差椭圆三要素计算。 误差椭圆的应用
第五章
点位误差分析方法
随着GIS的兴起和蓬勃发展，点位数据的不 确定性研究越来越变得重要. 一些精密的工程测量，如指导贯通掘进的 近井点或其他施工放样等工程的控制点设 置，确定待定点在什么方向上具有最大误 差或者最小误差以及在任意方向上的误差 数值具有很重要的工程应用价值
2 u
关于纵向、横向误差：
∆U为纵向误差、∆S为横向误差。∆P为点位真误差。
各是由什么影响而来的？ 点位精度与测角、测边精度的关系怎样？ P A S β ∆β ∆P ∆u ∆S P1 P2
B
横向误差和测角误差的关系：
u S
P
ΔP ΔS
P’’

u
S

2）即：先作ψ方向线，在垂直于该方向上作椭圆的 切线，则垂足与原点的连线长度就是ψ方向上的位 差σψ。
5.1
点位误差
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精度； 待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的大小 来评定；
本节介绍点位误差的概念、计算以及表示方法。
5.1.1 点位误差的概念
待定点的估值位置偏离其真实位置的距离P称为点位真误差，简 称为“真位差”。
X ∆Y ∆X ∆P P（真） P‘（估）
A Y O
显然有：
P 2 x 2 y 2 ˆ, y y y ˆ) (其中：x x x
①
点位误差的定义:
ˆ E ˆ Ey ˆ E (y ) E y y y
ˆ) ˆ Ex ˆ E (x ) E x ( x x E
QXX ˆˆ
ˆ0 并求得
1.75 0.25 2 2 ( cm /( ) ) 0.25 1.25
2.0cm
。
试求（1）点位误差； （2）E、F和极值方向。
7.1.4 以E、F表示任意方向ψ上的位差
说明：任意方向ψ指以E轴为起算的方向！（与φ不同。）
E ∆F P’ ∆E P ∆P P’’’ ∆ψ P’’ F ψ
因为：
x cos x sin y cos sin y
按协因数传播律有：
Q cos Qx ˆ Q ˆy ˆ x
2
sin Qx ˆy ˆ cos Qy ˆ sin
2
Q Qxx cos Qyy sin Qxy sin 2
Δβ S
ΔU
P’
3）按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求
不难看出：
P2 (x)2 (y)2
由方差定义，可得：

2 P 2 x
2 y
由上讨论可的如下结论：
点位方差大小不受坐标系的影响； 不同的坐标系，其位差分量大小是不同的； 点位位差可由任意两个互相垂直的方向上的坐标方 差来求得。 故，点位误差计算公式为：
2 E 2 cos2 F 2 sin 2 （E cos sin F sin cos）
只需：
2 （E cos sin F sin cos） 0
则有： 即：
OD E cos F sin
2 2 2 2 2
OD=σψ
PD直线斜率为：
任意方向位差的大小与方向φ有关； 取不同方向，就会有不同权倒数； 在众多权倒数中，必有一个取得极大和极小值。
dQ
若使位差达到极值，则应使：
d
0
dQ
d (Qxx cos 2 Qyy sin 2 Qxy sin 2 ) d d 2Qxx cos sin 2Qyy sin cos 2Qxy cos 2 Qxx sin 2 Qyy sin 2 2Qxy cos 2 (Qxx Qyy ) sin 2 2Qxy cos 2 0
设φ0为位差的极值方向，则有：
tg 2 0
2Qxy Qxx Qyy
tg (2 0 180 )
0
（公式3）
解上式得到两个根：其中一个为极大方向φE，另 一个为极小方向φF；用这两个根分别带到任意方向 位差的公式就会得到极大值E和极小值F！
也可按下式求P点位差的极大、极小值：
以不同方向，计算该方向位差，利用解析法作图；
也可求得某点的极值方向、极值后，用作图方法 来求得。
它是一个形如“腰形”的图形。
3、误差曲线的用途
B
A 即可以利用图解方法求点位中误差、任意方向上的位差等。
上节内容回顾： 1、点位误差计算； 2、任意方向位差计算方法（两种）； 3、位差极值方向、极值大小计算； 4、误差曲线定义、用途。 本节内容： 1、误差椭圆定义； 2、误差椭圆与误差曲线关系； 3、误差椭圆应用； 4、相对误差椭圆计算、应用。

2 P 2 x
2 y 2 u 2

2 s 2
（公式1）
90
7.1.2
任意方向φ的位差
说明：
1）φ指的是方位角为φ的方向！ 2）为求P点在任一方向上的位差，需先找P在φ方 向上的真误差∆φ与∆X、∆Y的函数关系； 3）真误差∆φ就是∆P在φ方向上的投影值。
这一曲线上的点至中心的连线就是连线方向的位差。 故，将这条曲线称为“误差曲线”或“点位精度曲线”， 见下图。
x
E
E
O
y
c
F
7.2.1 误差曲线
1、误差曲线定义：
1）直观：把各方向的位差清楚地图解出来了； 2）任意方向ψ上的向径0P就是该方向的位差σψ。
3）图形是关于E轴和F轴对称的。
2、误差曲线图的绘制
2 K (Qxx Qyy ) 2 4Qxy
(公式5）
极大、极小方向的计算公式：
QEE Qxx tan E Qxy QFF Qxx tan F Qxy
不难得出：
(公式6）
E F
2 p 2
2
例1：已知某平面控制网中有一个待定点，经平差 求得参数协因数阵为
则，任意方向位差公式：
2 2 0 Q 2 0 (Qxx cos 2 Qyy sin 2 Qxy sin 2 )
（公式2）
7.1.3 位差的极值和极值方向
Q Qxx cos Qyy sin Qxy sin 2
2 2
从上公式可看出：
2）按误差椭圆来求任意方向的位差
其方法是：自椭圆作ψ方向的正交切线CD，C为切点，D为垂 点，则σψ=OD。（注意：σψ≠OP）
C
P ψ
O
D
F
3）证明上图：σψ=OD
P(x‘,y’)
Y’ Ψ p
X‘
τ
C
D
ψ
O
OD=OC+CD=x’cosψ+y’sinψ
OD=Ecosτcosψ+Fsinτsinψ(p是椭圆上的一点）
误差理论与测量平差基础
第五章
点位误差分析方法
本章教学内容
5.1 点位误差
5.2 误差曲线与误差椭圆
5.3 相对误差椭圆
5.4 条件平差法误差椭圆的计算 5.5
第五章
点位误差分析方法
本章学习的目的和要求
了解点位误差概念； 掌握任意方向位差、位差极值和极值方向的计算方法； 掌握误差椭圆三要素计算方法; 熟悉误差曲线与误差椭圆的关系，并学会误差椭圆的应用。 了解相对误差椭圆概念。
2 2 2 2 ˆ（ Q cos Q sin ） 0 EE FF
（公式7）
=E 2 cos 2 F 2 sin 2
例2：已知某平面控制网中有一个待定点，经平差求得参数 协因数阵为
QXX ˆˆ
1.75 0.25 2 2 ( cm /( ) ) 0.25 1.25
• OD=Ecosτcosψ+Fsinτsinψ • 两边平方，得：
OD 2 E 2 cos2 cos2 F 2 sin 2 sin 2 2 EF cos cos sin sin E 2 cos2 （1 sin 2 ） F 2 sin 2 （1 cos2 ） 2 EF cos cos sin sin E 2 cos2 F 2 sin 2 （E 2 cos2 sin 2 F 2 sin 2 cos2 2 EF cos cos sin sin
由上图，可得：
cos E sin F
cos E sin F
即：
E cos sin F
由协因数传播律得：
Q QEE cos QFF sin QEF sin 2
2 2
以E、F表示的任意方向上的位差公式：
dY cos 0 tg (90 ) ctg dX sin
而：
dY dY d F cos dX d dX E sin
故有：
F cos sin E sin cos
总结： 1）误差曲线是误差椭圆的垂足曲线；
x
E
O
y
F
（椭圆与曲线关系）
（任意方向位差）
1）误差椭圆作图的方法
X E cos Y F sin , ( 为参数）
P
P （ X ’， Y ’）
P’ X’=Ecosτ
Y’=Fsinτ
P‘’
τ
O
可见，P点的轨迹就是误ຫໍສະໝຸດ Baidu椭圆！
F
思考：向径OP是不是OP方向的位差？