与球有关的高考试题

析： 问题的解决根本——求球半径 R OB 。
与 R 相关的重要性质 R2 r 2 d 2 中， r 2 可求（∵ r 2 7
4
∴r 2
7）
4
问题转化到求 d OC 上
充分运用题目中未用的条件，
于是 R 2 7 R 2 求得 R2 48
R
OM
，∠ OMC=45 °，∴ d
2
2 ，∴ S 4 R2 8
【答案】 C
【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．
C
O
A
B
2．(2015 ·辽宁高考 ) 已知直三棱柱 ABC- A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O的球面上，若 AB＝ 3，AC
＝ 4， AB⊥AC， AA1＝12，则球 O的半径为 (
)
3 17 A.
2
B． 2 10
13 C. 2
D． 3 10
（ B）3
（ C）2
（ D）
类型三： 通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。
7.15. 设 OA 是球 O 的半径， M 是 OA 的中点， 过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面得到圆
C 。若圆 C 的面积等于 7 ，则球 O 的表面积等于 4
.（2015 年文科）
R 22
8.(11) 已知平面 α 截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 α成二面角的平面 β截该球面得圆 N. 若该球面的
半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为 D （ 2014 年理科）
E， F 分别是棱
AB， CD的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2，则该球的表面积为 ( )
A． 9π
B． 3π
C． 2 2π
D． 12π
解析：选 D 该几何体的直观图如图所示，
该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为
PC. 由直线 EF 被球面所截得的线
段长为 2 2，可知正方形 ABCD对角线 AC的长为 2 2，可得 a＝ 2，在△ PAC中 PC＝ 22 2 2 2
球面距离为 2 ，则 AO1B = . 3
（ 2015 年理科）
2.15 ．如图球 O的半径为 2，圆 O1 是一小圆， O1O 2 ， A、 B 是圆 O1 上两点，若
则 A,B 两点间的球面距离为
（ 2014 年文科）
AO1B = ， 2
类型二： 球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通
解析：设正四面体棱长为
a，则正四面体表面积为
S1＝ 4·
3 4·
a2＝
3a2，其内切球半径为正
1
16 6
四面体高的 4，即 r ＝ 4· 3 a＝ 12 a，因此内切球表面积为
S2＝
4π
r
2
＝
π a2 6 ，则
S1 S2＝
3a2 π a2 ＝
63 π.
6
63 答案： π 4．四棱锥 P- ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，
2
2sin BAC
∴ R2 r 2 d 2 4 1 5. ∴ S 4 R2 20 。
4 4 4 2 3，
4.14．正三棱柱 ABC A1B1C1 内接于半径为 2 的球，若 A, B 两点的球面距离为
体积为 8 ．（ 2013 年理科）
，则正三棱柱的
5.12．已知球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上的两点， AB= 3 ， ASC
— ABC 的体积为
C （ 2014 年理科）
BSC 30 ，则棱锥 S
A． 3 3
B． 2 3
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C． 3
D．1
6（. 11）已知 S, A, B ,C 是球 O 表面上的点， SA 平面 ABC ，AB BC ，SA AB 1 ，BC 2 ，
则球 O 表面积等于 A （ 2015 年文科）
（ A）4
＝ 2 3，球的半径 R＝ 3，∴ S表＝ 4πR2＝ 4π× ( 3) 2＝ 12π .
四、典型例题精析
类型一： 有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。 （两题互换条件形成不同的题）
1.15 ．如图球 O的半径为 2，圆 O1 是一小圆， O1O 2 ， A、 B是圆 O1 上两点，若 A，B 两点间的
2．正方体的内切球其棱长为球的直径．
3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．
4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为
3∶ 1.
方法主要是“补体”和“找球心”
考试核心： 性质的应用 d2 OO12 R2 r 2 ，构造直角三角形建立三者之间的关系。 三、高考试题精练
1. （ 2015 高考新课标 2，理 9）已知 A,B 是球 O的球面上两点，∠ AOB=90,C为该球面上的动点，若 三棱锥 O-ABC体积的最大值为 36，则球 O的表面积为 ( ) A． 36π B.64 π C.144 π D.256 π
2016 年高考数学微专题：与球体有关的问题
一、高考趋势分析：
立体几何章节在传统的高考中分值占 22 分左右，以两小一大的形式出现较多。与球
相关的问题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下
，也是每年高考热点，
每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。
二、基础知识点拨：
1 ．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．
15
1
解析： 选 C 如图， 由球心作平面 ABC的垂线， 则垂足为 BC的中点 M. 又 AM＝ 2BC＝ 2，OM＝ 2AA1
＝ 6，所以球 O的半径 R＝ OA＝
5 2
2
＋
62
＝
13 2.
3．(2016 ·长春模拟 ) 若一个正四面体的表面积为
S1 S1，其内切球的表面积为 S2，则 S2＝ ________.
∵ AA 1=2,
∴ d OO1 OO2
1 AA1 1 。 2
现将问题转化到⊙ O2 的半径之上。
因为△ ABC是⊙ O2 的内接三角形，又知 AB=AC=2，∠ BAC=120°，三角形可解。
由余弦定理有 BC AB2 AC2 2 AB AC cos BAC
由正弦定理有
BC
2r
sin BAC
r
BC
过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径
c
2 r ，从而解决问题。
sin C
3.15. 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， 若 AB AC AA1 2 ,
BAC 120 ，则此球的表面积等于
。（ 2014 年理科）
析： 欲求球的表面积，归根结底求球半径 R ，与 R 相关的是重要性质 R2 r 2 d 2 。