实验二-IIR数字滤波器的设计

实验二IIR数字滤波器的设计

1、实验目的

（1）掌握脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器的具体方法和原理，熟悉双线性变换法和脉冲响应不变法设计低通、带通IIR数字滤波器的计算机编程；

（2）观察双线性变换法和脉冲响应不变法设计的数字滤波器的频域特性，了解双线性变换法和脉冲响应不变法的特点和区别；

（3）熟悉Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器和椭圆滤波器的频率特性。

2、实验原理与方法

IIR数字滤波器的设计方法可以概括为如图所示，本实验主要掌握IIR滤波器的第一种方法，即利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器，这是IIR数字滤波器设计最常用的方法。利用模拟滤波器设计，需要将模拟域的H a(s)转换为数字域H(z)，最常用的转换方法为脉冲响应不变法和双线性变换法。

（1）脉冲响应不变法

用数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应h a(t)，让h(n)正好等于h a(t)的采样值，即

n

h

h

)

)

(

(nT

a

其中T 为采样间隔。如果以H a (s)及H(z)分别表示h a (t)的拉氏变换及h(n)的Z 变换，则

∑∞-∞==-=k a e z k T

j s H T z H sT )2(1|)(π 在MATLAB 中，可用函数impinvar 实现从模拟滤波器到数字滤波器的脉冲响应不变映射。

（2）双线性变换法

S 平面与z 平面之间满足下列映射关系

11112--+-=z z

T s 或 s T

s T z -+=22 S 平面的虚轴单值地映射于z 平面的单位圆上，s 平面的左半平面完全映射到z 平面的单位圆内。双线性变换不存在频率混叠问题。

在MATLAB 中，可用函数bilinear 实现从模拟滤波器到数字滤波器的双线性变换映射。 双线性变换是一种非线性变换，即2

tan 2ωT =

Ω，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸变得到校正。

（3）设计步骤

IIR 数字滤波器的设计过程中，模拟滤波器的设计是关键。模拟滤波器的设计一般是采用分布设计的方式，这样设计原理非常清楚，具体步骤如前文所述。MATLAB 信号处理工具箱也提供了模拟滤波器设计的完全工具函数：butter 、cheby1、cheby2、ellip 、besself 。用户只需一次调用就可完成模拟滤波器的设计，这样虽简化了模拟滤波器的设计过程，但设计原理却被屏蔽了。

模拟滤波器设计完成之后，利用impinvar 或bilinear 函数将模拟滤波器映射

为数字滤波器，即完成了所需数字滤波器的设计。

下图给出了实际低通、高通、带通和带阻滤波器的幅频特性和各截止频率的含义。另外，为了描述过渡带的形状，还引入了通带衰减和阻带衰减的概念。

图 实际滤波器的幅频特性和各截止频率的含义

通带衰减：|)(||

)(|log 200p j j p e H e H ωα= dB

阻带衰减：|

)(||)(|log 200s j j s e H e H ωα= dB 在MATLAB 信号处理工具箱中，通常用R p 和R s 来表示αp 和αs 。

3、实验内容

（1）参照教材 5.5节所述滤波器设计步骤，利用双线性变换法设计一个Chebyshev I 型数字高通滤波器，观察通带损耗和阻带衰减是否满足要求。已知滤波器的指标为f p =0.3kHz ，αp =1.2dB ，f s =0.2kHz ，αs =20dB ，T=1ms 。

（2）已知f p =0.2kHz ，αp =1dB ，f s =0.3kHz ，αs =25dB ，T=1ms ，分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计一个Butterworth 数字低通滤波器，观察所设计

数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查是否满足要求。比较这两种方法的优缺点。

（3）设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.25π~0.45π，通带内最大衰减3dB，0.15π以下和0.55π以上为阻带，阻带内最小衰减为15dB，试采用Butterworth或ellip（椭圆）模拟低通滤波器设计。

（4）利用双线性变换法设计一个带宽为0.08π的10阶椭圆带阻滤波器以滤除数字频率为0.44π的信号，选择合适的阻带衰减值，画出幅度响应。产生下面序列的201个样本

.0

(=，n=0，2，…，200

)

sin

44

n

n

xπ

并将它通过这个带阻滤波器进行处理（filter函数），讨论所得到的结果。

4、实验报告

（1）简述实验目的和实验原理。

（2）按实验步骤附上所设计的滤波器传递函数H(z)及相应的幅频特性曲线，定性分析所得到的图形，判断设计是否满足要求。

（3）总结脉冲响应不变法和双线性变换法的特点及设计全过程。

（4）收获与建议。

5、实验源程序

%用双线性变换法设计一个Chebyshev型高通滤波器程序如下

Rp=1.2;Rs=20;T=0.001;fp=300;fs=200;

%求出待设计的数字滤波器的边界频率

wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;

%预畸变

wp1=(2/T)*tan(wp/2);ws1=(2/T)*tan(ws/2);

%设计模拟滤波器

[n,wn]=cheb1ord(wp1,ws1,Rp,Rs,'s');

[b,a]=cheby1(n,Rp,wn,'high','s');

%双线性变换

[bz,az]=bilinear(b,a,1/T);

[db,mag,pha,w]=freqz_m(bz,az);plot(w/pi,db);

axis([0,1,-30,2]);

%用双线性变换法设计一个Butterworth型数字低通滤波器程序如下Rp=1;Rs=25;T=0.001;fp=300;fs=200;

%求出待设计的数字滤波器的边界频率

wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;

%预畸变