高数微积分公式大全(总结的比较好)

高等数学微积分公式大全
一、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1
x x
μ
μμ-= ⑶()sin cos x x '=
⑷()cos sin x x '=- ⑸()2
tan sec x x '= ⑹()2
cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅
⑼()x
x
e
e
'= ⑽()ln x
x
a
a
a '= ⑾()1
ln x x
'=
⑿(
)1
log ln x
a
x a
'= ⒀(
)arcsin x '= ⒁(
)arccos x '=
⒂()21arctan 1x x '=
+ ⒃()2
1arccot 1x x '=-+⒄()1x '=
⒅
'=二、导数的四则运算法则
()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭
三、高阶导数的运算法则 （1）()()()
()
()
()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()
()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦
（3）()()()
()n n n
u ax b a u
ax b +=+⎡⎤⎣⎦
（4）()()()
()()()()0
n
n n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦
∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()
()
!n n
x
n = （2）()
()
n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()
()
ln n x x n a a a =
(4)()()
sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n n
ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝
⎭ (6)()
()
()
1
1!
1n n n
n a n ax b ax b +⋅⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
+ (7) ()()
()
()()
1
1!
ln 1n n n n
a n ax
b ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦
+
五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1
d x
x
dx μ
μμ-= ⑶()sin cos d x xdx =
⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2
tan sec d x xdx = ⑹()2
cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()x
x
d e
e dx = ⑽()ln x
x
d a a
adx = ⑾()1
ln d x dx x
=
⑿(
)1
log
ln x
a
d dx x a =
⒀()arcsin d x =
⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =
+ ⒃()2
1
arccot 1d x dx x
=-+ 六、微分运算法则
⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2
u vdu udv
d v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭
七、基本积分公式
⑴kdx kx c =+⎰
⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰
⑻2
21sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼2
21csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰
⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾
arcsin x c =+
八、补充积分公式
22
11arctan x
dx c a x a a
=++⎰ 22
11ln 2x a
dx c x a a x a
-=+-+⎰
arcsin
x
c a
=+ ln x c =+
十、分部积分法公式
⑴形如n ax x e dx ⎰
，令n
u x =，ax
dv e dx =
形如sin n x xdx ⎰令n
u x =，sin dv xdx =
形如cos n x xdx ⎰
令n
u x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，n
dv x dx =
形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，n
dv x dx =
⑶形如sin ax e xdx ⎰
，cos ax e xdx ⎰
令,sin ,cos ax
u e x x =均可。

十一、第二换元积分法中的三角换元公式
sin x a t = (2) tan x a t = sec x a t =
【特殊角的三角函数值】
（1）sin 00= （2）1sin
6
2π
=
（3）sin 3π= （4）sin 12
π
=） （5）sin 0π=
（1）cos01= （2）cos
6
2π
=
（3）1cos 32π= （4）cos 02π
=） （5）cos 1π=-
（1）tan 00= （2）tan
6
3π
=
（3）tan 3π=（4）tan 2
π
不存在 （5）tan 0π=
（1）cot 0不存在 （2
）cot 6
π
= （3
）cot
3
π
=
（4）cot 02
π
=（5）cot π不存在 十二、重要公式
（1）0sin lim 1x x
x
→= （2）()1
0lim 1x x x e →+= （3
）)1n a o >=
（4
）1n = （5）limarctan 2
x x π
→∞
=
（6）lim tan 2
x arc x π
→-∞
=-
（7）limarccot 0x x →∞
= （8）lim arccot x x π→-∞
= （9）lim 0x
x e →-∞
=
（10）lim x x e →+∞
=∞ （11）0
lim 1x
x x +
→= （12）0
101101lim 0
n n n m m x m a n m
b a x a x a n m b x b x b n m
--→∞⎧=⎪⎪+++⎪
=<⎨+++⎪∞
>⎪⎪⎩
L L （系数不为0的情况） 十三、下列常用等价无穷小关系（0x →）
sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2
11cos 2
x x -:
()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ∂
+-∂:
十四、三角函数公式 1.两角和公式
sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+
tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
- tan tan tan()1tan tan A B
A B A B --=+
cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅-+=
+ cot cot 1
cot()cot cot A B A B B A ⋅+-=- 2.二倍角公式
sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=-
2
2tan tan 21tan A
A A
=
- 3.半角公式
sin
2A =
cos 2A =
sin tan
21cos A A A ==+
sin cot 21cos A A A
==-
4.和差化积公式
sin sin 2sin
cos 22a b a b a b +-+=⋅ sin sin 2cos sin
22a b a b
a b +--=⋅ cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=⋅ cos cos 2sin sin
22a b a b
a b +--=-⋅ ()sin tan tan cos cos a b a b a b
++=
⋅
5.积化和差公式
()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--⎡⎤⎣⎦ ()()1
cos cos cos cos 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣
⎦ ()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦ ()()1
cos sin sin sin 2
a b a b a b =+--⎡⎤⎣⎦ 6.万能公式
22tan
2sin 1tan 2
a
a a
=
+ 2
2
1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 2
2tan
2tan 1tan 2
a
a a
=- 7.平方关系
22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x -= 22csc cot 1x x -=
8.倒数关系
tan cot 1x x ⋅= sec cos 1x x ⋅= c sin 1cs x x ⋅=
9.商数关系
sin tan cos x x x =
cos cot sin x
x x
= 十五、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：
()()dy
f x
g y dx
= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
3.一阶线性非齐次微分方程：
()()dy
p x y Q x dx
+= 解为：
()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦
⎰。