高等数学作业

高等数学作业CⅠ吉林大学数学中心2013年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．以下各组中（ ）中()f x 与()g x 为同一函数． （A ）2()ln ,()2ln f x x g x x ==； （B ）22()sin ,()sin f x x g x x ==；（C ）()()f x g x x ==；（D ）()()f x g x ==2．在)0,(-∞上，下列函数中无界的函数是( )． （A ）x y 2=；（B ）x y arctan =； （C ）112+=x y ； （D ）x y 1=． 3．下列函数中是奇函数的为( )．（A ）x x ||；（B ）21010x x -+； （C ）x x cos 3+； （D ）xx sin ．4．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( )． （A ）π；（B ）π32；（C ）π2； （D ）π6．5．设⎩⎨⎧<≥=,0,,0,)(2x x x x x f 45)(-=x x g ，则)]0([g f = ( )．（A ）0； （B ）4-； （C ）16； （D ）16-．二、填空题1．设}4|{},53|{>=<<=x x B x x A ，则B A \= ． 2．设32)(+=x x f ，则]3)([-x f f = ． 3．将复合函数1sin2+=x a y 分解成简单函数为 ．4．函数12)(-=x x f 的反函数)(1x f -= ．5．已知)(x f 的定义域为[0, 1]，则)(ln x f 的定义域是 ．三、计算题1．设x x f cos 12sin +=⎪⎭⎫ ⎝⎛，求)(cos x f ．2．讨论函数e e ()||e e x xx xf x x ---=+的奇偶性．3．某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超过部分需打9折出售，试将销售总收益与总销量的函数关系用数学表达式表出．四、证明题已知函数)()(R ∈x x f 的图形关于直线a x =与)(b a b x <=均对称，证明)(x f 是周期函数．第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．已知0)(>x f ，且k x f x =→)(lim γ，则必有( )．（A ）k ≥0；（B ）0>k ；（C ）0=k ；（D ）0<k ．2．已知)]()([lim x g x f x +→γ存在，则)(lim x f x γ→与)(lim x g x γ→( )．（A ）均存在；（B ）均不存在；（C ）至少有一个存在；（D ）都存在或都不存在． 3．“)0(0-x f 与)0(0+x f 存在且相等”是“)(lim 0x f x x →存在”的( )条件．（A ）充分； （B ）必要； （C ）充分且必要； （D ）非充分且非必要．4．当∞→x 时，x x y cos =是( )．（A ）无穷大；（B ）无界函数但不是无穷大； （C ）有界函数； （D ）无穷小． 5．已知011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则( )． （A ）1==b a ； （B ）1-==b a ；（C ）1,1=-=b a ； （D ）1,1-==b a ．6．0=x 是x y 1arctan =的( )间断点．（A ）可去；（B ）跳跃；（C ）无穷；（D ）振荡．7．0=x 是函数xx x f )1ln()(+=的( )． （A ）连续点； （B ）跳跃间断点； （C ）无穷间断点； （D ）可去间断点．二、填空题1．设21e )1(lim =-→xx kx ，则k = ．2．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++∞→nn n n n n n n n 11cos 1sin 1lim 23= ．3．⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n = ．4．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ．5．⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n 2113211211lim = 6．当0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小．7．142e sin lim ||1e x n x x x →∞⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭． 8．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=,0,23,0,,0,2sin )(x x x a x x xx f 在0=x 点连续，则=a ．9．函数xx x x x x f sin )1()23(||)(22-++=的无穷间断点是 ．三、计算与解答题1．已知0→x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+-=0,sin 0,)e 1(1e )(/1x x ax x x xf x x 有极限，求⎪⎭⎫⎝⎛2πf ．2．求nnnn 1)321(lim ++∞→．四、证明题1．设 ,2,1,6,611=+==+n x x x n n ，证明n x x ∞→lim 存在，并求之．2．设)(x f 在]2,0[a 上连续，且)2()0(a f f =，证明方程)()(x f a x f =+在],0[a 上至少有一个实根．五、应用题你买的彩票中奖1百万元，你要在两种兑奖方式中进行选择，一种为分四年每年支付250000元的分期支付方式，从现在开始支付；另一种为一次支付总额为920000元的一次付清方式，也就是现在支付，假设银行利率为6%，以连续复利方式计息，又假设不交税，那么你选择哪种兑换方式？．第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设22t x =，t y 2=，则==222d d t x y( )．（A ）41；（B ）81；（C ）641-； （D ）161-． 2．设方程e e =+xy y确定了y 是x 的函数，则='=0x y ( )．（A ）1；（B ）e1-；（C ）1-；（D ）e1．3．已知)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则)()4(x f 为( )． （A ）5)]([!4x f ； （B ）6)]([!4x f ； （C ）5)]([4x f ；（D ）5)]([x f ．4．设|1|ln x y -=，则='y ( )． （A ）|1|1x -； （B ）|1|1x --； （C ）x-11；（D ）x--11． 5．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1arctan )(x x xx x f 则)(x f 在0=x 处( )． （A ）不连续； （B ）连续但不可导； （C ）可导但导数不连续；（D ）可导且导数连续．6．()()()f x x a x ϕ=-，且lim ()0,()1x ax a ϕϕ→==，则()f a '= ( )． （A ）0； （B ）a ； （C ）1； （D ）不存在．7．设)(x ϕ在a x =连续，)(||)(x a x x f ϕ-=，若)(x f 在a x =可导，则)(x ϕ应满足( )．（A ）0)(>a ϕ； （B ）0)(<a ϕ； （C ）0)(≠a ϕ； （D ）0)(=a ϕ．8．若)(x f 在a x =处左，右导数)(),(a f a f +-''都存在，但)()(a f a f +-'≠'，则)(x f 在a x =处( )．（A ）不连续；（B ）连续但不可导；（C ）可导；（D ）以上都不对．二、填空题1．曲线x x y e +=在0=x 处的切线方程是 ． 2．设)(2e x fy =，其中)(x f 可微，则=y d ．3．若)(x f 在0x x =处可导，并且3)(0='x f ，则=--→)()(lim000x f h x f hh ．4．设x a y -=，则=)(n y ．5．设3)(x x f =，则=')2(f ，[]=')2(f ． 6．已知xx f x 11d d =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛，则=⎪⎭⎫⎝⎛'21f ． 7．⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,00,1sin )(x x xx x f α)0(>α，则当α 时，)(x f 在0=x 连续；当α 时，)(x f 在0=x 可导；当α 时，)(x f '在0=x 连续．8．设函数()y f x =在点0x 可导，且则0()0f x '≠，则0d lim x y yx∆→∆-=∆ ．三、计算题1．设)ln(22a x x xa y x +++=，)1,0(≠>a a ，求0='x y ．2．设241ln 2arctan 2x x x y +-=，求y ''．3．设x x y xsin e 1=，求y '．4．设)(x f ''存在，)(ln x f y =，求22d d xy．5．设()y f x =由方程e 1yy x -=所确定，求22d d x yx=．6．已知)(x f 在1=x 处具有连续的导数，且2)1(='f ，求)(cos d dlim 0x f xx +→．四、证明题设函数)(x f 对任何实数b a ,有)()()(b f a f b a f ⋅=+，且1)0(='f ，试证：)()(x f x f ='．第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( )． （A ）]1,1[|,|-=x y ； （B ）],0[,sin πx y =； （C ）]e ,1[,ln x y =； （D ）]1,0[,arctan x y =． 2．)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f <，则( )．（A ）必存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf ； （B ）不存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf ； （C ）必存在),(b a ∈ξ，使0)(>'ξf ； （D ）必存在),(b a ∈ξ，使0)(<'ξf ．3．设2)e 1()21ln()cos 1(tan lim 2=-+--+-→x x d x c x b x a ，其中022≠+c a ，则必有( )．（A ）d b 4=； （B ）d b 4-=； （C ）c a 4=； （D ）c a 4-=．4．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0( )．（A ）31； （B ）61； （C ）121； （D ）0．5．下列各极限都存在，能用洛必达法则求的是( )．（A ）xx x x sin 1sinlim20→；（B ）xx xx x sin cos lim+++∞→；（C ）xx x arccot 2arctan limπ-+∞→；（D ）xx xx x --+∞→+-e e e e lim ．二、填空题1．设)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)(='x f 的实根个数为 个，它们分别在区间 ．2．()xx x 11lim ++∞→= ．3．已知111e lim2=----→xb ax x x ，则=a ，=b ．4．当1≥x 时，≡+-xx 1arcsin1arctan 2． 5．2()ln(1)f x x x =+，则()(0)n f = ，(2)n >．三、计算题1．利用泰勒公式求极限 6202cos 2e e lim x x x x x x --+-→．2．求)cos 1(sin e e e e 2e lim 2230x x x x xx x x x x -++--→．．3．求n四、证明题1．证明：|b-≤a-．arctan||arctan|ab2．)(x f 为],[b a 上正值连续函数，在),(b a 内可导，则至少存在一点),(b a c ∈，使得)()()()()(lna b c f c f a f b f -'=．3．)(x f 在[0,3]上连续，在(0, 3)内可导，(0)1,(1)(2)(3)3f f f f =++=．证明至少存在一点(0,3)ξ∈，使得()0f ξ'=．第五次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点，则在该点处( )． （A ）0)(0=''x f ； （B ）曲线)(x f y =必有切线； （C ）0)(0='x f ； （D ）曲线)(x f y =可能没有切线． 2．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>-≤<<=2,1,2ln 10,e 0,e 1x x x xx x y x x 的垂直渐近线是( )． （A ）0,2==x x ； （B ）2=x ； （C ）1,2==x x ； （D ）1,0==x x ． 3．设)(x f 在[0, 1]上有二阶导数，且0)(>''x f ，则下列不等式中正确的是( )． （A ）)0()1()0()1(f f f f ->'>'； （B ）)0()0()1()1(f f f f '>->'； （C ）)0()1()0()1(f f f f '>'>-； （D ）)0()1()0()1(f f f f '>->'．4．)(x f 二阶可导 0)(>'x f ，()0f x ''<，则在点0x 处，当0x ∆>时，有（ ）．（A ）d 0y y ∆<<； （B ）0y y >∆>d ； （C ）d 0y y ∆>>； （D ）d 0y y <∆<．5．设)(x f 有二阶连续的导数，且0)0(='f ，1)(lim 0=''→xx f x ，则( )．（A ）)0(f 是)(x f 的极大值； （B ）)0(f 是)(x f 的极小值； （C ）))0(,0(f 是)(x f y =的拐点； （D ）C B A ,,都不对．6．)(x f 在a x =的某邻域内连续，且1)()()(lim 20-=--→a x a f x f x ，则)(x f 在a x =处( )．（A ）不可导； （B ）可导，且0)(≠'a f ； （C ）取得极小值； （D ）取得极大值． 二、填空题1．x x x f -+=1)(的单调减少区间是 ．2．0)(0='x f 是可微函数)(x f 在0x 取得极值的 条件．3．函数|e |x x y -=的极小值点为 ，极小值为 ，极大值点为 ，极大值为 ，拐点为 ．4．函数c bx ax x y +++=23的图形上有一拐点)1,1(-，且在点0=x 处取极大值1，则=a ，=b ，=c ．5．曲线)1)(1()1sin(-+-=x x x y 的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 ．三、计算题1．求函数()(2)f x x =-2．求函数22e )(x x x f -=)40(≤≤x 的最大值，最小值，凹凸区间和拐点．3．从南到北的铁路干线经过甲，乙两城，两个城市相距15(km)，位于乙城正西2(km)处有一工厂，现要把货物从甲城运往工厂，铁路运费为3元/km ，公路运费为5元/km ．为使货物从甲城运往工厂的运费最省，应该从铁路干线的何处修建一条公路到工厂？4．设某产品生产Q 单位的总成本为12001100)(2Q Q C +=，求：（1）生产900个单位时的总成本和平均成本；（2）生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率； （3）生产900个单位的边际成本，并解释其经济意义．5．某商品需求函数为212)(p p f Q -==： （1）求需求弹性函数； （2）求6=p 时的需求弹性；（3）在6=p 时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化百分之几？四、证明题证明：当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++．阶段测试题学院 班级 姓名 学号一、单项选择题（每小题3分，共24分） 1．以下计算（ ）正确． （A ）sin lim1x xx→∞=（B ）sin lim1x xxπ→=（C ）1lim sin1x x x→∞⋅=（D ）1lim sin0x x x→∞⋅= 2．设0lim (),lim (),lim ()x x x x x x f x g x h x A →→→=+∞=+∞=，则下列命题不正确的是（ ） （A ）[]0lim ()()x x f x g x →+=+∞（B ）[]0lim ()()x x f x h x →⋅=∞（C ）[]0lim ()()x x f x h x →+=+∞（D ）0lim ()()x x f x g x →⋅=+∞3．0x +→时，（ ）中两个函数为等价无穷小 （A ）1cos x -与2x（B4x （C ）2e 1x -与ln(1)x +（D ）2x x +与2arctan x4．0x =为（ ）中函数的可去间断点 （A ）31arctan ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（B ）31()arctanf x x = （C ）()||x f x x =（D ）1||1()1ex f x =+5．下列命题正确的是（ ）（A ）若()f x 在0x 连续，则|()|f x 在0x 连续． （B ）若|()|f x 在0x 连续，则()f x 在0x 连续． （C ）若()f x 在0x 不连续，则|()|f x 在0x 不连续． （D ）若|()|f x 在0x 不连续，则()f x 在0x 可能连续． 6．设(ln )y xf x =，()f u 可微，则d y =（ ） （A ）[(ln )(ln )]d f x xf x x +（B ）1(ln )d f x x x' （C ）[(ln )(ln )]dln xf x xf x x '+（D ）[(ln )(ln )]d(ln )f x f x x '+7．下列命题正确的是（ ）（A ）如()f x '在0x 连续，则必有00lim ()lim ()x x x x f x f x →→''=⎡⎤⎣⎦（B ）如()f x 可导，则00()lim ()x x f x f x →''= （C ）如0()f x '不存在，则曲线()y f x =在0x x =必无切线（D ）如0()f x '不存在，则曲线()y f x =在0x x =可能有切线8．设()f x 处处可导，则（ ）（A ）当-∞=-∞→)(lim x f x 时，必有-∞='-∞→)(lim x f x（B ）当-∞='-∞→)(lim x f x 时，必有-∞=-∞→)(lim x f x（C ）当+∞=+∞→)(lim x f x 时，必有+∞='+∞→)(lim x f x（D ）当+∞='+∞→)(lim x f x 时，必有+∞=+∞→)(lim x f x二、填空题（每小题3分，共21分）1．2013sin coslim (1cos )ln(1)x x x x x x →+=++ ． 2．设)20(e 2sin π<<=x y x ，则=y d x 2sin d3．函数23()(2)||f x x x x x =---不可导点的个数是 ．4．()f x 在0x =可导，则=--→xx f x f x )()(lim 0__________． 5．若00()()f x x f x +∆-与21x ∆-为当0x ∆→时的等价无穷小，则0()f x '=______．6．3214lim 1x x ax x x →---++有极限l ，则a =________，l =_________． 7．(lim x →+∞=________________．三、解答题（每小题7分，共42分）1．求0arcsin lim (1cos )x x x x x →--．2．若30sin 6()lim 0x x xf x x →+=，求206()lim x f x x →+．3．求21lim sin n n n n →∞⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭．4．sin (0)x y x x =>，求y '．5．已知2cos πsin cos t xe t x y t t ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，求0d d x y x =．6．1sin ,0()0,x x f x xx α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，当α满足什么条件时，()f x '在0x =连续．四、证明题（第1小题7分，第2小题6分，共13分）1．证明不等式:当xx x x +>+>1arctan )1ln(,0．2．设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=；（2）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+= ．第六次作业学院 班级 姓名 学号一、选择题1．下列命题中错误的是( ) ．（A ）若)(x f 在区间I 上的某个原函数为常数，则在I 上0)(≡x f ；（B ）若)(x f 在I 上不连续，则)(x f 在I 上必无原函数；（C ）若)(x f 的某个原函数为零，则)(x f 的所有原函数均为常数；（D ）若)(x F 是)(x f 在I 上原函数，则)(x F 在I 上连续．2．已知R ∈'='x x g x f ),()(，则有( )．（A ）)()(x g x f =； （B ）[][]'='⎰⎰x x g x x f d )(d )(；（C ）⎰⎰=x x g x x f d )(d d )(d ； （D ）C x g x f +=)()(．3．)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 有一个原函数为( )．（A ）1sin x +； （B ）1sin x -； （C ）1cos x +； （D ）1cos x -．4．)(x f 在(,)-∞+∞有连续导数，则以下运算( )正确．（A ）()d ()f x x f x '=⎰；（B ）d ()()f x f x C =+⎰； （C ）()d ()f x x f x C '⎡⎤=+⎣⎦⎰ （D ）d ()d ()f x x f x =⎰．二、填空题1．x x x x x d )log 22(22⎰+++= ．2．若)()(x f x F ='，则=⎰x x f d )2( ．3．⎰=+x x x d 122． 4．=⎰x x x d sin ．5．x = ． 6．设sin x x是)(x f 的一个原函数，则()d xf x x '=⎰ ．三、计算题1．⎰-+x x xe e d ．2．34tan sec d x x x ⋅⎰．3．x x x d 122⎰+．4．⎰++311d x x．5．⎰x x x d arctan 2．6．⎰-x e x x xd 1e ．第七次作业学院 班级 姓名 学号个、单项选择题1．下列命题中错误的是( )．（A ）若)(x f 在],[b a 上有界，则)(x f 在],[b a 上可积；（B ）若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积；（C ）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上可积；（D ）若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界．2．下列命题错误的是( )．（A ）若)(x f 在区间I 上的某个原函数为常数，则在I 上0)(≡x f ；（B ）若)(x f 在区间I 上不连续，则)(x f 在I 上必无原函数；（C ）若)(x f 的某个原函数为零，则)(x f 的所有原函数均为常数；（D ）若)(x f 有原函数)(x F ，则)(x F 是连续函数．3．54sin 02)(,d sin )(x x x g t t x f x+==⎰，则当0→x 时，)(x g 是)(x f 的( )．（A ）等价无穷小；（B ）同阶但非等价无穷小； （C ）高阶无穷小；（D ）低阶无穷小 4．已知)()(x f x F ='，则=+⎰t a t f xa d )(( )．（A ）)()(a F x F -；（B ）)()(a F t F -； （C ）)2()(a F a x F -+；（D ）)2()(a F a t F -+． 5．设⎰⎰⎰----=+=+=2222432224342d )cos sin (,d )cos (sin ,d cos 1sin ππππππx x x x P x x x N x x x x M ，则有( )．（A ）M P N <<； （B ）N P M <<； （C ）P M N <<； （D N M P <<．6．设()f x 是连续函数，0,0t s >>，则/()d s ta t f tx x ⎰的值( )．（A ）依赖于s 和t ，不依赖于x ； （B ）依赖于s ，t ，x ；（C ）依赖于t ，不依赖于s 和x ； （D ）依赖于s ，不依赖于x 和t ．7．设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )．（A ）当()f x 为奇函数时，()F x 必是偶函数；（B ）当()f x 为偶函数时，()F x 必是奇函数；（C ）当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数；（D ）当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数．二、填空题1．根据定积分的几何意义，有⎰-202d 4x x = ．2．估计积分的值： ≤⎰-022d e 2x x x≤ ．3．=⎰b ax x x d sin d d 2 ．=⎰b a x x a d sin d d 2 ． 4．=-⎰-x x x d ||212 ． 5．=++⎰-x x x d )21(2223 ． 6．设)(x f 连续，且⎰+=102d )(43)(x x f x x x f ，则=)(x f ． 7．)(x f 连续，则d ()d d b af x t t x +=⎰ ． 三、计算题 1．已知1d sin 1lim 020=+-⎰→x x t ta t x bx ，求b a ,．2．⎰++423d 121x x x ．3．设⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-,01,cos 11,0,e )(2x xx x x f x 求⎰-41d )2(x x f ．4．已知5)2(,2)2(,1)0(='==f f f ，求⎰''1d )2(x x f x ．四、证明题1．设函数)(x f 在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且)0(d )(3132f x x f =⎰，证明：存在)1,0(∈c ，使0)(='c f ．2．设)(x f 在区间],[b a 上连续，且()0f x >，],[,)(d d )()(b a x t f tt t f x F x bxa ∈+=⎰⎰， 证明：方程0)(=x F 在),(b a 内仅有一个实根．3．⎰⎰=20d sin 2d sin ππx x x x n n．第八次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( )． （A ）⎰∞+2d ln x xx； （B ）⎰∞+2d ln 1x x x ； （C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分发散的是( )． （A ）⎰-11d csc x x ；（B ）⎰--112d 11x x；（C ）⎰∞+23d 1x x；（D ）⎰∞+23d )(ln 1x x x ．3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d baf xg x x -⎰（D ）[()()]d b af xg x x -⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a ．2．⎰=-41)4(d x x x ．3．由曲线2cos2r θ=所围成的平面图形面积为 ．4．由22,y x x y ==围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 ．三、计算题1．求由曲线2xy=与3=xy围成图形的面积．2+2．计算由x轴，曲线1y及其经过原点的切线围成的平面图形绕x轴旋转所-=x生成立体体积．3．计算曲线3sin 3y θα=(0≤θ≤π3)的弧长．4．某地区居民购买冰箱的消费支出)(x W 的变化率是居民总收入x 的函数，xx W 2001)(='，当居民收入由4亿元增加至9亿元时，购买冰箱的消费支出增加多少？5．假设以年连续复利率1.0=r 计息（1）求收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现值和将来值； （2）将来值和现值的关系如何？解释这一关系．综合练习题学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．极限)(lim 2x x x x -+∞→的结果是( )．（A ）0； （B ）21； （C ）∞； （D ）不存在．2．0x +→）． （A）1-；（B）； （C1；（D）1-3．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,)()(x x x x f x F 其中)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，0)0(≠'f ，则0=x 是)(x F 的( )．（A ）连续点；（B ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）无穷间断点．4．)(x f 在原点的某邻域内连续， 0()lim 21cos x f x x →=-，则在0x =( )．（A ）)(x f 不可导；（B ）)(x f 可导，且(0)0f '≠；（C ）(0)0f '=，且在原点某邻域内()0f x ≥； （D ）(0)0f '=，且在原点某邻域内()0f x ≤．5．已知在(,)-∞+∞上，)(x f 有界，lim ()x g x →∞=∞，则( )．（A ）lim ()()x f x g x →∞⋅=∞；（B ）在(,)-∞+∞上()()f x g x ⋅无界，但lim ()()x f x g x →∞⋅≠∞；（C ）在(,)-∞+∞上()()f x g x ⋅无界，但lim ()()x f x g x →∞⋅不一定为无穷大；（D ）在(,)-∞+∞上()()f x g x ⋅不一定无界． 6．设函数)(x f 有二阶导数，且0)0(='f ，1||)(lim=''→x x f x ，则( )． （A ）)0(f 是)(x f 的极小值； （B ）)0(f 是)(x f 的极大值；（C ）))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； （D ）以上都不对． 7．已知C x x x f x x +-=⎰e e d )(，则='⎰x x f d )(( )．（C ）C x x x ++e e ；（D ）C x x x +-e 2e ．8．2||1e d x x x -⎰的值为（ ）． （A ）0；（B ）2e ； （C ）23e 2e -； （D ）22e 1-．9．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形的面积A 等于( )． （A ）⎰22d )cos 2(21πθθa ； （B ）⎰-ππθθd )cos 2(212a ； （C ）⎰πθθ202d )cos 2(21a ；（D ）⎰22d )cos 2(212πθθa ． 二、填空题 1．设)20(e2sin π<<=x y x，则=y d x 2sin d ．1．设)(a f '存在，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n a f a f n n 1)(lim ． 2．已知当0→x 时，x cos 1-与()11212-+ax是等价无穷小量，则=a ．3．若0x x →时，)(x α与)(x γ是等价无穷小，)(x α与)(x β是同阶无穷小，但不是等价无穷小，则当0x x →时，函数)()()()(x x x x βγβα--的极限是 ．4．设()f x 连续，则220d ()d d xtf x t t x -=⎰ ． 5．()y y x =由方程21sin d 4y x x t t π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所确定，则22d d x y x = ．6．()=+⎰-2234d sin cosππx x x ．7．由曲线2x y =和3cx y =)0(>c 所围图形面积为32，则=c ． 三、计算题1．设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f 是连续函数，求a ，b 的值．2．求极限xx xx x sin sin 2tan 2lim 2+-+→．3．求极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n n n 11ln lim 2．4．求21()e 1x x f x -=-的间断点，判别间断点类型．5．求21222222()lim 1t t t x t f x t x t →∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭的导数． 6．计算1x ⎰，其中1ln(1)()d x t f x t t+=⎰．7．()f x 在∞∞(-,+)连续，且20()()d e 1x x x t f t t --=-⎰，求0()d tf x x ⎰．8．求曲线20e sin 10(32)d x t x t y u u ⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩⎰上0t =对应的点处的切线方程．四、证明题1．()f x 在(,)a b 连续，且lim ()x a f x +→、lim ()x bf x -→中一个为负（或为-∞），一个为正（或为+∞），则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ=．2．若()f x 在[a , b ]上连续，在(a , b )内可导，且()()0f a f b ⋅>，()02a b f a f +⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 证明在(a , b )内至少存在一点ξ，使()()0f f ξξ'+=．3．设函数()f x 的[2, 4]上连续，在(2, 4)内可导，且满足423(2)(1)()d f x f x x =-⎰，证明在(2, 4)内至少存在一点ξ，使(1)()2()f f ξξξ'-=．4．()f x 在[,)a +∞上二阶可导，()0,()0f a f a '><，且当x a >时()0f x ''<，证明方程()0f x =在(),()f a a a f a ⎛⎫- ⎪'⎝⎭内有且仅有一实根．5．设()f x 连续，且是以2为周期的周期函数，证明函数200()2()d ()d x G x f t t x f t t =-⎰⎰ 也是以2为周期的周期函数．五、应用题1．在曲线)0(12>-=x x y 上求一点P 的坐标，使曲线在该点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小．2．一容器的内表面是由曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=20sin πy y x 绕y 轴旋转所得的旋转曲面．如果以π(m 3/s)的速率注水，求水面高度4π=h (m)时，水面上升的速率．3．设220()e d x t F x t -=⎰，求（1）()F x 的极值（2）曲线()y F x =的拐点的横坐标（3）322()d x F x x -'⎰之值综合模拟题（一）学院 班级 姓名 学号一、单选题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1．函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0,00,1cos x x x x , 在x =0处( ). A.不连续; B. 连续,但不可导;C. 可导, 导函数不连续; D . 可导,导函数也连续.2．当x →0时，3x -1是x 的 ( ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶且非等价无穷小.3．若点(x 0,)(0x f )为曲线y =f (x )的拐点, 则 ( ).A. 必有)(0x f ''存在等于零；B. 必有)(0x f ''存在但不等于零；C. 如果)(0x f ''存在则必等于零；D. 如果)(0x f ''存在则必不等于零.4．曲线()12x y x e -=+渐近线的条数为( ).A. 0条；B. 1条；C. 2条；D. 3条.5．设)(ln x f y =,f (u )为可导函数, 则dy = ( ).A. ;)(ln 'dx x fB. )(ln 'x f x ln dx ;C. )(ln 'x f x ln 1dx ;D. )(ln 'x f x1dx . 6．设()f x 是可导函数，则下述结论正确的是 ( ).A.dx x f dxd ⎰)( =f (x ); B. ⎰)(x df = f (x ); C . dx x f ⎰')(=f (x ); D. ()d f x dx ⎰= f (x ).二、（共6道小题，每小题3分，满分18）1．当a = 时，f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>0,0,1sin 2x x a x x x , 在x =0点连续. 2．设f (x )可导，且()02f x '=，则0lim →h hh x f h x f )()(00--+= . 3．函数)1ln(2x x y ++=的下凸区间为 .4．321421sin 21x x dx x x -++⎰= . 5．反常积分1e ⎰= .6．函数x x f ln )(=在点10=x 的2阶泰勒公式为（拉格朗日型余项）三、计算题（共6道小题，每小题6分，满分36分）1．计算 0lim →x 250sin 1cos x t dtt x -⎰.2．计算 0lim x +→(x1)x tan .3．设⎩⎨⎧=-=t t e y e x 212, 求22dx yd .4．设y =f (2323+-x x ), f '(x )=arctan 2x , 求dx dy ,dx dy 0=x .5．计算 xdx x x arctan 122⎰+.6．计算 211x x e dx --⎰.四、解答题（共2道小题，每小题8分，满分16分）1．设某种商品的单价为p ，售出商品数量为Q ，且Q=c bp a -+，其中a,b,c 均为正数，a>bc .求p 在何种范围内变化时，涨价可以增加销售额.又在何种范围内变化时，涨价可以减少销售额.2．设函数2x y =(01≤≤x ), t 是()0,1内的一点, 问t 取何值时, 由曲线2x y =(01≤≤x )、直线x =1、直线2y t =及y 轴所围成的两块图形的面积之和为最小.并求其最小面积.求函数1)1()(32+-=x x f 的极值.。