1质点运动学习题思考题改

习 题

1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：1） 由)ωt sin ωt (cos j i +=R r 知 消去t 可得轨道方程 22

2

R y x =+

2） j r

v t Rcos sin ωωt ωR ωdt

d +-==

i 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )t 23(t 42

++=，式中r 的单位为m ，

t 的单位为s .求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。 解：1）由j i r )t 23(t 42

++=可知 消去t 得轨道方程为：2)3y (x -=

2）j i r

v 2t 8dt

d +==

3） j v 2(0)= j i v 28(1)+=

1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r t t 22

+=，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）

任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

解：1）j i r

v 2t 2dt

d +==

2）21

22

12)1t (2]

4)t 2[(v +=+= 1

t t 2dt

dv a 2

t +==

1-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为

2

012

1at t v y +

= （1） 图 1-4

2

022

1gt t v h y -+= （2）

21y y = （3） 解之 2d t g a

=

+

初速度0v 水平抛出，求：

1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以

（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的

t d d r ，t d d v ，t

v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1）

2gt 2

1

h y -= 式（2）

（2）联立式（1）、式（2）得 2

2

v 2gx h y -=

（3）

j i r

gt -v t d d 0= 而 落地所用时间 g

h 2t = 所以

j i r 2gh -v t d d 0= j v g t

d d -= 1-6. 路灯距地面的高度为1h ，一身高为2h 的人在路灯下以匀速1v 沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度2v .

证明：设人从O 点开始行走，t 时刻人影中足的坐标为1x ，人影中头的坐标为2x ，由几何关系可得 图 1-6

2

1122h h

x x x =- 而 t v x 01=

02

1121112v h h t

h h h x h x -=-=

所以，人影中头的运动方程为

人影中头的速度 02

11

22v h h h dt dx v -==

1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为2

242t t x -+=(m )，在 t 从0秒到3秒的时间间隔内，则

质点走过的路程为多少？

解：t dt

dx

v 44-==

若0=v 解的 s t 1= 1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度cm 20=h ，斜面对水平的倾角

30=θ，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。

图 1-8

解：小球落地时速度为gh v 20= 一 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原

点如图

00060cos v v x = 200

060cos 2

1

60cos t g t v x +

= （1）

00060sin v v y = 200

060sin 2

1

60sin t g t v y -

= （2） 第二次落地时 0=y g

v t 0

2=

所以 m g

v t g t v x 8.0260cos 2160cos 202

00

0==

+= 1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为2s /cm 4.3，设赤道上重力加速度为2

m/s 80.9.

解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 2

ωR g =

现在赤道上物体R

2

104.3-⨯='ω

1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为0v ，并且0v 与水平面的夹角为θ.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。

解：在顶点处子弹的速度θcos 0v v =，顶点处切向加速度为0。 因此有：ρ

θρ

2

02

)cos (v v g =

=

g v θ

ρ220cos =

在落地点速度为0v ρθ20

cos v g = θ

ρcos 20

g v =

1-11. 飞机以s /m 1000=v 的速度沿水平直线飞行，在离地面高m 98=h 时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下

方地点多远?

解：设此时飞机距目标水平距离为x 有：t v x 0= 2

2

1gt h =

联立方程解得：m x 447≈ 05.77arctan

≈=h

x

θ 1-12. 设将两物体A 和B 分别以初速A v 和B v 抛掷出去．A v 与水平面的夹角为α；B v 与水平面的夹角为β，试证明在任何时刻物体B 相对物体A 的速度是常矢量。

解：两个物体在任意时刻的速度为

与时间无关，故B 相对物体A 的速度是常矢量。

1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为s /m 0.490=v ，而气球以速度

s /m 6.19=v 匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？