2020年高考理科数学专题训练 小题满分限时练(四)

限时练(四)

(限时：40分钟)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}.若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )

A.{1，－3}

B.{1，0}

C.{1，3}

D.{1，5}

解析 1是方程x 2－4x ＋m ＝0的解，x ＝1代入方程得m ＝3，∴x 2－4x ＋3＝0的解为x ＝1或x ＝3，∴B ＝{1，3}.

答案 C

2.设i 是虚数单位，复数a ＋i 1＋i 为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.－1 B.1 C.－2 D.2

解析 由题意得，a ＋i 1＋i ＝（a ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）

＝a ＋1＋（1－a ）i 2 ＝a ＋12＋1－a 2i ，因为复数a ＋i 1＋i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＝0，1－a 2≠0，

解得a ＝－1. 答案 A

3.在等比数列{a n }中，a 3－3a 2＝2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于( )

A.3

B.2或3

C.2

D.6

解析 由题意可得⎩⎨⎧a 1q 2－3a 1q ＝2，2（5a 1q 3）＝12a 1q 2＋2a 1q 4，

解得a 1＝－1，q ＝2. ∴{a n }的公比等于2.

答案 C

4.已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋5≤0，

x ＋3≥0，y ≤2，

则z ＝x ＋2y 的最大值是(

)

A.－3

B.－1

C.1

D.3

解析 已知约束条件可行域如右图，z ＝x ＋2y 经过B (－1，

2)时有最大值，∴z max ＝－1＋2×2＝3.

答案 D

5.在某项检测中，测量结果服从正态分布N (2，1)，若P (X <1)＝P (X >1＋λ)，则λ＝( )

A.0

B.2

C.3

D.5

解析 依题意，正态曲线关于x ＝2对称，又P (X <1)＝P (X >1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2.

答案 B

6.函数y ＝x 2sin x ＋2x cos x 在区间[－π，π]上的图象大致为( )

解析 y ＝x 2sin x ＋2x cos x 在x ∈[－π，π]上是奇函数，图象关于原点对称，排除D.

又y ′＝(x 2＋2)cos x ，

当x ∈[0，π]时，令y ′＝0，得x ＝π2.

当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ′>0；当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π时，y ′<0， 因此函数在x ＝π2时取得极大值，只有A 满足.

答案 A

7.设a ，b ∈{x ||x |＋|x ＋1|>1}，且ab ＝1，则a ＋2b 的最小值为( )

A.2

B.－2

C.3

D.2 2

解析 由|x |＋|x ＋1|>1，得x >0或x <－1，

又ab ＝1，且a ，b ∈{x |x >0或x <－1}.

∴a ，b 大于0，且ab ＝1.

则a ＋2b ＝1b ＋2b ≥22，当且仅当b ＝22时取等号，

故a ＋2b 的最小值为2 2.

答案 D

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A.30＋4π

B.30＋3π

C.30＋9π4

D.30＋2π

解析 由三视图，知该几何体是一长方体与圆柱的组合体，

∴表面积S ＝(3×3＋3×1＋3×1)×2＋2π×12×2＝30＋2π.

答案 D

9.定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1

A.14

B.－14

C.－15

D.15

解析 ∵f (x ＋1)＝f (x －1)，

∴函数f (x )为周期为2的周期函数，

又∵log 232>log 220>log 216，∴4

∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254＝－f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－log 254， 又∵x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x －1，

∴f ⎝

⎛⎭⎪⎫－log 254＝－15，故f (log 220)＝15.

答案 D

10.已知单位圆有一条长为2的弦AB ，动点P 在圆内，则使得AP →·AB →≥2的概率为( ) A.π－24π B.π－2π C.3π－24π D.2π

解析 建立如图所示的直角坐标系，由题意，取A (1，0)，B (0，

1)，设P (x ，y )，则(x －1，y )·(－1，1)≥2，∴x －y ＋1≤0，

满足x －y ＋1≤0的点与圆围成的面积S ＝π4－12×1×1＝π－24.

又单位圆的面积S 圆＝π×12＝π，

∴所求的概率P ＝

S S 圆＝π－24π

. 答案 A

11.函数f (x )＝2sin ωx ＋2cos ωx (ω>0)，若∃x ∈R ，使f (x ＋4)＝f (x )＋4，则当ω取最小值时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)的值为( )

A.4

B.2

C.0

D.－22 解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫22sin ωx ＋22cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2. 又∃x ∈R ，使f (x ＋4)＝f (x )＋4，

∴∃x 0∈R ，使f (x 0)＝－2，f (x 0＋4)＝2.

则x ＝x 0与x ＝x 0＋4是函数f (x )图象的两条对称轴.

若ω取最小值，则T ＝2(x 0＋4－x 0)＝8，

从而f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4

x ＋π4，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0. 答案 C

12.(2016·浙江卷)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的

焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )

A.m ＞n 且e 1e 2＞1

B.m ＞n 且e 1e 2＜1

C.m ＜n 且e 1e 2＞1

D.m ＜n 且e 1e 2＜1

解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，