九年级上学期数学期中考试卷及答案
福建省福州市屏东、延安、十六中联考2024-2025学年上学期九年级期中考数学试卷(含答案)
2024-2025学年第一学期期中考试九年级数学试题（满分150分，完卷时间120分钟）班级______姓名______成绩______一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2.用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）A. B. C. D.3.如图，在中，，则等于（ ）A. B. C. D.4.抛物线与轴的交点是（ ）A. B. C. D.5.正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）A.4B.6C.8D.126.如图，将绕点逆时针旋转，得到.若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标为（ ）A. B.或C.或 D.2450x x --=()221x +=()221x -=()229x +=()229x -=O e 60ABC ∠=︒AOC ∠30︒60︒120︒150︒223y x =+y ()0,5()0,3()0,2()2,145︒ABC △A 100︒ADE △D BC B ∠30︒40︒50︒60︒ABC △()4,2A ()2,0B ()0,0C O 12A B C '''△A '()2,1()1,2()1,2--()2,1()2,1--()1,2--8.如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（ ）A. B. C. D.9.已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误是（ ）01230343A.开口向下 B.顶点坐标为C.当时，随的增大而减小D.10.如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是（ ）.A. B.1D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则______.12.已知关于的一元二次方程有一个根为，则______.13.如图，在中，分别交、于点、；若，，，则的长为______.14.如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为______.ABCD □E CD AE BD AE BD F :4:25DEF ABF S S =△△:DF BF 2:52:33:53:22y ax bx c =++y x x1-y m()1,41x <y x 0m =ABCD 8AB =6AD =C C e BD P C e AP BD T AT PT3512()1,A a (),2B b -a b +=x 20x x m -+=2-m =ABC △MN BC ∥AB AC M N 1AM =2MB =9BC =MN ABCD O e 100A ∠=︒DCE ∠15.若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是______.（结果保留）16.关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②③；④，其中正确结论的结论是______.三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题8分）用适当的方法解下列方程：（1）（2）18.（本小题8分）已知是关于的一元二次方程，求证：方程总有两个不相等的实数根.19.（本小题8分）为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端相距8米的点处，然后沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得米，观察者目高米，求树的高度.20.（本小题8分）如图1、图2，，均是等腰直角三角形，，（1）在图1中，求证：；（2）若绕点顺时针旋转一定角度后如图2所示，请问与还相等吗？为什么？图1 图221.（本小题8分）如图，是的直径，过点作的切线，点是射线上的一点，连接，过点作，交于点，连接.8cm 10cm cm πx 2220x mx n ++=y 2220y ny m ++=22m n <()()22112m n -+-≥1221m n -≤-≤2240x x +-=()3284x x x -=-()2310x a x a ++++=x B E BE D A 1.6DE = 1.5CD =AB AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=AC BD =COD △O AC BD AB O e A O e AC P AC OP B BD OP ∥O e D PD（1）请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）证明：是的切线.22.（本小题10分）如图，四边形内接于，为的直径，平分，，点在的延长线上，连接.（1）求直径的长；（2）若.23.（本小题10分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米.现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）.（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；24.（本小题12分）问题背景：如图1，已知，求证：；尝试运用：如图2，在中，点是边上一动点，，且，，，与相交于点，在点运动的过程中，连接，当时，求的长度；拓展创新：如图3，是内一点，，，，，求的长.PD O e ABCD O e BD O e AC BAD ∠CD =E BC DE BD BE =P OM O OM x x ABC ADE ∽△△ABD ACE ∽△△ABC △D BC 90BAC DAE ︒∠=∠=ABC ADE ∠=∠4AB =3AC =AC DE F D CE 12CE CD =DE D ABC △BAD CBD ∠=∠12CD BD =90BDC ∠=︒3AB =AC =AD图1 图2图325.（本小题14分）已知抛物线过点和，与轴交于另一点，顶点为.（1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；（2）如图1，为线段上方的抛物线上一点，，垂足为，轴，垂足为，交于点.当时，求的面积；（3）如图2，与的延长线交于点，在轴上方的抛物线上是否存在点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图22024-2025学年第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）题号12345678910答案A D C B C B C A CD二、填空题（本大题共24分，每小题4分）11.112.13.314.15.16.①③④三、解答题（共8小题，满分86分）17.（1）解：.，，，22y ax ax c =-+()1,0A -()0,3C x B D D E BC EF BC ⊥F EM x ⊥M BC G BG CF =EFG △AC BD H x P OPB AHB ∠=∠P 6-100︒12π2240x x --=1a = 2b =-4c =-.，即，（2）解：或，.18.证明：，故方程总有两个不相等的实数根；19.解：根据题意，易得，则，则，即，解得：，答：树的高度为.20.解：（1）证明：，均是等腰直角三角形，，，，，；（2）答：相等.在图2中，，，，在和中，，，.21.解：（1）答：补全图形如图所示：()()2242414200b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=>1x ∴===11x =+21x =()()3242x x x -=--()()32420x x x -+-=()()3420x x +-=340x +=20x -=12x ∴=243x =-()()()22223411694425140a a a a a a a a ∆=+-⨯⨯+=++--=++=++>90CDE ABE ∠=∠=︒CED AEB∠=∠ABE CDE ∽△△BE AB DE CD =81.6 1.5AB =7.5AB =AB 7.5m AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=OA OB ∴=OC OD =OA OC OB OD ∴-=-AC BD ∴=90AOB COD ︒∠=∠=DOB COD COB ∠=∠-∠ COA AOB COB ∠=∠-∠DOB COA∴∠=∠DOB △COA △OD OC DOB COA OB OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DOB COA ∴≌△△BD AC ∴=（2）解：证明：连接，切于，，即，，，，，，在和中，，，，，即，是的半径，是的切线.22.（1）解：如图所示，连接，为的直径，平分，OD PA O e A PA AB ∴⊥90PAO ∠=︒OP BD ∥DBO AOP ∴∠=∠BDO DOP∠=∠OD OB = BDO DBO ∴∠=∠DOP AOP ∴∠=∠AOP △DOP △,AO DO AOP DOP PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS AOP DOP ∴≌△△PDO PAO ∴∠=∠90PAO ︒∠= 90PDO ︒∴∠=OD PD ⊥OD O e PD ∴O e OC BD O e AC BAD ∠，，..，，，即...（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为，大阴影面积为，弦与劣弧所形成的面积为，由（1）已知，，，，.，弦弦，劣弧劣弧..为的直径，，，，...23.（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度为16米，现在点为原点，点，顶点，设抛物线的解析式为，把点，点代入得：，90BAD ︒∴∠=11904522BAC DAC BAD ∠=∠=∠=⨯︒=︒OB OD=90COD ︒∴∠=CD = OC OD =222OD CD ∴=228OD =2OD ∴=224BD OD OB ∴=+=+=1S 3S CD CD 2S 90COD ∠=︒45DAC ∠=︒OC OD =4BD =()11180904522BDC COD ︒︒︒∴∠=-∠=⨯=DAC BDC ∠=∠ ∴BC =CD BC =CD 12S S ∴=BD O e CD =90BCD ECD ∴∠=∠=︒BC CD ==BE = CE BE BC ∴=-=-=11622ECD S CE CD ∴=⋅=⨯=△13236ECD S S S S S S ∴=+=+==阴影部分△OM O ∴()16,0M ()8,8P 2y ax bx =+()16,0M ()8,8P 6488256160a b a b +=⎧⎨+=⎩解得抛物线的解析式为，，自变量的取值范围为：.（2）解：当时，，故能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆.24.证明：问题背景：，，，，，，.尝试应用：如图（2），连接，，，，，，，，，，，，，，，182a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴2128y x x =-+16OM = ()16,0M ∴x 016x ≤≤98 2.512x =--=21992072582232y ⎛⎫=-⨯+⨯=> ⎪⎝⎭ABC ADE ∽△△AB AC AD AE∴=BAC DAE ∠=∠BAD DAC DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠BAD CAE ∴∠=∠AB AD AC AE=ABD ACE ∴∽△△CE 4AB = 3AC =90BAC ∠=︒5BC ∴===90BAC DAE ∠=∠=︒ ABC ADE ∠=∠ABC ADE ∴∽△△AB AC AD AE∴=43AB AD AC AE ∴==90BAC DAE ︒∠=∠= 90BAD CAE DAC ∴∠=∠=︒-∠BAD CAE ∴∽△△B ACE ∴∠=∠43AB BD AC CE ==设，，，，，，，，，，拓展创新：过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，图3，，，又，，，又，，即，，，，，，∴4BD x =3CE x =54CDx ∴=-90B ACB ︒∠+∠= 90ACE ACB ︒∴∠+∠=90DCE ︒∴∠=12EC DC = 31542x x ∴=-12x ∴=32EC ∴=3CD =DE ∴===A AB D AD M BM 90BAM ADM BDC ︒∴∠=∠=∠=BAD DBC ∠=∠ DAM BCD ∴∠=∠90ADM BDC ︒∠=∠= BDC MDA ∴∽△△BD DC MD DA∴=BDC ADM ∠=∠BDC CDM ADM CDM ∴∠+∠=∠+∠BDM CDA ∠=∠BDM CDA ∴∽△△BM DM BD AC AD DC∴==12CD BD = 2BD CD ∴=2BM AC ∴==2DM AD =，，，（舍去）.25.解：（1）把点，代入中，，解得，，顶点；（2）方法一：如图1，抛物线，令，，或，.设的解析式为，将点，代入，得，解得，..设直线的解析式为，设点的坐标为，将点坐标代入中，得，，联立得.AM ∴===222AD DM AM += 22423AD AD ∴+=AD ∴=()1,0A -()0,3C 22y ax ax c =-+203a a c c ++=⎧⎨=⎩13a c =-⎧⎨=⎩223y x x ∴=-++∴()1,4D 223y x x =-++0y =1x ∴=-3x =()3,0B ∴BC ()0y kx b k =+≠()0,3C ()3,0B 330b k b =⎧⎨+=⎩13k b =-⎧⎨=⎩3y x ∴=-+EF CB ⊥ EF y x b =+E ()2,23m m m -++E y x b =+23b m m =-++23y x m m ∴=-++233y x y x m m =-+⎧⎨=-++⎩.把代入，得，..，即.解得或.点是上方抛物线上的点，（舍去）.点，，，，，；方法二：图1如图所示，过点作、分别垂直，轴，分别交于，点设，由可知，则，则代入二次函数解析式化简的解得，（舍去）则22262m m x m m y ⎧-=⎪⎪∴⎨-++⎪=⎪⎩226,22m m m m F ⎛⎫--++∴ ⎪⎝⎭x m =3y x =-+3y m =-+(),3G m m ∴-+BG CF = 22BG CF ∴=()()2222223322m m m m m m ⎛⎫⎛⎫---+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2m =3m =- E BC 3,m ∴=-∴()2,3E ()1,2F ()2,1G EF ==FG ==112EFG S ∴==△F FR FH y x R H RF m =CF BG =CRF GMB ≌△△RF MB m ==32HM m ∴=-()232EG m =-()23263EM m m m ∴=-+=-()3,63E m m --2760m m -+=11m =26m =1121122EFG S EG FK ∴=⨯⨯=⨯⨯=△（3）如图2，过点作于，点，，.点，点，，联立得，.设，把代入，得，，联立得，，，..设点.过点作轴于点，在轴上作点使得，且点的坐标为.若在和中，，，.A AN HB ⊥N ()1,4D ()3,0B 26BD y x ∴=-+ ()1,0A -()0,3C 33AC y x ∴=+326y x y x =+⎧⎨=-+⎩35245x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩324,55H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭12AN y x b =+()1,0-12b =1122y x ∴=+112226y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩11585x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩118,55N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭2222211816815555AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22281655HN ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AN HN ∴=45H ∴∠=︒()2,23P n n n -++P PR x ⊥R x S RS PR =45RSP ︒∴∠=S ()233,0n n -++45OPB AHB ︒∠=∠=OPS △OPB △POS POB ∠=∠OSP OPB ∠=∠OPS OBP ∴∽△△...或或（舍去）.，，.OP OS OB OP∴=2OP OB OS ∴=⋅()()()222213333n n n n n ∴++-=⋅-++0n ∴=n =3n =()10,3P∴2P3P。
北京市第二十中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷参考答案
北京市第二十中学九年级第一学期期中练习数学答案及评分标准二、填空题：（每题2分，共计16分）17.∵a ＝1，b ＝﹣6，c ＝﹣16，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣16）＝36+64＝100＞0， ∴x ＝21006±＝3±5， ∴x 1＝8，x 2＝﹣2；（有过程，对一个答案3分，两个5分） 18.解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC ．∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，∴∠DAE ＝60°，AE ＝AD ．..................................................1分 ∴∠BAD +∠EAB ＝∠BAD +∠DAC ．∴∠EAB ＝∠DAC ． .................................................2分 在△EAB 和△DAC 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE DAC EAB AC AB , ∴△EAB ≌△DAC （SAS ）． .................................................3分 （2）∠BED ＝45°． .................................................5分 19.解：∵a 是方程2-210x x −=的一个根，∴2210a a −−=． ................................................1分∴221a a −=． .................................................2分∴a (a -4)＋(a ＋1)(a －1)=a 2-4a +a 2-1=2a 2-4a -1 .................................................3分 =2(a 2-2a )-1 ................................................4分 =1． .................................................5分20.解：（1）∵22y x x =−1)1(11222−−=−+−=x x x .............2分 ∴该二次函数的顶点坐标为（1，−1）； .............3分(2)该二次函数的图象的开口方向向上， .............4分 点P (1，0)不在该抛物线上. .............5分21.解：（1）关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －4＝0中，1,,24a b m c m ==−=−，()()()2222442481640b ac m m m m m ∴∆=−=−−−=−+=−≥ ∴方程总有两个实数根； .................................................2分（2）2240x mx m −+−=∴(2)(2)0x x m −+−=解得122,2x x m ==− .................................................3分 方程有一个实数根为负数，20m ∴−<解得2m < ...............................................4分 m 是正整数1m ∴= .................................................5分22.解：（1）令0y =，则2(1)10x −−=， 解得10x =，22x =，B ∴点坐标为(2,0)， .................................................1分列表得：画图得：.................................................3分（2）如图，由图形可得12x <<时，2(1)1kx b x +>−−． .................................................5分 23.解：（1）111A B C △如下图所示：.................................................3分（其中画平移1分，画旋转2分）由图可知：1(32)B ，； .................................................4分 （2）212A B C 如上图所示：m 的取值范围是：252<<m ..................................................6分 24.解：（1）(4-x )(4+2x )； .................................................1分 (4-x )(4+2x )=16 ............................................2分 解得x 1=0（舍），x 2=2答：此时的x 值为2； .............................................3分 （2）(4-x )(4+2x )=-2x 2+4x +16=-2(x -1)2+18..............................................5分 ∴改造后的面积最大为18，此时x =1. ...............................................6分 25.解：（1）当0x =时，20.2(0 2.5) 2.35 1.1y =−−+=，故击球点的高度为1.1m ； .................................................1分 （2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为(3,2)， 设抛物线的解析式为：2(3)2y a x =−+， 过点(4,1.9)，21.9(43)2a ∴=−+，解得0.1a =−，∴抛物线的解析式为：20.1(3)2y x =−−+； ...............................4分（3）<． .................................................6分 26.解：（1）22x =，2y c =，42a b c c ∴++=， 2b a ∴=−，12bt a∴=−=， .................................................2分 （2）2(0)y ax bx c a =++<， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x t =，112t x t +<<+，∴点M 在对称轴的右侧，①当点N 在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向下，∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小．由12y y >，∴12x x <，∴4,24t t ≤⎧⎨+≤⎩， 解得42t t ≤⎧⎨≤⎩，∴2t ≤，②当点N 在对称轴上或对称轴左侧时，设抛物线上的点()22,N x y 关于x t =的对称点为()2,N d y '，2t x d t ∴−=−，解得22d t x =−，∴()222,N t x y '−，245x <<，∴225224t t x t −<−<−，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小， 由12y y >，∴122x t x <−，∴5225t t t ≥⎧⎨+≤−⎩，解得57t t ≥⎧⎨≥⎩，∴7t ≥，综上所述，t 的取值范围是2t ≤或7t ≥．.................................................6分27.解：（1）补全图形，如图所示：.................................................1分（2）根据题意可知AB AD AC ==，BAD ∠=α，∴902aADB ABD ∠=∠=︒−， .................................................2分90BAC ∠=︒，∴90DAC α∠=︒+，∴452ADC ACD α∠=∠=︒−， ∴45CDB ADB ADC =−=︒∠∠∠． .................................................3分 （3）AE BD CD 22+=，证明如下：.................................................4分如图，作AF AE⊥，交CD于点F，∴90EAF∠=︒，∴EAB FAC∠=∠，BE CD⊥，45BDC∠=︒，∴45DBE∠=︒，22BE DE BD∴==，BAD∠=α，452ABE ACDα∴∠=︒−=∠，. ................................................5分在ABE和ACF△中EAB FACAB ACABE ACF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASAABE ACF≌，................................................6分∴AE AF=，BE CF=，2EF AE∴=，∴22CD DE EF CF BD=++=．................................................7分28.解：（1）②③；................................................2分（2）设直线y＝33x+3与x轴和y轴的交点分别为C点和D点，在直线y＝33x+3中，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣3，∴C（0，3），D（﹣3，0），∴OC＝3，OD＝3,∵∠COD=90°∴CD=23在Rt△OCD中，∠ODC＝30°，................................................3分∴∠OCD＝60°，连接AC，如下图，①当点B 在点A 的左侧时 ∵A （1，0）， ∴OA ＝1，在Rt △OCA 中，AC ＝2OA ＝2， ∴∠OCA ＝30°，∵∠ACD ＝∠OCD +∠OCA ＝60°+30°＝90°，故AC ⊥CD ， ∵直线y ＝33x +3是线段AB 的60°﹣联络图形， ∴AB ≥AC ， 即AB ≥2，∴t ≤﹣1； ................................................4分 ②当点B 在点A 的右侧时同理可得t ≥5......................................5分 ∴t ≤﹣1或t ≥5 （3）431m <4． ................................................7分。
山东省潍坊市青州市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题(含答案)
2024—2025学年第一学期期中学业质量监测九年级数学2024.11注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，44分；第Ⅱ卷为非选择题，106分；满分150分．考试时间为120分钟．2．答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂、写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效．第Ⅰ卷（选择题44分）一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．方程的解是（ ）A ．B ．C ．，D ．，2．在中，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（）A ．B ．C ．25D ．204．探索关于的一元二次方程的一个解的过程如下表：0122.56.5可以看出该方程的一个解应介于整数和之间，则整数，分别是（ ）A ．，0B ．，1C ．0，1D ．1，25．如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（）()()320x x -+=3x =2x =-13x =-22x =13x =22x =-Rt ABC △90C ∠=︒4sin 5A =cos A =53354534ABCD A AB ABD 25π525π3x ()200ax bx c a ++=≠x1-2ax bx c++ 2.5-0.5-m ()n m n <m n 1-1-ABC AB D 64︒BCD ∠A ．B ．C ．D ．6．如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长为（）AB ．CD ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分）7．如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知关于的方程，下列说法中正确的是（ ）A ．当时，方程无解B ．当时，方程有两个不相等的实根C ．当时，方程有一个实根D ．当时，方程有两个实根9．下列命题错误的是（ ）A ．任意三点确定一个圆B ．三角形的外心都在三角形的外部C ．同弧或等弧所对的圆周角相等D ．相等的圆周角所对的弧相等10．如图，在中，是直径，是弦，是弧的中点，于点，交于点，交于点，下列结论一定正确的是（ ）A ．B ．58︒60︒62︒64︒ABCD C D CA E CP AD P 30ABC ∠=︒4AP =PE -α∠1tan 2α=x ()2110kx k x +--=0k =1k =1k =-0k ≠O e AB AC D AC DG AB ⊥G AC E BD AC F DAE GAE ∠=∠DE EF=C ．D ．若，则第Ⅱ卷（非选择题 106分）三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只要求填写最后结果）11．若方程有一个根是，则的值为______．12．如图，用一个半径为10厘米的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有相对滑动，则重物上升了______厘米（结果保留）．12题图13．如图，在正方形外作等腰直角三角形，，连接，则______．13题图14．如图，是的直径，，，是上的三点，，点是弧的中点，点是上一动点，若的半径为2，则的最小值为______．14题图四、解答题（共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题10分）用适当的方法解方程：（1）（2）16．（本题10分）计算：（1（2）17．（本题10分）已知关于的一元二次方程．（1）当是方程的一个根时，求方程的另一个根；2AC DG=3tan 4BAC ∠=BF CF=23520x x --=a 2915a a -P 36︒πABCD CDE DE CE =BE tan EBC ∠=MN O e A B C O e 60ACM ∠=︒B AN P MN O e PA PB +22410x x -+=()()21321x x x -=-2sin 452cos 60-︒+︒2cos 454sin 30cos30tan 60︒+︒︒-︒x 2240x x m ++=2x =（2）若，是方程的两个不相等的实根，且，满足，求的值．18．（本题10分）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接，，过点作于点．（1）求证：；（2）若，，求半径的长．19．（本题12分）某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶．（1）若售价定为35元，每月可售出多少桶？（2）若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元？（3）当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？20．（本题10分）如图，为美化市容，某广场用规格为的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案．【观察思考】图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．【规律总结】（1）图5灰砖有______块，白砖有______块；图灰砖有______块，白砖有______块；【问题解决】（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由．21．（本题12分）如图1，它是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo ），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．1x 2x 1x 2x 2112250x x x ++=m AB O e D BA DC O e C AC BC B BE DC ⊥E ACD CBE ∠=∠2AD =4CD =O e 1020⨯n 8AB =O AB OD EF 120AOD ∠=︒（1）如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）22．（本题16分）“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆和等边三角形组成，直径，半圆的中点为点，为桌面，半圆与相切于点，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动．（1）如图1，若，则的长为______（结果保留根号）；（2）如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使，①猜想与的位置关系并证明；②点到的距离为______（结果保留根号）；（3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心移动的距离．O AC AB 11A B AC 11A C 1143A OD ∠=︒A 1.73≈sin 370.6︒≈cos370.8︒≈tan 370.75︒≈O PAB 12cm AB =OC MN O MN Q MN AB MN ∥PC cm OC 30COQ ∠=︒PB MN C MN cm PA PB MN O2024—2025学年第一学期期中学业质量监测九年级数学答案及评分标准一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．D2．B3．C4．C5．A6．D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分）7．BD8．BD9．ABD10．BCD三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只要求填写最后结果）11．612．13．14．四、解答题（共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题10分）（1）解：（1），，，即，，；（用配方法也可，分步得分）（2）解：，，解得：，（用其它方法也可，分步得分）16．（本题10分）计算：解：（1）原式（2）原式．17．（本题10分）解：（1）设方程的另一个根是，那么根据题意可得，，所以；（2）又因为，所以可得，因为、是方程的两个实数根，所以，又，所以．因为，所以．所以．18．（本题10分）证明：连接，2π1322410x x -+=2122x x -=-212112x x -+=-+()2112x -=1x ∴-=11x ∴=21x =()()21321x x x -=-()()2130x x --=112x =23x =122112=+⨯==+1242=⨯==1x 122x +=-14x =-1680m ∆=->2m <1x 2x 122x x +=-211240x x m ++=21124x x m +=-()22112111225240x x x x x x x ++=+++=()20m -+-=2m =-OC因为与相切，所以，所以，又因为是的直径，所以，所以，又因为，，所以，所以，所以．（2）由（1）知，因为，所以，又因为为公共角，所以，所以，即，所以，，所以，即的半径的长为3．19．（本题12分）（1）（桶）；（2）（元）；（3）设销售价格应定为元，则，解得，，当时，销售量为400桶；当时，销售量为200桶．为体现“薄利多销”的销售原则，我认为销售价格应定为40元．20．（本题10分）[规律总结]（1）25，24；，[问题解决]（2）假设存在，设图白砖数恰好比灰砖数少56，所以白砖数量为，灰砖数量为所以，所以所以，所以，或（舍去）故当时，白砖的数量为44，灰砖的数量为100，白砖比灰砖少56．21．（本题12分）解：（1）过点作，垂足为，所以，DC O e OC DC ⊥90DCA ACO ∠+∠=︒AB O e 90ACO OCB ∠+∠=︒DCA OCB ∠=∠BE DC ⊥OC DC ⊥OC BE ∥OCB CBE ∠=∠DCA CBE ∠=∠DCA OCB ∠=∠OBC OCB ∠=∠DCA OBC ∠=∠D ∠ACD CBD ∽△△CD ADBD CD=424BD =8BD =826AB BD AD =-=-=3OA =O e ()500103530450--=()305002001060+-÷=x ()()2050010308000x x ---=⎡⎤⎣⎦140x =260x =40x =60x =2n 44n +n 44n +2n24456n n +=-24600n n --=()()1060n n -+=10n =6n =-10n =O OG AC ⊥G 90AGO ∠=︒由题意得：，所以，因为，所以，因为为的中点，所以（米），在中，所以（米），（米），所以此时支点到小竹竿的距离约为3.5米；（2）设交于点，由题意得：，，米，所以，在中，（米），因为米，所以（米），所以点上升的高度约为1.2米．22．（本题16分）解：（1）（2）①因为半圆的中点为点，所以，因为，所以．因为，所以，所以，所以．AC OD ∥90DOG AGO ∠=∠=︒120AOD ∠=︒30AOG AOD DOG ∠=∠-∠=︒O AB 142OA AB ==Rt AOG △122AG AO == 3.5OG ==≈O AC OG 11A C H 11OG A C ⊥11OD A C ∥14OA OA ==1118018014337A A OD ∠=︒-∠=︒-︒=︒1Rt OA H △11cos3740.8 3.2A H OA =⋅︒=⨯≈2AG =1 3.22 1.2A H AG -=-=A ()6cm PC =+PB MN⊥O C 90BOC ∠=︒30COQ ∠=︒60BOQ ∠=︒60PBA ∠=︒BOQ PBA ∠=∠PB OQ ∥PB MN ⊥②点到桌面的距离为（3）从滚动到（图2-图3）过程中，因为拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动，所以滚动过程中始终与桌面相切，所以圆心到桌面的距离总等于圆的半径，所以从滚动到过程中，圆心移动的距离为弧的长度的2倍，由（2）①知：，所以圆心移动的距离．C MN 6-PB MN ⊥PA MN ⊥MN MN O PB MN ⊥PA MN ⊥O CQ 30COQ ∠=︒O 230π62πcm 180⨯⨯⨯=。
重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
重庆南开中学2024-2025学年度上学期期中考试初2025届数学试题（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.17−的相反数是( )．A.17− B.17C. −7D. 7【答案】B【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数， 0的相反数是0．【详解】解：17−的相反数是17，故选：B．2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）A. 蒸馏烧瓶B. 烧杯C. 圆底烧瓶D. 分液漏斗【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可．【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．故选C ．3. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A. 0a >B. 0b >C. 240b ac −<D. 0c >【答案】A【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定a 、b 的符号，由抛物线与x 轴的交点个数确定∆的符号，由抛物线与y 轴的交点位置确定c 的符号，即可得出答案．【详解】解：A 、∵抛物线的开口向上，∴0a >，故此选项符合题意；B 、∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02b a−>， ∵0a >，∴0b <，故此选项不符合题意；C 、∵抛物线与x 轴的两个交点，∴240b ac ∆=−>，故此选项不符合题意；D 、∵抛物线与y 轴的交点在负半轴上，∴0c <，故此选项不符合题意；故选：A ．4. 将ABC 沿BC 方向平移至DEF ，点A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，使得:5:3BC EC =，则ABC 与GEC 的周长之比为（ ）A. 2:3B. 2:5C. 5:3D. 3:5【答案】C【解析】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平移的性质得到AB GE ∥，从而可得到ABC GEC △∽△，利用相似三角形周长于相似比可得答案． 【详解】解：∵ABC 沿BC 方向平移至DEF ，∴AB DE ∥，即AB GE ∥，∴A EGC ∠=∠,B GEC ∠=∠,∴ABC GEC △∽△，∴ABC 与GEC 的周长之比:5:3BCEC =， 故选：C ．5. 中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA 年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排28场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有x 名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ）A. ()128x x −=B. ()128x x +=C. ()11282x x +=D. ()11282x x −= 【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．设一共有x 名选手参加组内循环赛，则每个队参加()1x −场比赛，则共有()112x x −场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意可列方程为：()11282x x −=， 故选：D ．6. 估计+）A. 6和7之间B. 7和8之间C. 8和9之间D. 9和10之间【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算．【详解】解：++，3<<∵67∴9310+<故选：D．7. 南南用相同的小圆圈按照一定的规律摆成了“中”字，第①个图形中有10个小圆圈，第②个图形中有16个小圆圈，第③个图形中有22个小圆圈，…，按照此规律排列下去，则第⑧个图形中小圆圈的个数是（）A. 42B. 52C. 46D. 58【答案】B【解析】【分析】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律，难度不大．仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解．×+=个小圆圈，【详解】第①个图形中一共有16410×+=个小圆圈，第②个图形中一共有26416×+=个小圆圈，第③个图形中一共有36422…，∴第n 个图形中一共有()64n +个小圆圈，∴第⑧个图形中小圆圈的个数是86452×+=，故选：B ．8. 如图，AB 是O 的直径，AE 、CE 、CB 为O 的弦，132AO =，12AE =，则sin BCE ∠=（ ）A. 512B. 1312C. 513D. 125【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，求一个角的正弦值，勾股定理；根据AB 是O 的直径，得出90AEB ∠=°，再运用勾股定理算出5BE ，再结合 EBEB =，则BCE BAE ∠=∠，所以5sin sin 13BE BCE BAE AB ∠=∠==，即可作答． 【详解】解：连接BE ，如图：∵AB 是O 的直径，∴90AEB ∠=°， ∵132AO =， ∴13AB =，在Rt ABE △中，5BE ，∵ EBEB =，∴BCE BAE ∠=∠， ∴5sin sin 13BE BCE BAE AB ∠=∠==， 故选：C ． 9. 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线BD 的中点，E 为正方形内的一点，连接BE ，CE ，使得CB CE =，延长BE 与ECD ∠的角平分线交于点F ．若BEC α∠=，连接OF ，则FOD ∠的度数为（ ）A. 290α−°B. 1452α°+C. 1902α°−D. 245α−°【答案】A【解析】 【分析】连接DF ，先证明∴()SAS CEF CDF ≌，得到CEF CDF ∠=∠，从而得180CDF CEF α∠=∠=°−，继而90BFD ∠=°，然后利用直角 三角形的性质，得出OF OB =，从而有45OFB OBF α∠=∠=−°，然后由三角形外角的性质可求解．【详解】解：连接DF ，如图，∵正方形ABCD∴BC CD =，45CBD CDB ∠=∠=°，∵CB CE =∴CE CD =，CBE BEC α∠=∠=， ∴45DBE α∠=−°，∵CF 是ECD ∠角平分线∴ECF DCF ∠=∠ ∵CF CF =，ECF DCF ∠=∠，CE CD =， ∴()SAS CEF CDF ≌∴CEF CDF ∠=∠，∴180CDF CEF α∠=∠=°−∴18045135BDFCDF CDB αα∠=∠−∠=°−−°=°− ∴1354590BDF DBE αα∠+∠=°−+−°=° ∴90BFD ∠=°∵O 是对角线BD 的中点，∴OF OB =∴45OFB OBF α∠=∠=−° ∴4545290FOD OFB OBF ααα∠=∠+∠=−°+−°=−° 故选：A ．【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明90BFD ∠=°是解题的关键．10. 给定三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差（相同的两个代数式只作一次差），再将这些差“绝佳操作”．例如：对于m ，n ，p 作“绝佳操作”，得到m n m p n p −+−+−．下列说法：①对2，4−，5作“绝佳操作”结果是18；②对m ，n ，p 作“绝佳操作”的结果一共有8种；③对22a ，66a −，42a 作“绝佳操作”的结果为28，则a的值为1−或1−；其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题考查新定义和绝对值化简，解一元二次方程，理解万岁新定义是解题的关键，注意分类讨论． 利用绝对值的性质进行逐个计算判断即可． 【详解】解：①()242545−−+−+−−的的18=，故①正确；②当m n p >>时，则22m n m p n p m n m p n p m p −+−+−=−+−+−=−，当m p n >>时，则22m n m p n p m n m p n p m n −+−+−=−+−−+=−，当n m p >>时，则22m n m p n p m n m p n p n p −+−+−=−++−+−=−， 当n p m >>时，则22m n m p n p m n m p n p n m −+−+−=−+−++−=− 当p m n >>时，则22m n m p n p m n m p n p p n −+−+−=−−+−+=−当p n m >>时，则22m n m p n p m n m p n p p m −+−+−=−+−+−+=− ∴对m ，n ，p 作“绝佳操作”的结果一共有6种，故②错误；③当226642a a a >−>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=，化简得：2260a a −−=，解得：1a =+1a =−； 当224266a a a >−>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：2340a a −−=，解得：4a =（舍去）或1a =−；当266242a a a −>>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：6828a −=，解得：6a =（舍去）； 当266422a a a −>−>时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：23100a a −+=，∵()234110310∆=−−××=−<∴无解；当242266a a a −>>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：8a −=，解得：8a =−（舍去）， 当242662a a a −>−>时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：4828a −+=，解得：5a =−（舍去），综上，a 的值为11−，故③错误；∴只有①正确，共1个，二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题．．卡．中对应的横线上． 11. 计算：()01tan3012−°−−=________． 【答案】12##0.5 【解析】【分析】本题主要考查实数混合运算，零指数幂，负整理指数幂，特殊角的三角函数，解题的关键是掌握分负整数指数幂、零指数幂的规定，熟记特殊锐角的三角函数值．【详解】解：()01tan3012−°−−112 =−−112=− 12=． 故答案为：12． 12. 正八边形每个外角的度数为_____．【答案】45°##45度【解析】【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据任何一个多边形的外角和都是360°求解即可．【详解】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，所以正八边形的每个外角的度数是：360845°÷=°．故答案为：45°．13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________． 【答案】14【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：用A 、 B 、C 、D 分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊，画树状图如图，共有16种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：41164=． 14. 如图，点A 在反比例函数()0k yk x=≠图象上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接OA ，若ABO 的面积为2，则k =________．【答案】4【解析】【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k ．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是122k =，再根据反比例函数的图象位于第二象限即可求出k 的值． 【详解】解：根据题意可知：221AOB S k == ， 又反比例函数的图象位于第一象限，0k >，则4k =．故答案为：4．15. 若二次函数232y x x =−+过点(),3m ，则代数式2262023m m −+=________． 【答案】2025【解析】【分析】本题考查的是抛物线的性质．掌握“点在抛物线上，则点的坐标满足函数解析式”是解本题的关键．由于抛物线经过点(),3m ，则231m m −=，把2262023m m −+整理后整体代入即可． 【详解】∵二次函数232y x x =−+过点(),3m ， ∴2323m m −+=， ∴231m m −=，∴()222620232320232120232025m m m m −+=−+=×+=． 故答案为：2025．16. 关于x 的一元一次不等式组()341221x x x x m − ≤−+≥−+至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13222m y y−=−−−的解为非负整数，则符合条件的整数m 的值之和为________． 【答案】2 【解析】【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，掌握相应的计算方法是关键． 先解不等式组，确定m 的取值范围25<≤m ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得22m y −=，由分式方程有非负整数解，确定出的值，即可解答．【详解】解：()341221x x x x m − ≤−+≥−+①② 解①得：2x ≤， 解②得：23m x −≥， ∴223m x −≤≤， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴213m −≤， 解得：5m ≤；13222m y y−=−−−， 去分母得：1243m y −=−+， 解得：2my =， ∵分式方程的解为非负整数，且2y ≠ ∴0m ≥且4m ≠的偶数， 又∵5m ≤ ∴2m =，0∴符合条件的整数m 的值之和为202+=． 故答案：2．17. 如图，在矩形ABCD 中，4=AD ，点E 为AB 中点，将矩形沿着EF 所在的直线翻折至矩形ABCD 所在的平面，点B ，C 的对应点分别是B ′，C ′，B E ′与CD 交于点G ，使得CF GF =，连接AB ′，B F ′，AF ，若25B G GF ′=，则GF =________；AB F S ′= ________．【答案】 ①. 5 ②. 985【解析】【分析】过点G 作GH C F ′⊥，则四边形B C HG ′′是矩形，根据矩形的性质，结合折叠的性质可得4GH B C ′′==，GF GE =，令5GF CF a ==，则2B G C H a ′′==，5CF C F a ′==，可知3HF C F C H a ′′=−=，根据勾股定理即可求解，则2B G ′=，7BE B E ′==，令AB ′与CD 交于点O ，过点B ′作B M CD ′⊥，则90D B MO ′∠=∠=°，再证明B OG B AE ′′△∽△，DOA MOB ′△∽△，结合相似三角形的性质求得2855B M AD ′==，由1122AB F AOF B OF S S S OF AD OF B M ′′′=+=⋅+⋅△△△，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD 中，4AD BC ==，AB CD =，90B C D ∠==∠=°，AB CD ∥，则BEF DFE ∠=∠，由折叠可知，BE B E ′=，CF C F ′=，4BC B C ′′==，90C C ′∠=∠=°，90EB C B ′∠=∠=°，BEF B EF ′∠=∠，则B EF DFE ′∠=∠， ∴GF GE =，为过点G 作GH C F ′⊥，则四边形B C HG ′′是矩形， ∴4GHB C ′′==，B G C H ′′=， ∵25B G GF ′=，CF GF =，令5GFCF a ==，则2B G C H a ′′==，5CF C F a ′==， ∴3HF C F C H a ′′=−=，由勾股定理可得：222GH GF HF =−，即：()()222453a a =−，解得：1a =，∴5GF =，则2B G ′=，7BEB E ′==， 令AB ′与CD 交于点O ，过点B ′作B M CD ′⊥，则90D B MO ′∠=∠=°，∵点E 是AB 的中点，∴7AE BE ==，即14ABCD ==， ∵AB CD ∥，∴B OG B AE ′′△∽△，B G B O GF OA ′′==∴OG B GAE B E ′=′，即277OG =， ∴2OG =，∴7OF OG GF =+=，则2OD CD OF CF =−−=， ∵DOA MOB ′∠=∠ ∴DOA MOB ′△∽△，∴25B M B O AD OA ′′==，则2855B M AD ′==， ∴1118987422255AB F AOF B OF S S S OF AD OF B M ′′′=+=⋅+⋅=××+=， 故答案为：5，985． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．18. 一个四位数M 各数位上的数字均不为0，若将M 的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数N ，则称N 为M 的“翻折数”，规定()11M NF M +=．例如：1235的“翻折数”为5321，()12355321123559611F +==，则()2678F =________；若()5001200101M x y =+++（M ，y 为整数，59x ≤≤，18y ≤≤），M 的“翻折数”N 能被17整除，则()F M 的最大值为________． 【答案】 ①. 1040 ②. 757 【解析】【分析】根本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程的解，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键．据()11M NF M +=代入求解()2678F 即可；首先表示出s 和t 的“翻折数”，然后求出3153x y ++的取值范围，进而分类讨论求得x ，y 的值，然后代入()11M NF M +=求解即可． 【详解】根据题意可得，()267887622678104011F +==；∵()5001200101M x y =+++（M ，y 为整数59x ≤≤，18y ≤≤）， ∴M 的千位数字为6，百位数字为210x −，十位数字为1y +，个位数字为1， ∴M 的“翻折数”N 为()()10001001102106y x +++−+201001006x y =++()175593153x y x y =+++++，∵59x ≤≤，18y ≤≤， ∴333153150x y ≤++≤， ∵M 的“翻折数”N 能被17整除， ∴3153x y ++能被17整除， ∵x ，y 都是整数， ∴3153x y ++是整数，∴431533x y +=+，51，68，85，102，119，136，∴当431533x y +=+时，x ，y 无整数解， 当131535x y +=+时，13x y = = （舍去）或62x y = =，当831536x y +=+时，x ，y 无整数解， 当531538x y +=+时，x ，y 无整数解， 当2315310x y +=+时，36x y == （舍去）或85x y = = ，当9315311x y +=+时，x ，y 无整数解， 当6315313x y +=+时，x ，y 无整数解，∴当62x y = =时，()5001200610216231M =+×+×+=，1326N =，()6231132668711F M +==， 当85x y = =时，()5001200810516661M =+×+×+=，1666N =，()6661166675711F M +==， ∴()F M 的最大值为757， 故答案为：1040，757．三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19. 计算：（1）()22()m m n m n +−+（2）2214123a a a a −+÷ +【答案】（1）2n −； （2）321a a +−． 【解析】【分析】本题考查了整式的运算和分式的混合运算．解题的关键是掌握整式和分式混合运算顺序和运算法则．（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并即可；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】解：()22()m m n m n +−+2222(2)m mn m mn n =+−++22222m mn m mn n =+−−− 2n =−；【小问2详解】解：2214123a a a a −+÷ + 2221413a a a a a+−÷+ ()()()321·2121a a a a a a ++=+− 321a a +=−． 20. 为了全面了解学生对校史的掌握情况，公能学校开展了校史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的比赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x 表示，共分为四组：A ．90100x <≤；B ．8090x <≤；C ．7080x <≤；D ．6070x <≤；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：68，76，78，79，84，85，86，86，86，86， 88，89，89，91，91，94，94，95，95，100．八年级20名学生的竞赛成绩在B 组的数据为：80，83，86，87，87，89，89． 七、八年级所抽学生的校史知识竞赛成绩统计表年级 七年级 八年级 平均数8787中位数 87 b众数 a92根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a =________；b =________；m =________；（2）根据以上数据分析，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级学生对校史的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）公能学校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加此次校史知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的成绩优秀(90)x >的学生共有多少人？ 【答案】（1）86；87；40（2）八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由见解析 （3）415 【解析】【分析】（1）根据众数和中位数定义求a 、b 值，先求出B 组人数占的百分比为35%，即可由%110%15%35%m =−−−求出m 值；（2）根据两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，可得出结论； （3）用各年级的总人数乘以年级的优秀率，再相加，列式计算即可求解. 【小问1详解】解：在七年级20名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数86a =； ∵八年级20名学生的竞赛成绩在B 组的数据为：80，83，86，87，87，89，89． ∴B 组人数占的百分比为：7100%35%20×=， ∵C 组人数占的百分比为15%，D 组人数占的百分比为10%， ∴A 组人数占的百分比为%110%15%35%40%m =−−−=，即40m =． ∴八年级20名学生竞赛成绩的中位数在B 组，的∴把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87，89，故中位数8789872b +=， 故答案：86；87；40． 【小问2详解】解：八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由如下：因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以得到八年级学生安全知识竞赛成绩较好（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：750060040%20×+× 175240+415=（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数大约是415人．【点睛】本题考查众数，中位数，统计表，扇形统计图，用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键．21. 在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形ABCD ，分别取BC ，CD 的中点M ，N ，连接AM ，DN 交于点E ，过B 作AM 的垂线，交AM 于点Q ，交AD 于点P ．则四边形BPDN 是平行四边形．（1）用尺规完成以下基本作图：过B 作AM 的垂线，交AM 于点Q ，交AD 于点P （只保留作图痕迹）．（2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形BPDN 是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥．又∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴12DM CD =，12CN BC =，∴ ① ，在ADM 与DCN 中，为AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()ADM DCN SAS ≌．∴ ② ．又∵90CDN ADN ∠+∠=°，∴90DAM ADN ∠+∠=°，∴90AED ∠=°，又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°，∴ ③ ．又∵DP BN ∥ ∴四边形BPDN 是平行四边形．进一步思考，智慧小组发现任取BC ，CD 的上点N ，M （M 不与C ，D 重合），DM CN =，连接AM ，DN ，过B 作AM 的垂线，交AD 于点P ，则四边形BPDN 是 ④ ．【答案】（1）见解析 （2）DM CN =；DAM CDN ∠=∠；∥BP DN ；进一步思考：四边形BPDN 是平行四边形 【解析】【分析】（1）利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可；（2）先证明()SAS ADM DCN ≌，得到DAM CDN ∠=∠．从而证得90AQP AED ∠=∠=°，即可得到∥BP DN ．又由正方形的性质得DP BN ∥，即可得出结论；进一步思考：证明()SAS ADM DCN ≌，得到DAM CDN ∠=∠，再证明∥BP DN ，又由正方形的性质得DP BN ∥，即可得出结论． 【小问1详解】解：如图所示，BP 就是所求作的经过点B 垂直于AM 于Q ，交AD 于P 的直线，【小问2详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥． 又∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴12DM CD =，12CN BC =， ∴DM CN =，在ADM 与DCN 中，AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()SAS ADM DCN ≌． ∴DAM CDN ∠=∠． 又∵90CDN ADN ∠+∠=°， ∴90DAM ADN ∠+∠=°， ∴90AED ∠=°， 又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°， ∴∥BP DN ． 又∵DP BN ∥∴四边形BPDN 是平行四边形． 进一步思考：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥． 在ADM 与DCN 中，AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()SAS ADM DCN ≌． ∴DAM CDN ∠=∠． 又∵90CDN ADN ∠+∠=°， ∴90DAM ADN ∠+∠=°， ∴90AED ∠=°， 又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°， ∴∥BP DN ． 又∵DP BN ∥∴四边形BPDN 是平行四边形． 故答案为：平行四边形．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图—作垂线，平行四边形的判定．熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键．22. 重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕．（1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分別为多少元？（2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了2m 元，“开心果半角”单价降低了m 元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求m 的值．【答案】（1）“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元 （2）2 【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键． （1）设“流沙羊角”的单价为x “开心果羊角”的单价为y 元，根据购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，列出方程组，求解即可． （2）根据销量等于销售额除以销售单价，以“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，列出分式方程求解即可． 【小问1详解】解：设“流沙羊角”的单价为x 元，“开心果羊角”的单价为y 元，根据题意，得37254x y x y +=+= ， 解得：2017x y = =， 答：“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元． 【小问2详解】 解：根据题意，得960750 1.220217m m=×−−， 解得：2m =，经检验，2m =是方程的解且符合题意， ∴m 的值为2．23. 如图1，在菱形ABCD 中，5AB =，8BD =，动点P 从点A 出发，沿着A B C −−的路线运动，到达C 点停止，过点P 作PQ BD ∥交菱形的另一边于点Q ．设动点P 行驶的路程为x ，点P 、Q 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y 的一条性质；（3）函数11y x b 2=+与函数y 只有一个交点，求b 的取值范围． 【答案】（1）()()80558165105x x y x x ≤≤ =−+<≤ ； （2）作图见解析，当05x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当510x <≤时，y 随x 的增大而减小； （3）50b −≤<或112b =． 【解析】【分析】（1）分点P 在AAAA 上和点P 在BC 上两种情况讨论，利用相似三角形的判定及性质构造等量关系，即可得到答案；（2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画图，再写出该函数的性质即可；（3）结合函数图象，将()5,8、()0,0和()10,0代入11y x b 2=+，分别求出b 的值，即可得出b 的取值范围．【小问1详解】解：如图，点P 在AAAA 上时，05x ≤≤，∵PQ BD ∥， ∴APQ ABD ∽，∴AP PQ AB BD =即58x y=， ∴85y x =， ∵5AB =，如图，点P 在BC 上时，∵四边形ABCD 是菱形， ∴5BC AB ==， ∴10PC x =−，当点P 在BC 上时，510x <≤， ∵PQ BD ∥， ∴CPQ CBD ∽，∴CP PQ CB BD =即1058x y −=， ∴8165y x =−+，综上可知，y 关于x 的函数表达式为()()80558165105x x y x x ≤≤ =−+<≤ 【小问2详解】解：由（1）所得关系式可知，x0 5 8 10 y83.2函数图象如下：性质：当05x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当510x <≤时，y 随x 的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】解：如图，由图象可知，函数11y x b 2=+的图象在3l 和2l 之间时，与函数y 只有一个交点， 将()5,8代入11y x b 2=+，得：1852b =×+，解得：112b =， 将()0,0代入11y x b 2=+，得：0b =， 将()10,0代入11y x b 2=+，得：5b =−， ∴b 的取值范围为50b −≤<或112b =．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定及性质，求一次函数解析式，描点法画函数图象，一次函数图象和性质，两直线交点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．24. 如图，M 为沙坪坝区物流中心，N ，P ，Q 为三个菜鸟驿站，N 在M 的正南方向4.3km 处，Q 在M 的正东方向，P 在Q 的南偏西37°方向2.5km 处，N 在P 南偏西64°方向．（sin370.60°≈，cos370.80°≈，tan370.75°≈，sin640.90°≈，cos640.44°≈，tan64 2.05°≈）（1）求驿站P ，驿站N 之间的距离（结果精确到0.1km ）； （2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心M 出发，以30km/h 的速度沿着M N P Q ———的路线派送快递到各个驿站，派送员途径N ，P 两个驿站各停留6min 存放快递，请计算说明派送员能否在40min 内到达驿站Q ？【答案】（1）5.2km （2）能，理由见解析 【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的 知识求解是解题的关键．（1）过点P 作PA MN ⊥于A ，PB MQ ⊥于B ，先解Rt PBQ △，求得2km PB =，再证明2km AM PB ==，从而得出 2.3km AN =，然后解Rt PAN △，即可求解． （2）求出派送员所需总时间，再与40min 比较即可得出答案． 【小问1详解】解：过点P 作PA MN ⊥于A ，PBMQ ⊥于B ，如图，根据题意，得37BPQ PQD ∠=∠=°，64PNA NPC ∠=∠=°， 4.3km MN =， 2.5km PQ =， 在Rt PBQ △中，∵cos PB BPQ PQ∠=， ∴()cos 2.5cos37 2.50.802km PBPQ BPQ =⋅∠=×°≈×=， ∵PA MN ⊥，PBMQ ⊥，90NMQ ∠=°，∴四边形AMBP 是矩形， ∴2km AM PB ==，∴()4.32 2.3km AN MN AM =−=−=，在Rt PAN △中，∵cos PNA ∠∴()2.3 2.3 5.2km cos cos 640.44ANPNPNA ==≈≈∠°，答：驿站P ，驿站N 之间的距离约为5.2km ． 【小问2详解】解：∵30km/h 0.5km/min =，∴()()4.3 5.2 2.50.56236min ++÷+×=， ∵36min<40min ，∴派送员能在40min 内到达驿站Q ．25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =−+与抛物线()230y ax x a =−+≠交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，直线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）P 是直线AB 上方抛物线上一点，过P 作PQ y ∥轴交直线AB 于点Q ，求PQ AQ 的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）在（2）PQ AQ 的最大值的条件下，连接BP ，将抛物线沿射线BA 方向平移，使得点A 在新抛物线的对称轴上，M 是新抛物线上一动点，当MAB BPQ ∠=∠时，直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）2134y x x =−−+（2）PQ AQ +的最大值为4，()2,4P −（3）点M 的坐标为()2,2或 【解析】【分析】（1）先由一次函数解析式求出点()2,0A ，再把()2,0A 代入23y ax x =−+，求出a 值即可；（2）延长PQ 交y 轴于D ，证明OAC DAQ ∽，得AC OC AQ DQ =1DQ =，求得DQ AQ =，再设21,34P x x x −−+ ，则1,12Q x x−+ ，则211242PQ x x =−−+，112QD x =−+，所以()21244PQ AQ PQ QD PD x +=+==−++，利用二次函数最值即可求解． （3）根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为2114y x x =−++，再分两种情况：当点M 在直线AB 上方时，当点M 在直线AB 下方时，分别求解即可． 【小问1详解】解：对于直线112y x =−+， 令0y =，则1102x −+=，解得：2x =， ∴()2,0A ，把()2,0A 代入23y ax x =−+，得0423a −+， 解得：14a =−， ∴抛物线的表达式2134y x x =−−+． 【小问2详解】解：延长PQ 交y 轴于D ，对于直线112y x =−+， 令0x =，则1y =， ∴CC (0,1)， ∵()2,0A∴AC ==∵PQ y ∥轴，即QD OC ∥， ∴OAC DAQ ∽∴AC OC AQ DQ =1DQ=，∴DQ AQ =， 设21,34P x x x −−+ ，则1,12Q x x −+，∴2211113124242PQ x x x x x=−−+−−+=−−+，112QD x =−+∴()221132444PQ AQ PQ QD PD x x x =+==−−+=−++ ∵104−< ∴当2x =−时，PQ AQ +的最大值为4； ∴()2,4P −． 【小问3详解】解：联立，2134112y x x y x =−−+=−+， 解得：1143x y =− = ，2220x y = = ，∴()4,3B −，由（2）知，在PQ AQ +的最大值的条件下，抛物线的顶点为点()2,4P −，对称为直线PQ ， 当2x =−时，则()12122y =−×−+=， ∴()2,2Q −， 则2PQ =，PB QB∴BPQ BQP ∠=∠， ∵将抛物线沿射线BA 方向平移，使得点A 在新抛物线的对称轴上， ∴点Q 平移后与点A 重合， ∵()2,2Q −，()2,0A ，∴抛物线沿射线BA 方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位，∴抛物线顶点()2,4P −平移后到点()2,2P ′，点()4,3B −平移后到点()0,1B ′，即B ′与C 重合，∴BPQ B P A ′′ ≌，抛物线平移后的解析式为()221122144y x x x =−−+=−++，∴BPQ B P A ′′∠=∠， ∵()0,1B ′，()2,2P ′，∴P B =′=′∵()0,1B ′，()2,0A ，∴AB ′=，∴P B AB ′′′=， ∴B AP B P A ′′′′∠=∠， 当点M 在直线AB 上方时，∵MAB BPQ ∠=∠， ∴MAB B P A ′′∠=∠， ∴点M 与点P ′重合， ∴()2,2M ，当点M 在直线AB 下方时，设21,14M x x x−++， 过点M 作ME PQ ∥，交AB 于E ，交x 轴于N ，则MEA BQP ∠=∠，1,12E x x−+， 则AOC ANE △∽△，∴AC OCAE EN=，则E AE EN AC =⋅=， ∵MAB BPQ ∠=∠， ∴BPQ MAE △∽△，∴BQ PQ ME AE=，则BQ ME PQ AE =，=，整理得：32E M y y =−， 即：231111224x x x −+=−−++，解得：x =（x =，此时，M y =∴M ， 综上，符合条件的点M 的坐标为()2,2或． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要去向不明了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线的平移，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键．26. 在ABC 中，AC BC =，D 为线段AB 上一点，连接CD ．（1）如图1，若30B ∠=°，AC AD =，过A 作AE CD ⊥于O ，交BC 于E ，2CE =，求线段BE 的长；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥交CD 延长线于点F ，以BC 为斜边在ABC 的右侧作等腰直角三角形BCG ，过点G 作GH AB ∥，交DC 的延长线于点H ，HC FB =．猜想线段AD ，BD ，CD 的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，60ACB ∠=°，过A 作AQ BC ⊥于Q ，作ACB ∠的角平分线交AQ 于M ，取CM 的中点N ，连接QN ．点K 为直线BC 上的动点，连接NK ，将QKN 沿着NK 所在直线翻折至ABC 所在平面得到Q KN ′ ，连接MQ ′，取MQ ′中点P ，连接CP ．将12CD 绕着点D 顺时针旋转至直线AB 上方DR 处，使得BDR ACD ∠=∠．当CP 取得最小值时，连接AP ，PR ，AR ，当ARP △以AP 为腰的等腰三角形时，请直接写出DR AP的值． 【答案】（1）（2）AD BD =+（3 【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得120ACB ∠=°，75ACD ∠=°，得45DCE ∠=°，根据线段垂直平分线性质，得2CE DE ==，得90CED ∠=°，即得BE = （2）过点C 作CI AB ⊥于I ，得AI BI =，根据等腰直角BCG 中，90BG CG BGC =∠=°，，BF CD ⊥，得点G 、C 、F 、B 在以BC 为直径的圆上，得GCH GBF ∠=∠，结合HC FB =，得()SAS GCH GBF ≌，得GF GH BGF CGH =∠=∠，， 得90FGH ∠=°，证明45IDC H ∠=∠=°，得DI =，根据BI BD DI =+，AD AI DI =+，即得AD BD =+；（3）证明当'Q 与C 重合时，点P 与点N 重合，PC 取得最小值，当AP AR =时，设CD 中点为T ，连接RT BR CR ，，，由对称性知，点R 在ABC ∠的平分线上，得CR AR =，由BDR ACD ∠=∠，得60CDR CAD ∠=∠=°，根据RT DT CT ==，得DTR 是等边三角形，得30RCT ∠=°，90CRD ∠=°，得tan DR DCR CR ∠=；②延长CM 交AB 于L ，过B 作BS AC ∥，交DR 延长线于S ，连接CS ，则AL BL =，60CBS ACB ∠=∠=°，得60CBS CDS ∠=∠=°，得B 在过C 、D 、S 三点的圆上，得60CSD CBD ∠=∠=°，得 CDS 是等边三角形，当D 与点B 重合时，T 与Q 重合，点R 在BS 上，根据150NQB NQR ∠=∠=°，BQ RQ NQ NQ ==，，得()SAS BQN RQN ≌,得BN RN =，得AN RN =，设ABC 的边长为2，则1AL =，CL =，根据23CM CL =，N 是CM 中点，得NL =，得AN =DR AP =【小问1详解】解：AC BC = ，30B ∠=°。
2023-2024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)
20232024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列选项中，哪个是方程的正确表示形式？A. 2x + 3 = 7B. x + y = 5C. 3x 4yD. 2(x + 1) = 62. 下列哪个选项是二元一次方程组？A. 3x + 4y = 7B. 2x y = 5C. 4x + 3y = 8D. 3x + 2y = 6, 2x y = 43. 下列哪个选项是二次方程？A. x^2 5x + 6 = 0B. 2x + 3 = 7C. x^2 + 3x + 2D. 3x^2 4x4. 下列哪个选项是一次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = x^3D. y = 1/x5. 下列哪个选项是反比例函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^36. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^37. 下列哪个选项是等差数列的通项公式？A. a_n = a_1 + (n 1)dB. a_n = a_1 + ndC. a_n = a_1 + (n + 1)dD. a_n = a_1 + (n 2)d8. 下列哪个选项是等比数列的通项公式？A. a_n = a_1 r^(n 1)B. a_n = a_1 r^nC. a_n = a_1 r^(n + 1)D. a_n = a_1 r^(n 2)9. 下列哪个选项是概率的基本性质？A. 0 <= P(A) <= 1B. P(A) > 1C. P(A) < 0D. P(A) = 210. 下列哪个选项是勾股定理的表述？A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + c^2 = b^2D. a^2 c^2 = b^2二、填空题（每题2分，共20分）1. 一元一次方程的解是________。
安徽合肥瑶海区2024年上学期九年级期中考试数学答案
安徽省合肥市瑶海区2024-2025学年度第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．抛物线y ＝4(2x ﹣3)2+3的顶点坐标是（ ）A ．(32，3)B ．(4，3)C ．(3，3)D ．(﹣3，3)【答案】A【分析】根据顶点式2()y a x h k =−+的顶点坐标为(),h k 求解即可 【详解】解：抛物线2234331(2))3(62yx x =−+=−+的顶点坐标是3(,3)2 故选A【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =−+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．2．抛物线()2243y x =−+−的对称轴是（ ）A ．直线4x =B ．直线4x =−C ．直线3x =D ．直线3x =−【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的性质．解题的关键是熟练掌握由抛物线的顶点式写出抛物线的对称轴表达式．根据抛物线()2y x h k =−+的对称轴是直线x h =即可确定．【详解】抛物线()2243y x =−+−的对称轴是直线4x =−．故选：B ．3．下列四条线段a b c d ,,,中，不是成比例线段的是（ ）A ．1,2,4,8a b c d ==== B ．1,a b c d ==C ．2,4,5,15a b c d ==== D ．2,a b cd ==【答案】C 【分析】本题考查线段成比例的知识，可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．【详解】解：A 、12a b = ，4182c d ==，a c b d ∴=，故四条线段a b c d ,,,是成比例线段，不符合题意；B 、a b = c d =，a c b d ∴=，故四条线段a b c d ,,,是成比例线段，不符合题意；C 、2142a b == ，51153c d ==，a c b d∴≠，故四条线段a b c d ,,,不是成比例线段，符合题意；D 、a b = c d =a c b d ∴=，故四条线段a b c d ,,,是成比例线段，不符合题意． 故选：C ．4．将抛物线2(1)2y x =−−+先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（ ）A ．2(2)4y x =−−+B ．24y x =−+C ．2y x =−D ．2(1)4y x =−++【答案】B【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是：直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．【详解】解： 将抛物线2(1)2y x =−−+先向上平移2个单位，再向左平移1个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：2(11)22y x =−−+++，即24y x =−+．故选：B ．5．如果当0x >时，反比例函数0)y k =≠的函数值随x 的增大而增大，那么一次函数123y kx k =−的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质：y kx b =+与y 轴交于()0,b ，当0b >时，()0,b 在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当0b <时，()0,b 在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．①0,0k b y kx b >>⇔=+的图象在一、二、三象限；②0,0k b y kx b ><⇔=+的图象在一、三、四象限；③0,0k b y kx b <>⇔=+的图象在一、二、四象限；④0,0k b y kx b <<⇔=+的图象在二、三、四象限．反比例函数的图象性质，反比例函数(0)k y k x=≠的图象是双曲线，当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．由反比例函数的性质可判断k 的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限．【详解】解：由题意得：0k <，103k ∴<，20k −>， ∴一次函数123y kx k =−的图象经过第一、二、四象限， 故选：B ． 6．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）.A ．B ．∠B ＝∠DC ．D ．∠C ＝∠AED【答案】C 【详解】试题分析：根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． ：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选C ．考点: 相似三角形的判定．7．如图，在三角形纸片ABC 中，9AB =，6AC =，12BC =，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【详解】解：在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，BC ＝12．A ．因为661122BC == ，对应边93124AB BC ==， 1324≠ ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；B ．因为44263AC == ，对应边6293AC AB ==，又∠A ＝∠A ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似，故此选项正确；C ．因为449AB = ，对应边93124AB BC ==，即：4394≠，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；D 、因为4263= ，对应边61122AC BC ==， 2132≠，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．8．如图，矩形OABC 与反比例函数11k y x =（1k 是非零常数，0x >）的图象交于点M ，N ，与反比例函数22k y x=（2k 是非零常数，0x >）的图象交于点B ，连接OM ON ，．若四边形OMBN 的面积为6，则12k k −=（ ）A ．6B ．6−C ．3D ．3−【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质以及反比例函数的系数k 的几何意义，根据矩形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论．【详解】解：∵1y 、2y 的图象均在第一象限，∴10k >，20k >，∵点M ，N 均在反比例函数11k y x=的图象上， ∴112AOM CON S S k == ， ∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数22k y x =的图象上， ∴2OABC S k =矩形，∴6OAM OCN OABC OMBN S S S S =−−= 矩形四边形，∴216k k −=， ∴126k k −=−，故选：B ．9．如图，在矩形ABCD 中，4cm,2cm AB AD ==，动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线AD DC CB －－以每秒2cm 的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设AMN 的面积为()2cm y ，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（01x <<，13x ≤<，34x ≤<）分别求解y 与x 的解析式，从而求解．【详解】解：当01x <<时，M N 、分别在线段AB AD 、上，此时cm AM x =，2cm AN x =，212AMN y S AM AN x ==××= ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线； 当13x ≤<时，M N 、分别在线段AB CD 、上，此时cm AM x =，AMN 底边AM 上的高为2cm AD =，12AMN y S AM AD x ==××= ，为一次函数，图象为直线； 当34x ≤<时，M N 、分别在线段AB BC 、上，此时cm AM x =，AMN 底边AM 上的高为(82)cm BNx =−， 211(82)422AMN y S AM BN x x x x ==××=−=−+ ，为二次函数，图象为开口向下的抛物线； 结合选项，只有A 选项符合题意，故选：A ．10．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，点C ，D 的对应点分别为E ，F 且点F 在矩形内部，MF 的延长线交BC 与点G ，EF 交边BC 于点H ．2EN =，4AB =，当点H 为GN 三等分点时，MD 的长为（ ）A ．B ．4或C ．4D ．4或4【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识；根据点H 为GN 三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明GMN MNG ∠=∠，得到MG NG =，证明FGH ENH ∽，求出FG 的长，过点G 作GP AD ⊥于点P ，则4PGAB ==，设,MD MF x ==根据勾股定理列方程求出x 即可．【详解】解：当HN =13GN 时，2GH HN =， 将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，MF MD ∴=，CN EN =，90E C D MFE ∠=∠=∠=∠=°，DMN GMN ∠=∠，AD BC ∥， 90GFH ∴∠=°，DMN MNG ∠=∠， GMN MNG ∴∠=∠，MG NG ∴=，90GFH E ∠=∠=° ，FHG EHN ∠=∠， FGH ENH ∴ ∽， ∴2FG GH EN HN==， 24FG EN ∴==，过点G 作GP AD ⊥于点P ，则4PG==， 设MDMF x ==， 则4MG GN x ==+，6CG x ∴=+，6PM ∴=，222GP PM MG +=，∴()222464x +=+，解得：4x −MD ∴4；当GH =13GN 时，2HN GH =， FGH ENH △∽△，∴12FG GH EN HN ==， FG ∴=121EN =， 1MG GN x ∴==+，3CG x ∴=+，3∴=PM ，222GP PM MG +=，()222431x ∴+=+， 解得：4x =，4MD ∴=．故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．抛物线214y kx x =−+与x 轴有两个交点，则实数k 的取值范围是 ．【答案】1k <且0k ≠/0k ≠且1k <【分析】本题考查了二次函数与坐标轴有两个交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．直接利用根的判别式列不等式解答，再结合0k ≠，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线214y kx x =−+与x 轴有两个交点， ∴21(1)404k ∆=−−××>， ∴1k <，又∵0k ≠，∴k 的取值范围是1k <且0k ≠；故答案为：1k <且0k ≠．12．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P 为AB 的黄金分割点（AP PB >），如果AB 的长度为2cm ，那么AP 的长度为 ．【答案】)1cm −AP AB =即可求解．【详解】解：∵P 为AB 的黄金分割点，AP PB >，∴AP AB ∵AB 的长度为2cm ，∴2AP∴)1cm AP =，故答案为：)1cm −． 13．如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上一点，且BP ＝3PC ，Q 是DC 的中点，则AQ ∶QP 等于 ．【答案】2∶1【详解】试题解析：在正方形ABCD 中，AD=CD=BC=AB ．∵BP=3PC ，Q 是CD 的中点， ∴12CP CQ DQ AD ==． 又∵∠ADQ=∠QCP=90°，∴△ADQ ∽△QCP ， ∴=212AQ AD AD QP QC AD ==，即AQ ：QP=2：1． 14．如图，已知反比例函数11y x =，24y x=在第一象限的图象，过2y 上任意一点A ，作x 轴的平行线交1y于点B ，交y 轴于点C ，过点A 作x 轴的垂线交1y 于点D ，交x 轴于点E ，连接BD CE ，，则：①ABD △的面积为 ；②BD CE= ． -【答案】 9834 【分析】①设点4,A a a，可得4,B A D A y y x x a a ====，进而可求,B D 的坐标，根据12ABD S AB AD =××△即可求解；②证BAD CAE ∽即可求解．【详解】解：①设点4,A a a由题意得：4,B A D A y y x x a a ==== ∵,B D 均为11y x=图象上的点 ∴41,,,4a B D a a a∴114192248ABD a S AB AD a a a =××=×−×−= ②由①得：334,,,4AB a AD AC a AE a a==== ∴34AB AD AC AE == BAD CAE ∠=∠ BAD CAE ∴ ∽34BD AB AD CE AD AE ∴=== 故答案为：①98②34【点睛】本题考查了反比例函数得性质、相似三角形的判定与性质．根据反比例函数的解析式设点是解题关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知抛物线的顶点坐标是()1,5−，且过点()0,3−，求抛物线的解析式．【答案】()2215y x =−−【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，设抛物线的解析式为()2y a x h k =−+，根据顶点坐标得到()215y a x −−．把()0,3−代入解析式求出a 的值，即可得到抛物线的解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为()2y a x h k =−+．∵抛物线的顶点坐标是()1,5−，∴()215y a x −−．把()0,3−代入()215y a x −−得， ()23015a −=−−， 解得2a =，∴抛物线的解析式为()2215y x =−−．16．已知235a b c ==，且328a c −=−，求234c b a −+的值． 【答案】22【分析】设2a k =，3b k =，5c k =，确定2k =，计算即可，本题考查了比的性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解:∵235a b c ＝＝， ∴设2a k =，3b k =，5c k =，∵328a c −=−， ∴6108k k −=−， 解得2k =，∴4a =，6b =，10c =，∴23420181618c b a −+=−+=．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元，日均多售2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按一天计算）．（1）如果日均获利1950元，求销售单价；（2）销售单价为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少．【答案】（1）65；（2）当单价为65时，日获利最大，最大利润为1950元．【分析】（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多销售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利（x-30）元，根据题意可得等量关系：每千克利润×销售量-500元=总利润，根据等量关系列出方程即可；（2）运用配方法配成顶点式，得顶点坐标，结合x的取值范围即可求得结论．【详解】解：（1）设销售单价为 x元，由题意得：（x-30）[60+2（70-x）]-500=1950，解得：x1=x2=65，∵销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，∴x=65符合题意，答：销售单价为65元时，日均获利为1950元；（2）设销售单价为 x元，可获得利润为y，由题意得：y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x2（30≤x≤70），∴y=-2x2+260x-6500可化为y=-2（x-65）2+1950的形式，∴顶点坐标为（65，1950），∵30＜65＜70，当单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1950元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是根据题意表示出日均销售量，以及每千克的利润．18．观察与发现：如图：小明将一个边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的点E 处（不与A，B重合），折痕FH交AD于点F，交BC于点H，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，(1)小明认为AEF BGE ∽，你同意吗？请说明理由．(2)实践与探究：在上图中，当2cm AE =时，请你计算BGE △的周长．【答案】(1)同意，理由见解析(2)BGE △的周长为12cm ．【分析】（1）根据折叠的性质可得90FEQ D EF DF ∠=∠=°=，，根据角之间的关系通过等量代换可得AFE BEG ∠=∠；结合90A B ∠=∠=°，利用相似三角形的判定定理即可解答； （2）设AF x =，则6DF EF x ==−，由勾股定理求出AF 的长；接下来利用相似三角形的性质求出BG 和GE 的长度，然后利用周长的计算公式计算即可．【详解】（1）解：同意．理由如下：根据折叠的性质可得90FEQ D EF DF ∠=∠=°=，． ∵9090AEF BEGAEF AFE ∠+∠=°∠+∠=°，， ∴AFE BEG ∠=∠． ∵90A B ∠=∠=°， ∴AEF BGE ∽；（2）解：设AF x =，则6DF EF x ==−，∴()22226x x +=−， ∴83x =， 即83AF =，103EF =． ∵AEF BGE ∽， ∴AF AE EF BE BG GE==， 即8102334BG GE==，∴35BG GE ==，， ∴BGE △的周长为()34512cm ++=． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，直线3y x =−，与反比例函数k y x=的图象交于点A 与点(),4B m −．(1)求反比例函数的表达式；(2)求不等式3k x x−≥的解集； (3)若P 是第一象限内双曲线上的一个动点，连接OP ，过点Р作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，若POC △的面积为3，求点P 的坐标．【答案】(1)反比例函数的表达式为4y x =； (2)不等式3k x x−≥的解集为4x ≥或10x −<<； 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．（1）先求出点B 的坐标，然后利用待定系数法将B 代入反比例函数解析式中即可求出其表达式； （2）求出点A 与点B 坐标后观察函数图象即可求解；【详解】（1）解：∵直线3y x =−过点(),4B m −，∴43m −=−，解得1m =−，()1,4B ∴−−． ∵反比例函数k y x=的图象过点()1,4B −−， ()144k ∴=−×−=，∴反比例函数的表达式为4y x=； （2）解：联立43x x −=， 解得1241x x ==−，，∴()41A ，，()14B −−，， ∴不等式3k x x−≥的解集为4x ≥或10x −<<； 20．如图，P 是ABCD 的边BC 的延长线上任意一点，AP 分别交BD 和CD 于点M 和N ．(1)若32BC CP =，求CN DN的值； (2)求证：2AM MN MP =⋅．【答案】(1)23(2)证明见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质：（1）由平行四边形对角相等且平行得到AD BC =，AD BC ∥，则可证明32AD CP =，再证明ADN PCN △∽△，即可得到23CN CP DN AD ==； （2）通过证明ADM PBM △∽△，ABM NDM ∽，可得AM BM PM MN DM AM==，据此即可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥， ∵32BC CP =， ∴32AD CP =， ∵AD BC ∥，∴ADN PCN △∽△， ∴23CN CP DN AD ==； （2）证明：∵在ABCD 中，AD BC ∥，ADM MBP ∴∠=∠，DAM BPM ∠=∠，ADM PBM ∴ ∽， ∴AM DM PM BM=， ∵在ABCD 中，AB DC ，ABD BDN ∴∠=∠，BAM MND ∠=∠，ABM NDM ∴ ∽， ∴MN DM AM BM=， ∴AM BM PM MN DM AM==， 2AM MN MP ∴=⋅．六、（本题满分12分）21．近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，若该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间满足二次函数关系如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)若跑道长度为700m ，请通过计算说明是否够此无人机着陆；(3)当跑道长度足够时，请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离．【答案】(1)2280y x x =−+ (2)跑道长度不够无人机降落(3)无人机着陆后最后两秒滑行的距离为8m【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出最值，与700m 进行比较，判断即可；（3）求出18x =时的函数值，进行计算即可．【详解】（1）解：∵函数图象过点()()()0,0,10,600,15,750，∴设函数解析式为2y ax bx =+，把()()10,600,15,750代入，得：1001060022515750a b a b += +=， 解得：280a b =− =， ∴2280y x x =−+； （2）解：∵()22280220800y x x x =−+=−−+， ∴当20x 时，y 有最大值为800，∵800700>，∴跑道长度不够无人机降落；（3）解：∵20x ，y 有最大值为800，此时无人机停止，∴当18x =时，22188018792y =−×+×=， ∵8007928−=， ∴无人机着陆后最后两秒滑行的距离为8m ．七、（本题满分12分）22．（1）如图1，ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，90BAC EDC ∠=∠=°，连接AD ，BE ，则BE AD=_______（2）如图2，正方形ABCD 的边长为8m ，E 为边AB 上一动点，以CE 为斜边在正方形ABCD 内部作等腰直角三角形CEF △，90CFE ∠=°，连接DF ，求CDF ∠的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接DE ，求DEF 面积的最大值．【答案】（1（2）45°；（3）4【分析】（1）证明ACD BCE ∽△△，可得到BE BC AD AC ==（2）连接AC ，证明AEC DFC ∽，可得到45CDF EAC ∠=∠=°； （3）作FH CD ⊥，设FH a =，那么DH a =，那么8CH a =−，因为1322CDE S DC CB =⋅= ，142CDF S CD FH a =⋅= ，2221(8)22CEF a a S CF +−== ，那么22(8)3242DEF CED CEF CDF a a S S S S a +−=−−=−− ，最后利用配方法求得DEF S △的最值． 【详解】解：（1） ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，90BAC EDC ∠=∠=°45ACB ECD ∴∠=∠=°，AC CD BC CE==BCE ACD ∴ ∽BE BC AD AC ∴==；（2）连接AC ，如图所示四边形ABCD 是正方形45EAC ACD ∴∠=°=∠，CD AC =CEF 为等腰直角三角形，90CFE ∠=°45FCE ，CF CE 45ACF DCF ACF ACE ∴∠+∠=∠+∠=°ACE DCF ∴∠=∠ACE DCF ∴△∽△45CDF CAE ∴∠=∠=°（3）作FH CD ⊥交CD 于H ，不妨设FH a =，如图所示：由（2）可知，45FDC ∠=° 那么DFH 为等腰直角三角形FH DH a ∴==那么8CH a =−22222(8)CF FH CH a a ∴=+=+−1322CDE S DC CB ∴=⋅= ，142CDF S CD FH a =⋅= ，2221(8)22CEF a a S CF +−==2222(8)3244(2)42DEF CED CEF CDF a a S S S S a a a a +−∴=−−=−−=−+=−−+ 2a ∴=时，DEF S △最大，此时最大值为4 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的的判定与性质，正方形的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．八、（本题满分14分）23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c ++交x 轴于点A (−4,0)，()2,0B ，交y 轴于点C (0,6)，在y 轴上有一点()0,2E −，连接AE ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值及此时D 点的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP △为以AE 为底的等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标即可；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为233642y x x =−−+ (2)ADE 面积的最大值为503，此时D 点坐标为220,33 −(3)存在，点P 的坐标为()1,1−【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键．（1）直接用待定系数法求解即可；（2）可求得直线AE 的表达式为12,2y x =−−过点D 作 DN x ⊥轴于点G ， 交AE 于点F ， 设233,6,42D x x x −−+ 则1,2,2F x x −− 所以2384DF x x =−−+，则 23250233ADE S x =−++ ，即可求得ADE 面积的最大值是503； （3）先求得抛物线的对称轴为直线1,x =−设()1,P t −，再根据AEP △为等腰三角形，且以AE 为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线2y ax bx c ++经过点()4,0A −，()()2,0,0,6B C ，16404206a b c a b c c −+= ∴++==， 解得 343,26a b c =− =− =∴二次函数的表达式为233642y x x =−−+． （2）解：设直线AE 的表达式为2,y kx =−则042k =−− 解得12k =− ∴直线AE 的表达式为122y x =−− 如图1，过点D 作DN x ⊥轴于点AE 于点F ，设233,6,42D x x x −−+ 则1,22F x x −− 2233136284224DF x x x x x ∴=−−+−−−=−−+， 11142222ADE ADF EDF S S S DF AG DF OG DF DF ∴=+=⋅+⋅=××= ，第21页，共21页 2223332502821642233ADE S x x x x x ∴=−−+=−−+=−++ ， ∴当23x =−时， 503ADE S =△， 此时，2323220643233D y =−×−−×−+= ， ADE ∴ 面积的最大值是503，此时D 点坐标为220,33 − ； （3）解：存在，理由如下：()2233327614244y x x x =−−+=−++ ， ∴抛物线的对称轴为直线1x =−， 设()1,P t −，AEP △为等腰三角形，且以AE 为底边， AP PE ∴=，()0,2E −，A (−4,0)，22AP PE ∴=()()()()2222410012t t ∴−++−++−− 解得1t =，()1,1P ∴−．。
吉林省逐梦芳华系列2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷(含答案)
逐梦芳华——阶段性学业水平测评卷（吉林省九年级上学期期中考试A 卷）数学试题本试卷包括六道大题，共26道小题，共6页。
全卷满分120分，考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。
一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．抛物线的顶点坐标是（）A ．（2，4）B ．C ．（0，4）D ．2．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．平面内，已知的半径是，线段，则点在（）A ．外B ．上C ．内D ．无法确定4．如图，在中，弦于点，则的长为（）（第4题）A BCD5．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（ ）224y x =-(0,4)-(2,4)-O 5cm 6cm OP =P O O O O OC ⊥AB ,4,1C AB OC ==OB y m)x m)y =21(4)312x --+（第5题）A ．B ．C ．D ．6．《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则根据题意，可列方程为（1丈尺，1尺寸）（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共24分）7．点关于原点中心对称的坐标是______．8．如图，以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，若，则______°．（第8题）9．已知函数的图象过原点，则的值为______．10．把方程化成一般式，得，则的值为______．11．如图，为的直径，弦．若，则______°．（第11题）12．如图，四边形是内接四边形，点是延长线上一点，若，则＝______°．3m 4m 7m 10mx 10=10=22( 6.8)10x x -=22( 6.8)10x x +=222( 6.8)10x x ++=222( 6.8)10x x +-=(3,2)P -O AOB ∠110︒COD ∠40AOB ∠=︒AOD ∠=232y x x c =++-c (2)5(2)x x x +=-2100x bx -+=b BC O CD OA ∥50C ∠=︒A ∠=ABCD O E BC 105BAD ∠=︒DCE ∠（第12题）13．当______时，代数式的值与代数式的值相等．14．若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，则通常记作这个两位数为，如：，当的值最大时，的值为______．三、解答题（每小题5分，共20分）15．用适当的方法解方程：．16．若二次函数的图象经过点，求该函数的解析式并写出对称轴．17．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．（第17题）（1）线段的长是______，的度数是______°．（2）连接，求证：四边形是平行四边形．18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点都在该抛物线上，则______．（填“”“”或“”）四、解答题（每小题7分，共28分）19．如图，在的正方形网格纸中，已知格点和格点线段，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）（1）在图①中画出四边形，使得四边形是中心对称图形，且点在四边形的内部（不包括边界上）．,a b x =2421x x +-232x -ab (10)10(10)910a a a a a -=+-=+99(10)x x ⨯-x 2230x x --=2y ax =(2,4)P -Rt ABC △90,2ACB AC CB ∠=︒==ABC △A 90︒ADE △DE EAC ∠CD ACDE 21y ax bx =++(1,0)(1,4)-()()122,,3,A y B y 1y 2y ><=55⨯M AC AC ABCD ABCD M ABCD（2）在图②中画出四边形，使得四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点在四边形的边界上（不包括顶点上）．（第19题）20．如图，是半径为6的上的四点，且满足．（第20题）（1）求证：是等边三角形．（2）直接写出圆心到的距离的长度．21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．（1）将向左平移5个单位长度得到，请画出．（2）画出绕原点顺时针方向旋转后得到的．（3）的度数为______°．（第21题）22．如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与轴的另一个交点为，与轴交于点．（1）点的坐标为______．（2）将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式．AECF AECF M ABCD ,,,A P B C O 60BAC APC ∠=∠=︒ABC △O BC OD OAB △(6,3),(0,5),(0,0)A B O OAB △111O A B △111O A B △OAB △O 90︒22OA B △OAB ∠2y x bx c =-++(1,0)A -1x =x C y B C（第22题）五、解答题（每小题8分，共16分）23．如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面的处飞出，运动员乙在距点的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式．（2）足球第一次落地点距守门员______．（取（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多远？______m ．（第23题）24．（1）如图①，在中，，过上一点作交于点，则_____．（填“”“”或“”）（2）发现：图②中的绕点顺时针旋转到图②位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，是等腰直角内一点，，且．直接写出的度数．（第24题）六、解答题（每小题10分，共20分）O 1m A O 6m B M 4m C m 7)=D ABC △AB AC =A B D DE BC ∥AC E DB EC ><=ADE △A ()090αα︒<<︒P ABC △90ACB ∠=︒1,2,3PB PC PA ===BPC ∠25．如图，在中，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，过点作直线的垂线交于点，当点与不重合时，作点关于点的对称点，设点的运动时间为与重叠部分图形的面积是．（1）的长为______．（2）当点与点重合，求的值．（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．（第25题）26．如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴的正半轴上，．经过点的抛物线交于点，点的横坐标为1．点在线段上，当点与点不重合时，过点作轴，与抛物线交于点．以为边向右侧作矩形，且．设点的横坐标为时，解答下列问题．（1）求此抛物线的解析式．（2）当抛物线的顶点落在边上时，求的值．（3）矩形为正方形时，直接写出的值．（第26题）Rt ABC △90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=P A 2cm /s A B C →→C P AC AC D P AC A D Q P s(03),x x APQ <<△ABC △2cm y A B Q C x y x x ,A B x y 3OA OB ==,O A 2:L y ax bx =+A B C C P A B P C P P y ∥Q PQ PQMN 1PN =P m L PN m PQMN m逐梦芳华——吉林省版九年级上期中考试A 试题参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．D二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3，－2） 8．150 9．2 10．3 11．25 12．105 13．－1 14．5三、解答题（每小题5分，共20分）15．解：．或，16．解：根据题意，得解得．所求的函数解析式为． 对称轴是轴．17．解：（1）2 135（2）证明：由旋转性质，可得，四边形是平行四边形18．解：（1）根据题意，得解得此函数的抛物线的解析式为．（2）四、解答题（每小题7分，共28分）19．解：（1）如图所示．（答案不唯一）（2）如图所示(3)(1)0x x -+=30x ∴-=10x +=123, 1.x x ∴==-34(2)a =⨯-1a =∴2y x =∴y ,90DE BC DAC ADE ACB =∠=∠=∠=︒AC DE ∴∥,,AC CB DE AC =∴= ∴ACDE 10,14a b a b ++=-+=⎧⎨⎩1,2a b ==-⎧⎨⎩∴221y x x =-+<20．解：（1）证明：，是等边三角形（2）3．21．解：（1）如图所示（2）如图所示（3）4522．解：（1）（3，0）（2）根据题意，得解得此函数向下平移3个单位得到的二次函数为五、解答题（每小题8分，共16分）23．解：（1）设第一次落地时，抛物线的解析式为．点在该抛物线上，，解得．,60AC AC APC =∠=︒ 60.APC ABC ∴∠=∠=︒60.BAC ∠=︒ 18060.ACB ABC BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒60.ACB BAC ABC ∴∠=∠=∠=︒ABC ∴△10.30.b c b --+=⎧⎨-+=⎩ 2.3.b c =⎧⎨⎩=22 3.y x x ∴=-++∴22y x x=-+2(6)4y a x =-+ ()0,1A 1364a ∴=+112a =-（或）．（2）13 （3）1724．解：（1）＝ （2）成立．证明：由（1）易知，旋转性质可知．又．（3）提示：六、解答题（每小题10分，共20分）25．解：（1）（2）根据题意，得，解得．当时，点与点重合．（3）如图①，当时，．如图②，当时，如图③，当时，26．解：（1），线段所在的直线的解析式为，∴21112y x x =-++AD AE =DAB EAC ∠=∠,AD AE ABAC ==DABEAC ∴△≌△.DB CE ∴=135︒4cm224x x +=1x =∴1x =Q C 01x <≤2y =12x <≤2+-23x <<1(62)2y x =-=-+3,(3,0),(0,3)OA OB A B ==∴ ∴A B 3y x =-+点的横坐标为1，当时，．点在抛物线的图象上解得抛物线的解析式为．（2）根据题意，得．又抛物线的顶点落在边上，，解得．（3）2 C ∴1x =13 2.(1,2)y C =-+=∴ ,A C L 930.2.a b a b +=⎧∴⎨+=⎩13,a b =-=⎧⎨⎩∴L 23y x x =-+(,3)P m m -+22393.24y x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭∴ PN 934m ∴-+=34m =2-。
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析
九年级上学期数学期中考试试卷及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 有下列四个数：-1, 0, 1, √2，其中无理数是（）A. -1B. 0C. 1D. √2答案：D解析：无理数是指不能表示为两个整数比的数，√2无法表示为两个整数的比，故选D。
2. 下列各数中，与-3的平方相等的是（）A. 3B. -3C. 9D. -9答案：C解析：-3的平方为9，故选C。
3. 已知a = 2，b = -3，则a² - 2ab + b²的值为（）A. 25B. -25C. 1D. -1答案：A解析：将a和b的值代入a² - 2ab + b²，得(2)² -22(-3) + (-3)² = 4 + 12 + 9 = 25，故选A。
4. 下列等式中，正确的是（）A. (a²)³ = a⁶B. (a³)² = a⁶C. (a²)³ = a⁹D. (a³)² = a⁹答案：B解析：幂的乘方规则，(a³)² = a³² = a⁶，故选B。
5. 已知|a| = 5，且a < 0，则a的值为（）A. 5B. -5C. 10D. -10答案：B解析：绝对值表示一个数的非负值，|a| = 5表示a的绝对值为5，由于a < 0，所以a = -5，故选B。
6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 1答案：B解析：奇函数的定义是f(-x) = -f(x)，y = x³满足这个条件，故选B。
7. 下列关于x的不等式中，有解的是（）A. x² < 0B. x² ≤ 0C. x² > 0D. x² ≥ 0答案：D解析：任何数的平方都是非负数，所以x² ≥ 0对所有的x都有解，故选D。
九年级数学上册期中考试试卷及答案
九年级数学上册期中考试试卷及答案（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）一.选择题（共10小题,每小题4分，共40分）1.﹣2023的绝对值是（）A.﹣2023B.12023C.﹣12023D．20232.如图所示图形绕直线旋转一周，可以得到圆柱的是（）A．B．C．D．3.2023年10月1日，国庆假期第一天，天下第一泉（济南趵突泉）风景区接待游客超过291200人次．将数字291200用科学记数法表示应为（）A.2912×102B.29.12×104C.2.912×105D.2.912×1064.在数8，﹣0.5，﹣|﹣2|，0，（﹣3）2，﹣12中，负数的个数是（）A.2B.3C.4D.55.计算机层析成像（CT）技术的工作原理与几何体的切截相似，只不过这里的“截”不是真正的截，“几何体”是病人的患病器官，“刀”是射线．如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（）A．B．C．D．6．下列各式正确的是（）A.﹣（x+6）＝﹣x﹣6B.﹣y2﹣y2＝0C.9a2b﹣9ab2＝0D.a+a2＝a37.下列说法中正确的是（）A.﹣的系数是﹣5B.单项式x的系数为1，次数为0C.﹣22xyz2的次数是6D.xy+x﹣1是二次三项式8.若代数式2x2﹣x+3的值是4，则代数式﹣4x2+2x+5的值是（）A．2 B．3 C．7 D．109.有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A.a＞﹣3B.a＞bC.ab＞0D.﹣a＞c①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）＝（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则：若n＝13，则第2022次“F”运算的结果是（）A.1B.4C.2020D.42020二．填空题（共6小题，每小题4分，24分共）11.比较大小：﹣7﹣5．12.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为．13．如图，是正方体的一种表面展开图，各面都标有数字，则数字为﹣4的面与它对面的数字之和是．14.若代数式﹣2x3y b与2x a y2的和为0，则b﹣a＝．15.用符号（a，b）表示a、b两数中较小的一个数，用符号[a，b]表示a、b两数中较大的一个数，计算[﹣2，1]﹣（﹣1，﹣2.5）＝．16.现有一列数a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，其中a3＝22，a7＝2002，a95＝﹣2023，且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则a1+a2+a3+…+a98+a99+a100的值为．三．解答题（共7小题）17.（12分）（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）（2）（﹣+﹣）×（﹣24）（3）（﹣）÷+（﹣）÷（﹣15）（4）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]18．（6分）（1）把下列各数：，|﹣4|在数轴上表示出来；（2）将上列各数用“＜”号从小到大连接．19．（6分）化简．（1）（6m﹣5n）﹣（7m﹣8n）（2）5（3x2y﹣xy2）﹣4（﹣xy2+2x2y）20.（8分）先化简，再求值：﹣a2b+（﹣8ab2﹣a2b）﹣2（5ab2﹣a2b），其中a＝﹣1，b＝．21.（6分）如图，是一些棱长为2cm的小立方块组成的几何体．（1）请在上面方格纸中分别画出从左面、上面看到的这个几何体的形状图．（2）该几何体的体积是．22.（8分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如﹣（2x2﹣2x+1）＝﹣x2﹣4x﹣3，则所捂住的多项式是____．（1）求所捂的二次三项式；（2）当x＝﹣2时，求所捂二次三项式的值．23.（12分）校运动会，小明负责在一条东西赛道上为同学们拍照，这天他从主席台出发，最后停留在A处．规定以主席台为原点，以向东的方向为正方向，步行记录如下（单位：米）：+10，﹣8，+6，﹣13，+7，﹣12，+2，﹣2（1）小明离主席台最远是米；（2）以主席台为原点，用1个单位长度表示1m，请在数轴上表示点A；（3）在主席台东边5米处是仲裁处，小明经过仲裁处次；（4）若小明每步行1米消耗0.04卡路里，那么他在拍照过程中步行消耗的卡路里是多少？24.（10分）书籍是人类进步的阶梯!为爱护书本我们一般都会将书本用包书纸包好．现有一本如图所示的数学课本，长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海打算用一张长方形包书纸包好这本数学书．第一步，他将包书纸沿虚线折出折痕，封面和封底各折进去x cm；第二步，将阴影部分沿虚线剪掉，请帮助小海解决以下问题：（1）小海第一步中所用的长方形包书纸周长是多少厘米？（用含x的代数式表示）（2）若封面和封底沿虚线各折进去2cm，剪掉阴影部分后，包书纸的面积是多少？25.（12分）探索规律．（1）观察上面的图，发现：图①空白部分小正方形的个数是22﹣12＝2+1；图②空白部分小正方形的个数是42﹣32＝4+3；图③空白部分小正方形的个数是52﹣42＝+．（2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，﹣n2＝+．（3）运用规律计算：（20242﹣20232+20222﹣20212+20202﹣20192+…+22﹣12）÷1012．26.（12分）已知|a+30|+（c﹣20）2＝0，在数轴上点A表示的数是a，点C表示的数是c，A，C两点之间的距离AC＝|a﹣c|．（1）直接写出a、c的值，a＝，c＝；（2）若数轴上有一点D满足CD＝3AD，且点D在A，C之间，则D点表示的数为；（3）点M从原点O出发在O，A之间以v1的速度沿数轴负方向运动，点N从点C出发在O，C之间以v2的速度沿数轴负方向运动，运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且QN＝AN，若M，N运动过程中MQ的值固定不变，求的值．参考答案一．选择题（共10小题）1．﹣2023的绝对值是（）A．﹣2023B．C．D．2023【分析】一个数在数轴上对应的点到原点的距离即为这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此即可求得答案．【解答】解：|﹣2023|＝2023故选：D．【点评】本题考查绝对值的定义及绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2．如图所示图形绕直线旋转一周，可以得到圆柱的是（）A．B．C．D．【分析】根据每一个几何体的特征判断即可．【解答】解：A、将所示图形绕直线旋转一周，可以得到圆柱，故A符合题意；B、将所示图形绕直线旋转一周，可以得到球体，故B不符合题意；C、将所示图形绕直线旋转一周，可以得到圆锥，故C不符合题意；D．将所示图形绕直线旋转一周，可以得到圆台，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．3．2023年10月1日，国庆假期第一天，天下第一泉（济南趵突泉）风景区接待游客超过291200人次．将数字291200A．2912×102B．29.12×104C．2.912×105D．2.912×106【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：291200＝2.912×105．故选：C．【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．4．在数8，﹣0.5，﹣|﹣2|，0，（﹣3）2，﹣12中，负数的个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据绝对值、有理数的乘方、负数解决此题．【解答】解：∵8＞0，﹣0.5＜0，﹣|﹣2|＝﹣2＜0，0，（﹣3）2＝9＞0，﹣12＝﹣1＜0∴负数有﹣0.5，﹣|﹣2|，﹣12，共3个．故选：B．【点评】本题主要考查绝对值、有理数的乘方、负数，熟练掌握绝对值、有理数的乘方、负数是解决本题的关键．5．计算机层析成像（CT）技术的工作原理与几何体的切截相似，只不过这里的“截”不是真正的截，“几何体”是病人的患病器官，“刀”是射线．如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（）A．B．C．D．【分析】根据用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是圆即可得出答案．【解答】解：用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是圆故选：B．【点评】本题考查了截一个几何体，掌握用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是圆是解题的关键．6．下列各式正确的是（）A．﹣（x+6）＝﹣x﹣6B．﹣y2﹣y2＝0C．9a2b﹣9ab2＝0D．a+a2＝a3【分析】A．根据去括号法则，去掉括号，进行判断即可；B．根据合并同类项法则，进行合并，然后判断；C，D选项均观察各个加数是不是同类项，能否合并，进行判断即可．【解答】解：A．∵﹣（x+6）＝﹣x﹣6，∴此选项计算正确，故符合题意；B．∵﹣y2﹣y2＝﹣2y2，∴此选项计算错误，故不符合题意；D．∵a和a2不是同类项，不能合并，∴此选项计算错误，故不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了整式的加减运算，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．7．下列说法中正确的是（）A．﹣的系数是﹣5B．单项式x的系数为1，次数为0C．﹣22xyz2的次数是6D．xy+x﹣1是二次三项式【分析】根据单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可．【解答】解：A、﹣的系数是﹣，此选项错误；B、单项式x的系数为1，次数为1，此选项错误；C、﹣22xyz2的次数是4，此选项错误；D、xy+x﹣1是二次三项式，此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式的系数、次数的定义，以及多项式的次数的计算方法．8．若代数式2x2﹣x+3的值是4，则代数式﹣4x2+2x+5的值是（）A．2B．3C．7D．10【分析】由代数式2x2﹣x+3的值是4，可得2x2﹣x＝1，再将﹣4x2+2x+5转化为﹣2（2x2﹣x）+5，再整体代入计算即可．【解答】解：∵2x2﹣x+3的值是4，即2x2﹣x+3＝4∴2x2﹣x＝1∴﹣4x2+2x+5＝﹣2（2x2﹣x）+5＝﹣2×1+5＝﹣2+5＝3故选：B．【点评】本题考查代数式求值，将﹣4x2+2x+5转化为﹣2（2x2﹣x）+5是正确解答的关键．9．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣3B．a＞b C．ab＞0D．﹣a＞c【分析】根据数轴上点的位置，先确定a、b、c对应点的数，再逐个判断得结论．【解答】解：A、由数轴知：﹣4＜a＜﹣3，故选项A错误；B、由数轴知，a＜b，故选项B错误；C、因为a＜0，b＞0，所以ab＜0，故选项C错误；D、因为﹣4＜a＜﹣3，所以3＜﹣a＜4，因为2＜c＜3，所以﹣a＞c，故选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了数轴及有理数乘法的符号法则．认真分析数轴得到有用信息是解决本题的关键．10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）＝（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则：若n＝13，则第2022次“F”运算的结果是（）A．1B．4C．2020D．42020【分析】通过计算可知从第4次开始，运算结果1，4循环出现，则第2022次“F”运算的结果与第1次运算结果相同，再求解即可．【解答】解：当n＝13时第1次运算结果为13×3+1＝40第2次运算结果为＝5第3次运算结果为5×3+1＝16第4次运算结果为＝1第5次运算结果为1×3+1＝4第6次运算结果为＝1第7次运算结果为1×3+1＝4……∴从第4次开始，运算结果1，4循环出现∵（2022﹣3）÷2＝1009 (1)∴第2022次“F”运算的结果是1故选：A．二．填空题（共6小题）11．比较大小：﹣7 ＜﹣5．【分析】根据两个负数，绝对值大的其值反而小判断即可．【解答】解：∵|﹣7|＝7，|﹣5|＝5而7＞5∴﹣7＜﹣5．故答案为＜．【点评】本题考查了有理数大小比较，关键是掌握有理数大小比较法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．12．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃．【分析】根据正数与负数的意义可直接求解．【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃．故答案为零下3℃．【点评】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．13．如图，是正方体的一种表面展开图，各面都标有数字，则数字为﹣4的面与它对面的数字之和是﹣7．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．【解答】解：由图可知：﹣4与﹣3相对∴﹣4+（﹣3）＝﹣7故答案为：﹣7．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．14．若代数式﹣2x3y b与2x a y2的和为0，则b﹣a＝﹣1．【分析】根据同类项的定义判断出a，b的值，可得结论．【解答】解：由题意a＝3，b＝2∴b﹣a＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．1，﹣2.5）＝ 3.5．【分析】根据定义，所求式子可化为1﹣（﹣2.5），再求值即可．【解答】解：[﹣2，1]﹣（﹣1，﹣2.5）＝1﹣（﹣2.5）＝1+2.5＝3.5故答案为：3.5．【点评】本题考查有理数的加减法，熟练掌握有理数的加减法运算，会比较有理数的大小，弄清定义是解题的关键．16．现有一列数a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，其中a3＝22，a7＝2002，a95＝﹣2023，且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则a1+a2+a3+…+a98+a99+a100的值为2035．【分析】根据题中所给“任意相邻三个数的和为同一个常数”可求出这一列数，进而可解决问题．【解答】解：由题知因为这列数中任意相邻三个数的和为同一个常数所以a1+a2+a3＝a2+a3+a4则a1＝a4．同理可得a1＝a4＝a7＝…＝a100a2＝a5＝a8＝…＝a98a3＝a6＝a9＝…＝a99所以这列数按2002，﹣2023，22循环出现．又因为100÷3＝33余1且2002+（﹣2023）+22＝1所以a1+a2+a3+…+a98+a99+a100＝1×33+2002＝2035．故答案为：2035．【点评】本题考查数字变化的规律，能根据题意得出这列数按2002，﹣2023，22循环出现是解题的关键．三．解答题（共7小题）17．（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）；（2）（﹣+﹣）×（﹣24）；（3）（﹣）÷+（﹣）÷（﹣15）；（4）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]．【分析】（1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可；（2）根据乘法分配律计算即可；（3）先算除法，再算加法即可；（4）先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘法，最后算减法即可．【解答】解：（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）＝（﹣12）+（﹣5）+（﹣14）+39＝8；（2）（﹣+﹣）×（﹣24）＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）＝20+（﹣9）+6＝17；（3）（﹣）÷+（﹣）÷（﹣15）＝（﹣）×9+（﹣）×（﹣）＝﹣24+＝﹣23；（4）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1﹣×（﹣7）＝﹣1+＝．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用．18．（1）把下列各数：，|﹣4|在数轴上表示出来；（2）将上列各数用“＜”号从小到大连接．【分析】（1）在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答；（2）利用（1）的结论，即可解答．【解答】解：（1）如图：（2）由（1）可得：．【点评】本题考查了有理数的大小比较，数轴，绝对值，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．19．化简．（1）（6m﹣5n）﹣（7m﹣8n）；（2）5（3x2y﹣xy2）﹣4（﹣xy2+2x2y）；【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去括号，再合并同类项即可；【解答】解：（1）（6m﹣5n）﹣（7m﹣8n）＝6m﹣5n﹣7m+8n＝﹣m+3n；（2）5（3x2y﹣xy2）﹣4（﹣xy2+2x2y）＝15x2y﹣5xy2+4xy2﹣8x2y＝7x2y﹣xy2；20．先化简，再求值：﹣a2b+（﹣8ab2﹣a2b）﹣2（5ab2﹣a2b），其中a＝﹣1，b＝．﹣a2b+（﹣8ab2﹣a2b）﹣2（5ab2﹣a2b）＝﹣a2b﹣8ab2﹣a2b﹣10ab2+2a2b＝﹣18ab2当a＝﹣1，b＝时原式＝﹣18×（﹣1）×（）2＝2．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．如图，是一些棱长为2cm的小立方块组成的几何体．（1）请在上面方格纸中分别画出从左面、上面看到的这个几何体的形状图．（2）该几何体的体积是48cm3．【分析】（1）根据三视图的定义画图即可．（2）用1个小立方块的体积乘以小方块的个数即可．【解答】解：（1）如图所示．（2）该几何体的体积是23×6＝48（cm3）．故答案为：48cm3．【点评】本题考查作图﹣三视图，解题的关键是理解三视图的定义，难度不大．22．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如﹣（2x2﹣2x+1）＝﹣x2﹣4x﹣3，则所捂住的多项式是____．（1）求所捂的二次三项式；（2）当x＝﹣2时，求所捂二次三项式的值．【分析】（1）根据题意可知：所捂的二次三项式是：（﹣x2﹣4x﹣3）+（2x2﹣2x+1），然后计算即可；（2）将x＝﹣2代入（1）中的结果计算即可．【解答】解：（1）由题意可得所捂的二次三项式是：（﹣x2﹣4x﹣3）+（2x2﹣2x+1）＝﹣x2﹣4x﹣3+2x2﹣2x+1＝x2﹣6x﹣2；（2）当x＝﹣2时，x2﹣6x﹣2＝（﹣2）2﹣6×（﹣2）﹣2＝4+12﹣2＝14．【点评】本题考查整式的加减、代数式求值，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．23．校运动会，小明负责在一条东西赛道上为同学们拍照，这天他从主席台出发，最后停留在A处．规定以主席台为原点，以向东的方向为正方向，步行记录如下（单位：米）：+10，﹣8，+6，﹣13，+7，﹣12，+2，﹣2（1）小明离主席台最远是10米；（2）以主席台为原点，用1个单位长度表示1m，请在数轴上表示点A；（3）在主席台东边5米处是仲裁处，小明经过仲裁处4次；（4）若小明每步行1米消耗0.04卡路里，那么他在拍照过程中步行消耗的卡路里是多少？【分析】（1）分别求出小明每次运动后的位置，即可得到答案；（2）结合（1），在数轴上标出最后位置即可；（3）由运动过程可求出经过仲裁处的次数；（4）根据每步行1米消耗0.04卡路里列式计算即可．【解答】解：（1）∵+10﹣8＝2；2+6＝8；8﹣13＝﹣5；﹣5+7＝2，2﹣12＝﹣10；﹣10+2＝﹣8；﹣8﹣2＝﹣10；∴小明离主席台最远是10米；故答案为：10；（2）如图所示，点A即为所求；（3）从主席台出发，+10经过仲裁处，由+10到﹣8经过仲裁处，﹣8到+6经过仲裁处，+6到﹣13经过仲裁处∴经过仲裁处4次；故答案为：4；（4）（10+8+6+13+7+12+2+2）×0.04＝60×0.04＝2.4（卡路里）答：小明在拍照过程中步行消耗2.4卡路里．【点评】本题考查有理数混合运算，解题的关键是读懂题意，理解小明的运动过程．24．书籍是人类进步的阶梯!为爱护书本我们一般都会将书本用包书纸包好．现有一本如图所示的数学课本，长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海打算用一张长方形包书纸包好这本数学书．第一步，他将包书纸沿虚线折出折痕，封面和封底各折进去x cm；第二步，将阴影部分沿虚线剪掉，请帮助小海解决以下问题：（1）小海第一步中所用的长方形包书纸周长是多少厘米？（用含x的代数式表示）（2）若封面和封底沿虚线各折进去2cm，剪掉阴影部分后，包书纸的面积是多少？【分析】（1）由题意列式计算即可；（2）当x＝2cm时，求出包书纸长和宽，即可解决问题．【解答】解：（1）小海所用包书纸的周长为：2（18.5×2+1+2x）+2（26+2x）＝2（38+2x）+2（26+2x）＝（8x+128）cm答：小海所用包书纸的周长为（8x+128）cm；（2）当x＝2cm时，包书纸长为：18.5×2+1+2×2＝42（cm）包书纸宽为：26+2×2＝30（cm）∴包书纸的面积＝42×30﹣2×2×4﹣2×1×2＝1240（cm2）答：包书纸的面积为1240cm2．【点评】本题考查了矩形的性质以及列代数式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．25．探索规律．（1）观察上面的图，发现：图①空白部分小正方形的个数是22﹣12＝2+1；图②空白部分小正方形的个数是42﹣32＝4+3；图③空白部分小正方形的个数是52﹣42＝5+4．（2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，（n+1）2﹣n2＝n+1+n．（3）运用规律计算：（20242﹣20232+20222﹣20212+20202﹣20192+…+22﹣12）÷1012．【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；（2）根据（1）进行总结，从而可求解；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．【解答】解：（1）由题意得：图③空白部分小正方形的个数是52﹣42＝5+4故答案为：5，4；（2）（n+1）2﹣n2＝n+1+n故答案为：（n+1）2，n+1，n；（3）（20242﹣20232+20222﹣20212+20202﹣20192+…+22﹣12）÷1012＝（2024+2023+2022+2021+2020+2019+2018+…+2+1）÷1012＝[（2024+1）+（2023+2）+（2022+3）+…+（1013+1012）]÷1012＝2025×1012÷1012＝2025．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．26．已知|a +30|+（c ﹣20）2＝0，在数轴上点A 表示的数是a ，点C 表示的数是c ，A ，C 两点之间的距离AC ＝|a ﹣c |．（1）直接写出a 、c 的值，a ＝ ﹣30 ，c ＝ 20 ；（2）若数轴上有一点D 满足CD ＝3AD ，且点D 在A ，C 之间，则D点表示的数为 ﹣ ； （3）点M 从原点O 出发在O ，A 之间以v 1的速度沿数轴负方向运动，点N 从点C 出发在O ，C 之间以v 2的速度沿数轴负方向运动，运动时间为t ，点Q 为O ，N 之间一点，且QN ＝AN ，若M ，N 运动过程中MQ 的值固定不变，求的值．【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可；（2）根据两点间距离公式求解即可；（3）写出MQ 距离的代数式，根据MQ 距离不变，得出v 1，v 2的比值即可．【解答】解：（1）∵|a +30|≥0，（c ﹣20）2≥0，|a +30|+（c ﹣20）2＝0∴|a +30|＝0，（c ﹣20）2＝0∴a ＝﹣30，c ＝20故答案为：﹣30，20．（2）设D 点表示的数为x则有：20﹣x ＝3{x ﹣（﹣30）}解得：x ＝﹣故答案为：﹣．（3）OM 的长度为：v 1t ，CN 的长度为v 2t∴AM ＝﹣v 1t ﹣（﹣30）＝﹣v 1t +30，AN ＝20+20﹣v 2t ＝50﹣v 2t∵QN ＝AN∴AQ ＝AN ＝（50﹣v 2t ）∴MQ ＝AQ ﹣AM ＝（50﹣v 2t ）﹣（﹣v 1t +30）＝+（v 1﹣v 2）t∵MQ 的长度不随t 的变化而变化∴v 1﹣v 2＝0 ∴＝．【点评】本题主要考查了数轴，确定MQ 长度不变的条件是本题解题的关键．。
四川省达州市高级中学校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)
数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题、填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页．考试时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：（每小题4分，共40分；每小题选出正确答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑．否则不得分．）1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++= C.()()121x x -+= D.223250x xy y --=答案：C 解析：详解：解：A 、2210x x+=是分式方程，选项说法错误，不符合题意；B 、当0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；C 、(1)(2)1x x -+=，即230x x +-=是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；D 、223250x xy y --=是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；故选C ．2.已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列结论中不正确的是（）A.当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B.当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C.当OA OB =时，四边形ABCD 是矩形D.当ABD CBD ∠=∠时，四边形ABCD 是矩形答案：D 解析：详解：解：如图：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形；A 选项正确；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形；B 选项正确；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，又∵OA OB =，∴OA OB OC OD ===，∴四边形ABCD 是矩形；C 选项正确；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，∴ABD BDC ∠=∠，又∵ABD CBD ∠=∠，∴BDC CBD ∠=∠，∴BC CD =，∴四边形ABCD 是菱形；不能证明四边形ABCD 是矩形，D 选项错误，故选：D ．3.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）A.110B.15C.13D.12答案：B 解析：详解：解：根据概率的定义，一共有10只粽子，其中红豆粽有2个，所以吃到红豆粽的概率是21105=．故选B ．4.如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值（）A.2B.4C.D.答案：C 解析：详解：作D 关于AE 的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD 于P′，∵DD′⊥AE ，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF ，∠DAE=∠CAE ，∴△DAF ≌△D′AF ，∴D′是D 关于AE 的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ 的最小值，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt △AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴，即DQ+PQ 的最小值为2，故答案为C ．5.已知ABC 如图，则下列4个三角形中，与ABC 相似的是（）A. B. C. D.答案：D 解析：详解：∵由图可知，675AB AC B ==∠=︒，，∴75C ∠=︒，18030A B C ∠=︒-∠-∠=︒，A ．选项中三角形是等边三角形，各角的度数都为60︒，不与ABC 相似；B ．选项中三角形各角的度数分别是52.5︒，52.5︒，75︒，不与ABC 相似；C ．选项中三角形各角的度数分别为40︒，70︒，70︒，不与ABC 相似；D ．选项中三角形各角的度数分别为30，︒75︒，75︒，与ABC 相似；故选：D ．6.若578a b ck ===且323a b c -+=，则243a b c +-的值是（）A.14 B.42C.7D.143答案：D 解析：详解：解：578a b ck ===，5,7,8a k b k c k ∴===，323a b c -+= ，352783k k k ∴⨯-⨯+=，解，得13k =，578,333a b c ∴===578142432433333a b c ∴+-=⨯+⨯-⨯=，故选：D ．7.某市2020年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化、绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（）A.()3001363x +=B.()23001363x +=C.()30012363x += D.()23631300x -=答案：B 解析：详解：解：设绿化面积平均每年的增长率为x ，根据题意得，()23001363x +=故选：B ．8.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子1x x +（0x >）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x，矩形的周长是12x x ⎛⎫+⎪⎝⎭；当矩形成为正方形时，就有1x x=（0x >），解得1x =，这时矩形的周长124x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭最小，因此1x x +（0x >）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子225x x+（0x >）的最小值是（）A.10B.5C.15D.20答案：A 解析：详解：解：∵0x >，∴在原式中分母分子同除以x ，即22525x x x x+=+；在面积是25的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是25x，矩形的周长是252x x ⎛⎫+⎪⎝⎭；当矩形成为正方形时，就有25x x=（0x >），解得：5x =，这时矩形的周长25220x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭最小，因此225x x+（0x >）的最小值是10．故选：A ．9.如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC BC >），下列结论错误的是（）A.AC BCAB AC= B.2•BC AC AB =C.12AC AB -= D.0.618≈BCAC答案：B 解析：详解：解：∵AC ＞BC ，∴AC 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB ：AC=AC ：BC ，故A 正确，不符合题意；AC 2=AB•BC ，故B 错误，12AC AB -=，故C 正确，不符合题意；0.618≈BCAC，故D 正确，不符合题意．故选B ．10.如图，在ABC 中60A ∠=︒，BM AC ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM PN ，，则下列结论：①PM PN =；②AM ANAB AC=；③PMN 为等边三角形；④当=45ABC ∠︒时，BN =．其中正确个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D 解析：详解：解：①∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，∴点P 是Rt MBC 和Rt NBC 的斜边的中点，∴12MP NP BC ==，故①正确；②∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，∴90AMB ANC ∠=∠=︒，又∵A A ∠=∠，∴AMB ANC ∽ ，∴AM ANAB AC=，故②正确；③∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，∴点P 是Rt MBC 和Rt NBC 的斜边的中点，∴12MP NP BP CP BC ====，∴点M ，N ，B ，C 共圆，∴2NPM ABM ∠=∠，在Rt ABM 中，60A ∠=︒，∴30ABM ∠=︒，∴60NPM ∠=︒，∵PN PM =，∴PMN 是等边三角形，故③正确；④当=45ABC ∠︒时，BNC 为以BC 为斜边的等腰直角三角形，∴22BN BC =，故④正确；故选：D ．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，请把答案填写在答题卷上，否则不得分．）11.菱形的两条对角线长分别是方程214480x x -+=的两实根，则菱形的面积为______．答案：24解析：详解：解：x 2﹣14x +48=0，则有（x -6）(x -8)=0解得：x =6或x =8．所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．菱形的面积为：24．故答案为：24．12.已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m =___，另一个根是___．答案：①.1②.-3解析：详解：根据题意，得4+2m −6=0，即2m −2=0，解得，m =1，由韦达定理，知：12x x m +=-，∴221x +=-，解得：2 3.x =-故答案为：1，−3.13.关于x 的方程kx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_____．答案：k ＜1且k ≠0．解析：详解：解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，∴k ≠0且△＞0，即(﹣2）2﹣4×k ×1＞0，解得k ＜1且k ≠0．∴k 的取值范围为k ＜1且k ≠0．故答案为：k ＜1且k ≠0．14.如图，△ABC 中，DE ∥BC ,23DE BC =,△ADE 的面积为8，则△ABC 的面积为______答案：18.解析：详解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵23 DEBC=，∴2224()(39 ADEABCS DES BC===，∴9184ABC ADES S==．故选：18．15.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则AEED的值是_______．答案：33133解析：详解：解：90BAC ACD∠=∠=︒，∴AB CD，∴30BAE EDC∠=∠=︒，45ABE ECD∠=∠=︒，∴ABE DCE∽，∴AE ABED CD=，∵AC AB=，∴AE ACED CD=，∵3tan 3AC D CD ∠==，∴3AE ED =，故答案为：33．16.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C 1…按这样的规律进行下去，第2014个正方形的面积为______答案：4026352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭解析：详解：解：∵正方形ABCD 的点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．∴1OA =，2OD =，由勾股定理得，AD =12OA OD =，∵90ADO DAO ∠+=︒，190DAO BAA ∠+=︒，∴1ADO BAA ∠=，由题意得190DOA ABA ∠==︒，则1DOA ABA ∽，∴112A B OA AB OD ==，∵AD AB ==∴152A B =，则第二个正方形的面积为2221153522S A C ⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭⎭，同理可得第三个正方形的面积为2422215135352222S A C ⎛⎫⎛⎫==+⨯=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依此类推，第n 个正方形的面积为()21352n n S -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则第2014个正方形的面积为：40262014352S ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．故答案为：4026352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭．第Ⅱ卷三、解答题：（本大题4个小题，共86分）解答时每小题需给出必要的演算过程或推理步骤．17.解方程：（1）22210x x --=（2）()()22320x x ---=答案：（1）112x +=，212x =（2）12x =，25x =解析：小问1详解：原方程变形为212x x -=配方得21344x x -+=，即21324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴12x -=，∴1132x +=，2132x =．小问2详解：原方程可以变形为()()2230x x ---=，∴20x -=或230x --=，∴12x =，25x =．18.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （﹣1，2），B （﹣3，4）C （﹣2，6）.（1）画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2．答案：（1）见解析；（2）见解析.解析：详解：（1）如图：△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图：△A 2B 2C 2即为所求.19.已知关于x 的一元二次方程()22110x k x k +---=．（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；（2）若方程有两个实数根x 1和x 2，且满足12111x x +=，求k 的值．答案：（1）有两个不相等的实数根（2）2k =解析：小问1详解：解：()()222Δ214144144450k k k k k k =----=-+++=+> ，()22110x k x k ∴+---=有两个不相等的实数根；小问2详解：由一元二次方程根与系数的关系可知：1212x x k +=-，121x x k ⋅=--，121212111x x x x x x ++==⋅ ，1211k k -∴=--，解得：2k =．20.第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．答案：见解析解析：详解：解：根据题意，用A 表示红球，B 表示绿球，列表如下：A A BAA A A AB A AA A A AB A B A B A B B B由此可知，共有9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有4种结果，(P ∴都是红球)=49，(1P 红1绿球)=49．(P 都是红球)(1P =红1绿球)，∴这个规则对双方是公平的．21.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）若商场只要求保证每天的盈利为4320元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？（2）若该商场经理想让这种水果每天的盈利为4600元，商场经理的想法能实现吗？如果能请求出每千克应涨价多少元，如果不能请说明理由．答案：（1）2元（2）不能，见解析解析：小问1详解：设每千克应涨价x 元，则()()10400204320x x =＋－，解得2x =或8x =，为了使顾客得到实惠，所以2x =，所以每千克应涨价2元．小问2详解：该商场经理想法不能实现．设每千克应涨价x 元，则()()10400204600x x =＋－，整理，得210300x x -+=，∵()2104130200∆=--⨯⨯=-<，∴该方程无解，∴不可能．22.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE =OD ，连接AE ，BE ，（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）当∠BAC =90°时，矩形AEBD 是正方形．理由见解析．解析：详解：（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE =OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB =AC ，AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC =90°时，理由如下：∵∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD =BD =CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．23.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是CAB ∠的平分线，BE AE ⊥，垂足为点E ．求证：2BE DE AE =⋅．答案：见详解解析：详解：证明：∵AD 是CAB ∠的平分线，∴CAD BAD ∠=∠，∵90C ∠=︒，∴90CAD ADC ∠+∠=︒，又∵BE AE ⊥，∴90E ∠=︒，∴90EBD BDE ∠+∠=︒，而ADC BDE ∠=∠，∴CAD DBE BAE ∠=∠=∠，∴BDE ABE ∽△△，∴::BE AE DE BE =，∴2BE DE AE =⋅．24.阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，55A B DEC ∠=∠=∠=︒，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2在矩形ABCD 中，52AB BC ==，，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM的边AB 上的一个强相似点，当BC =时，试求出AB 的值．答案：（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）2解析：详解：（1）点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点．理由：55A ∠=︒ ，125ADE DEA ∴∠∠=︒＋，55DEC ∠=︒ ，125BEC DEA ∴∠∠=︒＋．ADE BEC ∴∠=∠，A B ∠=∠ ，ADE BEC ∴∽V V ，∴点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点．（2）作图如下：点E 即为所求（下图中二选其一即可）（3）∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，AEM BCE ECM ∴∽∽ ，BCE ECM AEM ∴∠=∠=∠,由折叠可知ECM DCM ：≌， ECM DCM CE CD ∴∠=∠=，，1303BCE BCD ∴∠=∠=︒，111222BE CE DC AB ∴===．在Rt BCE 中，设BE 为x ，CE 为2x ，根据勾股定理，222BC BE EC +=，可得2234x x +=，解得1x =±，0x >，1x ∴=，2CE =∴，即2AB =．25.如图，在平面直角坐标系内，已知点()0,6A 、点()8,0B ，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t秒．（1）求直线AB 的解析式；（2）当t 为何值时，APQ △与AOB 相似．（3）当t 为何值时，APQ △的面积为165个平方单位．答案：（1）y ＝－34x ＋6（2）3011秒或5013秒（3）1秒或4秒解析：小问1详解：解：设直线AB 的解析式为y kx b=+由题意，得680b k b =⎧⎨+=⎩，解得346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线AB 的解析式为364y x =-+．小问2详解：解：由68AO BO ==，得10AB =，∴102AP t AQ t ==-，，①当APQ AOB ∠=∠时，APQ AOB ∽．∴102610t t -=，解得3011t =②当AQP AOB ∠=∠时，AQP AOB ∽．∴102106t t -=，解得5013t =∴当t 为3011秒或5013秒时，APQ △与AOB 相似；小问3详解：解：过点Q 作QE 垂直AO 于点E ．在Rt AOB △中，4sin 5BO BAO AB ∠==在Rt AEQ △中，()48·sin 102855QE AQ BAO t t =∠=-=-，21184168422555APQ S AP QE t t t t ⎛⎫=⋅=⨯-=-+= ⎪⎝⎭ 解得，1t =（秒）或4t =（秒）∴当1t =秒或4t =秒时，APQ △的面积为165个平方单位．。
2024-2025学年上海市宝山区上学期九年级期中考试数学试卷含详解
2024学年第一学期九年级数学期中试卷（满分150分时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题,共25题．2．答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸,本试卷上答题一律无效．3．除第一,二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一．选择题：（本大题共6题,每小题4分,满分24分）1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶2,那么它们的对应高之比是（）A.1∶2,B.1∶4,C.1∶6,D.1∶8．2.下列选项中的两个图形一定相似的是（）A.两个等边三角形B.两个矩形C.两个菱形D.两个等腰三角形3.如图,DE ∥AB ,如果CE ∶AE =1∶2,DE =3,那么AB 等于（）A.6,B.9,C.12,D.13．4.已知非零向量a ,b ,且有2a b =- ,下列说法中,不正确的是（）A.2a b=B.a b∥C.a与b 方向相反D.0a b += 5.如图,点D ,E 分别在ABC V 的两边BA ,CA 的延长线上,下列条件能判定ED BC ∥的是（）．A.AD DEAB BC= B.AD AEAC AB= C.AD AEAB AC= D.AD AB DE BC⋅=⋅6.如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,点G 在线段AD 上,GE ∥BD ,且交AB 于点E ,GF ∥AC ,且交CD 于点F ,则下列结论一定正确的是（）A.AE CF AB CD =, B.AE DF EB FC=, C.=EG FGBD AC , D.=AE ADAG AB．二．填空题：（本大题共12小题,每小题4分,满分48分）7.如果tan a =α的度数是_______8.如果()230a b b =≠,那么ab=__________________．9.已知在Rt ABC 中,90C ∠=︒,1cot 3B =,2BC =,那么AC =_____________.10.已知线段2AB =,如果点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP BP >,那么AP 的值为_____．11.已知向量m 与单位向量e方向相反,且3a =,那么m =______（用向量e的式子表示）12.如图,已知AD ∥BE ∥CF ,它们依次交直线1l ,2l 于点A ,B ,C 和点D ,E ,F ．如果23=AB BC ,DF=15,那么线段DE 的长是__．13.如图,ABC V 的中线AD ,CE 交于点G ,点G 是ABC V 的重心,点F 在边AC 上,GF BC ∥,那么GF BC =∶______．14.如图,ABC V 是边长为3的等边三角形,,D E 分别是边,BC AC 上的点,60ADE ∠= ,如果1BD =,那么CE =_________15.矩形的一条对角线长为26,这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513,那么该矩形的面积为___.16.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,点E 是AD 的中点,联结OE ．如果3AB =,4AC =,那么cos AOE ∠=_________．17.平行于梯形两底的直线截梯形的两腰,当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时,称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中,49AD BC AD BC ==∥，，,点E ,F 分别在边AB ,CD 上,如果EF 是梯形ABCD 的“比例中线”,那么DFDC的值为__________．18.如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=8,tanB=32,点D 是AB 的中点,如果把△BCD 沿直线CD 翻折,使得点B 落在同一平面内的B′处,联结A B′,那么A B′的长为_____．三．解答题：（本大题共7题,满分78分）19.计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒︒︒︒︒++-20.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边AD 上,且2AE ED =,联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ,设,,BA a BC b ==．（1）用,a b 表示,,BE DF .（2）先化简,再求作：32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭（不要求写作法,但要写明结论）21.如图,在ABC V 中,45B ∠=︒,AD 是边BC 上的中线,3sin 5DAB ∠=,32BD =求：（1）AB 的长.（2）CAB ∠的余切值．22.如图,在ABC V 中,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且3AD =,6AC =,4AE =,8AB =．（1）如果7BC =,求线段DE 的长.（2）设DEC 的面积为2,求BDC 的面积．23.如图,平行四边形ABCD 中,AFBC ⊥,垂足为点F ,点E 是边AB 中点,连接DE 交线段AF 于点G ,2AE EG ED =⋅,连接EF ．（1）求证：DE EF ⊥.（2）连接DF ,求证：22CD DF BF =⋅．24.在平面直角坐标系xOy 中,放置一个矩形OABC ,使矩形的一个顶点O 和坐标原点重合,点C 和点A 分别在第一和第四象限内,若点C 和点A 的纵坐标满足“C A y y m -=”,则称矩形OABC 具有“条件m ”．如图,矩形OABC 中,15OC =,10BC =．（1）当矩形OABC 具有“条件0”,求此时点C 坐标.（2）当矩形OABC 具有“条件1”,求此时OC 与x 轴正半轴所夹角的正弦值.（3）若矩形OABC 具有“条件m ”,当点B 在第一象限内,连接CB 并延长交x 轴正半轴于点F ,连接AC ,AF ,若OAC 与ABF △相似,直接写出此时m 的值．25.如图1,在ABC V 中,C ∠是锐角,AB AD =交边BC 于点D ,点F 是边AC 上一点,连接BF 且满足FBC C ∠=∠,BF 交边AD 于点E ．（1）如图2,当点E 是边AD 中点时,求证：AF BDFC BC=.（2）当:1:8FE BE =,且ABE 是直角三角形时,求此时ACB ∠的正切值.（3）记AEF △的面积为1S ,ABF △的面积为2S ,ABC V 的面积为3S ,若2S 是1S 和3S 的比例中项,求:BD DC 的值．2024学年第一学期九年级数学期中试卷一．选择题：（本大题共6题,每小题4分,满分24分）1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶2,那么它们的对应高之比是（）A.1∶2,B.1∶4,C.1∶6,D.1∶8．【答案】A【分析】根据相似三角形的对应高的比,中线,角平分线的比都等于相似比作答即可．【详解】∵两个相似三角形对应边之比是1∶2.又∵相似三角形的对应高的比,中线,角平分线的比都等于相似比.∴它们的对应高之比是：1∶2.故选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比,中线,角平分线的比都等于相似比．2.下列选项中的两个图形一定相似的是（）A.两个等边三角形B.两个矩形C.两个菱形D.两个等腰三角形【答案】A【分析】本题考查的是相似图形的判断,掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．根据相似图形的概念进行判断即可．【详解】解：A,两个等边三角形,三个角都是60︒∴它们是相似图形,符合题意.B,两个矩形四个角都是90︒,但对应边的比不一定相等∴它们不是相似图形,不符合题意.C,两个菱形角不一定相等∴它们不是相似图形,不符合题意.D,两个等腰三角形对应边的比不一定相等.∴它们不是相似图形.故选：A．3.如图,DE∥AB,如果CE∶AE=1∶2,DE=3,那么AB等于（）A.6,B.9,C.12,D.13．【答案】B【分析】根据比例的性质得CE ∶CA =1∶3,根据平行线分线段成比例定理的推论,即可求得答案.【详解】∵CE ∶AE =1∶2.∴CE ∶CA =1∶3.∵DE ∥AB .∴13DE CE AB CA ==∵DE =3.∴AB=3DE =9故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论及比例的性质,熟练运用“平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”是解题的关键.4.已知非零向量a ,b ,且有2a b =- ,下列说法中,不正确的是（）A.2a b =B.a b∥ C.a与b 方向相反D.0a b +=【答案】D【分析】本题考查了平面向量的性质,解题的关键是熟练掌握平面向量的性质根据平面向量的性质进行分析判断．【详解】解∶2a b =-.||2||a b ∴= ,a b ∥, 20a b +=.故A ,B ,C 正确,D 错误.故选∶D ．5.如图,点D ,E 分别在ABC V 的两边BA ,CA 的延长线上,下列条件能判定ED BC ∥的是（）．A.AD DE AB BC= B.AD AEAC AB= C.AD AEAB AC= D.AD AB DE BC⋅=⋅【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用,主要考查学生的推理和辨析能力,注意：有两组对应边的比相等,且这两边的夹角相等的两三角形相似．根据选项选出能推出ADE ABC △△∽,推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断．【详解】解：A,∵AD DEAB BC=,EAD BAC ∠=∠,不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理,无法判断ADE V 与ABC V 相似,即不能推出DE BC ∥,故本选项错误.B,AD AEAC AB=,EAD BAC ∠=∠.ADE ACB ∴ ∽.E B ∴∠=∠,D C ∠=∠.即不能推出DE BC ∥,故本选项错误.C,∵AD AEAB AC=,EAD BAC ∠=∠.DAE BAC ∴△∽△.D B ∴∠=∠.DE BC ∴∥,故本选项正确.D ,由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD=,不能推出DAE BAC △∽△,即不能推出D B ∠=∠,即不能推出两直线平行,故本选项错误.故选：C ．6.如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,点G 在线段AD 上,GE ∥BD ,且交AB 于点E ,GF ∥AC ,且交CD 于点F ,则下列结论一定正确的是（）A.AE CFAB CD=, B.AE DFEB FC=, C.=EG FGBD AC, D.=AE ADAG AB．【答案】A【分析】抓住已知条件：GE ∥BD ,GF ∥AC ,利用平行线分线段成比例以及中间比代换,对各选项一一判断即可求解.【详解】∵GE ∥BD ,∴AE AGAB AD=∵GF ∥AC ,∴CF AGCD AD=∴AE CFAB CD=,A 选项正确.∵GE ∥BD ,∴AE AGEB GD =∵GF ∥AC ,∴AG CFGD FD=∴AE CFEB FD=,B 选项错误.∵GE ∥BD ,∴EG AGBD AD =∵GF ∥AC ,∴GF DGAC AD=∴EG GFBD AC≠,C 选项错误.∵GE ∥BD ,∴AE ABAG AD=,D 选项错误.故选：A【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,灵活运用中间比是解题的关键.二．填空题：（本大题共12小题,每小题4分,满分48分）7.如果tan a =α的度数是_______【答案】60︒##60度【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角α的度数．【详解】解：∵tan a =tan 60︒=∴锐角α的度数为60︒．故答案为：60︒．8.如果()230a b b =≠,那么ab=__________________．【答案】32【分析】本题考查比例的性质,根据比例的性质,求解即可．【详解】解：∵()230a b b =≠.∴32a b =．故答案为：32．9.已知在Rt ABC 中,90C ∠=︒,1cot 3B =,2BC =,那么AC =_____________.【答案】6【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】∵cotB=BCAC,∴AC=13BC BCcotB==3BC=6．故答案是：6．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用,解题关键在于掌握在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边,余切为邻边比对边．10.已知线段2AB =,如果点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP BP >,那么AP 的值为_____．1##1-+【分析】本题考查了黄金分割的定义,把一条线段分割为两部分,使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值,则这个比值即为黄金分割,根据黄金分割点的定义求解,即可解题．【详解】解： 点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP BP >,2AB =.BP AP AP AB∴=.即AB AP APAP AB -=.∴22AP AP AP -=.整理得1AP =-+1AP =--（不合题意,舍去）1AP ∴=-故答案为：1-+．11.已知向量m 与单位向量e方向相反,且3a =,那么m =______（用向量e的式子表示）【答案】-3e．【详解】试卷分析：由向量a 与单位向量e 方向相反,且|a|＝3,根据单位向量与相反向量的知识,即可求得答案．∵向量a 与单位向量e 方向相反,且|a |＝3.∴a =-3e ．故答案为-3e．考点：平面向量．12.如图,已知AD ∥BE ∥CF ,它们依次交直线1l ,2l 于点A ,B ,C 和点D ,E ,F ．如果23=AB BC ,DF=15,那么线段DE 的长是__．【答案】6【分析】由平行得比例,求出DE 的长即可．【详解】解：////AD BE FC .23AB DE BC EF ∴==.15DF = .2153DE DE ∴=-.解得：DE 6=.故答案为：6.【点睛】此题考查了平行线分线段成比例,熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．13.如图,ABC V 的中线AD ,CE 交于点G ,点G 是ABC V 的重心,点F 在边AC 上,GF BC ∥,那么GF BC =∶______．【答案】13∶##13【分析】本题考查了三角形中线和重心的性质,相似三角形的判定和性质,由三角形中线性质可得2BC CD =,由重心的性质可得23AG AD =,再根据相似三角形的性质可得23GF AG DC AD ==,进而即可求解,掌握重心的性质是解题的关键．【详解】解：∵A 是ABC V 的中线.∴2BC CD =.∵点G 是ABC V 的重心.∴23AG AD =.∵GF BC ∥.∴AFG ACD △∽△.∴23GF AG DC AD ==.∴2613GF BC ==∶∶∶.故答案为：13∶．14.如图,ABC V 是边长为3的等边三角形,,D E 分别是边,BC AC 上的点,60ADE ∠= ,如果1BD =,那么CE =_________【答案】23【分析】由等边三角形的性质得出∠B ＝∠C ＝60°,证明△ABD ∽△DCE ,由相似三角形的性质得出AB BD DC CE=则可求出答案．【详解】解：∵ABC V 是边长为3的等边三角形.∴60,3B C AB BC AC ∠=∠=︒===.∴120BAD BDA ∠+∠=︒.∵60ADE ∠= .∴120BDA EDC ∠+∠=︒.∴BAD EDC ∠=∠.∴ABD DCE ∠ .∴AB BD DC CE=.∵1BD =.∴2CD BC BD =-=.∴31=2CE.∴23CE =.故答案为：23．【点睛】本题考查了等边三角形的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．15.矩形的一条对角线长为26,这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513,那么该矩形的面积为___.【答案】240【分析】由矩形的性质和三角函数求出AB ,由勾股定理求出AD ,即可得出矩形的面积．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 是矩形.∴∠BAD=90°,AC=BD=26.∵5sin 13AB ADB BD ∠==.∴5261013AB =⨯=.∴24AD ===.∴该矩形的面积为：2410240⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,三角函数,熟练掌握矩形的性质,由勾股定理求出AB 和AD 是解决问题的关键．16.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,点E 是AD 的中点,联结OE ．如果3AB =,4AC =,那么cos AOE ∠=_________．【答案】23【分析】本题考查了求角的余弦根据O ,E 分别是AC ,A 的中点,知OE 是中位线得AOE ACD ∠=∠,连接BD ,根据菱形的性质知AC 与BD 垂直平分,根据余弦的定义,即可求解.【详解】解：在菱形ABCD 中,O 是AC 的中点.O ∴也是对角线的交点,且AC 与BD 垂直平分.O ,E 分别是AC ,A 的中点.∴ OE CD .∴AOE ACD∠=∠在Rt OCD △中,114222OC AC ==⨯=,3CD AB ==.∴2cos cos 3OC AOE ACD CD ∠∠===故答案为：2317.平行于梯形两底的直线截梯形的两腰,当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时,称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中,49AD BC AD BC ==∥，，,点E ,F 分别在边AB ,CD 上,如果EF 是梯形ABCD 的“比例中线”,那么DF DC的值为__________．【答案】25##0.4【分析】先根据EF 是AD BC 、的比例中项可求得EF ,再过点D 作AB 的平行线构造平行四边形,可求得MF NC 、的长度,然后再利用DMF DNC △∽△即可求得DF DC 的值．【详解】如图,过点D 作AB 的平行线,交EF BC 、于点M ,N ．∵,AB EF BC DN AB∥∥∥∴四边形AEMD ,四边形EBNM ,四边形ABND 均为平行四边形．∴4EM BN AD ===.∵EF 是梯形ABCD 的比例中项.∴496EF AD BC =×´=．∴2,945MF EF EM NC BC BN =-==-=-=由EF BC ∥得,,DMF DNC DFM DCN==∠∠∠∠∴DMF DNC△∽△∴25DF MF DC NC ==故答案为：25．【点睛】本题考查了比例中项,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解题的关键是作AB 的平行线构造平行四边形与相似三角形．18.如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=8,tanB=32,点D 是AB 的中点,如果把△BCD 沿直线CD 翻折,使得点B 落在同一平面内的B′处,联结A B′,那么A B′的长为_____．255【详解】分析：如图,作AE ⊥BC 于E,DK ⊥BC 于K ,联结BB′交CD 于H ．只要证明∠AB′B=90°,求出AB,BB′,理由勾股定理即可解决问题.详解：如图,作AE ⊥BC 于E,DK ⊥BC 于K ,联结BB′交CD 于H ．∵AB=AC,AE ⊥BC.∴BE=EC=4.在Rt △ABE 中,∵tanB=3=2AE BE.∴2246+13∵DK ∥AE,BD=AD.∴BK=EK=2.∴DK=12AE=3.在Rt △CDK 中,223635+=.∵B,B′关于CD 对称.∴BB′⊥CD,BH=HB′∵S △BDC =12•BC•DK=12•CD•BH.∴BH=855.∴BB′=1655.∵BD=AD=DB′.∴∠AB′B=90°.∴22255AB BB -'=.故答案为:255点睛：本题考查翻折变换,等腰三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型．三．解答题：（本大题共7题,满分78分）19.计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒︒︒︒︒++-【答案】52+【分析】根据特殊角的三角函数值即可代入求解.【详解】解：原式22332331222+⨯⎛=+- ⎪⎝⎭⨯132=+-52=+【点睛】此题主要考查实数的运算,解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.20.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边AD 上,且2AE ED =,联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ,设,,BA a BC b ==．（1）用,a b 表示,,BE DF .（2）先化简,再求作：32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭（不要求写作法,但要写明结论）【答案】（1）23BE a b =+ ,12DF a = ;（2）原式12a b =- ,作图见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得对边相等且平行,再根据向量,平行向量的概念,性质及向量的运算进行求解.（2）根据平行四边形的性质得对边相等且平行,再根据向量的运算进行化简,根据化简结果的运算性质作图.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形.∴AB=CD,AB ∥CD,AD=BC,AD ∥BC ∴AB AE DF ED=.∵AE=2ED.∴DF=12AB,AE=23AD.∵,BA a BC b == .∴12DF a =,23AE b =.∴23BEAB AE a b += =+.（2）32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭3222a b a b = -++-.21a b = -;如图,平行四边形ABCD ,取AB 的中点,则12BM a =,CB b =-.∴1122CM CB BM b a a b =+=-+=-.∴12CM a b =-【点睛】本题考查向量的性质及运算,根据平行线得平行向量及向量的运算是解答此题的关键.21.如图,在ABC V 中,45B ∠=︒,AD 是边BC 上的中线,3sin 5DAB ∠=,32BD =求：（1）AB 的长.（2）CAB ∠的余切值．【答案】（1）7（2）16【分析】本题考查的是解直角三角形的应用,勾股定理的应用.（1）过点D 作DE AB ⊥于点E ,先求解3BE DE ==,再求解5AD =,4AE=即可.（2）作CH AB ⊥,垂足为H ．求解62BC =,2262BH CH ===,可得761AH =-=,在Rt CHA △中,利用余切的定义求解即可．【小问1详解】解：过点D 作DE AB ⊥于点E .在Rt BDE △中,DE AB ⊥,BD =45B ∠=︒.232∴===BE DE .在Rt ADE 中,3sin 5DAB ∠=,3DE =.∴35DE AD =,则5AD =.4AE ∴==.437AB AE BE ∴=+=+=．【小问2详解】作CH AB ⊥,垂足为H ．AD 是BC 边上的中线,BD =BC ∴=45ABC ∠=︒ .62BH CH ∴===.761AH ∴=-=.即在Rt CHA △中,1cot 6AH CAB CH Ð==．22.如图,在ABC V 中,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且3AD =,6AC =,4AE =,8AB =．（1）如果7BC =,求线段DE 的长.（2）设DEC 的面积为2,求BDC 的面积．【答案】（1）72（2）10【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．（1）通过证明ADE ACB ∽,即可得到答案.（2）由线段的数量关系求出面积关系即可得到答案．【小问1详解】解：3162AD AC == ,4182AE AB ==.AE AD AB AC ∴=.且DAE BAC ∠=∠ .ADE ACB ∴ ∽.12AD DE AC BC ∴==.1177222DE BC ∴==⨯=.【小问2详解】解：4,6AE AC == .123EC AC ∴==.3326ACD DEC S S ∴==⨯= .3AD = .8AB =.553BD AD ∴==.5561033BDC ADC S S ∴==⨯= ．23.如图,平行四边形ABCD 中,AF BC ⊥,垂足为点F ,点E 是边AB 中点,连接DE 交线段AF 于点G ,2AE EG ED =⋅,连接EF ．（1）求证：DE EF ⊥.（2）连接DF ,求证：22CD DF BF =⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题主要考查平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键．（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EAF EFA ∠=∠,由题意推出AED GEA ∽,以及平行四边形的性质得到90ADE AGD ∠+∠=︒,证明90DEF ∠=︒,即可得到结论.（2）根据题意证明BAF FDE ∽,再根据相似三角形的性质得到对应线段成比例即可证明结论．【小问1详解】证明： AF BC ⊥,点E 是边AB 中点.12EF AB AE BE ∴===.EAF EFA ∴∠=∠.2AE EG ED =⋅.AE ED EG AE∴=.AED AEG∠=∠ AED GEA ∴ ∽.ADE EAF ∴∠=∠.平行四边形ABCD 中.AD BC ∴∥.180DAF AFC ∴∠+∠=︒.90DAF AFC ∴∠=∠=︒90ADE AGD ∴∠+∠=︒.EAF EFA ∠=∠ .ADE EAF ∠=∠ .ADE EFA ∴∠=∠.,ADE EFA AGD EGF ∠=∠∠=∠ .90EGF EFG ∴∠+∠=︒.90DEF ∴∠=︒.DE EF ∴⊥.【小问2详解】证明：由（1）得90DEF ∠=︒.AF BC⊥Q 90AFB ∴∠=︒DEF AFB ∴∠=∠.2AE EG ED =⋅且AE EF =.2EF EG ED ∴=⋅.EF ED EG EF∴=GEF FED∠=∠ GEF FED ∴ ∽.EFG EDF ∴∠=∠.BAF FDE ∴∠=∠.BAF FDE ∴ ∽.AB BF DF EF ∴=,即12BFDF AB AB =.22AB DF BF ∴=⋅.ABCD 是平行四边形.AB CD ∴=.22CD DF BF ∴=⋅.24.在平面直角坐标系xOy 中,放置一个矩形OABC ,使矩形的一个顶点O 和坐标原点重合,点C 和点A 分别在第一和第四象限内,若点C 和点A 的纵坐标满足“C A y y m -=”,则称矩形OABC 具有“条件m ”．如图,矩形OABC 中,15OC =,10BC =．（1）当矩形OABC 具有“条件0”,求此时点C 坐标.（2）当矩形OABC 具有“条件1”,求此时OC 与x 轴正半轴所夹角的正弦值.（3）若矩形OABC 具有“条件m ”,当点B 在第一象限内,连接CB 并延长交x 轴正半轴于点F ,连接AC ,AF ,若OAC 与ABF △相似,直接写出此时m 的值．【答案】（1）1313,1313⎛ ⎝⎭（2）35（3）6m =或20541【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴,过点C 作CD x ⊥轴,可证得△∽△AOE OCD ,得23AE OE OD CD ==,由题意可知0C A y y -=,即CD AE =,则23CD OD =,令3OD k =,2CD k =,由勾股定理即可求解.（2）由题意可得1CD AE -=,即1AE CD =-,则123AE CD OD OD -==,设CD a =,则332a OD -=,由勾股定理可得22233152a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得9a =（9913a =-舍去）,即9CD =,再根据正弦的定义即可求解.（3）由题意可知90AOC ABF ∠=∠=︒,分别两种情况：当OA OC BF AB =时,则,AOC FBA △∽△,当OA OC AB BF=时,则AOC BAF △∽△,分别求出sin CFO ∠即可求解．【小问1详解】解：过点A 作AE x ⊥轴,过点C 作CD x ⊥轴,则90ODC AEO ∠=∠=︒.在矩形OABC 中,15==OC AB ,10OA BC ==,=90AOC ∠︒.则90AOE COD ∠+∠=︒,而90∠∠+=︒COD OCD .∴AOE OCD ∠=∠.∴△∽△AOE OCD .∴OA AE OE OC OD CD ==,即：23AE OE OD CD ==.当矩形OABC 具有“条件0”时,即：0C A y y -=.∴C A y y =,即CD AE =.则23CD OD =,令3OD k =,2CD k =.由勾股定理可得：222OD CD OC +=,即：()()2223215k k +=.解得：13k =（负值舍去）.∴OD =,CD =.则此时点C 的坐标为,1313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】当矩形OABC 具有“条件1”时,即：1C A y y -=.∴1CD AE -=,即1AE CD =-,则123AE CD OD OD -==.设CD a =,则332a OD -=.由勾股定理可得：222OD CD OC +=,即：22233152a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭.解得：9a =（9913a =-舍去）,即9CD =.∴93sin 155CD COD OC ∠===.则此时OC 与x 轴正半轴所夹角COD ∠的正弦值为35.【小问3详解】由题意可知：90AOC ABF ∠=∠=︒.当OA OC BF AB =时,则,AOC FBA △∽△.此时101515BF =,则10BF BC ==.∴20CF =,则25OF =.∴153sin 255OC CFO OF ∠===,则3sin 20125CD CF CFO =⋅∠=⨯=.∵OA BC ∥.∴AOE CFO ∠=∠,则3sin sin 5AOE CFO ∠=∠=.∴3sin 1065AE OA AOE =⋅∠=⨯=.∴6C A m y y CD AE =-=-=.当OA OC AB BF=时,则AOC BAF △∽△.此时101515BF =,则22545102BF ==.∴652CF BC BF =+=,则52052OF =.∴sin 52052OC CFO OF ∠==,则656205sin 2205CD CF CFO =⋅∠=⨯.∵OA BC ∥.∴AOE CFO ∠=∠,则6205sin sin 205AOE CFO ∠=∠=.∴6205sin 10205AE OA AOE =⋅∠=⨯.∴6545102205205220541C A m y y =-=⨯-⨯=⨯=.综上,当OAC 与ABF △时,6m =或41．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质,解直角三角形,勾股定理,解一元二次方程,添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键．25.如图1,在ABC V 中,C ∠是锐角,AB AD =交边BC 于点D ,点F 是边AC 上一点,连接BF 且满足FBC C ∠=∠,BF 交边AD 于点E ．（1）如图2,当点E 是边AD 中点时,求证：AF BD FC BC=.（2）当:1:8FE BE =,且ABE 是直角三角形时,求此时ACB ∠的正切值.（3）记AEF △的面积为1S ,ABF △的面积为2S ,ABC V 的面积为3S ,若2S 是1S 和3S 的比例中项,求:BD DC 的值．【答案】（1）见解析（2）ACB ∠的正切值为22或12（3）512-【分析】（1）过点D 作DG EF ∥,由平行线分线段成比例可得AE AF DE GF =,BD FG CD CG =,利用比例的性质可得FG BD FC BC=,结合题意得AE DE =,则AF GF =,进而可证明结论.（2）先证ABF EAF ∠=∠,BF CF =,即可证明ABF EAF △∽△,得BF AF AB AF EF AE ==,则2AF EF BF =⋅,由:1:8FE BE =,设FE a =,8BE a =,则9BF CF a ==,求得3AF a =,则12AC AF CF a =+=,3AB AE =,再分两种情况：当90AEB ∠=︒时,则90AEF ∠=︒,当90BAE ∠=︒时,分别解直角三角形求解即可.（3）由（2）可知ABF EAF △∽△,BF AF AB AF EF AE ==,BF CF =,可知221S BF S AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭,设BCF V 的面积为4S ,则42S CF BF S AF AF ==,由题意可知,3224412221S S S S S S S S S +===+,令BF t AF=,则21t t =+,21t t -=,求得t 的值,用1S 表示出,221S t S =,431S t S =,211ABE S S S tS =-=△,21ABD ABE S tS t S ==△,则331ADC ABD S S S t S =-=△△,结合ABD ADC S BD DC S =△△即可求解．【小问1详解】证明：过点D 作DG EF ∥.∴AE AF DE GF =,BD FG CD CG =.∴FG CG FG CG FC BD CD BD CD BC +===+∴FG BD FC BC=.∵点E 是AD 的中点.∴AE DE =.∴AF GF =.∴AF BD FC BC=.【小问2详解】解：∵AB AD =.∴ABD ADB ∠=∠,则ABF FBC EAF C ∠+∠=∠+∠.∵FBC C ∠=∠.∴ABF EAF ∠=∠,BF CF =.∵AFB EFA ∠=∠.∴ABF EAF △∽△.∴BF AF AB AF EF AE==,则2AF EF BF =⋅.由:1:8FE BE =,设FE a =,8BE a =,则9BF CF a ==.∴3AF a =,则12AC AF CF a =+=.∴33AB AF a AE EF a===,即：3AB AE =.当90AEB ∠=︒时,则90AEF ∠=︒.∵ABF EAF △∽△.∴90BAF AEF ∠=∠=︒.由勾股定理得：AB ===.∴622tan 122AB ACB AC a ∠===.当90BAE ∠=︒时,过点B 作BH 垂直于CA 的延长线于H .则90ABH BAH BAH EAF ∠+∠=∠+∠=︒.∴ABH EAF ABF α∠=∠=∠=.∵3AB AE =,8BE a =,222AE AB BE +=.∴AE =,AB =.则5sin 810AE BE a α===,5cos 810AB BE a α===.∴12sin 5AH AB a α=⋅=⨯,36cos 5BH AB a α=⋅=⨯.则12721255CH AC AH a a a =+=+=.∴3615tan 7225a BH ACB CH a ∠===.综上,当ABE 是直角三角形时,ACB ∠的正切值为22或12.【小问3详解】由（2）可知ABF EAF △∽△,BF AF AB AF EF AE==,BF CF =.∴221S BF S AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设BCF V 的面积为4S ,则42S CF BF S AF AF ==.由题意可知,3224412221S S S S S S S S S +===+.∴21BF BF AF AF ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令BF t AF =,则21t t =+,21t t -=解得：512t +=（负值舍去）,即：BF AF AB t AF EF AE ===.∴223221S S BF t S S AF ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,AB t AE =,则221S t S =,431S t S =.∴()222111111ABE S S S t S S t S tS =-=-=-= .∵AB AD =.∴AD AB t AE AE ==,则ABD ABE S AD t S AE ==△△.∴21ABD ABE S tS t S ==△.则()42223311111ADC ABD S S S t S t S t S t t S =-=-=-= .∴21311512ABD ADC S t S BD DC S t S t -====△△．【点睛】本题考查平行线分线段成比例,相似三角形的判定及性质,解直角三角形,勾股定理等知识点,添加辅助线构造直角三角形,利用线段比转化面积比是解决问题的关键．。
2024-2025学年云南省昆明市五华区九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2024-2025学年云南省昆明市五华区九年级上学期期中数学试卷(满分120分，考试用时120分钟)一、选择题 (本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分)1. 将0.000022 6这个数用科学记数法可表示为( )A.0.226×10⁻⁵B.2.26×10⁻⁵C.22.6×10⁻⁵D.226×10⁻⁵2. 如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是 ( )3. 下列计算正确的是 ( )A. - 2a (a+1) =-2a²+2aB.(2m²n³)²=4m⁴n⁶C.x²+x³=x⁵D.(m−2n)²=m²−4n²4. 如图, AB是⊙O的直径, C, D 是⊙O上的两点, 若∠CDB=35°, 则∠CBA 的度数为( )A. 35°B. 55°C. 65°D. 70°5. 若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 ( )A. 5B. 6C. 7D. 86. 已知一组数据：1，3，3，5. 若添加一个数据3，则下列各统计量中会发生变化的是 ( )A. 方差B. 平均数C. 中位数D. 众数7. 计算:3¹—1=2, 3²—1=8, 3³—1=26, 3⁴—1=80, 3⁵—1=242, …, 归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测3²021—1的个位数字是 ( )A. 2B. 8C. 6D. 08. 如图, 正方形ABCD中, BE=FC, CF=2FD, AE, BF交于点G, 连接AF, 给出下列结论: ①AE⊥BF;②AE=BF;③BG=4GE;(④S四边形CEGF =S△ABG·其中正确的个数为( )3A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分)9. 函数 y =√x −1有意义的x 取值范围为 .10.(12)−2−π0+√83=.___________. 11. 如图, 在▱ABCD 中, AB=3, AD=5, AF 分别交BC 于点E 、 交DC 的延长线于点F, 且CF=1, 则CE 的长为 .12. 若点A(1, y ₁), B(2, y ₂), C(—1, y ₃) 在反比例函数 y =a x (a ⟩0) 的图象上，则y ₁, y ₂, y ₃的大小关系是 . (用“<”号连接)13. 如图, ⊙O 的半径为2, 弦AB 的长度为2 √2，则图中阴影部分的面积为__________.14. 在△ABC 中, AB=AC, AB 的垂直平分线交AB 于点D, 交直线AC 于点E, 若∠EBC=36°, 则∠ABC= .三、解答题 (本大题共9小题，共70分)15. (本小题满分6分)先化简，再求值： (4−2a a+2−a +2)÷a 2−2a a+2,请从—2, — 1, 0, 2 中选择一个数字a 代入求值.16. (本小题满分6分)如图, 点 B, D, C, E 在一条直线上, ∠B =∠FDE =90°,BD =EC,∠F = ∠AOF. 求证： △ABC ≅△FDE.17. (本小题满分6分)一辆轿车原计划从甲地匀速行驶到距离200千米的乙地，出发后2小时内按原计划的速度行驶，2小时后以原计划速度的2倍匀速行驶，结果比原计划提前1小时到达，求原计划的行驶速度.18. (本小题满分8分)为了了解某中学学生上学的交通出行方式，学校随机抽取部分学生采取问卷调查，从以下出行方式中选择: A: 自行车, B: 步行, C: 私家车, D: 出租车, E: 公交车，F：其他，共6个选项中选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.(1) 参与本次调查的学生共有多少人?(2) 请计算参与调查的公交车出行的学生共有多少人，并补全条形统计图.(3) 全校学生共有3 000人，请估计一下自行车和步行出行的学生共有多少人.19. (本小题满分7分)在一个不透明的盒子中装有分别标有数字1，0.5，√2,−π的四个小球 (小球除了数字不同外，其余都相同)，充分摇匀后从中随机取出一个小球 (不放回) 作为数字x，再摇匀后随机取出一个小球作为数字y.(1) 用列表法或树状图法列出所有 (x，y) 的情况；(2) 请求出点 (x，y) 在平面直角坐标系中第四象限的概率.20. (本小题满分8分)已知抛物线y=ax²+bx+c与x 轴交于点A (-3, 0), B (1, 0), 与y轴交于点C(0,−3).(1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线的对称轴上找一点 P，使得|BP−CP|的值最大，求点 P 的坐标.21. (本小题满分8分)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC、AB=AD,A E 平分∠BAD交BC 于点E,连接AC,∠BAC= 90∘.sin∠DAC=1.2(1) 求证:△ABE是等边三角形；(2) 若AC=√3,求四边形 ADCE 的周长.22. (本小题满分9分)由于生猪的供不应求，近期猪肉价格居高不下，云腿猪肉店以每千克30元的成本购进猪肉销售，然后以每千克50元的价格售出，每天可售出100千克. 在此基础上，若每千克猪肉降价1元，则每天可多售出10千克，为保证每天至少售出 150千克，云腿猪肉店决定降价销售.(1) 为了使每天的猪肉利润为2 240元，每千克猪肉的售价应降至多少元?(2) 当每千克猪肉售价降至多少元时，每天的猪肉的利润最大，最大为多少元?23. (本小题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=60°,BC=4,, 以 C 为圆心作⊙C交BC 及其延长线于点E、D, 连接AD,DE=4.(1) 求证: AB 是⊙C的切线;(2) 求点C到AD 的距离;(3) 点 P 是⊙C上一动点, 求AP+1BP的最小值.2。
浙江省宁波市江北区五校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)
2023学年第一学期九年级期中考试数学卷一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1.抛物线224y x x =-+的对称轴是（）A.直线2x =B.直线2x =- C.直线1x = D.直线=1x -答案：C解析：解：抛物线224y x x =-+的对称轴是21221b x a -=-=-=⨯．故选C ．2.下列事件是必然事件的是（）A.任意一个三角形的内角和等于180︒B.投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次C.射击运动员射击一次，命中10环D.宁波今年冬天会下雪答案：A解析：解：任意一个三角形的内角和等于180︒，一定会发生，是必然事件，故选项A 正确；投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次，可能发生，可能不发生，是随机事件，故选项B 错误；射击运动员射击一次，命中10环，可能发生，可能不发生，是随机事件，故选项C 错误；宁波今年冬天会下雪，可能发生，可能不发生，是随机事件，故选项D 错误；故选A ．3.等腰ABC 中，AB AC =，以点A 为圆心，AB 长为半径画A ，则点C 与A 的位置关系是（）A.点C 在A 内B.点C 在A 上C.点C 在A 外D.以上均不可能答案：B解析：解：AB AC = ，以点A 为圆心，AB 长为半径画A ，C ∴到圆心的距离AC 等于半径AB ，∴点C 与A 的位置关系是：点C 在A 上．故选：B ．4.如图，在ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的中点，则ADEABCS S 的值为（）A.2B.12C.4D.14答案：D解析：解： 点D 、E 分别是边AB 、AC 上的中点，ADE ABC ∴△△∽，12AD AB =，∴2211(()24ADE ABC S AD S AB === ，故选D ．5.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20801002004001000“射中九环以上”的次数186882168327823“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）0.900.850.820.840.820.82根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）A.0.90 B.0.82 C.0.85D.0.84答案：B解析：解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．故选：B ．6.如图，BD 是⊙O 的直径，A ，C 是圆上不与点B ，D 重合的两个点，若30ABD ∠=︒，则∠ACB 的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°答案：C解析：解：连接AD ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD =90°，∵30ABD ∠=︒，∴∠ADB =60°．∴∠ACB =∠ADB =60°．故选：D ．7.把抛物线23y x =-先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式为（）A.()2312y x =-++ B.()2312y x =-+- C.()2312y x =--+ D.()2312y x =---答案：C解析：解：把抛物线23y x =-先向右平移1个单位得到()231y x =--，再向上平移2个单位后得到()2312y x =--+；故选：C ．8.如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2米的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与旗杆相距22米，则旗杆的高度为（）米．A.8.8B.10C.12D.14答案：C解析：解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，若设旗杆高x 米，则3.28=822x +，∴x =12．故选C ．9.若()10,A y 、()22,B y -、()33,C y -为二次函数245y x x =--+的图象上的三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A.123y y y <<B.231y y y << C.132y y y << D.312y y y <<答案：C解析：解：二次函数对称轴42212b x a -=-=-=--⨯，且开口向下，3x =-与=1x -的函数值相等，210-<-<，当2x >-时，y 随x 的增大而减小，∴132y y y <<．故选C ．10.如图，直线y ＝12x +2与y 轴交于点A ，与直线y =12-x 交于点B ，以AB 为边向右作菱形ABCD ，点C 恰与点O 重合，抛物线y ＝（x ﹣h ）2+k 的顶点在直线y ＝﹣12x 上移动．若抛物线与菱形的边AB 、BC 都有公共点，则h 的取值范围是（）A.﹣2≤h ≤12 B.﹣2≤h ≤1 C.﹣1≤h ≤32D.﹣1≤h ≤12答案：A解析：解：把y ＝12x +2与直线y =12-x 联立得：12212y x y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：21x y =-⎧⎨=⎩，∴点()2,1B -，根据题意得抛物线的顶点坐标为(),h k ，把(),h k 代入直线y =12-x ，得：12k h =-，∴抛物线解析式为()212y x h h =--，如图，当抛物线经过点C时，把点()0,0C 代入()212y x h h =--得：()21002h h --=，解得：12h =或0h =（舍去），如图，当抛物线经过点B 时，将点()2,1B -代入()212y x h h =--得：()21212h h ---=，解得：2h =-或32h =-（舍去），综上所述，抛物线与菱形的边AB 、BC 都有公共点，h 的取值范围是122h -≤≤．故选：A二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11.12x y =，则x y y +=________．答案：32解析：解：12x y =2y x∴=把2y x =代入x yy+得：233222x x x x x +==故答案为：3212.二次函数2(2)y a x =-的图象开口方向向上，则a 的取值范围________．答案：2a >解析：解：要使二次函数2(2)y a x =-的图象开口方向向上，即20a ->，解得2a >．故答案为：2a >．13.不透明袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是_________．答案：13解析：∵事件的所有等可能性有1+2=3种，摸出红球事件的等可能性有1种，∴摸出红球的概率是13，故答案为：13．14.如图，ABC 内接于O CD ，是O 的直径，连结AD ，若2,6CD AD AB BC ===，则O 的半径____________．答案：解析：CD 是O 的直径，90DAC ∴∠=︒，2CD AD = ，30ACD ∴∠=︒，60ADC ∴∠=︒，由圆周角定理得，60ABC ADC ∠=∠=︒，AB BC = ，ABC ∴∆为等边三角形，6AC AB ∴==，由勾股定理得：222CD AD AC =+，即2221()62CD CD =+，解得：CD =，则O 的半径为故答案为：15.已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，若0y <，则x 的取值范围是______.答案：13x -<<解析：解：根据图象可知，抛物线的对称轴为1x =，抛物线与x 轴的一个交点为()10-，，则()10-，关于1x =对称的点为()30，，即抛物线与x 轴另一个交点为()30，，当13x -<<时，0y <，故答案为：13x -<<．16.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．将小正方形对角线EF 双向延长，分别交边AB ，和边BC 的延长线于点G ，H ．若大正方形与小正方形的面积之比为5，10GH =，则大正方形的边长为________．答案：3解析：解：设小正方形在线段DE 上的一个顶点为M ，CD 与GH 相交于点P ，∵大正方形与小正方形的面积之比为5，∴5ADEM=，∴5AD EM =，设EM a =，AE b =，则5AD a =，由勾股定理得：222AE DE AD +=，∴())2225b a b a ++=，∴222240b ab a +-=，∴2220b ab a +-=，∴()()20b a b a -+=，∵20b a +≠，∴0b a -=，∴b a =，∴AE EM DM CF a ====，延长BF 交CD 于点N，∵BN DE ∥，CF FM =，∴DN CN =，∴1122FN DM a ==，∵PN BG ∥，∴11224aFN PNFP BF BG GF a ====，设PN x =，则4BG x =，∵BN DE ∥，AB CD ∥，∴BFG DEF ∠=∠，BGF DPE ∠=∠，∵DE BF =，∴()AAS BFG DEP ≌，∴4PD BG x ==，同理可得：EG FP =，∴3DN x CN ==，∴2PC x =，∵CP BG ∥，∴CP PHBG GH=，即24x x =，∴PH PG ==∵14FP FG =，即4FG FP =，∴105EG FP ==，∴255EF PG EG =-=-==，∴355a =，∴3AD ==，故答案为：3．三、解答题（本大题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20、21、22题每题8分，第23题10分，第24题12分，共66分）17.如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑．（1）再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)；（2）再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．答案：（1）见解析（2）见解析小问1解析：解：如下图所示，即为所求作的图形，小问2解析：如下图所示，即为所求作的图形，18.一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、以两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．答案：（1）详见解析；（2）游戏不公平，理由见解析．解析：列举所有可能：012012113223（2）游戏不公平，理由如下：由表可知甲获胜的概率=13，乙获胜的概率=23，乙获胜的可能性大，所以游戏不公平．19.如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -．（1）ABC 的外接圆的半径为________；（2）将ABC 绕点B 顺时针旋转90︒后得到11A BC V ，请在图中画出11A BC V ；（3）在（2）的条件下，求出点C 经过的路径长．答案：（1）132（2）见解析（3）132C l π=小问1解析：∵(3,1)B -，(1,4)C -∴()()22311413BC ⎡⎤=---+-=⎣⎦设ABC 外接圆的半径为r ，则有：132r =，故答案为：132小问2解析：如图，11A BC V 即为所作，小问3解析：∵13BC =，∴点C 经过的路径长9013131802ππ==20.如图，AC 为O 的直径，BD 是弦，且AC BD ⊥于点E ．连接AB 、OB 、BC ．（1）求证：CBO ABD ∠=∠；（2）若2AE =，8CE =，求弦BD 的长．答案：（1）见解析（2）8小问1解析：证明：AC 为O 的直径，90ABC ∴∠=︒，90ABD CBD ∴∠+∠=︒，AC BD ^ ，90BEC ∴∠=︒，90C CBD \Ð+Ð=°，C ABD ∴∠=∠，OB OC = ，C CBO ∴∠=∠，CBO ABE ∠∠∴=；小问2解析：解：AC BD ^ ，BE DE ∴=，2,8AE CE == ，10AC ∴=，5,3OB OE ∴==，在Rt OBE 中，4BE ==，28BD BE ∴==．21.如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过点A （3，1），点B （0，4）．（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）点C （m ，n ）在该二次函数图象上．①当m ＝﹣1时，求n 的值；②当m ≤x ≤3时，n 最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m 的取值范围．答案：（1）y ＝﹣（x ﹣1）2+5，顶点为（1，5）；（2）①n ＝1；②﹣1≤m ≤1解析：解：（1）∵二次函数y ＝﹣x 2+bx+c 的图象经过点A(3，1)，点B(0，4)．∴9314b c c -++=⎧⎨=⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，∴该二次函数为y ＝﹣x 2+2x+4，∵y ＝﹣(x ﹣1)2+5，∴顶点为(1，5)；（2）∵点C(m ，n)在该二次函数图象上，①当m ＝﹣1时，则C(﹣1，n)，把C(﹣1，n)代入y ＝﹣x 2+2x+4得，n=-1-2+4=1，∴n ＝1；②∵y ＝﹣(x ﹣1)2+5，∴当x=3时，y ＝﹣(3﹣1)2+5=1，抛物线对称轴是直线x=1，函数的最大值是5，∴点(3，1)关于关于对称轴的对称点是(-1，1)，抛物线的顶点为(1，5)．∵当m≤x≤3时，n 最大值为5，最小值为1，∴m 的取值范围是-1≤m≤1．22.如图，在等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、AC 上（不与点A 、B 、C 重合），连接AD 、DE ，有45ADE ∠=︒．（1）证明：BDA CED ∽△△．（2）若6BC =，当ADE V 是等腰三角形时，求BD 的长．答案：（1）见解析（2）3或6-小问1解析：解：90,BAC AB AC ∠=︒= ，45B C ∴∠=∠=︒，135BAD ADB ∴∠+∠=︒，45ADE ∠=︒ ，135CDE ADB ∴∠+∠=︒，BAD CDE ∴∠=∠，∴BDA CED ∽△△；小问2解析：解：ADE V 是等腰三角形，有三种情况：①当AE DE =时，，ADE DAE ∴∠=∠，45ADE ∠=︒ ，45ADE DAE ∴∠=∠=︒，90,45BAC BAD EAD ∠=︒∠=∠=︒ ，AD ∴平分BAC ∠，AD ∴垂直平分BC ，132BD BC ∴==；②当AD DE =时，由（1）知BDA CED ∽△△，此时AD 与DE 为对应边，BDA CED ∴ ≌，DC AB ∴=，90,,6AC AB AC BC ∠=︒== ，由勾股定理可得222AB AC BC +=，即2226AB =，解得AB =，DC ∴=6BD BC DC ∴=-=-；③当AE AD =时，此时点D B 、重合，点E C 、重合，不符合题意，舍去．故BD 的长为3或632-．23.随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图②所示(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？答案：（1）利润y 1关于投资量x 的函数关系式是y 1=2x （x≥0），利润y 2关于投资量x 的函数关系式是y=12x 2（x≥0）；（2）当x=8时，z 的最大值是32．解析：（1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；（2）根据总利润=树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值．试题解析：（1）设y 1=kx ，由图①所示，函数y 1=kx 的图象过（1，2），所以2=k•1，k=2，故利润y 1关于投资量x 的函数关系式是y 1=2x （x≥0）；∵该抛物线的顶点是原点，∴设y 2=ax 2，由图②所示，函数y 2=ax 2的图象过（2，2），∴2=a•22，a=12，故利润y 2关于投资量x 的函数关系式是：y=12x 2（x≥0）；（2）设这位专业户投入种植花卉x 万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8-x ）万元，他获得的利润是z 元，根据题意，得z=2（8-x ）+12x 2=12x 2-2x+16=12（x-2）2+14，当x=2时，z 的最小值是14，∵0≤x≤8，∴-2≤x-2≤6，∴（x-2）2≤36，∴12（x-2）2≤18，∴12（x-2）2+14≤18+14=32，即z≤32，此时x=8，答：当x=8时，z 的最大值是32．考点：1．二次函数的应用；2．一次函数的应用．24.如图1，E 点为x 轴正半轴上一点，E 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 点为劣弧 BC上一个动点，且(1,0)A -、(1,0)E ．（1） BC的度数为________︒；（2）如图2，连结PC ，取PC 中点G ，连结OG ，则OG 的最大值为________；（3）如图3，连接AC 、AP 、CP 、CB ．若CQ 平分PCD ∠交PA 于Q 点，求AQ 的长；（4）如图4，连接PA 、PD ，当P 点运动时（不与B 、C 两点重合），求证：PC PD PA +为定值，并求出这个定值．答案：（1）120（2）2（3）2AQ =（4解：连接AC ，CE ，(1,0)A -、(1,0)E ，1OA OE ∴==，OC AE ⊥ ，AC CE ∴=，AE CE = ，AC CE AE =∴=，60CAE ∴∠=︒，2120BEC CAB ∴∠=∠=︒，∴ BC 的度数为120︒；小问2解析：解：由题可知，AB 为E 直径，且AB CD ⊥，由垂径定理可得，CO OD =，连接PD ，G 是PC 的中点，1,2OG PD OG PD ∴=∥，当D E P 、、三点共线时，此时DP 取得最大值，且24DP AB AE ===，OG ∴的最大值为2；解：连接,AC BC ，AB CD ⊥ ，∴ AC AD =，ACD CPA ∴∠=∠，CQ Q 平分DCP ∠，DCQ PCQ ∴∠=∠，ACD DCQ CPA PCQ ∴∠+∠=∠+∠，ACQ AQC ∴∠=∠，AQ AC ∴=，60,1CAO AO ∠=︒= ，2AC ∴=，2AQ ∴=；小问4解析：证明：由题可得，直径AB CD ⊥，AB ∴垂直平分CD ，如图4，连接AC ，AD ，则AC AD =，由（1）得，120DAC ∠=︒将ACP △绕A 点顺时针旋转120︒至ADM △，ACP ADM ∴≌△△，ACP ADM ∴∠=∠，PC DM =，四边形ACPD 为圆内接四边形，180ACP ADP ∴∠+∠=︒，180ADM ADP ∴∠+∠=︒，M ∴、D 、P 三点共线，PD PC PD DM PM ∴+=+=，过A 作AG PM ⊥于G ，则2PM PG =，30APM ACD ∠=∠=︒ ，在Rt APG 中，30APM ∠=︒，设AG x =，则2AP x =，PG ∴==，2PM PG ∴==，PM ∴=，PC PD ∴+=，PC PDPA +∴=为定值．。
江苏省盐城市盐城经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024年秋学期九年级数学期中考试试卷一、选择题（每题3分，计24分）1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. 3x 2－6x ＋2B. ax 2－bx ＋c ＝0C.D. x 2＝02. 用配方法解方程，配方正确是（）A. B. C. D. 3. 如图，已知四边形是的内接四边形，且，那么等于（ ）A B. C. D. 4. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣9x +18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A. 12B. 9C. 15D. 12或155．如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从口落出的概率为（ ）A. B. C. D.6．电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约亿元，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作（ ）A ．；B ．；C ．；D ．7．如图，是的直径，圆上的点D 与点C ，E 分布在直线的两侧，，则（ ）的.212x x +=2240x x --=()213x -=()214x -=()215x -=()213x +=ABCD O e 120ABC ∠=︒AOC ∠125︒120︒110︒100︒A G 18161412310x ()3110x +=()23110x +=()233110x ++=()()23313110x x ++++=AB O e 50BCD ∠=︒AED =∠A ．B ．C ．D ．8．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题3分，计30分）9．一组数据19，15，10，x ，4，它的中位数是13，则这组数据的平均数是 ．10．已知一元二次方程的其中一个根为，则的值为 ．11．关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是 ．12．已知，如图，是的弦，，点在弦上，连结并延长交于点，，则的度数是 ．14．设m 、n 为关于x 的方程x 2+4x ﹣2023＝0的两个实数根，则m 2+5m +n ＝ ．60︒50︒45︒40︒A B 10cm AP BQ 12π30PCA BDQ ︒∠=∠=72cm 10cm 10cm 82cm 250ax bx +-=2x =1632a b +-x ()22114x m x m +-=-m AB AD O e 30B ∠=︒C AB CO O e D 35D ∠=︒BAD ∠15．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为170cm ，方差为acm 2．第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是170cm ，此时全班同学身高的方差为bcm 2，那么a 与b 的大小关系是a b ．（填“＜”，“＞”或“＝”）D=_______°．18．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，⊙O 与边BC ，CD 相切，现有一条过点B 的直线与⊙O 相切于点E ，连接BE ，△ABE 恰为等边三角形，则⊙O 的半径为.第17题 第18题三、解答题（共9题，计96分）19．解方程：（1）；（2）；20．“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：（1）、四次试捕中平均每只蟹的质量为____________；（2）、若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为_______；（3）、若第3次试捕的蟹的质量（单位：g ）分别为：166，170，172，a ，169，167．①____________；②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．21．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船数量/只平均每只蟹的质量/g 第1次试捕4166第2次试捕4167第3次试捕6168第4次试捕6170()24190x --=2250x x --=g 75%kg =a的轮子被水面截得的弦AB 长8m ，设圆心为O ，OC ⊥AB 交水面AB 于点D ，轮子的吃水深度CD 为2m ，求该桨轮船的轮子直径．22．已知，内接于，为的直径，点为优弧的中点．(1)如图1，连接，求证：；(2)如图2，过点作，垂足为．若，求的半径．23．已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．ABC V O e AC O e D BC OD DO BC ⊥D DE AC ⊥E 38AE BC ==,O e x 22(3)10x m x m ++-+=m（2）已知关于 x 的方程﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值；（3）若关于 x 的方程 a +bx+1＝0（a 、b 是常数，a ＞0）是“邻根方程”，令 t ＝8a-，试求 t 的最大值．25．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T 恤衫．已知每件T 恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．(1)若降价8元，则每天销售T 恤衫的利润为多少元？(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T 恤衫的销售价应该定为多少？26.如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C 点作的切线，与延长线交于点D ，M 为的中点，连接，，且与相交于点N ．(1)求证：与相切；(2)当时，在的圆上取点F ，使，补全图形，并求点F 到直线的距离．27．（1）如图1，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，AC 为⊙O 的直径，则∠B =∠D = 度，∠BAD +∠BCD = 度．（2）如果⊙O 的内接四边形ABCD 的对角线AC 不是⊙O 的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补．知识运用（3）如图3，等腰三角形ABC 的腰AB 是⊙O 的直径，底边和另一条腰分别与⊙O 交于点 D ，E ，F 是线段CE 的中点，连接DF ，求证：DF 是⊙O 的切线．2x 2x 2b O e ABC 4AC =O e AB CD BM OM BC OM BM O e 60A ∠=︒O e 15ABF ∠=︒AB参考答案1-4DCBC 5-8CDDD9.12.2 10.7 11.12. 13.86 14.2019 15.>16.b>-3 17．3018．19.（1），（2），20.（1）168（2）（3）①164 ②721.解：设半径为rm，则OA ＝OC ＝rm ，∴OD ＝（r ﹣2）m ．∵AB ＝8m ，OC ⊥AB ，∴AD ＝4m ．在Rt △ODA 中有OA 2＝OD 2+AD 2，即r 2＝（r ﹣2）2+4，解得r ＝5m则该桨轮船的轮子直径为10m ．22.（1）（1）证明：如下图，延长交于，∵点为优弧的中点，∴，12m ≤65︒112x =-252x =11x =21x =151200DO BC F D BC »»BD CD =∴，即；（2）23.证明：一元二次方程中，a =2，，，，一元二次方程总有两个不相等的实数根．24.（1）不是邻根方程；是邻根方程（2）或（3）25.（1）解：由题意得，每天销售T 恤衫的利润为：（元）．答：降价8元，则每天销售T 恤衫的利润为1152元．（2）解：设此时每件T 恤衫降价x 元，由题意得，，整理得，解得或．又∵优惠最大，∴．∴此时售价为（元）．答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T 恤衫的销售价应该定为75元．26.（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证；(2)DF BC ⊥DO BC ⊥256()22310x m x m ++-+=3b m =+1c m =-+24b ac∴∆=-()()23421m m =+-⨯⨯-+26988m m m=+++-2217m m =-+()22116m m =-++()21160m =-+>∴()22310x m x m ++-+=260x x --=2210x -=0m =2m =-4t =最大值()()10086020281152--⨯+⨯=()()100602021050x x --+=2301250x x -+=5x =25x =25x =1002575-=OM AD ∥90ABC ∠=︒OM BC ⊥OBM OCM V V ≌90OBM ∠=︒21-27.（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，∴∠B=∠D=90度，∵∠BAD+∠BCD+∠B+∠D=360°∴∠BAD+∠BCD=360°−∠B−∠D=180°故答案为：90，180(2)证明：如图，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE.由(1)可知，∠ABE=90°，∠ADE=90°，∴∠ABE+∠ADE=180°∴∠BAD+∠BED=180°∵∠BED=∠C，∠CDE=∠CBE∴∠BAD+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°即圆内接四边形的对角互补（3）证明:连接OD，DE，如图所示.∵OB=OD，∴∠B=∠ODB∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠ODB=∠C∴OD∥AC∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠B+∠AED=180°∵∠DEC+∠AED=180°，∴∠B=∠DEC∴∠C=∠DEC∴DC=DE∵F是线段CE的中点，∴DF⊥AC∴DF⊥OD∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013-2014学年第一学期期中考试九年级数学试题题号-一- -二二 三 四 五 六 总分得分、选择题（共6小题，每小题3分，满分18 分）(x 2)2 =3 B 、(x 2)2 = -5 C 、(x 2)2 如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM 丄AB, ON 丄AC ,垂足分别为 M 、N ，如果MN = 3，那么BC =（） 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）7. .X _2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ___________________ .8. 2x 2 -1 f ；3x 的二次项系数是 ______ ，一次项系数是 ______ ，常数项是 ——9. 一只蚂蚁沿图中所示的折线由 A 点爬到了 C 点，则蚂蚁一共爬行了 ______ cm.（图中小方格边长代表 1cm ）、\ B\1. 2. 计算-的结果是（ ） A.3 B. -3 C. _3 若P （ x ,— 3）与点Q （4, y ）关于原点对称，则D.9x + y =( ) 3. 4. A. 5. A 、7 B 、一 7 C 1 D 、一 1F 列二次根式是最简二次根式的是（A. B. D.元二次方程2x 2 3x ^0的根的情况是（有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.无法判断 用配方法解方程x 2 4x ^0，则配方正确的是--3 D 、(X 4)2 =3A. 4B.5 C . 6 D.76.10. 关于x的一元二次方程（m・2）x2 -mx m2-4=0有一根为0,则m=.11. 对于任意不相等的两个数a,b，定义一种运算*如下：a* b _ a+b，如§* 2 2 _ 5，那么v'a -b <3 - 2 3* （ -5）= .12. 有4个命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最大的弦是通过圆心的弦；④在同圆或等圆中，相等的两条弦所对的弧是等弧，其中真命题是_________ 。
13. 有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转22.5冷第2次旋转后得到图①，第.4次旋转后得到图②…，则第20次旋转后得到的图形与图①〜图④中相同的是______ .（填写序号）图②图④14. 等腰三角形两边的长分别为方程x2_9x 2^0的两根，则三角形的周长是 ____________________三、解答题（共4小题，每小题6分，共24分）15. 解方程：x（x-2）+ x-2 = 016'计算：取鳥专（5»17.下面两个网格图均是4X 4正方形网格，请分别在两个网格图中选取两个白色的单位正方形并涂黑, 使整个网格图满足下列要求.轴乔祿團形中右刈称團形18.如图，大正方形的边长为 ,1^ ■. 5，小正方形的边长为.15 一 .. 5，求图中的阴影部分的面积.20. 关于的一元二次方程 x 2+2x +k +仁0的实数解是X 1和X 2o (1 )求k 的取值范围；(2)如果X 1+X 2 — X 1X 2V — 1且k 为整数，求k 的值。
四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)19.数学课上，小军把一个菱形通过旋转且每次旋转 120。
后得到甲的图案。
第 在直角坐标系中(如图乙所示)，若菱形ABC 0的Z AOC= 60° ,A(2, (1) 填空：点片与点C 关于 _________________ 对称，且A (,)，点C( A B C一次旋转后小军把图形放0),,) (3) 请你求出第二次旋转后点A,B,C 对应点 A 2 , B 2 , C 2的坐标。
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 太阳能作为一种可再生的清洁能源备受国家重视。
在政府的大力扶持下，某厂生产的太阳能电池板销 售情况喜人。
一套太阳能电池板的售价在7—9月间按相同的增长率递增。
请根据表格中的信息，解 决下列问题：1）表格中a 的值是多少？为什么？（2）7— 8月电池板的售价提高了，但成本价也提高了50%该电池板8月份的销售利润率只有 7月份 的一半，则 b= ______________ ； c = __________ . 【注：销售利润率=（售价一成本价）十成本价】 月份 7月 8月 9月成本价（万兀/套） b c 22.5销售价（万兀/套）2 5 a36 它的跨度AB 为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有 30米时, 4米，即PN=4米时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施?六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）22.如图所示，有一座拱桥圆弧形,就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有23.在一块长16m宽12m的矩形荒地上建造一个花园，要求花园占地面积为荒地面积的一半，下面分别是小强和小颖的设计方案。
(1)你认为小强的结果对吗？请说明理由。
(2)请你帮助小颖求出图中的X。
(结果保留n )(3)你还有其他的设计方案吗？请在右边的图中画出一个与图⑴⑵有共同特点的设计草图，并加以说明。
24.在Rt△ ABC中，/ BA(=90°,/ B=30°，线段AD是BC边上的中线，如图①，将△ ADO直线BC平移，使点D与点C重合，得到△ FCE如图②，再将△ FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为a (0 ° < aW 90°),连接AF、DE(1) 在旋转过程中，当/ AC匡150°时，求旋转角a的度数；(2) 请探究在旋转过程中，四边形ADEF能形成那些特殊四边形？请说明理由备用图备用图2013-2014学年第一学期期中考试九年级 数学试题参考答案和评分标准一、 选择题(共6小题，每小题3分，满分18分)(1)A, (2)D, (3)B, (4)C, (5)A, (6)C二、 填空题(共8小题，每小题3分，满分24分)少填酌情给分)(13)②,(14) 13 或14 三、解答题(共4小题，每小题6分，共24 分)(15) (解法不唯一)解：(x-2)(x+1)=0 ……2 分/• x -2=0 或 x+ 仁0 ...... 4 分--X 1=2, X 2=-1 6 分(16) 解：原式=^.2 - ^2 - ,2+1 ……4分= ,2+1 ……6分(17) (每图3分)(18) (、15+ ,5 ) 2- ( -15 - ,5 ) 2=(15+10、, 3+5) - (15-10 \ 3+5) ……2 分=20+10 .3-20+10 .3 ……4 分=20 ..3 ……6分四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)(19) (1) 原点,A 1(-1, ,C(1,- .3) ……3分⑵图略……2分(3) A 2 (-1,- 3), B 2 (-3,-・3), C 2(-2,0) ……3 分(20) 解：T( 1)方程有实数根 •••" =22-4 ( k +1)> 0 ……2分 ⑺ x _2，(8) 2，- .3 , - 1, (9) 5 、,5, (10) 2,(11) --2,(12).①③, 2 (多填错填不给分, 轴对轉察形 中心对称国形解得k < 0K的取值范围是k< 0 ……4分(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得X I+X2=-2,x i X2=k+1 -X i +X2-X I X2=-2- ( k+1)由已知，得-2 —( k+1)v -1 解得k> -2 ……6分又由(1) k< 0•-2 V k < 0 ……7分••• k为整数• k的值为-1和0. ……8分五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分) ..(21) (1)设增长率为X225(1 x) =36 ……2 分X1 =0.2,X2 =-2.2 X=-2.2不合题意，所以X=0.2..... 4 分a=25 (1 0.2) =30 ……5 分(2) b=15 c=22.5 (每空 2 分，共 4 分)(22) 解：连接OA , OA设圆的半径是R,贝U ON=R- 4, OM=R 18.1根据垂径定理，得AM=AB=30,……2分在直角三角形AOM中,•/AO=R AM=30 OM=- 18,根据勾股定理，得：R2= ( R- 18) 2+900,……4分解得：R=34.……6分在直角三角形A ON中，根据勾股定理得A N= 1=16.……8分根据垂径定理，得A B' =2A' N H32 > 30.六、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)(23) (1)小强的结果不对1设小路宽 x 米，贝y (16 _2x)(12 _2x) =— 16 12……3分2 解得： 咅=2, x ? =12 •••荒地的宽为12m 若小路宽为12m 不合实际，故x 2 =12 (舍去) ............. 5分2 1依题意得： 4 — =一 16 12,x 24 2 (24)解(1)在图①中，••• . BAC =90 , . B =30 , . ACE =/BAC . B =120在旋转过程中：当点E 和点D 在直线AC 两侧时,由于.ACE -150 ,150 -120 30 ............................................................. 2 分 当点E 和点D 在直线AC 的同侧时，V ACB =180 - BAC - B =60 , . DCE = ACE - ACB =150 -60 =90180「/DCE =90-旋转角［为30或90 ............................................................. 4分(2)四边形ADEF 能形成等腰梯形和矩形.......................... 5分 1••• . BAC =90 B =30 , AC = 一 BC2又AD 是BC 边上的中线，.AD =DC =丄BC =AC2.=ADC 为正三角形. ................................................ 6分 ①当.=60时，ACE =120 60 =180•/ CA 二CE 二CD 二CF .四边形ADEF 为平行四边形又••• AE =DF .四边形ADEF 为矩形 ................................. 8分 ②当:-60时，ACF -120 , DCE =360 -60 一60‘「/ACF -120 ，显然 DE= AF,•/ AC =CF ,CD =CE•/ 2 FAC ACF =180 ,2 CDE • DCE =180ACF DCE =360 -60 -60 -2402 FAC 2 CDE =120 , FAC CDE =60••• DAF ADE =120 60 =180••• AF// DE .四边形 ADEF 为等腰梯形• ................................... 10分 (2) 96n(3)96 m n10分、B C 、D 为各边中点 D圆心与矩形的中心重合，半径为。