中考数学平行四边形综合经典题

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．

（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．

（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=1

2

，求BE2+DG2的值．

【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．

【解析】

分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；

②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；

（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；

（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．

详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；

②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCG=∠DCE，

∴△BCG ≌△DCE ，

∴BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，

又∵∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHG=90°，

∴BG ⊥DE ．

（2）∵AB=a ，BC=b ，CE=ka ，CG=kb ， ∴BC CG b DC CE a

==， 又∵∠BCG=∠DCE ，

∴△BCG ∽△DCE ， ∴∠CBG=∠CDE ， 又∵∠CBG+∠BHC=90°，

∴∠CDE+∠DHG=90°，

∴BG ⊥DE ．

（3）连接BE 、DG ．

根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，

∵BG ⊥DE ，∠BCD=∠ECG=90°

∴BE 2+DG 2=BO 2+OE 2+DO 2+OG 2=BC 2+CD 2+CE 2+CG 2=9+4+2.25+1=16.25．

点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．

2．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC △的外部作等腰Rt CED △，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．

()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；

()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；

②若25AB =2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =②42或22.

【解析】

【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明

EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可；

②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.

【详解】

()1如图①中，结论：AF 2AE =．

理由：四边形ABFD 是平行四边形，

AB DF ∴=，

AB AC =，

AC DF ∴=，

DE EC =，

AE EF ∴=，

DEC AEF 90∠∠==，

AEF ∴是等腰直角三角形，

AF 2AE ∴=．

故答案为AF 2AE =．

()2①如图②中，结论：AF 2AE

=．

理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．

四边形ABFD 是平行四边形，

AB//DF ∴，

DKE ABC 45∠∠∴==，

EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，

ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，

EKF ADE ∠∠∴=，

DKC C ∠∠=，

DK DC ∴=，

DF AB AC ==，

KF AD ∴=，

在EKF 和EDA 中，

EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，

EKF ∴≌EDA ，

EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，

FEA BED 90∠∠∴==，

AEF ∴是等腰直角三角形，

AF 2AE ∴=．

②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，