微分中值定理总结-考研数学
微分中值定理(2024版)
由 的任意性知, 在(a,b)上为常数 . 推论2 设x (a,b),有f (x) g(x),则f (x) g(x) C,x (a,b)
C为确定的常数
例10 证明等式 证: 设
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
例
用微分法证 sin2x cos2 x 1
题型五:用柯西中值定理证明不等式
则 (a,b),使得 F() 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C ,在该点处的切 线平行于弦 AB.
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
证 设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
例5 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b), 证明 (a,b),使f ()-f()=0
例6 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f()
考研数学一：微分中值定理(37)(22题)
f ' () f ' () 1
利用拉格朗日中值定理得
f ( ) f ( ) f (0) f ' ( ) , (0, ) f (1) f ( ) f ' ( )(1 ) , ( ,1) 1 f ( ) f ' ( )
说明：辅助函数导数可以和原方程相差一非零因子
例4 设 f (x) 可导, λ为任意实数, 则 f (x)的任意两个零
点之间, 必有 f ( x ) f ' ( x ) 的零点
解 设 x1< x2 是 f (x) 的任意两个零点，要证：存在
ξ(x1, x2) 使
f ( ) f ' ( ) 0
f ' () 0
y y 说明:
A B
2
1) 几何意义
0 o
a
b xx
2) 罗尔定理涉及了方程根的问题
例2 若 f (x)在 0, 1上连续, 在 (0,1)内可导, 且 f (1)=0 ,
则在 (0,1) 内存在点ξ, 使
f ' ( ) f
解
f ( ) f ' ( ) f ' ( ) f ( ) 0, (0,1)
[ xf ( x )]' x 0, (0,1)
取辅助函数 F ( x ) xf ( x ) ，则 F(x)在 0, 1上连续， 在 (0,1)内可导，且F(0) = F(1) = 0， 根据罗尔定理， 存在 ξ(0,1) , 使
考研复习高等数学微分中值定理及应用方程近似解
1 2
(an
bn ) 作为
的近似根 ,
则误差满足
n1
1 2
(bn
an )
1 2n1
(b
a)
n 0
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例1. 用二分法求方程 x3 1.1x2 0.9x 1.4 0 的近似
实根时, 要使误差不超过 103, 至少应对分区间多少次 ? 解: 设 f (x) x3 1.1x2 0.9x 1.4,则 f (x) C(, ) f (x) 3x2 2.2x 0.9 0 ( 5.67 0)
f (x)C[a,b], f (a) f (b) 0, 且 f (x)在（a,b）内严格单调
1. 求隔根区间的一般方法
[a,b] 为隔根区间
y y f (x)
(1) 作图法
由y f (x)的草图估计隔根区间; 将 f (x) 0转化为等价方程
oab x
y
y (x)
y (x)
故 x1 精度不够，再求
x2
3.68
f (3.68) f (3.68)
3.68 1.03 21.9
3.63
x2
f (x2 ) 0.042 0.004 0.01
m
11
因此得满足精度要求的近似解 3.63
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三. 一般迭代法 (补充)
xn1) f (xn2
)
(
xn1
xn2 ) (n 2,
(双点割线法)
3,)
特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法.
(整理)考研数学微分中值讲义(卓越资料)
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。
二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；则存在()b a ,∈ξ，使得()()()ξf ab a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。
结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。
推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。
推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。
考研数学高数有哪些中值定理的复习重点
考研数学高数有哪些中值定理的复习重点考研数学高数有哪些中值定理的复习重点高等数学七大中值定理是大家在学习过程中认为最难的部分，而中值定理一般是考试中必考的，得分率不高，希望考生好好把握。
店铺为大家精心准备了考研数学高数7大中值定理的复习要点，欢迎大家前来阅读。
考研数学高数7大中值定理重点详解七大定理的归属。
零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。
三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。
积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。
对使用每个定理的体会学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。
关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。
1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。
从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。
应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。
2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。
3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。
应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。
在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间上的局部性质。
本文将介绍微分中值定理的概念、原理以及应用，并探讨其在实际问题中的价值。
一、概念微分中值定理是指对于连续函数f(x)在[a,b]区间及(a,b)内可导，存在一点c使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
这里的c表示在(a,b)内的某一点。
二、原理微分中值定理基于导数的性质推导而来。
根据导数的定义，当函数在某一点可导时，其导数可以表示为函数在该点的切线的斜率。
利用这一性质，微分中值定理表明，对于某个区间上的连续函数，存在一点使得切线的斜率等于函数在该区间上的平均斜率。
三、应用微分中值定理有许多应用场景。
以下是其中几个常见的应用：1. 判断函数的增减性：根据微分中值定理，当函数在某个区间上的导数恒为正时，可以判断函数在该区间上是单调递增的；当导数恒为负时，则函数为单调递减的。
2. 寻找函数极值点：使用微分中值定理可以找到函数在某个区间内的极值点。
根据定理，当导数为零时，存在某个点使得函数的增量等于零，即函数在该点上取得极小值或极大值。
3. 证明数学定理：微分中值定理是许多重要数学定理的基础。
比如拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，都是基于微分中值定理推导而来的。
4. 解决实际问题：微分中值定理可以应用于实际问题的解决。
例如，用微分中值定理可以证明某一时刻速度为零的时候必然存在于加速度为零的时刻，或者在一段时间内至少存在过某一特定速度等。
总结：微分中值定理是微积分中非常重要的定理，它描述了函数在某个区间上的局部性质。
通过对它的研究与应用，我们可以判断函数的增减性，找到函数的极值点，证明数学定理以及解决实际问题。
它在数学和实际问题的研究中发挥了重要的作用。
注：为满足字数要求，本文对微分中值定理的概念、原理和应用进行了展开解释，并适当增加了相关实例和讨论。
希望对您有所帮助。
考研数学微分中值讲义(卓越资料
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线 条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。
二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；则存在()b a ,∈ξ，使得()()()ξf ab a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。
结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。
推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。
推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。
考研数学基础复习指导之微分中值定理
考研数学基础复习指导之微分中值定理【引理】Th 1费马(Fermat)引理设函数在的某邻域内有定义，若有()且在可导．【注】若是一个极值点且在可导(驻点/稳定点)．Th 2导数极限定理设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，且极限0lim ()x x f x →'存在，则()f x 在点0x 处可导，且00()lim ()x xf x f x →''=【例1】求分段函数的导数2sin ,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩【例2】下述命题：① 设0lim ()x x f x -→'与0lim ()x x f x +→'均存在，则()f x 在0x x =处必连续； ② 设0()f x -'与0()f x +'均存在，则()f x 在0x x =处必连续；③ 设()f x 在0x x =处连续，且0lim ()x x f x →'存在等于A ，则0()f x '存在等于A④ 设()f x 在0x x =的某邻域可导，且0()f x A '=，则0lim ()x x f x →'存在等于A则正确的个数为：(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3()f x 0x 0()U x 0()x U x ∀∈0()()f x f x ≤0()()f x f x ≥()f x 0x ⇒0()0f x '=0x ()f x 0x ⇒0()0f x '=3.导函数两大特性：1) 导函数没有第一类间断点设函数()f x 在(,)a b 内处处有导数()f x '，则(,)a b 中的点或为()f x '的连续点，或为()f x '的第二类 间断点．2) 导函数具有介值性（G.Darboux 定理）设函数()f x 在[],a b 上处处可导（端点指单侧导数），()()f a f b ''<，则:()()c f a c f b ''∀<<，(,)a b ξ∃∈，使得()f c ξ'=【微分中值定理】 1.罗尔(Rolle)定理设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．【应用】①证明含有中值ξ等式的证明；②导函数和高阶导函数零点的存在性的证明和个数的估计．2.拉格朗日(Lagrange)定理（微分基本定理）设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．【推论】：①若()0,f x x I '=∈，则(),f x C x I =∈． 如：arcsin arccos 2x x π+=.②若()(),f x g x x I ''=∈，则()(),f x g x C x I =+∈. 【应用】①证明含有中值ξ的等式．形如证明：[,,(),(),,(),()]0(,)G a b f a f b f f a b ξξξξ'=∈，②不等式的证明； ③研究函数的性态．3.柯西(Cauchy)定理设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点(,)a b ξ∈， 使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-．【应用】①证明含有中值,ξη的等式； ②不等式的证明4.泰勒(Taylor)公式定理1 带拉格朗日余项的泰勒公式设()f x 在0x 的某邻域I 内(1)n +阶可导，那么对x I ∀∈，至少存在一个ξ，使得()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+，ξ在0x 与x 之间．定理2 带皮亚诺余项的泰勒公式设()f x 在0x 的某邻域I 内n 阶可导，那么对x I ∀∈，有()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中00()()nn R x o x x x x =-→，． 【应用】①求极限，判断无穷小的阶数； ②建立函数与高阶导数的关系．辅助函数的构造：证明：(,)a b ξ∃∈，使得[,(),()]0G f f ξξξ'=．方法：构造辅助函数(,())F x f x ，再用罗尔定理．(,())F x f x 的构造方法如下： （1）积分法① 将ξ换成x 得[,(),()]0G x f x f x '=； ② 恒等变形，便于积分；③ 积分，分离变量得(,())F x f x C =．（2）公式法：若欲证等式可变形为()()()0f x p x f x '+=，则应取辅助函数为()()()p x dxF x f x e ⎰=．（3）观察法：观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右边式子较为类似，则往往可以直接写出辅助函数：；；【注】若题目条件或结论中有定积分，则辅助函数为被积函数，且一般要使用积分中值定理（验证端点值相等）．[()]()()xf x xf x f x ''=+2()()()f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[()][()()]x x e f x f x f x e ''=+[()][()()]x x e f x f x f x e --''=-【2013】设奇函数()f x 在[1,1]-上具有2阶导数，且(1)1f =， 证明：(I)存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； (II)存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=．【1999】设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导()()1010,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，(I)存在1(,1)2η∈，使()f ηη=； (II)存在(0,)ξη∈，使()[()]1f f ξλξξ'--=(这里λ为任意实数)．【2001】设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足21130(1)3()x f e f x dx -=⎰.证明：在()0,1内存在一点ξ，使()2()f f ξξξ'=.【2001】数设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足：()()()11011x k f k xe f x dx k -=>⎰，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()()11f f ξξξ-'=-．【1996】 在区间(,)-∞+∞内，方程1142cos 0x x x +-=（ ） (A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根【1994】设当0x >时，方程211kx x+=有且仅有一个解，求k 的取值范围【2011】证明：(I)对任意正整数n ，都有111ln(11n n n<+<+； 【熟记结论】①ln(1),101xx x x x x<+<>-≠+且②均值不等式：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数即：1212+++nnx x x nnx x x +≤≤++ ，其中0(1,2,,)i x i n >= (II)设111ln (1,2,)2n a n n n =+++-= ，证明数列{}n a 收敛.【2002】设0a b <<，证明不等式：222ln ln a b a a b b a -<<+-【1992】设()0,(0)0f x f ''<=，证明：对任意的0x >有1212()()()f x x f x f x +<+【1998】设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()1f a f b ==证明：存在(),,a b ξη∈，使得[()()]1e f f ηξηη-'+=【练习】设函数()f x 在区间上连续，在内可导，， 证明：存在(),,a b ξη∈使得[,]a b (,)a b 0a b <<()().2a bf f ξηη+''=【2001】设()y f x =在(1,1)-内具有二阶连续导数且()0f x ''≠，证明：(I) 对于(1,1)-内的任一0x ≠，存在唯一的()(0,1)x θ∈，使()(0)[()]f x f xf x x θ'=+成立； (II) 01lim ()2x x θ→=【1996】设函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负实数，c 是()0,1内任一点证明：()22b fc a '≤+【1999】设函数()f x 在闭区间[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0f -=，(1)1f =，(0)0f '= 证明：在开区间(1,1)-内至少存在一点ξ，使()3f ξ'''=。
考研数学高数定理证明的知识点
考研数学高数定理证明的知识点数学高等数学（高数）是考研数学中的一个重要部分，其中涉及了许多重要的定理及其证明。
以下是一些常见的高数定理及其证明的知识点：1.邻域性原理：如果一个函数在一些点的一些邻域内恒大于（或小于）另一个函数，而两个函数在该点处相等，则这两个函数在该邻域内恒大于（或小于）。
证明：假设函数f(x)和g(x)在点x0处连续且f(x)>g(x)，且f(x0)=g(x0)。
因为f(x)和g(x)在x0处连续，所以存在一个邻域N(x0)使得f(x)>g(x)在该邻域内成立。
因此，f(x)>g(x)在N(x0)内恒成立。
2.极限的一致性：如果两个函数在一个有限闭区间内的一致性极限或一致性趋于无穷大的极限都存在，则它们的差的（绝对值的）极限是0。
证明：假设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]内一致趋于函数h(x)和0，即对任意的ε>0，存在N，当n>N时，有，f(x)-h(x)，<ε以及，g(x)-0，<ε成立。
由于，h(x)，≤，f(x)-h(x)，+，g(x)-0，所以当n>N时，有，h(x)，≤2ε成立。
因此，极限，h(x)，=0。
3.导数的基本性质：导数具有线性性、乘积法则、商法则和链式法则等基本性质。
证明：以线性性为例，假设函数f(x)和g(x)在点x0处可导。
根据导数的定义，有lim_(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)=lim_(x→x0) (g(x)-g(x0))/(x-x0)=f'(x0)和g'(x0)。
我们可以得到lim_(x→x0) (f(x)+g(x)-[f(x0)+g(x0)])/(x-x0)=lim_(x→x0)[(f(x)-f(x0))/(x-x0)+(g(x)-g(x0))/(x-x0)]=f'(x0)+g'(x0)。
因此，函数f(x)+g(x)在点x0处可导，且(f+g)'(x0)=f'(x0)+g'(x0)。
考研洛必达法则
§ 3-1微分中值定理由此可知，拉格郎日中值定理的几何意义是：如果连续曲线 点都有不垂直于x 轴的切线，则在曲线弧段ACB 的内部至少能找到一点 C(©,f(©))，使得该点处 的切线与弦AB 所在直线平行.(1)式也叫拉格郎日中值公式，若令x=a ，也x=b-a ，则(1 )式可写成f(X + A x) - f (x) = f '佗)A x它提示了函数的增量与导数及自变量增量之间的直接联系，从而为我们开辟了用导数来研究 函数的某些特性的途径.例1求函数f(x) =x 3在［-1,2］内满足拉格郎日中值定理条件的©值.因为f'(x)=3x 2， f(—1)=—1，f(2)=8，故满足拉格郎日中值定理的 E 值为f(2)-f(—1) =3 纤[2—(―1)]定理 3.1如果函数f(x)满足下列条件: (1) 在闭区间［a,b ］上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导.那么在区间(a,b)内至少存在一点© (a V 匕£ b)，使等式f(b)-f(a)= f 徉)(b-a)(1)成立.这定理称为拉格郎日(Lagrange )中值定理. (定理证明从略)下面来看一下定理的几何意义 . f(b)-f(a) f ，c ) b -a现把(1 )式改写为从图3-1中可以看到，f 徉)就是点C(© f (©)) 处的切线斜率，而f(b )~ f⑻ 表示过曲线y = f(x)b -a上两端点A(a, f(a))、B(b, f(b))的直线的斜率，因此图3-1I ►- b x1 )式表示点C 处的切线平行于弦 AB.y = f (x)的弧ACB 上除端点外每因为9=9©2，得—±11"—1,2)， — "(—1,2)C所以e=1在拉格郎日中值定理中，如果加上条件f(a) = f (b)，则可得到以下罗尔(Rolle)中值定理.定理3.2如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a) = f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点匕，使f'(©)=0成立.罗尔定理的几何意义是很明显的，读者可以自己分析利用拉格郎日中值定理，还可得到下面的推论.推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内满足f'(x)三0,那么在(a,b)内f(x)=C( C为常数).证在(a,b)内任取两点x i,X2，且x i < x2，由拉格郎日中值定理，可得f(X2)— f (xj = f 徉)(X2 — Xj (X1 吒巴CX2)由于f 徉)=0，所以f(x2)-f(X1)=0，即f(X i)= f(X2)因为X1, X2是(a, b)内的任意两点，于是上式表明 f (x)在(a,b)内任意两点的值总是相等的，即f (x)在(a, b)内是一个常数.推论2如果两个函数f(X)、g(x)在(a, b)内有f '(X)三g'(x)，那么在(a,b)内，f(x) =g(x)+c (C 为常数).证令F(x) = f(x) -g(x)，则F'(x) = f '(x)-g'(x)三0,由推论1知F(x)在(a,b)内为一常数C即f(x)=g(x)+C.3T例2求证arcs in x +arccosx = (-1 < x < 1).证设f(x) =arcsinx+arccosx，当-1<x<1 时有1 -1f (x) = 「+ , 三0由推论1，f (X)在区间(—1,1)内为一常数 C 即arcsi nx + arccosx = CF面确定常数C的值，不妨取x=0，得兀C = f (0) = arcsin0 + arccos0 = 0 + 二23、函数f(x) =x(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点(即满足 f'(X 0)= O 的点x o )，各位于哪个区间?4、验证函数y = px 2+qx +r 在区间［a,b ］上应用拉格郎日中值定理时所求的点©位于［a,b ］的中点.兀5、证明 arcta nx +arccotx =—.2§ 3-2洛必达法则如果当X T x o 或X T 处时，两个函数f(x)、g(x)都趋向于零或趋向于无穷大，这时极限lim 丄凶可能存在也可能不存在，通常把上述极限叫做未定式，并分别记为 g(x)2X —si nx arc cot X+ 口 0 ln (1+x ) lim ——3—， lim ——3^一都是-型.lim 」 ----------------- X T X 3 X 七 e 0 Y X学的方法很难求出极限值来.下面介绍求这类极限的一种简便而有效的方法——洛必达 (L 'Hospital )法则.一、0型未定式型未定式极限的自变量变化状态可分为：X T X 0 , X T X 0 +, X T X 0 ，X T 处，x T +处，X T M .下面只讨论X T X 0的情形，其它类似.定理3.3如果函数f(x)、g(x)在N(?oP)内可导，且满足下列条件:所以当-1cxc1时,兀arcs inx + arccosx=— 对于X = ±1时，等式显然成立，故命题得证 .习题3-1下列函数在指定的区间上是否满足拉格郎日中值定理的条件,1、 若满足，求出定理结论中的1) f(x) [—1,2]; 2)f(x)=(x+2)2[1,5]; 3) f(x)[1,4]；4) f(x)=arcta nx[0,1].3—4x +4上哪一点的切线与连接曲线上点(0,4)和点(3,1)的割线平行?0 OC-型或一型.例如处，lim 占空 都是二型.显然，用第一章所T lnx 比(1)lim f(X)= lim g(x) = 0 ；^X0X兀—-arcta nx例4 求lim --- --------I 址 1(2) g'(x) H O ；(3) lim =A (或 K ).F g'(x)那么，lim 竺=lim 匚凶=A X f g(x)X F g \x)（或比）.（证明从略）这个定理说明了当 X T X 0时, 0型未定式的极限在符合定理条件时下，可以通过对分子、分母分别求导，再求极限来确定gX —e 」例1求lim --------T sin X这是0型，所以X..e -elimsin X _XX . _Xr e 中e - —=lim --------- = 2如果 亠. In X 求 四(X -1)2 .1——x —— =lim --- --- =曲2(x-1) iJxd-l)lim f （X ）仍属于f g （X ）-型，且f '（X ）, g （X ）仍满足洛必达法则中的条件， 那么可以继续使用该法则进行计算，并可依次类推 .但应注意，如果所求的极限已不是未定式，则不能再用洛必达法 则，否则会产生错误的结果.此外在用洛必达法则时， 重要极限等，那样效果会更好 .曲 ci X -S in X例 3求 lim -- 3—.3最好能结合求极限的其它方法， 如恒等变形、X —sin Xlim --- 3— T X 3 0 1 -cosX 0 sin X = lim ------------- T 6X=lim 2X T 3x=04二、竺型的未定式□COQ 0 —型的未定式极限仍有类似于一型未定式极限的洛必达法则，除处 0 结果极为相似，下面只举例说明它的应用求 limX T+ ln x-lim^_^ dim —— = -1oEinx T cosx求 limln xX T 说3C8求lim （丄T sinx这是至-至型，因此解 limJ 乂l-arctanx0 0=lim t x= lim 2 1 I 乂 1 + X 21 +x 2 x 2=1 0 oQ-与一的差别外，条件与0 处3Clncot X =5+ 1 1 cot;（一孙limln X=lim -T^sin xcosxlim —— = lim n JnxX^nx n1=0三、其它类型极限求法 0处除一型与一型的未定式之外, 0 处还有 0 a ,处一处，00，俨，3C 0等未定式，对这类未定式0 3C求极限，通常是利用代数恒等变形转化为或一型,处然后用洛必达法则进行计算例 7 求 lim ,xlnX . x T 十这是0、处型，因此lim .xln x = lim - “ i o 十 x T 十1lim- 10十lim- l 0十2—X c=04-cos X 0lim （丄-["lim^^^^l lim-x T si nx X X T 0 xsinxt si nx + xcosx Pmo s i nx 2c o x - xs i rx9 求 lim^tanx ）tan2x兀I —xlim 匕 x * x2xT71 +x 2□coC 1 =lim --- -- 2x2J1 + X 2J 1 + x 2两次运用洛必达法则后，又还原为原来的问题, 因此洛必达法则失效 •事实上所以在使用洛必达法则时，应注意以下几点: 0 oC-型或一型未定式•若不是，就不能使用该法则处否则会导致错误的结果•并在计算的过程中，注意不断化简其中间过程，使之求极限顺利进行•(1)每次使用法则前，必须检验是否属于(2)当lim 丄■凶 不存在时，并不能断定所求的极限|im f(^)不存在，此时应该使用其它方g'(x)g(x)法来求极限•(3)洛必达法则并不是万能的，在某些特殊情形下，洛必达法则会失效，需寻求其它解法习题3-21、用洛必达法则求下列极限2x —兀(1)lim — JCOSXx—x(2)lim e"ex -30/ 、 arc cot x(3)xmc-po-X 3 -3x + 2 ⑷四 x 3 一x 2-x +1.. Intanx limTP*ot 2x .・ tan 2x ln tanx X —^L=lim e = e = e但洛必达法则不是万能的•有时我们还会碰到某些特殊情形 徇"十「 X +sinx例 10 求 lim ------- •7〉 x□C解这极限属于一型，但因为oC oplim X+Sinx ¥|im1+co sx 不存在，所以不能用洛必达法则求这极限,x111 求 li r^EI 圧 X解这是1咖，因此lim (_ 皿)2sin xcos Xlimjta nx)tan2x 事实上lim-x+sinx = lim(1 +丄 si nx) =1+0=1F x(1)如果在(a,b)内f'(x):>0，那么f (x)在(a,b)内单调增加;§ 3-3函数的单调性与极值函数y =f(x)单调性的考察，可用当X i <X 2时，比较f(X i )与f(X 2)的大小来进行判定的.但判定f(X 1)与f(X 2)的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一种简单的判定方法.我们知道，如果函数y = f(x)在某区间上单调增加，其图形是一条沿X 轴正向上升的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非负，即 y'= f'(x)>0 ；若单调减少，其图形是一条沿 x 轴正向下降的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非正，即 y' = f '(X)<0，如图3-2.可见，函数的单调性与导数的符号有图3-23.4 设函数f(x)在区间(a,b)内可导.(5) limlntan7x—P p n tan 2x 2,ln(1+x ) lim ------ ln(1中丄)(7)lim ------ - ；—H are cotx2、 求下列极限1 1(1)卵x"(3) lim (2arctanxQJ 七｝兀)3、 求下列极限(8)cscx lim ——ln X2 .1 X SIn-(1) llmxlim 二(3)lim X~SinXX_x/八 e — e (4［協；〒af'(x)< 0L x定理 着密切的联系.那么反之成立吗?xAy=f(x )(2) 如果在（a,b ）内f'（x ）＜0，那么f （x ）在（a,b ）内单调减少. （门在（a,b ）内任取两点X 1, X 2，且X 1 c X 2，根据拉格郎日中值定理，存在一点 巴< X2 ),使f(X 2)-f (X i ) = f '(©)(X 2 -X i )因为在区间（a,b ）内有f '（X ）＞0，则（1）式中的f 牡）＞0，而X 2 -X j 》0，因此由（1） 式知f （X 2）＞f （X i ），这就是说f （X ）在（a,b ）内单调增加.同理可证明结论（2）成立.有些可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍是单调增加（或单调 减少）.如函数y=x 3的导数y'=3x 2，在x=0时，y = 0，但它在区间（亠，址）内是单调增加. 例1判定函数y =e~x -3x -1的单调性.证明(1)(2) 如果在（a,b ）内f'（x ）＜0，那么f （x ）在（a,b ）内单调减少.解 因为函数的定义域为n ，其导数为 y'=-e-3，所以在整个定义域内都有/ ＜0，故函数y = e 」-3x -1在定义域内单调减少.有时，函数在其整个定义域上不具有单调性，但 在其各个部分区间上却具有单调性，如图3-3所示.函数f （X ）在区间［a,x i ］,［x 2，b ］上单调增加，而 在区间［x i ，X 2］上单调减少，且从图 3-3上容易看到, 可导函数f （X ）在单调增加、减少的分界点处的导数 为零，即 f'（x i ）= f'（X 2）=0.使导数等于零的点（即方程 f'（X ）=0的实根），叫做函数f （X ）的驻点.因此要确定可导函数 f （x ）的单调区间，首先要求出驻点, 然后用这些驻点将其定义域分成若干个区间，再在每个区间上判定函数的单调性.1 1 例2讨论函数f （x ） =-x 3 +-x 2-2x 的单调性3 2 解 因为 f '(X)=X 2+x —2 =(X + 2)(x —1)，令 f'(X)=0 ,得驻点 X j = —2,X 2 =1.这两点将f （X ）的定义域（二,十①分成三个部分：（-处,-2）, （-2,1）,（1,中处），下面用列表的形式来*XX线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但反之不成立.如 f \X 3H0.X(-=c , —2)-2(-2,1) 1 （1,址）「（X ）+--+f(x)313一』 6 — 根据上面的讨论可得： 函数在区间和母）内单调增加，在区间（-内单调减少.另外，还需注意函数的不定义点，或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点 例3确定函数y 二賓2的单调区间.3.1设函数f （x ）在N （X O ,6）有定义，且对此邻域与极小值统称为函数的 极值，使函数取得极值的点X 0称为极值点.从图3-5可知，关于函数的极值，应注意以下几点: （1） 函数的极大值和极小值是局部概念，即如果f （X 0）是f （x ）的极值，只是对极值点 X 0 的左右近旁一个小范围来讲的 .（2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个 .如图3-5，（3）函数的极值只能在区间内部取到 求极值的关键是找出极值点，从图解 函数的定义域为（―，而y= 事，显然当x=0时，函数的导数不存在,33 X又函数没有驻点.但当X >0时，有y >0，函数在区间（0^）内单调增加;当xvO 时，有/ <0，函数在区间（二,0）内单调减少. 二、函数的极值定义 内任一点 x （X HX o ）均有 f （X ）< f （X o ），则称 f （X o ）是函数 f （X ）的一个极大值；如果对此邻域 内任一点 X（X HX o ）均有 f （X ）> f （X o ），则称 f （X o ）是函数 f （X ）的一个极小值.函数的极大值极大值f （X 1）就比极小值f （X 5 ）还要小.极小值，且其中的极大值未必比极小值要大 3-5中看到，对可导函数来讲，在取得极值处，曲线的切X图3-52求函数f(x)=(x 2-4)3的极值.4x解因为f (x)= 二-3刘 X 2-4定理3.5 (极值存在的必要条件)设函数f(x)在点x 0处导数存在，且在x 0处取得极值，则函数f(x)在X o 处的导数f(X 0)=O ,g 卩X 0是函数f(x)的驻点.注意，定理 3.5仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数y = X 3，在X = 0处有y1x^=o ，但Mx 兰=0不是极值.该定理说明可导函数的极值点必是驻点，而驻点却未必是极值点 对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点 .如 f(x) =1 x|，显然，f '(0)不存在.但x=0且是它的一个极小值点，在f(x)=|x|图形上, (0,0)称为曲线的尖点.因此，连续函数有可能取得极值的点是驻点与尖点 .但问题是这些点满足什么条件才能为极值 点，观察图3-5，得下面判定函数极值的一个充分条件.定理3.6 (极值存在第一充分条件) 设函数f(x)在点x 0连续，在N(X)e)内可导(x 0可除外)，当 X 由小增大经过x 0时，如果:(1) f '(X)的符号由正变负，则f(X)在点X o 处取得极大值; (2) f \X )的符号由负变正，贝y f(X)在点X o 处取得极小值;f \x)的符号不变，则f(X)在点X o 处取不到极值.证明 (1)由条件，f (x)在点x 0左近旁单调增加，在点 x 0右近旁单调减少，即当 x<x 0时, 有f(x)<f(x o )，当X>X o 时，有f(X)Vf(X o )，因此f(X)在点X o 处取到极大值.同理可证明结论(2)、( 3). 此外还可利用二阶导数来判定极值 定理 3.7(极值存在的第二充分条件) 设函数f (X)在N(x 0,6)内有二阶导数f”(x)存在且连续，又f "(X o ) =0，如果(1) L(X o )<0，则 f (X)在X o 处取得极大值;(2) f "(Xo^o ，则f (X)在X o 处取得极小值.(证明从略)(X H ±2),令f "（x0） = 0，得驻点X = 0，所以函数有驻点X = 0，尖点X =±2列表考察f '（X）的符号故当X = 0时，函数f（x）有极大值V16 ,X = ±2时，函数f（X）有极小值0.5求函数f（x）=j3x +2sinx在区间［0,2;i］内的及值因为f'(X)= J3+2COSX，f "(X)= —2si nx.f '(X0)=0，得驻点x^ —, x^ —6 6f”（予一<0，所以f（汁穿+1为极大值;H” 7兀7兀7 J3皿f (——)=1 >0，所以f (——)=----- -1为极小值.6 6 6例6求函数f（X）=（x2-1）3+1的极值.解函数f （x）的定义域为（—处，母）2 3f '(X)=6x(x -1)由f '(x o) = 0 ,得驻点X i = T,X2 = 0,X3 =1.故函数f （X）在X = 0处有极小值f （0） = 0 ,而捲=-1, X3 = 1不是极值点.三、函数的最值问题在实际生活中，常会遇到：在一定条件下，怎样使“产量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“耗时最少”等问题.这一类问题在数学上可归结为函数的最大值、最小值.因为在闭区间［a,b ］上连续的函数f(x) —定存在最大值和最小值 .由于函数的最值可在区间 内部取到，也可在区间的端点上取到，如果是在区间内部取到，那么这个最值一定是函数的极值, 因此求f (x)在区间［a,b ］上的最值，可求出一切可能的极值点(驻点及尖点)和端点处的函数值, 进行比较，其中最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值42例7求函数y = X -4x +6在区间［七,3］上的最大值和最小值. 解因为y' = 4x 3-8x令 y ' = 0,得驻点 X r = -寸2,X 2 = 0, X 3 = J 2经比较，得函数的最大值为y =51，最小值为y =2.图3-7如果函数f (X)在一个开区间内连续且有惟一的极值点 x 0，则当f(x 0)为极大值时，f(x 0)就是f(x)在该区间上的最大值；当 f(X o )为极小值时，f(X o )就是f(x)在开区间上的最小值(见图 3-7）.例8求函数f(X)=仪2 -1)3+1.解 由例6可知，X = 0是函数f(x)极小值点，且在整个定义域中极值点是惟一的，故 函数的极小值就是函数的最小值，为f(0) = 0，不存在最大值.F 面讨论求最值的应用题在实际问题中，往往可以根据实际情况断定函数 f(x)在其定义区间内确有最值存在，而当可导函数f (x)在这定义区间内又只有惟一的驻点x 0，则可断定f (x)在点x 0处取到了相应的最值.3例9有一块长为a ，宽为-a 的长方形铁片，将它的四角各剪去一个大小相同的小正方形,8四边折起，做成一个无盖的长方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，其容积最大.解 如图3-8,设小正方形的边长为 x ，则其容积为因此 yX 去=2, y x=0 =6,而yxW =51 .\y=f （ X ）11 1o i ab車yxx(3) y = X —In(x +1)；(4)y =%(2x-1)2(1-X)2 .V(x) =x(a -2x)(?a -2x) =4x 3 -dx 2 +3a 2x ，8 48 2113 213vge --ax+8a=12(x-护(x-8a)a -2£ x(0<x<?a )16得驻点 x1 3=—a ， X2 = — a 12 8图3-81，所以x^—a 是惟一的驻点，又该实际问题的最值一1121 =—a 时，长方体的容积最大.12例10 设铁路边上离工厂 C 最近的点A 距工厂20 km ，铁路边上B 城距A 点200 km ，现要 在铁路线AB上选定一点D 修筑一条公路，已知铁路与公路每吨千米的货运费之比为 选在何处时，才能使产品从工厂 C 运到B 城的每吨货物的总运费最省？（图3-9）解设D 点选在距离A 处x 千米，定存在，故当小正方形的边长为xi又设铁路3: 5,问 D与公路的每吨千米货运费分别为 3k,5k （k 为常数） 则产品从C 处运到B 城的每吨总运费为y =5k CD +3k ED因为，y' = 5k 400 X 2+ Xx) (0<x<200k(5x-3j400 + x 2)J400 + x 2 3k J 400 + X 2令 y ' = 0，即 5x = 3J4OO + x 2，得 X = 15.将y x 生=680k ，与闭区间［0,200］端点处的函数值比较，由于y XT = 700k ，xz200= 5J40400k AlOOOk ，因此，当D 点选在距离A 点15km 处，这时每吨货物的总运费最习题3-31、求下列函数的单调区间: (1) y = xe X；3 2(2) y =2x -6x -18x- 7 ； 8皿xa -2xAx图3-9=5k3k(200 -7、图3-11,某矿物局拟从 A 处掘一巷道至 C 处，设AB 长为600m ，C 到AB 的距离为200m ， 若沿水平AB 方向掘进费用5元/m ，水平面以下是岩石，掘进费用13元/m ，问怎样掘法费用最省？§ 3-4曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向 曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性从图3-12( a )，( b )可以观察到.定义3.2如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方， 则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该 区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.图 3-122、求下列函数的极值:(1) f(X)= X 3 +6x 2 -15x +1 ；( 2) f(x)=4x 3-3x 4；2(3) f(x)=(x —1)x'；(4) f(x)=sin X+cosx,(0 < X < 2兀).3、 已知函数f(x)=x'+ax 2+bx 在x=1处有极值—12，试确定系数a,b 的值. 4、求下列函数在给定区间上的最值:(1) f(x)=x 4 -2x 2 +6, [-2,3]； (2) f(X)=(x+1)4，(=,址).5、 如图3-10，三块长度一样，宽为 a 的木板，做成一横截面为等腰梯形的水槽，问如 何安装，水槽的横截面面积最大？6、 从直径为d 的圆木中切出横截面为矩形的梁，此矩形的长为 b ,宽为h ，若梁的强度与bh 2成正比，问梁的横截面尺寸为多少时，其强度最大?•在几何上,从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧,其切线的斜率f '(x)随着x 的增大而增大,图 3-10(a )x即f'(x)单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率 f'(x)随着X 的增大而减少，即 f'(x)单调减 少.而函数f'(x)的单调性又可用它的导数，即f(x)的二阶导数f -(x)的符号来判定，故曲线判定曲线y =1 n X 的凹凸性.讨论曲线y =x 3的凹凸区间.令f ”(X)=0,解出方程f 7x)=0在某区间内的实根 x 0 ；对每一个实根X 0 ,考察f "(X)在X 0的左右近旁的符号，若 f "( X)在X 0的左右近旁的符号相反，则点(X 0, f(X 0))是拐点，若f ”(X)在X 0的左右近旁的符号相同，则点(X 0, f (X 。
考研竞赛凯哥微分中值定理笔记
考研竞赛凯哥微分中值定理笔记【考研竞赛凯哥微分中值定理笔记】1. 导言在数学考研和竞赛中，微分中值定理是一个非常重要的概念。
它不仅在微积分学科中具有重要地位，而且在实际问题中也有广泛的应用。
本篇文章将围绕微分中值定理展开深入探讨，从概念、原理到应用，帮助读者全面了解和掌握这一重要内容。
2. 概念解析微分中值定理（Mean Value Theorem）是微积分学中的一个基本定理，它刻画了函数在某一区间内平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
具体来说，对于可导函数f(x)，在区间[a, b]内一定存在一点ξ，使得f'(ξ)等于f(b)-f(a)除以b-a，即f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
3. 原理探究微分中值定理的证明和理解对于深入学习微积分至关重要。
通过介绍导数的几何意义和连续函数的性质，可以辅助读者更好地理解微分中值定理成立的原因和内在含义。
也可以通过实例和图表加深理解，使读者对微分中值定理有直观的认识。
4. 应用拓展微分中值定理不仅在理论数学中有着重要作用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
利用微分中值定理可以证明某些函数的性质，解决一些优化问题，甚至在物理、经济学等领域都有具体的应用。
通过具体的案例分析，我们可以看到微分中值定理在实际问题中的丰富应用。
5. 总结回顾微分中值定理作为微积分领域的重要内容，不仅有着深厚的理论基础，同时也具有广泛的应用前景。
通过本篇文章的深入剖析，相信读者已经对微分中值定理有了更加全面、深刻的理解。
在今后的学习和工作中，让我们善用微分中值定理，去探索更广阔的数学领域和解决实际问题。
6. 个人观点在我看来，微分中值定理不仅是一种数学工具，更是一种思维方式。
它教会我们从平均变化率和瞬时变化率的关系中触发思考，引导我们理解函数变化的规律，并以此解决实际问题。
这种思维方式对于数学学科的深入理解和应用能力的培养都起着重要的作用。
通过以上的分析，相信读者对考研竞赛凯哥微分中值定理已经有了更全面、深入的了解。
微分中值定理的总结及体会
, ，
由于 三点共线,故
，
即
再考察函数 ，其在 上满足洛尔定理的条件，由洛尔定理知至少存在一点 ，使 .
2.（2007）设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最大值， ,证明：存在 ，使得
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ，则问题转化为证明 ,只需对 用罗尔定理，关键是找到 的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点 ，使得 ，则在区间 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对 用罗尔定理即可.
于是
【评注】中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.
4.设函数 在 内连续,在 内可导,且 ，证明：存在
使 .
证明:设 ， ，由柯西中值定理可得，至少存在 ,使得
，即 ，
设 ，由拉格郞日中值定理可得，至少存在 ，使得
，即 ，
从而 ，即 .
,
又 ，得 ,
即存在 ,使
(Ⅱ)因 ，即 ,又 在闭区间 上连续,由介值定理知，至少存在一点 ,使得
.
因此 在区间 , 上都满足罗尔中值定理条件,于是至少存在点 , ,有
,
由 在 上连续,在 内二阶可导,知 在 上连续,在 可导,用罗尔中值定理,至少存在一点 ,使得 .
【评注】一般地有如下结论：设 在 上连续，
由洛尔定理知,存在 使
而
于是有
即有
亦即
考点四:微分中值定理和积分中值定理相结合
1.设 在 内可导，且 ，证明：在 内方程 有根。
(完整版)【考研数学】中值定理总结
中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。
1、 所证式仅与ξ相关①观察法与凑方法1 ()[0,1](0)(1)(0)02()(,)()1 ()()2()0(1) ()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ'''''ζ--='''''''=L 例设在上二阶可导，试证至少存在一点使得分析：把要证的式子中的换成，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0()(1)()()f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=⇒--='=--，那么把式变一下：这时要构造的函数就看出来了②原函数法⎰-⎰-⎰===⇒=⇒+=⇒='ζζζ=ζ'∈ζ∃==⎰dxx g dx x g dxx g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )()()( )()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续在，又内可导，上连续，在在设例两边积分00③一阶线性齐次方程解法的变形法0 ()()()[,](,)()0()()(,)()()()()0[()()]pdx pdxf pf p x u x e F x f e f x a b c a b f c f f a a b f b af f a f b a f f a '+=⎰⎰==⋅'∈=ξ-'ξ∈ξ=-ξ-'ξ-=-'⇒ξ-对于所证式为型，（其中为常数或的函数）可引进函数，则可构造新函数例：设在有连续的导数，又存在，使得求证：存在，使得分析：把所证式整理一下可得：11[()()]00 () C=0()[()()]()()()0()() x xdx b a b a b a f f a f pf b a u x e e F x e f x f a f b f a f c f b f a b a ---'-ξ-=+=-⎰==--'==⇒=-－－，这样就变成了型引进函数＝（令），于是就可以设注：此题在证明时会用到这个结论2、所证式中出现两端点①凑拉格朗日ab a af b bf f f F x xf x F f f ab a af b bf b a b a b a x f --=ζ'ζ+ζ=ζ'=ζ'ζ+ζ=--∈ζ)()()()()( ),()( )()()()(),( ),(],[)( 3 下用拉格朗日定理验证一可以试一下，不妨设证的式子的特点，那么分析：很容易就找到要使得证明至少存在一点内可导上连续，在在设例②柯西定理 数就很容易证明了用柯西定理设好两个函没有悬念了于是这个式子一下变得分子分母同除一下是交叉的，变换一下，发现容易看出来了这题就没上面那道那么的式子分析：先整理一下要证，使得至少存在一点可导，证明在在，设例 )()( )()( )()()()()()()()( ),(],[)( 4 1212212121212121111012121221212121x x x x x x x x x x x x x x x x e eex f e x f ex f e x f e c f c f ee xf e x f e c f c f x f x f e e e e c x x x x x f x x ---'-=--'-=-<<+ ③k 值法 。
精品《微分中值定理的总结和应用》
精品《微分中值定理的总结和应用》微分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它是研究函数导数性质的基础工具之一、本文将对微分中值定理进行总结和应用的探讨。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个重要的定理。
拉格朗日中值定理是微分学中最基本的中值定理之一，它是由拉格朗日在《微积分学》中给出的。
拉格朗日中值定理表明，对于连续函数f(x)在区间[a,b]上可导（在(a,b)内），在(a,b)内存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
换言之，函数在两点间的斜率等于函数特定点处的导数。
柯西中值定理是微分中值定理的推广和拓展，它是由柯西在《微分学入门》中给出的。
柯西中值定理表明，对于连续函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可导（在(a,b)内），且g'(x)≠0，那么在(a,b)内存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)。
换言之，函数f(x)和g(x)在两点间的斜率比等于函数f(x)和g(x)特定点处的导数比。
微分中值定理的主要应用包括寻找函数极值、证明不等式、函数图像的研究等。
在寻找函数极值时，利用微分中值定理可以通过导数的正负性来判断函数在特定点的增减性和极值性。
在证明不等式中，微分中值定理的应用可以将原不等式转化为导数的不等式，从而证明原不等式的成立。
在函数图像的研究中，微分中值定理可以通过导数的性质来研究函数的凹凸性、拐点等。
微分中值定理在物理、经济等学科中也有广泛的应用。
在物理学中，利用微分中值定理可以研究物理量的变化率以及速度与加速度之间的关系。
在经济学中，微分中值定理可以用于研究收入弹性、边际效用等经济问题。
综上所述，微分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它可以帮助我们研究函数导数的性质，寻找函数极值，证明不等式以及函数图像的研究等。
同时，微分中值定理在物理、经济等学科中也有着广泛的应用。
【考研数学】3.1微分中值定理笔记小结
第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理定义（极值）若，使得恒有 ，则称在取极小值.恒有，则称在取极大值.费马引理 若在处取得极值,且在处可导,则罗尔定理 若 1）在上连续；在内可导；则，使2）3）费马(1601 – 1665)费马 法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若在上连续；2）内可导，1）在，使则注：1）结论都成立.2）有限增量公式推论 设在区间上连续，在内可导，则在上拉格朗日 (1736-1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来, 数学中的许多成就都可直接或间接地追溯到他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.例1 试证例2 证明：当时，例3 证明：当时，三、柯西中值定理柯西中值定理 若上连续；在内可导，且1）2）在则，使内容小结1. 意义建立局部和整体的关系2. 关系罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理3. 应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论作业P132：5；6；7；8；10；11；12.。
微积分12-微分中值定理
第五节微分中值定理一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理微分中值定理我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出函数本身整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日等数学家.首先, 从直观上来看看是怎么一回事.极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .0为函数的极大点x .0为函数的极小点xI , I )( 内某点且在内有定义在区间设x f 则必有存在若处取极大（小）值 , )( . ξξf '. 0)(='ξf 一. 费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理O x y )(x f y =a b ξP 费马定理的几何解释 如何证明如何证明, I )( 内有定义在区间设x f 处且在 ξ=x ),( ξf 取极大值则有)(Uˆ )()(ξξ∈≤x f x f 则存在若 , )( ξf ' , 0)()(lim )(0≤∆-∆+='+→∆+xf x f f x ξξξ , 0)()(lim )(0≥∆-∆+='-→∆-xf x f f x ξξξ于是. 0)(='ξf （极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？O xy a b )(x f y 但是……不保证在内部！O xy)(x f y =ξPa b 0)(='ξf 水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈;) ,( )( )2(内可导在b a x f ,)()( )3(b f a f =则至少存在一点.0)( , ) ,(='∈ξξf b a 使得定理O xy)(x f y =ξa b A B实际上, 切线与弦线 AB 平行. 实际上, 切线与弦线 AB 平行.]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.)(min , )(max ],[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令mM = )1(若],[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤ ],[ )( b a x m x f ∈=∴.0)( , ) ,( ='∈∀ξξf b a 均有故证)( )2(m M M m ≠<即若]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次., )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.)( )(m f M f ==ξξ或由费马定理可知：.) ,( 0)(b a f ∈='ξξ, , ,,, d c b a d c b a <<<皆为实数设,))()()(()(d x c x b x a x x f ----= . , 0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程='x f , ) ] ,[], ,[], ,[()(d c c b b a C x f ∈,0)()()()( ====d f c f b f a f 又,),( , )(内可微在是四次多项式+∞-∞x f 得上运用罗尔中值定理在 , ] ,[, ] ,[, ] ,[ d c c b b a. 0)()()(321='='='ξξξf f f 例1证其中,. ) ,( , ) ,( , ) ,(321d c c b b a ∈∈∈ξξξ.0)( 至少有三个实根即='x f, )( 是四次多项式x f, )( 是三次多项式x f '∴.0)(至多有三个实根='x f 综上所述,,0)(仅有三个实根='x f .) ,( ), ,( ), ,(中分别在d c c b b a证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=- . ) ,( 内至少有一根在b a 例2分析1)目的：证明至少存在),(b a ∈ξ使)()())()(( 222='---ξξf a b a f b f 0)()())()(( 2)(22='---='=ξξξf a b a f b f x F x )()())()(( 2)(22x f a b a f b f x x F '---='即2）找辅助函数：得)()())()(( )(222x f a b a f b f x x F ---=由证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=-. ) ,( 内至少有一根在b a 例2证)()())()(()( 222x f a b a f b f x x F ---=令, )( 得的连续性和可导性则由x f , ) ,( )( , ]) ,([)(内可导在b a x F b a C x F ∈)()()()( 22a f b b f a b F a F -==又由罗尔定理, 至少存在一点使得 ) ,(b a ∈ξ0)()())()(( 2)(22='---='ξξξf a b a f b f F . ) ,( 内至少有一根方程在即b a满足其中实数 , , 1n a a 012)1(3121=--++--n a a a n n证明方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n , 2 ,0 内至少有一根在）（πx n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )( 21--+++= 令, )(02)0( ==πF F 则且满足罗尔定理其它条件,使故 2,0 )(πξ∈∃0)12cos(3cos cos )()(21=-+++='='=ξξξξξn a a a x F F n x 例3证. 2 ,0 内至少有一根即方程在）（π, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈ . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 2))(()()()()( )()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则的两个根是如果 , 0)( , 21=x f x x 0)()()()(2211==x g x f x g x f . ) 0)( (≠x g 这时必须想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 例4证. 0)( ) ,( , 21的两个根是设=∈x f b a x x. 0)( 21及其之间没有根与在并设方程x x x g =, )()()( x g x f x F =令.21x x <不妨假设 . 0)( ）（此时≠x g ,] ,[ )(21上满足罗尔定理条件在x x x F 则由已知条件可知:使得故至少存在一点 , ) ,( 21x x ∈ξ0)()()()()()(2='-'='ξξξξξξg g f g f F . , 0)()()()( 与已知矛盾从而='-'ξξξξg f g f 该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.例5证, ),( ]), ,([)(),( 内二阶可导在设b a b a C x g x f ∈ ),,( ),()( ),()( ),()( b a c b g b f c g c f a g a f ∈===且).()( ),,( :ξξξg f b a ''=''∈使得至少存在一点证明 ,)()( ),()()( 0==-=c a x g x f x ϕϕϕ则令 .0)( ),,( ,11='∈ξϕξ使得至少存在一点由罗尔中值定理c a0.)( ),,( ,22='∈ξϕξ使得至少存在一点同理b c , )( ],[ 21则再运用罗尔中值定理上对函数在x ϕξξ'),,(),( 21使得至少存在一点b a ⊂∈ξξξ,0)())((=''=''=ξϕϕξx x).()( ξξg f ''=''即例6证,0)( , )( ),( =a f I x g x f 且有上可微在区间设 0)()()( , , ,0)(='+'∈=x g x f x f I b a b f 证明方程).,( 0b a x ∈至少存在一根, ),,( 0 ,)( 令所以由于+∞-∞∈>='x e e e x x x,)()()(x f ex F x g = .0)()()())(()(0)(0)(0)(0000='+'='='=x g e x f e x f x f ex F x g x g x x x g ,0)()( , ),( ]),,([)(==∈b F a F b a b a C x F 且内可导在 :则由已知条件可知 ),( :0使得至少存在一点故由罗尔中值定理b a x ∈. ,0)()()( ,0 000)(0即得所证故有因为='+'>x g x f x f e x g例6＋设)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且1)()(==b f a f ，试证存在),(b a ∈ξ，使1)()(='+ξξf f 注：))()((])([x f x f e x f e x x '+='))(1)((])1)(([x f x f e x f e x x '+-='--三. 拉格朗日中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈,) ,( )( )2(内可导在b a x f 则至少存在一点, ) ,(使得b a ∈ξab a f b f f --=')()()(ξ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即定理O x y)(x f y =ξa b A B切线与弦线 AB 平行 切线与弦线 AB 平行)()()()( a x a b a f b f a f y AB ---+=的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？如何利用罗尔定理来证明？)()()()()()( a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ令则由已知条件可得：, ]) ,([)(b a C x ∈ϕ. ) ,( )(内可导在b a x ϕ,0)()( ==b a ϕϕ且故由罗尔定理, 至少存在一点使得, ) ,(b a ∈ξ0)()()()(=---'='ab a f b f f ξξϕ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即证定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数)()())()(()(x f a b x a f b f x F ---=定理中的公式均可写成还是不论 b a b a ><) , ( ))(()()(之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f )( )(之间与在x x x x f y ∆+∆'=∆ξξ式可写成拉格朗日中值定理的公), ( |||)(| |)()(|之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日中值定理告诉我们, 在t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可)( )()()(a b f a f b f -'=-ξ)( )()()(1212x x f x f x f -'=-ξ).,( 0)( )1(b a x x f ∈='.)(常数=x f .|)(| )2(M x f ≤'.|| |)()(|00x x M x f x f -≤-).0( 0)( )3(≤≥'x f )( )(↓↑x f 还有什么？, I , . I , 0)( 21有则若∈∀∈='x x x x f, 0))(()()(2121=-'=-x x f x f x f ξ推论 1.I , )( , I , 0)( ∈=∈∀='x C x f x x f 则若. )()(21x f x f =推论 2)()())()((x g x f x g x f '-'='-, I )()( ∈'='x x g x f 若 , I , 0))()(()( ∈='-='x x g x f x F 则.I )()( , I )()( ∈+=∈'='x C x g x f x x g x f 则若( C 为常数 ). I , )()()(∈=-=x C x g x f x F推论 3, ) )( ( |)(| 有界即若x f M x f '≤' . || |||)(| |)()(| a b M a b f a f b f -≤-'=-ξ则则且条件 ), ,( , |)(| ,b a x M x f ∈≤'|||)()(|a b M a f b f -≤-理上满足拉格朗日中值定在若 ] ,[ )( b a x f 用来证明一些重要的不等式用来证明一些重要的不等式推论 4. , I ,1221x x x x >∈∀不妨设 )( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ,)()( , I 0)( 12x f x f x x f >∈>'则若,)()( , I 0)( 12x f x f x x f <∈<'则若, )0)(( 0)( , I )( ≤'≥'x f x f x f 且可导在区间若．减少上单调增加在区间则)( I )( x f 用来判断函数的单调性用来判断函数的单调性（在后面讲）该推论可以用来证明不等式., 0 时当证明：b a <<.ln a a b a b b a b -<<-)(1ln ln )(1 a b aa b a b b -<-<-即要证,]b ,[ , ln )( a x x x f ∈=令, ] ,[ )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则b a x f 故, )(1ln ln b a a b a b <<-=-ξξ从而 .ln aa b a b b a b -<<-例8证. , 1 x e e x x>>时当证明：)1( ln 1 >>-x x x 即要证))(()()( a b f a f b f -'=-ξ比较有上运用在 , 01ln ] ,1[ =x .1ln ln 1->-x x ], ,1[ ln )( 则由拉格朗日中值定理令x t t t f ∈=).1( , 1)1(11ln ln x x x x <<-<-=-ξξ得 . , 1 ex e x x>>时故当例9证. ]1 ,1[ , 2arccos arcsin -∈≡+x x x π证明： , 0)11(11)arccos (arcsin 22=--+-='+x x x x , 1) ,1( 时当-∈x )1 ,1( arccos arcsin -∈≡+x C x x 故从而计算得取 ,2 0 π==C x . )1 ,1( 2arccos arcsin -∈≡+x x x π例10证, ) ]1 ,1[ ()arccos (arcsin 可得由-∈+C x x . ]1 ,1[ 2arccos arcsin -∈≡+x x x π延拓!内满足关系式在若证明： ) ,( )( ∞+-∞x f .)( , )()( , 1)0(xe xf x f x f f =='=则. ) ,( , 1)( ∞+-∞∈≡x e x f x 即要证), ,( ,)()( ∞+-∞∈=x ex f x x ϕ令x x x ee xf e x f x 2)()()( -'='ϕ ), ,( ,0∞+-∞∈=x 例11证). ,( ,)( ∞+-∞∈=∴x C x ϕ,1)0( =f 又 )()( C e x f x x ==ϕ1)0()0( 0==e f ϕ故 . 1=C 从而.) ,( ,)(∞+-∞∈=x e x f x] ,[ )( , 523)( 2b a x f x x x f 在求设++= . 值理的上满足拉格朗日中值定ξ ] ,[ )( 满足拉格朗日中值在易验证b a x f .定理的条件 , )2)((6)52(35)2(3 22a b a a b b -+=++-++ξ由, 6)(3 ξ=+a b 得 . 2 a b +=ξ从而所求为例12解, ) ,( , ] ,[ )( 内可导在上连续在如果b a b a x f )( , )0)(( 0)( ] ,[b a x f x f x f ↑≤'≥'则可推出且.))((] ,[b a x f ↓ )( , )0)(( 0)( x f x f x f I 则上如果在区间<'>').( 严格单调减少上严格单调增加在区间I 由推论4知：. ) ,( , 3的单调性讨论∞+-∞∈=x x y O xy 3x y =, 03)(23≥='='x x y , 0 时且仅当=x , 0='y . ) ,(3∞+-∞↑x 故, ) ,(时∞+-∞∈x 解例7. ]2 ,0[ sin 上的单调性在讨论πx x y -=,) ]2 ,0[ (sin πC x x y ∈-= , )2 ,0( , 0cos 1π∈>-='x x y .sin ]2 ,0[π↑-=∴x x y 例13解. )1ln( , 0 x x x +>>时：证明,) ,0[ , )1ln()( ∞+∈+-=x x x x f 令, ) ) ,0[ ()( ∞+∈C x f 则,0)0(=f 又 , ) 0( , 0111)(时>>+-='x xx f 故, )() ,0[∞+↑x f 从而 , )0( , 0)0()(>=>x f x f 即. )1ln( , 0x x x +>>时例14证。
考研数学二微分中值定理.ppt
针对2014年考察方式的预测
• 1 预测基本依据：分析历年真题里面的常考题型 与核心题型。
• 2 特别重视“拉格朗日中值定理”的应用与各种 变形形式（据历年真题的不完全统计，考试核心 一般是围绕着“拉格朗日定理”展开考察，同时 兼顾着其他两大定理，其中：“罗尔定理”多为 铺垫。）
• 3大部分的考点里面兼顾着“原函数”解析式的寻 找，这就对积分的知识有了更高的要求。
fmax
f (1) ln 1 1 aa
分三种情况讨论
同时也是最大值
① f (1) ln 1 1 0 a 1
aa
e
由于 lim f ( x) lim f ( x)
x
x0
方程有两个实根，分别位于 (0, 1),(1 ,)
aa
② f (1) ln 1 1 0 a 1
aa 方程仅有一个实根，即
例
且
试证存在
证 欲证
f ( )
ab
f () ,即要证 2
f ( )(b a)
b2 a2
f (). 2
因 f(x)在[a ,b]上满足拉氏中值定理条件, 故有
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b) ①
又因 f (x)及 x2 在[a,b]上满足柯西定理条件 , 故有
（3）证 (a,b)使f ( ) f ( ) 0 F ( x) ex f ( x) （4）证 (a,b)使 f ( ) f ( )即f ( )g( ) g( ) f ( ) 0
g( ) g( )
F( x) f ( x)g( x) f ( x)g( x) (F( x) f ( x)g( x) f ( x)g( x) f ( x)g( x) f ( x)g( x))
考研：微分中值定理的证明题汇总
考研：微分中值定理的证明题汇总
1、借助中值定理求极限
拉格朗日定理
形如f(a)-f(b)的形式，可以通过拉格朗日定理转化为
f(a)-f(b)=f'(ξ)(a-b)
例：arctan(a)-arctan(b)
泰勒公式
2、证明 f'(ξ)=0 或 f"(ξ)=0
1、通常使用罗尔定理证明，其中
证明 f'(ξ)=0
证明存在 f(a)=f(b)=f(c)；
证明存在 f'(ξ1)=f'(ξ2)=0；
进而证明存在η使得 f"(η)=0
证明 f"(ξ)=0
证明存在 f(a)=f(b)；
进而证明存在ξ使得 f'(ξ)=0
一般来说，证明f(a)=f(b)=f(c)的方法有
介值定理
零点存在定理
积分中值定理
2、当罗尔定理无法证明时，尝试使用费马引理证明
3、证明 G[f'(ξ), f(ξ), C]=0（导数，函数，常数在一点的
等式）
通过：
观察
将方程两端求导
求解微分方程
构建辅助函数，进而通过罗尔定理求证。
4、涉及到两个函数的问题
使用柯西中值定理进行证明
5、双介值问题
介值不能相同
用两次拉格朗日中值定理进行证明
介值可以相同
考虑使用拉格朗日中值定理和柯西中值定理进行证明。
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一、微分中值定理的应用
（1） 证明等式 （2）证明恒等式 （3）证明不等式
16❆ 15❆ 14❆ 13 12❆ 11❆ 10 09 08❆ 07
二、一般解题步骤
（1）变形 （2）构造辅助函数 （3）应用定理 （4）得证
三 定理的选择
(1) 罗尔定理()f x 在[],a b 连续，在(),a b 可导，且()()f a f b =，则至少存在一点
(),a b ξ∈，使()'0f ξ=。
命题角度：1、结论不含端点信息；
2、导函数零点个数的讨论
(2)拉格朗日定理()f x 在[],a b 连续,在(),a b 可导,则至少存在一点(),a b ξ∈,使()()()'f b f a f b a
ξ-=-. 命题角度：1、含端点值等式的证明；
2、出现函数值只差；
3、不等式的证明；
4、讨论函数的有界性（05年选择题）
(3)柯西定理()f x 及()F x 满足:在[],a b 连续,在(),a b 可导,且在(),a b 内,()'0F x ≠,则至
少存在一点(),a b ξ∈,使()()()()()()
''f b f a f F b F a F ξξ-=-. 命题角度：1、结论含端点值；
2、包含两个函数（有时是明显两个函数，有时是变形得到两个函数）
“双中值问题”（结论中包含两个中值,ξη），一般考虑用两次拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
四 构造辅助函数
(1) 观察联想法
常用的乘积因子为指数函数和幂函数,如
()()()()'1'k k k x f x kx f x x f x -=+()()()'
'2f x f x x f x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
()()()()()''x x e f x e f x f x λλλ=+ 例1: 函数()f x 在上[],a b 连续,在(),a b 内可导,且()()0f a f b ==,证明存在一点(),a b ξ∈,使得()()'f f ξξ=.
(2)原函数法
具体方法是把欲证结论中的ξ换成x ，将替换后的等式变形为易于积分的形式，再两边积分解出C ，由此可构造出相应的辅助函数。
例2:设函数()f x 在上[]0,1二阶可导,且()()010f f ==,证明存在()0,1
ξ∈,使得()()'''
21f f ξξξ=-. (3)常数k 值法
在构造辅助函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，可以用常数k 值法来构造辅助函数。
具体方法是将结论变形，使常数部分分离出来并令其为k ，恒等变形使等式一端为a 与()f a 构成的代数式，另一端为b 与()f b 构成的代数式，再将端点值改为变量x ，所得表达式即为辅助函数。
例3:设0,0a b >>,试证存在ξ介于a 和b 之间,使得()()1b a ae be e a b ξξ-=--.。