微分中值定理总结-考研数学

一、微分中值定理的应用

（1） 证明等式 （2）证明恒等式 （3）证明不等式

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二、一般解题步骤

（1）变形 （2）构造辅助函数 （3）应用定理 （4）得证

三 定理的选择

(1) 罗尔定理()f x 在[],a b 连续，在(),a b 可导，且()()f a f b =，则至少存在一点

(),a b ξ∈，使()'0f ξ=。

命题角度：1、结论不含端点信息；

2、导函数零点个数的讨论

(2)拉格朗日定理()f x 在[],a b 连续,在(),a b 可导,则至少存在一点(),a b ξ∈,使()()()'f b f a f b a

ξ-=-. 命题角度：1、含端点值等式的证明；

2、出现函数值只差；

3、不等式的证明；

4、讨论函数的有界性（05年选择题）

(3)柯西定理()f x 及()F x 满足:在[],a b 连续,在(),a b 可导,且在(),a b 内,()'0F x ≠,则至

少存在一点(),a b ξ∈,使()()()()()()

''f b f a f F b F a F ξξ-=-. 命题角度：1、结论含端点值；

2、包含两个函数（有时是明显两个函数，有时是变形得到两个函数）

“双中值问题”（结论中包含两个中值,ξη），一般考虑用两次拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

四 构造辅助函数

(1) 观察联想法

常用的乘积因子为指数函数和幂函数,如

()()()()'1'k k k x f x kx f x x f x -=+()()()'

'2f x f x x f x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭

()()()()()''x x e f x e f x f x λλλ=+ 例1: 函数()f x 在上[],a b 连续,在(),a b 内可导,且()()0f a f b ==,证明存在一点(),a b ξ∈,使得()()'f f ξξ=.

(2)原函数法

具体方法是把欲证结论中的ξ换成x ，将替换后的等式变形为易于积分的形式，再两边积分解出C ，由此可构造出相应的辅助函数。

例2:设函数()f x 在上[]0,1二阶可导,且()()010f f ==,证明存在()0,1

ξ∈,使得()()'''

21f f ξξξ=-. (3)常数k 值法

在构造辅助函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，可以用常数k 值法来构造辅助函数。具体方法是将结论变形，使常数部分分离出来并令其为k ，恒等变形使等式一端为a 与()f a 构成的代数式，另一端为b 与()f b 构成的代数式，再将端点值改为变量x ，所得表达式即为辅助函数。

例3:设0,0a b >>,试证存在ξ介于a 和b 之间,使得()()1b a ae be e a b ξξ-=--.