北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析

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北京市海淀区一零一中学2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析

北京101中学2020届高三年级上学期10月月考数学试卷一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+-，若{1,2}A B ?-，则a 的值为（）A. ﹣2或﹣1B. 0或1C. ﹣2或1D. 0或﹣2【答案】C 【解析】∵集合{}{}{}21,1,2,1,2,1,2A B a a A B =-=+-⋂=- ，∴2211122221a a a a 或+=-+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩，解得a=−2或a=1. 本题选择C 选项.2.已知向量(1,2),b (m,4)a -=，且a ∥b,那么2a-b= () A. （4，0） B. （0，4）C. （4，-8）D. （-4，8）【答案】C 【解析】因为向量()()1,2,,4m =-=a b ，且a ∥b ,∴14(2),2,2(2,44)(4,8)m m m a b ⨯=-⨯∴=-∴-=---=-. 本题选择C 选项. 3.已知3(,)22ππα∈，且tan 2α=，那么sin α=A. 3-B. 6C.6 D.3【答案】B 【解析】【分析】直接利用同角三角函数基本关系求出结果．【详解】因为3(,)22ππα∈，sin tan 2cos ααα=>0，故3(,)2παπ∈ 即sin 2αα=，又22sin cos 1αα+=，解得：sin α=6故选：B【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n N *+=+∈，则101a =（）A. 10023-B. 10123-C. 10221-D.10223-【答案】D 【解析】【分析】利用待定系数法可得知数列{}3n a +是等比数列，并确定该数列的首项和公比，可求出数列{}n a 的通项公式，即可得出101a 的值.【详解】123n n a a +=+Q ，()1323n n a a +∴+=+，1323n n a a ++∴=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-.故选：D.【点睛】本题考查利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟悉待定系数法对数列递推公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.5.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是 A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-，令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+，所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 6.在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设1x 、2x 、3x 均为实数，()1211log 13x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A. 132x x x << B. 321x x x << C. 312x x x << D. 213x x x <<【答案】A 【解析】在坐标系中作出函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的图象，将1x、2x、3x分别视为函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log1y x=+、3logy x=、2logy x=交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系.【详解】作函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为1x、3x、2x，所以132x x x<<．故选A．【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.设函数()f x=sin（5xωπ+）(ω＞0)，已知()f x在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】D【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确，由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确．故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题共6小题9.已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________．3 【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案．详解：由30z z+=，得23z =-，设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,3a b ==，所以3z i =，则3z =．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 10.已知函数()13cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为_____. 【答案】12π【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值. 【详解】()1313cos cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭Q ，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则()0sin 206g πϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()26k k Z πϕπ-=∈Q，()122k k Z ππϕ∴=-∈，由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 11.不等式()221nn n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________. 【答案】331n n >- 【解析】【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立.【详解】13311>-Q ，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-. 下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤，构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<. 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤. 所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-. 故答案为：331n n >-.【点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、L 等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、L 、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:2x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、L 、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm . 【答案】 (1). 642 (2).5112【解析】【分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =L 的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a 成以22为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和. 【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =L 的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai 的宽度为122i a +，()1A i +的长度为2122i i a a ++=，所以，数列{}n a 是以22为公比的等比数列，由题意知4A 纸的宽度为5222a =，522a ∴=51222821242a a ∴===⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，0A 纸的面积为(22211228264222S dm ==⨯=，又22n n S =，22211122212222n n n n n nS a S a a +++⎛⎫∴==== ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，数列{}n S 是以212为公比的等比数列，因此，这9张纸的面积之和等于9216421511221412dm ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-. 故答案为：6425112. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13.如图，A 、B 、P 是圆O 上的三点，OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q，若OP aOA bOB=+u u u vu u u r u u u v，则+a b的取值范围是_________.【答案】()0,1【解析】【分析】设OP kOQ=u u u r u u u r，可得出()0,1OPkOQ=∈u u u ru u u r，并设OQ OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r，利用三点共线得出1λμ+=，从而可得出+a b的取值范围.【详解】设OP kOQ=u u u r u u u r，可得出()0,1OPkOQ=∈u u u ru u u r，设OQ OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r，由于A、B、Q三点共线，则1λμ+=，则()OP kOQ k OA OB k OA k OB aOA bOBλμλμ==+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则a kλ=，b kμ=，()()0,1a b k k k kλμλμ∴+=+=+=∈.因此，+a b的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1.【点睛】本题考查利用平面向量基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.设(),()f xg x是定义在R上的两个周期函数，()f x的周期为4，()g x的周期为2，且()f x是奇函数.当2(]0,x∈时，2()1(1)f x x=--，(2),01()1,122k x xg xx+<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k>.若在区间(0]9，上，关于x的方程()()f xg x=有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】分别考查函数()f x和函数()g x图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x∈时，()2()11,f x x=--即()2211,0.x y y-+=≥又()f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x与()g x的图象，要使()()f xg x=在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x=-时，函数()f x与()g x的图象有2个交点；当g()(2)x k x=+时，()g x的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x与()g x的图象有6个交点.当()f x与()g x图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k-+=的距离为1，即2211k kk+=+，得24k=，函数()f x与()g x的图象有3个交点；当g()(2)x k x=+过点1,1（）时，函数()f x与()g x的图象有6个交点，此时13k=，得13k=.综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题共6小题。

北京市清华大学附属中学2019-2020学年高三年级第一学期10月考数学试卷

清华附中高三2019年10月月考试卷数学一、选择题1.已知集合{}2A x x =>，()(){}130B x x x =--<，则A B =( )A .{}1x x >B .{}23x x <<C .{}13x x <<D .{}21x x x ><或2.若角θ的终边过点()3,4P -，则()tan θπ+=( ) A .34B .34-C .43 D .43-3.已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A .1b a >>B .1b a >>C .1a b >>D .1a b >>4.设函数()y f x =的定义域为R ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.已知3cos 4α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为( )A .36 B .38- C D .6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A .4 B .5 C .6 D .78.已知定义在R 上的函数()()2,0ln ,0xa x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若方程()12f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A .1122a -≤≤B .102a ≤<C .01a ≤<D .102a -<≤二、填空题9.已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x =___________处取得极值.10.32-，123，2log 5三个数中最大的数是_____________. 11.在ABC △中，13cos 14A =，73a b =，则B =____________. 12.去年某地的月平均气温y (℃)与月份x (月)近似地满足函数sin 6y a b x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(a 、b为常数，0πϕ<<)，其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为_______℃，ϕ=__________.13.在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，60ABC =︒∠，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF ⋅的值为_____________.14.如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP x =，CPD △的面积为()f x ，则()f x 的定义域为_________，()'f x 的零点是__________.三、解答题15.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为1-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,⎡-⎢⎣⎦，求m 的取值范围.16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =，且数列{}n b 的前n 项和记为n T ，求415T T +的值.17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()8sin 17A C +=，且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求边长b .18.已知函数()1xax f x e-=. (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a <时，求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值.19.已知函数()39f x x x =-，函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞，求实数a 的取值范围.20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=…； ②1231n a a a a ++++=…；(1) 分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；(2) 若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3) 记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…，试证：12k S ≤.。

2019_2020学年10月北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期月考数学试卷

2 ）求函数
在
上的最小值．
3 ）若
，求证：
是函数
在
递增的充分不必要条件．
时单调
20. 已知集合
，其中
，由中的元素构成两个
相应的集合:
，
．其
中
是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的
，总有
，则称集合具有性质．
1 ）检验集合
与
是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应
的集合和；
”的充要条件是“
，
，
”；
②函数
的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且
，
，则；④若函数（，）有最大值，则
．
其中的真命题有
．
三、解答题
（本大题共6题，共计80分）
15. 已知函数 1 ）若 2 ）若
，且，求函数
．，求的值．的单调递增区间．
16. 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：百元）满足
12. 函数
是
．
在区间
上单调递减，则实数的取值范围
13. 在直角坐标系
中，点；
和点
是单位圆
的最大值为
．
上两点，
，则
14. 以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数
，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间
．例如，当
，
时，
，
．现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“
2 ）对任何具有性质的集合，证明:
；
3 ）判断和的大小关系，并证明你的结论．

北京市清华大学附属中学2020-2021年九年级上学期十月数学月考试卷

十月学科能力测评数学(清华附中初19级)2021.10姓名准考证号考场号座位号考生须知1.本试卷共6页，共两部分，28道题.满分100分.考试时间120分钟.2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.第一部分选择题一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A.禁止驶入B.靠左侧道路行驶C.向左和向右转弯D.环岛行驶2.抛物线y=(x+2)2-1的顶点坐标是()A.(2，1)B.(-2，-1)C.(-2，1)D.(2，-1)3.将方程x2+2x-5=0配方后，原方程变形为（）A.(x+2)2=9B.(x-2)2=9C.(x+1)2=6D.(x-1)2=64.在半径为1的⊙中，若弦AB 的长为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为（）A.90°B.60°C.30°D.15°5.如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，∠CDB=20°，则∠ABC 的度数为（）A.20°B.40°C.70°D.90°6.将抛物线y=(x+1)2-2向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为（）A.-1B.1C.-2D.27.⊙O 的半径为5，M 是圆外一点，MO=6，∠OMA=30°，则弦AB 的长为（）A.4B.6C.36 D.88.在平面直角坐标系xOv 中，已知抛物线:y=ax 2-2ax+4(a＞0).若A(m-1，y 1)，B(m，y 2)，C(m+2，y 3)为抛物线上三点，且总有y 1＞y 3＞y 2，结合图象，m 的取值范围是（）A.m＜1B.0＜m＜1C.0＜m＜21 D.m＜0第二部分非选择题二、填空题(共16分，每题2分)9.已知⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 内，写出一个OP 长的可能值.10.若一元二次方程x 2+ax+4=0有两个相等的实数根，则a 的值为.11.若a是方程3x2-5x+2=0的根，则6a2-10a=.12题13题12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为.13.将△ABC绕点C顺时针旋转得到△ABC，已知∠ACA’=90°，BC=5，连接BB’，则BB’的长为.14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方.若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为m.15题15.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，与x轴的一个交点是(3，0)，则方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是.16.如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD.作AE⊥CD于E，连接AC，BC，BE.下列四个结论中:①O到AB的距离为定值；②BE=BC；③当OE=AE时，∠ABC=67.5°或22.5°④∠BAE+2∠ACD为定值.正确的是.(填所有正确的序号)三、解答题(共68分，第17-22题，每题5分第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17.解方程:x2-5x+1=0.18.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示:x...-10123...y...03430...求这个二次函数的表达式19.如图，在⊙O中，AB=CD，求证:∠B=∠C.20.已知，关于x的一元二次方程x2+ax-a-1=0.(1)求证:方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根是负数，求a的取值范围21.已知:如图，△ABC 中，AB=AC，AB＞BC求作:线段BD，使得点D 在线段AC 上，且∠CBD=21∠BAC.作法:①以点A 为圆心，AB 长为半径画圆；②以点C 为圆心，BC 长为半径画弧，交⊙A 于点P(不与点B 重合)；③连接BP 交AC 于点D线段BD 就是所求作的线段.(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明证明:连接PC.∵AB=AC，∴点C 在⊙A 上.∵点P 在⊙A 上，∴∠CPB=21∠BAC.()(填推理的依据)∵BC=PC，∴∠CBD=.()(填推理的依据)∴∠CBD=21∠BAC.22.如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为圆上的两点，OC∥BD，OC 交AD 于点E.(1)求证:AC=CD；(2)若CE=2，AD=8，求⊙O 的半径.23.某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区ABCD 其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米(如图)，设矩形ABCD 边AB=x 米，面积为S 平方米.(1)求活动区面积S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围；(2)当AB 为多少米时，活动区的面积最大?并求出最大面积.24.如图，以P 为顶点的抛物线y=21(x-m)2+k 交y 轴于点A，经过点P 的直线y=-2x+3交y 轴于点B.(1)用含m 的代数式表示k.(2)若点A 在B 的下方，且AB=2，求该抛物线的函数表达式.25.如图，已知直线PA 交⊙O 于A、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D (1)求证:CD 为⊙O 的切线；(2)若DC+DA=6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.26.抛物线y=x 2-2mx-1+m 2与x 轴交于A，B 两点，点A 在点B 的左侧.(1)若点A 的坐标为(0，0)①求抛物线的对称轴；②当n≤x＜2时，函数值y 的取值范围为-1≤y≤0，求n 的取值范围；(2)将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到新的函数图象.当-23≤x≤-1时，新函数的函数值随x 的增大而减小，直接写出m 的取值范围.27.已知∠AOB=45°，P 为射线OB 上一定点，OP=22.M 为射线OA 上一动点，连接PM，满足∠OMP 为钝角.以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转135°，得到线段N，连接ON (1)依题意补全图1；(2)求证:∠OMP=∠OPN；(3)Q 为射线OA 上一动点，E 为MQ 中点，连接PQ.若对于任意的点M 总有ON=PQ，请问点E 的位置是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出OE 的值.图1备用图28.在平面直角坐标系xOy 中，对于图形M 和点P，若图形M 上存在两个点E、F，使得EP+FP=2，则称点P为图形M 的“距2点”.设A(-4，0)，B(4，0)，⊙O 的半径为r (1)①点P 1(1，0)，P 2(0，1)，P 3（-1，-21）中，是线段AB 的“距2点”的是；②若P 4(3，4)是⊙O 的“距2点”，求r 的取值范围；(2)设⊙M 的半径为2，圆心M 是x 轴上的动点，C(-4，8).若折线段AC-CB 上存在点⊙M 的“距2点”，直接写出圆心M 横坐标的取值范围.。

北京市清华大学附属中学2022届高三上学期10月月考数学试题(解析版)

【小问1详解】
，令，
因为，所以，
则在上单调递减，所以，
，所以在上单调递减，
函数在上的最大值为；
【小问2详解】
对于任意的，总有，
等价于对于任意的，总有，
所以对于任意的恒成立，
令，，
①当时，，所以在上单调递减，
所以，所以成立；
②当时，令，解得：，
（i）当，所以在上单调递减，
【答案】
【解析】
【分析】，而是定值，可利用基本不等式变形：进行求解.
【详解】由基本不等式，，当且仅当取到等号，即时，的最大值是 .
故答案为：
12.函数的定义域为____.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数有意义得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，所以函数的定义域为
所以，所以成立；
（ii）当，所以在上单调递增，
又因为，所以，所以不成立；
（iii）当，令，解得：，
令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以只需，解得：，
所以；
综上：a的取值范围为．
同理：所以对于任意的恒成立，
令，，
①当时，，所以在上单调递减，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据条件，运用正弦定理即可；
(2)根据条件，运用余弦定理先求出BC，再根据面积求出BD，最后再运用余弦定理求出CD.
【小问1详解】
由条件可得，由正弦定理得 ,
由题意，；
【小问2详解】
在中，由余弦定理得：，

2020-2021学年北京市清华附中高一(上)段考数学试卷(10月份)

2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜12.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 1164.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥2√ab7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟9.（单选题.4分）若关于x的不等式kx2-kx＜1的解集为R则实数k的取值范围是（）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）10.（单选题.4分）已知非空集合A.B满足以下两个条件（i）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii）若x∈A.则x+1∈B．则有序集合对（A.B）的个数为（）A.12B.13C.14D.1511.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R+．（1）求x2+y2+xy的最小值；（2）求√x+√y的最大值；（3）求x（1-3y）的最小值．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜1【正确答案】：D【解析】：根据全称命题的否定方法.根据已知中的原命题.写出其否定形式.可得答案．【解答】：解：∵命题p：∀x∈N.x3≥1.∴￢p：∃x∈N.x3＜1.故选：D．【点评】：本题考查的知识点是全称命题.命题的否定.熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．2.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}【正确答案】：C【解析】：由全集U及A.求出A的补集.找出B与A补集的交集即可．【解答】：解：∵全集U={1.2.3.4.5}.集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.∴∁U A={4.5}.则B∩（∁U A）={4.5}．故选：C．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算.熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 116【正确答案】：C【解析】：根据xy=x（1-2x）=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.即可求出最大值．【解答】：解：∵实数x.y满足2x+y=1. ∴y=1-2x.∴xy=x（1-2x）=-2x2+x=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.当x= 14 .y= 12时取等号.故选：C．【点评】：本题考查了二次函数的性质.考查了运算和转化能力.属于基础题．4.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：先判断由x=1能否推出“x2=1”.再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立.利用充要条件的定义判断出结论．【解答】：解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之.当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选：A．【点评】：判断一个条件是另一个条件的什么条件.首先弄清哪一个是条件；再判断前者是否推出后者.后者成立是否推出前者成立.利用充要条件的定义加以判断．5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d【正确答案】：C【解析】：根据不等式的性质依次验证每个选项是否正确.即可判断【解答】：解：A：由b＜0＜a.d＜c＜0可知.bd＞0.ac＜0.则bd＞ac.故A不正确B：由d＜c＜0可知1c ＜1d＜0 .又b＜0＜a∴ a c ＜0，bd＞0∴ a c ＜bd.故B不正确C：∵b＜a.d＜c∴a+c＞b+d.故C正确D∵d＜c∴-d＞-c.又a＞b∴a-d＞b-c.故D不正确故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质.要求熟练掌握不等式的性质．属于基础试题6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥√ab【正确答案】：C【解析】：利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】：解：A．∵（a-b）2≥0.∴a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立.因此不正确．B．取a.b＜0时.a+b≥2 √ab不成立．C．∵ab＞0.∴ ab . ba＞0.∴ ba+ab≥2 √ba•ab=2.当且仅当a=b时取等号.正确．D．取a.b＜0时. 1a + 1b≥√ab故选：C．【点评】：本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)【正确答案】：A【解析】：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.推出b=-2a.再代入bx+a＜0.解之即可．【解答】：解：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.所以b=-2a.所以不等式bx+a＜0可化为-2ax+a＜0.解得x＜12.故选：A．【点评】：本题考查一元一次不等式的解法.灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键.考查学生的逻辑推理能力和运算能力.属于基础题．8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【正确答案】：B 【解析】：由提供的数据.求出函数的解析式.由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】：解：将（3.0.7）.（4.0.8）.（5.0.5）分别代入p=at 2+bt+c.可得{0.7=9a +3b +c 0.8=16a +4b +c 0.5=25a +5b +c.解得a=-0.2.b=1.5.c=-2.∴p=-0.2t 2+1.5t-2.对称轴为t=- 1.52×(−0.2) =3.75．故选：B ．【点评】：本题考查了二次函数模型的应用.考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题.确定函数模型是关键．9.（单选题.4分）若关于x 的不等式kx 2-kx ＜1的解集为R 则实数k 的取值范围是（）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）【正确答案】：B【解析】：对系数k 分类讨论.利用判别式即可求出结论．【解答】：解：当k=0时.不等式化为0＜1.对任意实数x 恒成立.所以k=0时满足条件；当k≠0时.不等式为kx 2-kx-1＜0的解集是R.所以 {k ＜0△=k 2+4k ＜0.解得-4＜k ＜0；综上知.实数k 的取值范围是（-4.0]．故选：B ．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是基础题．10.（单选题.4分）已知非空集合A.B 满足以下两个条件（i ）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii ）若x∈A .则x+1∈B ．则有序集合对（A.B ）的个数为（）A.12B.13C.14D.15【正确答案】：A【解析】：对集合A 的元素个数分类讨论.利用条件即可得出．【解答】：解：由题意分类讨论可得：若A={1}.则B={2.3.4.5.6}；若A={2}.则B={1.3.4.5.6}；若A={3}.则B={1.2.4.5.6}；若A={4}.则B={1.2.3.5.6}；若A={5}.则B={2.3.4.1.6}；若A={6}.则B={2.3.4.5.1}.舍去．若A={1.3}.则B={2.4.5.6}；若A={1.4}.则B={2.3.5.6}；若A={1.5}.则B={2.3.4.6}；若A={2.4}.则B={1.3.5.6}；若A={2.5}.则B={1.3.4.6}；若A={3.5}.则B={1.2.4.6}；若A={1.3.5}.则B={2.4.6}．综上可得：有序集合对（A.B ）的个数为12．故选：A ．【点评】：本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．11.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：集合{0.1}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合.包括空集．【解答】：解：集合{0.1}的子集有：∅.{0}.{1}.{0.1}共4个．故答案为：4．【点评】：本题考查集合的子集个数问题.对于集合M的子集问题一般来说.若M中有n个元素.则集合M的子集共有2n个.此题是基础题．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先求出A.根据条件得到B=C R A即可求解结论．【解答】：解：∵集合A={x|y= √m−x }=（-∞.m].B=（2-m.+∞）．又∵A∪B=R.且A∩B=∅.∴B=C R A=（m.+∞）.∴m=2-m⇒m=1.故答案为：1．【点评】：本题考查了交集及其运算.是基础题．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]{m|-4≤m＜-3}【解析】：分情况解二次不等式.结合已知条件即可求解结论．【解答】：解：当m＞0时.x2+mx＜0⇒-m＜x＜0.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.此时没有正根.故舍去.当m＜0时.x2+mx＜0⇒0＜x＜-m.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.∴3＜-m≤4⇒-4≤m＜-3. 当m=0时.x2+mx＜0⇒x不存在.综上可得：实数m的取值范围为：{m|-4≤m＜-3}．【点评】：本题主要考查不等式的求解以及分类讨论思想的应用.属于中档题目．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：求出集合A.B.由A∪B=R.能求出实数a的取值范围．【解答】：解：∵当a＜1时.集合A={x|x2-2x+a≥0}={x|x≤1- √1−a或x≥1+ √1−a }.当a≥1时.集合A的解集为R.当△=4-4（a+1）≤0时.即a≥0时.集合B的解集为∅.当a＜0时.集合B={x|x2-2x+a+1＜0}={x|1- √−a＜x＜1+ √−a }.若A∪B=R.则有1- √1−a≥1- √−a .且 1+ √−a≥1+ √1−a .解得不存在使不等式成立的实数a.故实数a的取值范围是[1.+∞）．故答案为[1.+∞）．【点评】：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题.两个集合的并集的定义.属于基础题．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：取特殊值法可判断① ；利用基本不等式可判断② ；利用反证法.推出a+b≤2.与已知a+b＞2矛盾.从而可判断③ ④ ；．【解答】：解：已知a＞0.b＞0.a+b＞2.取a=2.b= 18 .则ab= 14＜1.故① 错误；a2+b2=（a+b）2-2ab≥（a+b）2-2 (a+b2)2= (a+b)22＞2.故② 正确；假设1a 和1b都不小于1.则1a≥1. 1b≥1.所以0＜a≤1.0＜b≤1.所以0＜a+b≤2.与a+b＞2矛盾.所以假设不成立.所以1a 和1b中至少有一个数小于1.故③ 正确；假设1+ab . 1+ba都不小于2.则1+ab≥2. 1+ba≥2.∵a＞0.b＞0.∴1+a≥2b.1+b≥2a.两式相加得：2+a+b≥2（a+b）.解得a+b≤2.这与已知a+b＞2矛盾.故假设不成立.∴ 1+ab . 1+ba中至少有一个小于2.故④ 正确．故正确结论的序号为② ③ ④ ．故答案为：② ③ ④ ．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用.反证法的应用.考查逻辑推理能力以及计算能力．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x+1）（x-4）≥0.求出解集即可；（2）不等式化为x2-x+1＞0.利用判别式求出不等式的解集；（3）讨论a的取值.从而求出不等式x2≤a的解集．【解答】：解：（1）不等式x2-3x-4≥0可化为（x+1）（x-4）≥0.解得x≤-1或x≥4.所以不等式的解集为{x|x≤-1或x≥4}；（2）不等式-x2+x-1＜0可化为x2-x+1＞0.△=（-1）2-4×1×1=-3＜0.所以不等式的解集为R；（3）当a≥0时.解不等式x2≤a.得- √a≤x≤ √a；当a＜0时.不等式x2≤a无解；所以.a≥0时.不等式x2≤a的解集为-x|- √a≤x≤ √a }；a＜0时.不等式x2≤a的解集为∅．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将1代入x2-（a+1）x-a＞0.解得即可.（2）集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.当x=2满足.x=3不满足时.或当x=2不满足.x=3满足时.解不等式组可得．【解答】：解：（1）1∈A .将1代入x 2-（a+1）x-a ＞0得1-（a+1）-a ＞0.解得a ＜0. 即a 的范围为（-∞.0）（2）集合B={2.3}.且A∩B 中恰好只有1个元素. 则说明x 2-（a+1）x-a ＞0有1个元素是2或3. 则当x=2满足.x=3不满足时.∴ {22−2(a +1)−a ＞032−3(a +1)−a ≤0 .即 {a ≥32a ＜23.此时解集为∅. 则当x=2不满足.x=3满足时.∴ {22−2(a +1)−a ≤032−3(a +1)−a ＞0 .解得 23 ≤a ＜ 32 . 综上所述a 的取值范围为[ 23 . 32 ）．【点评】：本题考查了元素和集合的关系.属于基础题． 18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R +．（1）求x 2+y 2+xy 的最小值；（2）求 √x +√y 的最大值；（3）求x （1-3y ）的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy.然后利用基本不等式即可求解；（2）（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy .然后利用基本不等式即可求解；（3）由x （1-3y ）=（1-y ）（1-3y ）=3y 2-4y+1.然后结合二次函数的性质可求解．【解答】：解：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy≥1-（ x+y 2 ）2= 34.当且仅当x=y= 12 时.取得最小值 34 ；（2）因为x+y=1.x.y∈R +.所以（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy ≤1+x+y=2.当且仅当x=y 时取等号.此时取得最大值2；（3）∵x.y∈R+.x+y=1.∴x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1.结合二次函数的性质可知.当y= 23时取得最小值- 13．【点评】：本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用.属于基础题．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知函数过定点可得一个关于m.n的等式.再利用二次函数恒成立问题可再建立一个关于m.n的关系式.两式结合即可求解.（2）联立直线方程和二次函数方程可得一个关于x的二次方程.而x1.x2为该方程的根.则可由根与系数的关系得x1.x2的和与积.再利用立方和公式展开x 13+x23 .进而可以求解．【解答】：解：（1）由已知函数过点（1.0）可得：m+n+1=0… ① .又对任意x∈R.总有y≥0.则△=m2-4n≤0… ② .由① 得n=-1-m.代入② 得：m2+4m+4≤0.即（m+2）2≤0.所以m+2=0.则m=-2.n=1.故m.n的值分别为-2.1；（2）由（1）可得y=x2-2x+1.与y=kx+2联立方程可得：x2-（k+2）x-1=0.则方程的根为x1.x2.由根与系数的关系可得：{x1+x2=k+2 x1x2=−1 .所以x 13+x23 =（x1+x2）（x 12 -x1x2+x 22）=（k+2）[（x1+x2）2-3x1x2] =（k+2）[（k+2）2+3]=14.令k+2=t.则t3+3t-14=0.即t3-8+3t-6=（t-2）（t2+2t+4）+3（t-2）=（t-2）（t2+2t+7）=0.显然t-2=0.即t=2.所以k+2=2.即k=0.故实数k的值为0．【点评】：本题考查了二次函数的性质.涉及到恒成立问题以及立方和公式和高次方程求解等问题.考查了学生的运算转化能力.属于中档题．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解A-B.B-A；（2）由Q-P=∅.结合定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解实数a的取值范围．【解答】：解：（1）由定义A-B={x∈A且x∉B}．集合A=（-1.1）.B=（0.2）.∴A-B=（-1.0].B-A=[1.2）．（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}={x|（x-2a）（x+a）≥0}.Q=[1.2].由Q-P=∅.可得Q⊆P.当a=0时.P=R.满足Q⊆P；当a＜0时.P={x|x≤2a或x≥-a}.由Q⊆P.可得{a＜0−a≤1.解得-1≤a＜0.当a＞0时.P={x|x≤-a或x≥2a}.由Q⊆P.可得{a＞02a≤1.解得0＜a≤ 12.综上可得.实数a的取值范围[-1. 12]．【点评】：本题考查对新定义的理解和应用.是基础题.解题时要认真审题．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．【正确答案】：【解析】：（1）直接由新定义可求解；（2）等价转化为-1＜x+y1+xy＜1求证；（3）先判断x*y满足交换律和结合律.得到所要求解的式子结果唯一.再利用定义求解．【解答】：解：（1）0* 13 = 0+131+0•13=13. 12∗13=12+131+12•13=57；（2）证明：∵-1＜x＜1.-1＜y＜1.∴-1＜xy＜1.x-1＜0.y-1＜0.∴1+xy＞0.（x-1）（y-1）＞0.∴xy-（x+y）+1＞0.∴1+xy＞x+y.∴ x+y1+xy＜1．同理：（x+1）（y+1）＞0.即xy+（x+y）+1＞0.∴（x+y）＞-（1+xy）.∴ x+y1+xy＞−1 .∴ −1＜x+y1+xy＜1 .∵ x∗y=x+y1+xy.∴∀x.y∈（-1.1）.都有x*y∈（-1.1）成立．（3）由已知可得x*y=y*x.满足交换律．∵（x*y）*z= x+y1+xy ∗z =x+y1+xy+z1+x+y1+xy×z=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.x*（y*z）=x* y+z1+yz =x+y+z1+yz1+x×y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.∴（x*y）*z=x*（y*z）.满足结合律．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6有唯一值．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6= (−57)∗(−16)∗(−14)∗12∗13∗14=(−57)+(−16)1+(−57)×(−16)* (−14)+121+(−14)×12*13+141+13×14= (−3747)∗27∗713=(−3747)+271+(−3747)×27∗713=(−1117)∗713=−(1117)+7131+(−1117)×713=−16 ．∴x 1*x 2*x 3*x 4*x 5*x 6的所有可能值构成的集合为{ −16}．【点评】：本题考查对新定义的理解.属于中档题．。

北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题(含解析)

2
温约为______________ C, ______________
.
【答案】 (1). 5 【解析】
π
(2).
6
由题意，得当 x 5 11 8 时， sin( π 8 ) 1 ，又因为 0 π ，所以
2
6
2
π 4π 11π ，即 4π 3π ， π ，即 y a b sin( π x π ) ，则
下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯
A. 1 盏
B. 3 盏
C. 5 盏
D. 9 盏
【答案】B
【解析】
【详解】设塔顶的 a1 盏灯，由题意{an}是公比为 2 的等比数列，
3
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∴S7= a1 1 27 =381，
1 2
解得 a1=3．
故选：B．
7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其
求出结果。
3.已知函数 y xa , y logb x 的图像如图所示,则
1
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A. b 1 a
B. b a 1
C. a 1 b
D.
a b 1
【答案】A
【解析】
由图象，得 y logb x 在 (0, ) 上单调递增，即 b 1， y xa 在 [0, ) 上单调递增，且增加得越来越慢，即 0 a 1，则 b 1 a .故选 A.
5 分，此时成立．综上 C 正确．
对于 D，由于 7 大于 6，故人数不是最少．所以 D 不正确．
故选 C．
点睛：本题考查推理问题，考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要

北京市海淀区清华大学附属中学2021届高三数学上学期10月月考试题(含解析).doc

北京市海淀区清华大学附属中学2021届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题 1.已知集合，B ＝{|(1)(3)0}x x x --<，则A∩B=（）A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D. {|2x x >或1}x <【答案】B 【解析】试题分析：{|(1)(3)0}{|13}B x x x x x x =--<=<< 又{}2A x x =所以{|23}A B x x ⋂=<< 故答案选B考点：集合间的运算．2.若角θ的终边过点()3,4P -，则()tan θπ+=( ) A.34B. 34-C.43D. 43-【答案】D 【解析】分析：利用任意角三角函数的定义，诱导公式，求得要求的式子的值详解：角θ的终边过点()34P -，，则()4tan 3y tan x θπθ+===- 故选D点睛：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题，结合诱导公式运用定义即可求出结果。

3.已知函数,log ab y x y x ==的图像如图所示,则A. 1b a >>B. 1b a >>C. 1a b >>D.1a b >>【答案】A 【解析】由图象，得log b y x =在(0,)+∞上单调递增，即1b >，ay x =在[0,)+∞上单调递增，且增加得越来越慢，即01a <<，则1b a >>.故选A.【点睛】本题考查对数函数、幂函数的图象和性质.解决本题的难点是利用幂函数的图象判定幂指数a 与1的大小，若0a >时，幂函数a y x =在[0,)+∞上单调递增，要与常见函数2yx 、y x =、12y x =的图象对照确定.4.已知函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：()2f x x =满足()00f =，但不是奇函数，因此充分性不成立；若()f x 是奇函数，又定义域为R ，因此()()()0000f f f =-⇒=，必要性成立，因此选B. 考点：充要关系【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法（1）命题判断法：设“若p ，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件．（2）集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x|p(x)成立}，q ：B ＝{x|q(x)成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ≠⊂B 时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B ≠⊂A 时，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．（3）等价转化法：p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件． 5.已知3cos ,(,0)42παα=∈-，则sin 2α的值为（）A. 38B. 38-D. 【答案】D 【解析】试题分析：由题意sin α===，所以sin 22sin cos ααα=32(4=⨯⨯=D ．考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏【答案】B 【解析】【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列，∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3．故选：B ．7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为 A. 4 B. 5 C. 6D. 7【答案】C 【解析】分析：对于四个选项中给出的参赛人数分别进行分析，看是否满足条件，然后可得结论．详解：对于A ，若参赛人数最少为4人，则当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局时，最低得3分，所以A 不正确．对于B ，若参赛人数最少为5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，所以B 不正确．对于C ，若若参赛人数最少为6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，此时不成立；当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平局，最低得5分，此时成立．综上C 正确．对于D ，由于7大于6，故人数不是最少．所以D 不正确．故选C ．点睛：本题考查推理问题，考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要根据所给出的条件进行判断、分析，看是否得到不合题意的结果．8.已知定义在R 上的的数()()20xa x f x ln x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，，若方程()1=2f x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A. 1122a -≤≤ B. 102a ≤<C. 01a ≤<D.102a -<≤ 【答案】A 【解析】【详解】当12 a=-时，11222xx≤⎧⎪⎨-=⎪⎩或11ln()22xx>⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1210,2x e=+，即有两个不相等的实数根，所以去掉B,C,D,选A.二、填空题9.已知函数()y f x=的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数()y f x=在x=_____处取得极值.【答案】-1【解析】【分析】利用导函数的图象，通过导函数的零点，以及函数返回判断函数的极值点即可．【详解】由图象，得当1x<-时，()0f x'<，当1x>-且2x≠时，()0f x'>，()20f'=，即函数()f x在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，即函数()f x 在1x=-处取得极小值.【点睛】本题考查函数的导数以及导函数的图象的应用，函数的极值的判断，是基础题．10.32-，123，2log5三个数中最大数的是．【答案】2log5【解析】【详解】31218-=<，12331=>，22log5log423>>>，所以2log5最大.11.在ABC△中,13cos,7314A a b==,则B=______________.【答案】π3或2π3【解析】因为13cos14A=，所以π6A<<且33sin A=，又因为73a b=，所以7sin3sinA B=，即3373sin B⨯=，解得3sin B=，因为0πB<<，所以π3B=或2π3B=.12.去年某地的月平均气温()y C︒与月份x（月）近似地满足函数πsin()6y a b xϕ=++.（,a b为常数,π2ϕ<<）.其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为______________,Cϕ︒=______________.【答案】 (1). 5- (2).π6【解析】由题意，得当51182x+==时，πsin(8)16ϕ⨯+=±，又因为π2ϕ<<，所以π4π11π236ϕ<+<，即4π3π32ϕ+=，π6ϕ=，即ππsin()66y a b x=++，则5ππsin()13668ππsin()3166a ba b⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，即1331aa b=⎧⎨-=⎩，即1315ab=⎧⎨=-⎩，当2x=时，2ππ1318sin()566y=-+=-.13.在等腰梯形ABCD中,已知AB DC,2,1,60,AB BC ABC==∠=点E和点F分别在线段BC和CD上,且21,,36BE BC DF DC==则AE AF⋅的值为．【答案】2918【解析】在等腰梯形ABCD中,由AB DC,2,1,60,AB BC ABC==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：平面向量的数量积. 【此处有视频，请去附件查看】14.如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP =x ，CPD 的面积为()f x ．则()f x 的定义域为；()f x '的零点是．【答案】（2，4）（2分），3（3分）【解析】试题分析：由题意知，,,的三边关系如图，三角形的周长是一个定值，故其面积可用海伦公式表示出来即令故答案为；考点：函数的实际应用．三、解答题15.已知函数()cos()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图象过点（0，12），最小正周期为23π，且最小值为－1. （1）求函数()f x 的解析式.（2）若[,]6x m π∈，()f x 的值域是[1,-，求m 的取值范围. 【答案】（1）()cos(3)3f x x π=+；（2）25[,]918m ππ∈ 【解析】试题分析：（1）根据余弦函数的性质求出最大值A ，再利用周期公式求出参数ω，最后根据三角函数值求出ϕ的值即可.（2）由题意求出33x π+的取值范围，然后再根据余弦函数的性质求解即可.试题解析：（1）由函数的最小值为－1，可得A=1，因为最小正周期为23π，所以ω=3.可得()cos(3)f x x ϕ=+，又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos 2ϕ=，而02πϕ<<，所以3πϕ=，故()cos(3)3f x x π=+.（2）由[,]6x m π∈，可知533633x m πππ≤+≤+，因为5()cos 66f ππ==，且cos π=－1，7cos6π=，由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918m ππ≤≤，即25[,]918m ππ∈. 考点：（1）余弦函数的性质和图象；（2）余弦函数性质的应用. 16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =，且数列{}n b 的前n 项和记为n T ，求415T T +的值.【答案】(1)211n a n =-+；(2)149. 【解析】【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得n S ，再由数列的递推式，可得所求通项公式；（2）求得|||112|n n b a n ==-，讨论当15n 时，6n 时结合等差数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：（1）数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列， ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-，即210n S n n =-+，① 2n ∴时，21(1)10(1)n S n n -=--+-，②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+，又当1n =时，119a S ==，满足上式， 211n a n ∴=-+；（2）由题意，|||112|n n b a n ==-，∴当15n 时，212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+==-+；6n 时，2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于基础题．17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()8sin 17A C +=，且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求边长b . 【答案】(1)1517；(2)2. 【解析】【分析】（1）由三角函数的诱导公式进行转化，结合同角三角函数的基本关系式进行转化求解即可．（2）结合三角形的面积公式求出ac 的值，利用余弦定理进行转化求解即可．【详解】解：（1）8sin()17A C +=， ()()8sin sin sin 17B AC A C π∴=-+=+=⎡⎤⎣⎦，角B 为锐角，cos 0B ∴>，即15cos 17B =．（2）ABC ∆的面积为2，118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=，则172ac =， 6a c +=，2222cos b a c ac B ∴=+-215171715()2236223617154172217a c ac ac=+--=-⨯-⨯⨯=--=，则2b =．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合同角关系式，三角形的面积公式以及余弦定理是解决本题的关键． 18.已知函数1()xax f x e-=. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）当0a <时,求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值.【答案】（Ⅰ）(,2)-∞递增,在(2,)+∞递减；（Ⅱ）10a -≤<时,min ()1,1f x a =-<-时,min 11()aa f x e+=.【解析】试题分析：（Ⅰ）代值，求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性即可；（Ⅱ）求导，通过讨论a 的范围研究导函数的符号和函数的单调性，进而确定函数的最值.试题解析：（Ⅰ）当1a =时,()()12,,,x xx x f x x R f x e e '--+=∈∴= 令()0,f x '>解得:2,x < 令()0,f x '<解得:2,x >()f x ∴在(),2-∞递增,在()2,+∞递减;（Ⅱ）由()1xax f x e -=得: ()[]1,0,1xax a f x x e-+-∈'=, 令()0,0,f x a ='<解得111,x a=+< ①110a+≤时,即10a -≤<时,()0f x '≥对[]0,1x ∈恒成立, ()f x ∴[]0,1递增,()()min 01f x f ==-;②当1011<+<时,即1a <-时,()(),,x f x f x '在[]0,1上的情况如下:()1min 111;aa f x f a e +⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭综上,10a -≤<时,()min1,1f x a =-<-时,()1min 1aa f x e+=.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值.解决本题的难点是第二步，利用分类讨论求函数的最值，分类讨论思想的高中数学重要数学思想之一，学生对“分类讨论的标准、为什么讨论”搞不清，如本题中要讨论导函数的零点和所给区间的关系.19.已知函数()39f x x x =-，函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处有公共切线，求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 5或﹣27；(2)(](),275,-∞-+∞.【解析】【分析】（1）设出切点坐标，利用切点处导函数值等于切线斜率且切点为两个函数交点，列出方程组，解出切点坐标和a 的值．（2）构造函数()h x ，把不等式()()f x g x <转化为()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，利用导数分析出函数()h x 的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合得到符合题意的a 的取值范围．【详解】解：（1）2()39f x x '=-，()6g x x '=，设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ，0)y ，则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎨-=⎩，解得：015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩，a ∴的值为5或27-；（2）令32()39h x x x x =--，则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-，∴令()0h x '=，得：1x =-或3，列表：()h x +-+()h x '增极大值减极小值增()h x ∴的极大值为(1)5h -=，极小值为h （3）27=-，又当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞，如图所示：∴当5a >或27a -时，满足题意， ∴实数a 的取值范围为： (](),275,-∞-+∞．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数画出函数的大致图象，做题时注意数形结合，是中档题．20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”：①1230n a a a a ++++=…；②1231n a a a a ++++=…. (1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；(2)若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3)记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…，试证：12k S ≤. 【答案】（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列；(2)()1007,201310061007n n a n N n *-+=∈≤⨯；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（2）设该2013阶“期待数列”的公差为d ，由于1220130a a a ++⋯+=，可得10070a =，1008a d =，对d 分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（3）当k n =时，显然1||02n S =成立；当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，再利用绝对值不等式的性质即可得出．【详解】解：（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（2）设该2013阶“期待数列”的公差为d ， 1220130a a a ++⋯+=，∴120132013()02a a +=，120130a a ∴+=，即10070a =， 1008a d ∴=，当0d =时，与期待数列的条件①②矛盾，当0d >时，据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=， 100610051100622d d ⨯∴+=，即110061007d =⨯， *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯，2013)n ，当0d <时，同理可得100710061007n n a -+=⨯，*(n N ∈，2013)n ．（3）当k n =时，显然1||02n S =成立；当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+， 12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=，1||(12k S k ∴=，2，⋯，)n ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”，推理能力与计算能力，属于中档题．。

2019-2020学年北京市清华附中高三(上)10月月考数学试卷试题及答案

2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．78．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在 x = 处取得极值．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B = ． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 C ︒，ϕ= ．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为． 14．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为；()0f x '=的解是．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<< 的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若[6x π∈，]m ，()f x 的值域是[1-，，求m 的取值范围．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列．（1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ．18．已知函数1()xax f x e -=．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值；（2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …．2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <【解答】解：集合{|2}A x x =>， {|(1)(3)0}{|13}B x x x x x =--<=<<，则{|23}A B x x =<<．故选：B ．2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-【解答】解：角θ的终边过点(3,4)P -，则44tan()tan 33y x θπθ-+=-=-=-=，故选：D ．3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>【解答】解：由图象可知，01a <<，1b >，故选：A ．4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：函数()y f x =的定义域为R ，若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =，反之不成立，例如2()f x x =．∴ “(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件．故选：B ． 5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．【解答】解：3cos 4α=，(2πα∈-，0)，sin α∴===，3sin 22sin cos 2(4ααα∴==⨯⨯= 故选：D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解答】解：设塔的顶层共有1a 盏灯，则数列{}n a 公比为2的等比数列， 717(12)38112a S -∴==-，解得13a =．故选：B ．7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A 选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A 不成立，B 选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B 不成立， C 选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C 成立， D 选项：76>，故不为最少人数，故不成立，故选：C ．8．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…【解答】解：由题意知当0x >时，()()f x ln x a =+，则0a …，当0x …时，()1a f x a <+…，若0a …，当0x >时，()()f x ln x a lna =+…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则11212a a lna ⎧<+⎪⎪⎨⎪<⎪⎩…，即1212a a a ⎧<⎪⎪⎪-⎨⎪⎪<⎪⎩…，得1122a -<…，0a …，102a ∴<…，故选：B ．二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x = 1- 处取得极值．【解答】解：函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示， 1x <-时，()0f x '<，1x >-时，()0f x '…，所以函数只有在1x =-时取得极值．故答案为：1-．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是 2log 5 ．【解答】解：由于3021-<<，12132<<，22log 5log 42>=，则三个数中最大的数为2log 5．故答案为：2log 5． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B 3或3．【解答】解：在ABC ∆中，13cos 14A =，sin A ∴== 73a b =，sin 7sin 3b A B a ∴===(0,)B π∈， 3B π∴=或23π．故答案为：3π或23π． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 5- C ︒，ϕ= ．【解答】解：函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b 为常数），∴当51182x +==时，sin()6x πϕ+取得最大或最小值， ∴862k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，解得56k πϕπ=-，k Z ∈，又02πϕ<<，6πϕ∴=；31a b ∴-=，且sin 13a b π+=，解得13a =，18b =-；1318sin()66y x ππ∴=-+，当2x =时，1318sin(2)5()66y C ππ=-⨯+=-︒．故答案为：5-，6π．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为18．【解答】解：2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，1122BG BC ∴==，211CD =-=，120BCD ∠=︒， 23BE BC =，16DF DC =， ∴21()()()()36AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC =++=++ 12216336AB AD AB DC BC AD BC DC =+++ 122121cos6021cos011cos6011cos1206336=⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯⨯︒111291331818=++-=，故答案为：291814．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 (2,4) ；()0f x '=的解是．【解答】解：由题意，2DC =，CP x =，6DP x =- CPD ∆，∴262662x xx x x x +>-⎧⎪+->⎨⎪+->⎩，解得(2,4)x ∈如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即()f x==()f x∴'=，令()0f x'=，解得3x=，故答案为：(2,4)，3．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x Aωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x的解析式．（2）若[6xπ∈，]m，()f x的值域是[1-，，求m的取值范围．【解答】解：（1）由函数的最小值为1-，0A>，得1A=，最小正周期为23π，2323πωπ∴==，()cos(3)f x xϕ∴=+，又函数的图象过点1(0,)2，1cos2ϕ∴=，而02πϕ<<，3πϕ∴=，()cos(3)3f x xπ∴=+，（2）由[6xπ∈，]m，可知533633x mπππ++剟，5()cos66fππ==cos1π=-，7cos6π=，由余弦定理的性质得：7336mπππ+剟，∴25918mππ剟，即2[9mπ∈，5]18π．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列．（1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值．【解答】解：（1）数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列， ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-，即210n S n n =-+，① 2n ∴…时，21(1)10(1)n S n n -=--+-，②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+，又当1n =时，119a S ==，满足上式， 211n a n ∴=-+；（2）由题意，|||112|n n b a n ==-，∴当15n 剟时，212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+===-+；6n …时，2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ．【解答】解：（1）8sin()17A C +=， 8sin sin[()sin()17B AC A C π∴=-+=+=，角B 为锐角， cos 0B ∴>，即15cos 17B ===．（2）ABC ∆的面积为2，118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=，则172ac =， 6a c +=，2222151717152cos ()2236223617154172217b ac ac B a c ac ac∴=+-=+--=-⨯-⨯⨯=--=，则2b =．18．已知函数1()xax f x e -=．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）1a =时，1()xx f x e -=，x R ∈， 2()xx f x e -+∴'=，令()0f x '>，解得：2x <，令()0f x '<，解得：2x >，()f x ∴在(,2)-∞递增，在(2,)+∞递减；（Ⅱ）由1()xax f x e -=得： 1()xax a f x e -++'=，[0x ∈，1]，令()0f x '=，0a <，解得：111x a=+<， ①110a+…时，即10a -<…时，()0f x '…对[0x ∈，1]恒成立，()f x ∴在[0，1]递增，()(0)1min f x f ==-；②当1011a<+<时，即1a <-时， x ，()f x '，()f x 在[0，1]上的情况如下：111()(1)aaf x min f ae +∴=+=；综上，10a -<…时，()1min f x =-，1a <-时，11()min aa f x e+=．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值；（2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）2()39f x x '=-，()6g x x '=，设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ，0)y ，则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩，解得：015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩，a ∴的值为5或27-；（2）令32()39h x x x x =--，则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-，∴令()0h x '=，得：1x =-或3，列表：()h x ∴的极大值为(1)5h -=，极小值为h （3）27=-，又当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞，如图所示：∴当5a >或27a -…时，满足题意，∴实数a 的取值范围为：(-∞，27](5,)-+∞．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …．【解答】解：（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d ， 1220130a a a ++⋯+=，∴120132013()02a a +=，120130a a ∴+=，即10070a =， 1008a d ∴=，当0d =时，与期待数列的条件①②矛盾，当0d >时，据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=， 100610051100622d d ⨯∴+=，即110061007d =⨯， *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯，2013)n …，当0d <时，同理可得100710061007n n a -+=⨯，*(n N ∈，2013)n …．（Ⅲ）当k n =时，显然1||02n S =…成立；当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=…，1||(12k S k ∴=…，2，⋯，)n ．。

2019_2020学年10月北京海淀区清华大学附属中学高三上学期月考数学试卷

A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
”是“函数为奇函数”的（）． B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知
，
，则
的值为（）．
A.
B.
C.
D.
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
的解集为
，求实数的取值范围．
20. 设满足以下两个条件的有穷数列
为
阶“期待数列”：
①
；
②
．
1 ）分别写出一个单调递增的阶和阶“期待数列”；
2 ）若某阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
3 ）记阶“期待数列”的前项和为
，试证：
．
A.
B.
C.
D.
8. 已知定义在上的函数
则的取值范围是（）．
A.
B.
，若方程 C.
有两个不相等的实数根， D.
二、填空题
（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）
9. 已知函数
的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数
在
处取得极值．
10.
，，
三个数中最大的数字是
．
11. 在
中，
，
，则
．
12. 去年某地的月平均气温（）与月份（月）近似地满足函数
17. 已知
的内角，，所对的边分别为，，，
1 ）求
的值．
2 ）若
，
的面积为，求边长．
，且角为锐角．
18. 已知函数 1 ）当 2 ）当

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清华附中高三2019年10月月考试卷数学
一、选择题
1.已知集合
，B ＝{|(1)(3)0}x x x --<，则A∩B=（） A. {|1}x x >
B. {|23}x x <<
C. {|13}x x <<
D. {|2x x >或1}x < 【答案】B
试题分析：{|(1)(3)0}{|13}B x x x x x x =--<=<< 又{}2A x x =
所以{|23}A B x x ⋂=<<
故答案选B
考点：集合间的运算．
2.若角θ的终边过点()3,4P -，则()tan θπ+=( ) A. 34 B. 34- C. 43 D. 43
- 【答案】D
分析：利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求的式子的值详解：角θ的终边过点()34P -，
，则()4tan 3
y tan x θπθ+==
=- 故选D
点睛：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题，结合诱导公式运用定义即可求出结果。